谭继锦有限元法3.1概述资料

Nm
1 2A
(am
bm x cm y)
Ni表示单元内部位移的分布形态，故 Ni,Nj,Nm称为单元的形状函数，简称形函数
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第3章 连续体问题的有限元法
单元内任一点的插值公式为：
u Niui N ju j Nmum v Nivi N jv j Nmvm
(i,j,m) (3-8)
将上式写成矩阵形式为：
有限元法则将原来连续的弹性体划分成有限个单元集 合体且彼此只在有限个点连接，因此这个集合体只有有限 个自由度。
目前广泛应用的有限元法是取节点位移作为基本未知 量，因此实际上是有限元位移法。单元中任一点的位移可 通过节点的位移进行插值计算。
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第3章 连续体问题的有限元法
通过节点位移表示单元中的应变、应力和节点力，将各 个单元整体组集，问题归结为求解以节点位移为未知量 的线性代数方程组。整个有限元分析的关键步骤是离散 化，单元分析和整体组集。
ui
vi
f
u v
Ni 0
0 Ni
Nj 0 0 Nj
Nm 0
0
N
m
u
j
[N ][
]e
vj
um
vm
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第3章 连续体问题的有限元法
第三节 单元应变和应力
平面问题几何方程为：
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第3章 连续体问题的有限元法
令
ai x j ym y j xm bi y j ym ci xm x j 则位移表达式为：
(i, j,m按顺序替换)
记作Ni
（3 - 6）
1 u 2A [(ai bi x ci y)ui (a j bj x c j y)u j (am bmx cm y)um ] (3-4)
第3章 连续体问题的有限元法
第三章 连续体问题的有限元法
本次课主要讲解平面问题有限元法的概念。 单元位移模式、单元应变应力、单元刚度 矩阵、单元节点载荷、总刚度矩阵、边界 约束条件、解题步骤、计算结果处理等内 容。
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第3章 连续体问题的有限元法
第一节 概述
从几何角度看，结构可以分 为以下三类：杆梁结构、板壳结 构、实体结构。杆梁结构自身存 在自然连接关系，即在共同连接 处，有公共节点，杆梁结构的离 散可以按其结构形式自然离散。
1
1 2 A [ui (x j
ym
y j xm )
u j (xi
ym
xm yi )
um (xi
yj
xj
yi )]
2
1 2A [ ymu j
y jum
( y jui
uj
yi )
(ui
ym
yium )]
3
1 2A
[
x
j
um
xmu j
( xium
xmui
)
(xiu j
x jui
)]
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第3章 连续体问题的有限元法
第3章 连续体问题的有限元法
第二节 平面三角形常应变单元位移模式
一任意三角形单元如图3-3所 示。其各顶点为节点，每个节点
在平面内沿X轴和Y轴的位移为u、
v，单元共3个节点,6个位移分量， 单元内任一点的位移u(x,y),v(x,y)
可假设为坐标x、y的某种系数，
即选用适当的位移函数也称为位 移模式。
ui uj
1 xm ym 3 um
8
第3章 连续体问题的有限元法
1
1 2A
ui uj
xi xj
yi yj
um xm ym
1
2
1 2A
1
1
ui yi uj yj um ym
1
3
1 2A
1
1
xi ui xj uj xm um
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第3章 连续体问题的有限元法
上式中A是三角形单元i,j,m的面积，为保证单元面积为 正，要求逆时针编号。
将之代入式（3-1）得
ui=α1+α2xi+α3yi uj=α1+α2xj+α3yj um=α1+α2xm+α3ym
vi=a4+a5xi+a6yi vj=a4+a5xj+a6yj vm=a4+a5xm+a6ym
联立求解上述6个方程，可以求出a1,a2……a6
1 1
xi xj
yi yj
1 2
平面问题中最简单的就是采用三角形单元对弹性体 进行分析，单元中任一点的的位移可用3个节点的位移进 行插值运算，整个区域采用有限个节点表示，从而避免 求解整个区域位移函数的困难。
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第3章 连续体问题的有限元法
图3-1 平面问题中的三角形三节点单元和四边形四节点单元
图3-3 任意三角形单元
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第3章 连续体问题的有限元法
有限元法的收敛准则
影响有限元解的误差：1）离散误差 2）位移函数误差 收敛准则：
1）位移函数必须包括常量应变（即线性项）； 2）位移函数必须包括单元的刚性位移（即常量项）； 3）位移函数在单元内部必须连续（连续性条件）； 4）位移函数应使得相邻单元间的位移协调（协调性条件）；
注：满足四个条件的位移函数构成的单元称为协调元；满 足前三个条件的单元称为非协调元；满足前两个条件的 单元称为完备元。
由（3-1）所示的形函数，单元内任一点（x,y）的位移为：
u 1 2x 3 y v 4 5x 6 y
u
1 2A
பைடு நூலகம்{[( x j
ym
y
j
xm
)
xy
j
xym
yxm
yx
j
]ui
[(xi ym xm yj ) xym xyi yxm yxi ]u j
[(xi yj xj yi ) xyj xyi yxj yxi ]um}
v
1 2A
[(ai
bi x
ci
y)vi
(a j
bj x
cj
y)v j
(am
bm x
cm
y)vm ]
(3-5)
注意：（1）观察系数是变量还是常数；（2）观 察一下是否能求出单元内任一点的位移。
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第3章 连续体问题的有限元法
如令Ni
1 2 A (ai
bi x ci y)
Nj
1 2A
(a
j
bj x c j y)
一种简单的线性位移函数为：
u v
1 4
2 5
x x
3 6
y y
图3-3三角形单元 （3-1）
1,2 ,....,6 是6个待定常数，可由单元的节点位移确定
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第3章 连续体问题的有限元法
节点的坐标为（xi,yi）、（xj,yj）、（xm,ym） 其节点位移为（ui,vi）、（uj,vj）、（um,vm）
连续体由于内部没有自然的 连接关系，需要通过人工的方法 在连续体内部和边界上划分节点 离散，以分片连续形式来逼近原 来复杂的几何形状。
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2
重汽车桥
第3章 连续体问题的有限元法
理论力学：物体或机械运动的基本规律。 材料、弹性、板壳力学则研究强度、刚度、稳定性问题。
弹性力学经典方法解决实际问题的主要困难在于求解 偏微分方程的复杂性。