高考数学专题练习-函数奇偶性

高考数学专题练习-函数奇偶性

【考纲解读】

内 容

要

求

备注

A B C

函数概念与基

本初等函数Ⅰ

函数的基本性质

√

1．了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定

义判断一些简单函数的奇偶性．

2．掌握奇函数与偶函数的图像对称关系，并能熟练地

利用对称性解决函数的综合问题．

【直击考点】

题组一 常识题

1．[教材改编] 函数f (x )＝x 2－1，f (x )＝x 3，f (x )＝x 2

＋cos x ，f (x )＝1x

＋|x |中偶函数的个

数是________． 【答案】2

【解析】f (x )＝x 2

－1和f (x )＝x 2

＋cos x 为偶函数．

2．[教材改编] 已知f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x －1，则f (－2)＝________． 【答案】1－ 2

【解析】f (－2)＝－f (2)＝－(2－1)＝1－ 2.

3．[教材改编] 已知函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，当x ∈(0，1]时，f (x )＝log 4(x 2

＋3)，则

f (2017)＝________．

【答案】1

题组二 常错题

4．函数f (x )＝lg （1－x 2

）

|x ＋3|－3是________(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)函数．

【答案】奇

【解析】由⎩

⎪⎨⎪⎧1－x 2

＞0，

|x ＋3|－3≠0，得－1＜x ＜1，且x ≠0，∴函数f (x )的定义域为(－1，0)∪(0，

1)．

∵f (x )＝lg （1－x 2

）|x ＋3|－3＝lg （1－x 2

）x ，∴f (－x )＝lg （1－x 2

）

－x

＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．

5．具有性质：f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数：

①f (x )＝x －1

x ；②f (x )＝x ＋1

x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0

0，x ＝1，－1

x

，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是

________．(填序号) 【答案】①③

6．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2014)＝________． 【答案】2

【解析】∵f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，∴f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，

∴f 2014＝f (671×3＋1)＝f (1)＝2. 题组三 常考题

7． 下列函数为奇函数的是________．(填序号) ①y ＝1x

2，②y ＝tan 2x ，③y ＝x ＋cos x ，④y ＝e x ＋e －x

.

【答案】②

【解析】y ＝1x

2和y ＝e x ＋e －x

是偶函数，y ＝x ＋cos x 是非奇非偶函数，只有y ＝tan 2x 是奇函

数．

8．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 2

＋1，则f (1)＋

g (1)＝________．

【答案】2

【解析】令x ＝－1得，f (－1)－g (－1)＝(－1)2

＋1＝2.因为f (x )，g (x )分别是偶函数和奇

函数，所以f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，即f(1)＋g(1)＝2.

9．函数f(x)＝2x＋a

a·2x＋b

是R上的奇函数，则a·b＝________．

【答案】1

【知识清单】

1 函数奇偶性的判断

奇偶性定义图像特点

偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)

＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数

关于y轴对称

奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)

＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数

关于原点对称

2 函数奇偶性的应用

(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．

利用奇偶性关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式．

(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．

常常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．

(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

（4）抽象函数的奇偶性就是要判断－x对应的函数值与x对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或y轴对称，结合函数的图形作出进一步的判断．

【考点深度剖析】

函数的奇偶性在高考中占有重要的地位，在命题时主要是与函数的概念、图像、性质综合在一起考查．而近几年的高考中加大了对非三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性、周期性的考查力度．

【重点难点突破】

考点1 函数奇偶性的判断

【1-1】判断函数f(x)＝1－x2＋x2－1的奇偶性；