概率与统计 (理科)

m [防范措施] 对于公式 P(A)＝ n (n 和 m 分别表示基本事件总数和事件 A 包含的基本事件数)，仅当所述的试验结果是等可能出现时才成立．解题时要 充分理解古典概型的定义，验证基本事件的有限性及等可能性．
[2015· 西安八校联考]从 a，b，c 三人中选出两人参加演讲 2 比赛，则 a 被选中的概率为________ ． 3
1 1 n － (2)样本平均数 x ＝n(x1＋x2＋…＋xn)＝ni ∑ ＝1xi； 1 (3)样本方差 s ＝n[(x1－－ x )2＋(x2－－ x )2＋…＋(xn－－ x )2]
2
1 n 2 － ＝ni ∑ ( x － x ) ； i ＝1 (4)样本标准差 s＝ 1 2 2 2 [ x x ＋ x x ＋…＋ x x ]＝ 1－－ 2－ － n－－ n 1 n 2 － ∑ x － x . i ＝1 i n 3．线性回归方程 ^x＋a ^， － 线性回归方程为^ y ＝b 一定过样本中心点(－ x， y )．
“基本事件”概念不清致误
3 先后抛掷三枚硬币， 则出现“两个正面， 一个反面”的概率为________ ． 8 [错解] 所有基本事件有：三正，两正一反，两反一正，三反；
1 ∴出现“两正一反”的概率为4. [错因分析] 没有理解基本事件的概念，所列举出的事件不是等可
能的． [正解] 所有的基本事件有：(正，正，正)(正，正，反)(正，反， 正)(反，正，正)(正，反，反)(反，正，反)(反，反，正)(反，反，反)八 3 种，而“两正一反”事件含三个基本用结论
频率 (1)小长方形的面积＝组距× ＝频率． 组距 (2)各小长方形的面积之和等于 1. 频率 1 (3)小长方形的高＝ ，所有小长方形高的和为 . 组距 组距 2．统计中的四个数据特征 (1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据． 中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间 的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均 数作为中位数．
[防范措施] 简单随机抽样常常用于总体个数较少时， 它的主要特征是从 总体中逐个抽取；系统抽样法常常用于总体个数较多时；分层抽样常常用于 总体由差异明显的几部分组成，主要特征是分层并按比例抽样.分层抽样是高 考考查的一个热点，因为在实际生活中有差异的抽样比其他两类抽样应用空 间大.
[2015· 郑州三模]某中学有学生 270 人，其中七年级 108 人，八、九年级各 81 人，现要 利用抽样方法抽取 10 人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样 三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按七、八、九年级依次统一编号为 1,2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号 1,2，…，270，并将整个编号依 次分为 10 段．如果抽得号码有下列四种情况： ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265； ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是( A．②、③都不能为系统抽样 C．①、④都可能为系统抽样 ) B．②、④都不能为分层抽样 D．①、③都可能为分层抽样
抽样方法理解不清致误 某校高三年级有男生 500 人， 女生 400 人， 为了解该年级学生的健康情况， 从男生中任意抽取 25 人，从女生中任意抽取 20 人进行调查．这种抽样方法 是 ( ) A．简单随机抽样法 C．系统抽样法 B．抽签法 D．分层抽样法
[正解]
显然总体差异明显，并且按比例进行抽样，是分层抽样，选 D.
3 y)在以(0,0)为圆心， 为半径的圆内，则既在圆内又在正方形区域内的点构成的区域的面 4 9π 64 9π 1 32 9π 积 S2＝ ·π· 4 ＝ ，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率 P＝ ＝ ，故选 A. 4 64 1 64
分不清排列、组合问题致误 如图所示，A，B，C，D 是海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连 接起来，不同的建桥方案共有多少种？
1－P(B)． P(A)＋P(B)＝1 ________________ ，即 P(A)＝________
2．古典概型的概率 特点：有限性，等可能性．
A中所含的基本事件数 基本事件总数 P(A)＝＝______________________.
3．几何概型的概率 特点：无限性，等可能性． 构成事件A的区域长度面积或体积 P(A)＝_________________________________________. 试验全部结果所构成的区域长度面积或体积
添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭 配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现 有芳香度分别为 0,1,2,3,4,5 的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通 常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验． (1)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于 4 的概率； (2)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于 3 的概率．
补救训练 32
解析
由题意得从 a，b，c 三人中选出两人有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共三
2 种情况，其中 a 被选中有(a，b)，(a，c)，共两种情况，故所求概率 P＝3.
互斥事件概念不清致误 抛掷一均匀的正方体玩具(各面分别标有数字 1、2、3、4、5、6)，事件 A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件 B 表示“朝上一面的数不超过 3”， 求 P(A∪B)．
{8}
[解 ]
由题设，得
1 1 0 2 Cn＋ ×Cn＝2× ×C1 n， 4 2
即 n2－9n＋8＝0，解得 n＝8，n＝1(舍去)．
2 26 [2015· 西安八校联考]在x－x 展开式中，x6 的系数为________．
60
解析
－ r 26－r r 6－r 依题意，Tr＋1＝C6x (－x2)r＝C6 2 · (－1)rx3r 6，令
[正解] 第一种：
由题意可能有两种结构，如图： ，第二种：
对于第一种结构，连接方式只需考虑中心位置的情况，共有 C1 4种方法．
2 对于第二种结构，有 C2 A 4 2种方法． 2 2 ∴总共有 C1 ＋ C 4 4A2＝16(种)．
有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位．现安排甲、乙 2 人就座，规
1 1 13 P(B)＝1－15＋15＝15.
在几何概型中“测度”确定不准致误
\
如图所示，在等腰 Rt△ABC 中，过直角顶点 C 在∠ACB 内部任意作一 条射线 CM，与线段 AB 交于点 M，求 AM<AC 的概率．
[正解]
在 AB 上取一点 D，使 AD＝AC，
π 因为 AD＝AC＝a，∠A＝4， 3π 所以∠ACD＝∠ADC＝ 8 . 3π ∠ACD 8 3 则 P(E)＝ ＝ π ＝ 4. ∠ACB 2
在同一排和甲、 乙在前排中间不能坐的 3 个座位两侧的情形， 还应再加上 2A2 2，
1 2 2 所以不同的排法种数为 A2 20－A19A2＋2A2＝346.
二项式系数与系数混淆致误
1 n x ＋ 已知 的展开式中前三项的系数成等差数列， 则 2 x
n 的取值所构成
的集合为________．
[正解]
将 A∪B 分成出现“1、2、3”与“5”这两个事件，记出现“1、
2、3”为事件 C，出现“5”为事件 D，则 C 与 D 两事件互斥，所以 P(A∪B) 3 1 2 ＝P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝6＋6＝3.
[防范措施]
在应用公式 PA∪B＝PA＋PB求解概
率问题时，一定要注意分析事件是否互斥，若事件不互斥， 可以转化为互斥事件，再用公式.
[解]
(1)设 ξ1、ξ2 分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数，P 表示对
应的概率，则 方案甲中 ξ1 的分布列为 ξ
1
1
2
3 4 3 1 × × 5 4 3 1 ＝ 5
4
1 P 5
4 1 1 × ＝ 5 4 5
4 3 2 2 × × ＝ 5 4 3 5
方案乙中 ξ2 的分布列为 ξ2 1 2 C2 1 C3 3 4 4 P 0 3× ＋ 3＝ C5 3 C5 5 3 C2 2 2 4 × ＝ C3 3 5 5
3r－6＝6，
2 则 r＝4，∴x6 的系数为 C4 2 6 ＝60.
随机变量的意义理解不清致误 已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病， 需要通过化验血液来确定患病的 动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两 种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止． 方案乙：先任取 3 只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表 明患病动物为这 3 只中的 1 只， 然后再逐个化验， 直到能确定患病动物为止； 若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验． (1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； (2)ξ 表示依方案乙所需化验次数，求 ξ 的期望．
解析
)
9 B.64
0<x<1 由题意知 0<y<1
9π C.16
9 D.16
，不等式组表示的区域为一个边长为 1 的正方形，面积 S1
2 2 2 2
3 2 2 32 ＝1.根据勾股定理可得斜边长为 x ＋y ，根据题意可得 x ＋y < ，x ＋y < 4 ，即点(x， 4
4．概率与统计
必记公式] 0≤P(A)≤1 1．随机事件的概率范围：________________ ；
[
必然事件的概率为 1； 不可能事件的概率为 0. 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A ∪ B) ＝