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必修四 总复习
第一部分 角的概念与表示
1、任意角的概念 2、弧度制 3、扇形的相关计算
1、角的概念
（1）角的概念的推广 y 的终边
(,)
正角
o
负角
零角 x
的终边 （2）在坐标系中讨论角 轴线角与象限角
（3）终边相同的角 若a与β 终边相同，则β =α+2kπ,k∈Z
（4）终边在同一直线上的角
22 求得a 1或a 4
第二部分 三角函数的公式
1、三角函数的定义 2、同角三角函数关系式 3、诱导公式 4、和差倍角公式
1、三角函数的定义
1、任意角的三角函数定义 r x2 y 2
sin a y cos a x tan a y
r
r
x
2、任意角的三角函数在各个象限的符号
sina
y
++
D
例：早练1第1题 根据角的范围判断符号的正负
1、已知
cos
12
,a
(3π，2π), 则cos(
π )
(Biblioteka Baidu
13
2
4
D
)
A、5 2 13
B、7 2 13
C、17 2 26
D、7 2 26
解：∵sin 2 cos2 1,而cos 12 | sin | 5 ,
13
13
又∵ (3 ,2 ),sin 0故sin 5
奇偶性
奇函数
质
单调性
[2k
2
,
2k
2
],
k
Z,Z
[2k , 2k 3 ], k z,]
2
2
[-1，1]
T=2
偶函数
[2k , 2k ], k Z,Z
[2k , 2k ], k Z,]
2、正切函数的图象与性质
y=tanx
y 图
象 3
2
2
o
2
3
2
x
定义域
值域
周期性 奇偶性 单调性
{x | x k , k N}
2 R
T
奇函数
(k , k )(k Z)
2
2
例：复习卷第3题 例：复习卷第4题
A D
题型一：已知解析式 求单调区间、值域、周期、求值
例：复习卷大题第二题
答案：
题型二：解析式含参
例：复习卷大题第二题
正弦：
正余 余正 符号同
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
余弦：
余余 正正 符号反
tan( ) tan tan
1 tan tan
tan( ) tan tan
1 tan tan
分式结构 上同下反
（4）二倍角的正余弦公式
若a与β 终边在同一直线，则β =α+kπ,k∈Z
例：
终边与0°角相同的角的集合：{ | 2k , k Z}
终边在x轴上的角的集合：{ | k , k Z}
终边在y轴上的角的集合：{ | k , k Z}
2
如图，终边在阴影部分的角的集合为：
45° { | 2k 2k , k Z}
4
若sinx与cosx前面的系数是1：1，提取 2
例：sin x
3 cos x 2(1 sinx 3 cos x)
2
2
（2 sinxcos cosx sin )
3
3
2sin(x )
3
若sinx与cosx前面的系数是1：3 ，提取2
题型：化简与求值 例：复习卷第1题
D
1 2
例：复习卷第2题
30°
6
4
2、弧度制
弧度与角度的换算
180°= π rad
0O 30O 45O 60O 90O 120O 135O 150O 180O 270O 360O
弧 度0 sin 0
cos 1
tan 0
64 12 22 32 22
31
3
3
2
2 3 5
3 46
3 2
2
3 2
3
12
21 22
0
-1 0
1 2
0
1 2 3 22 2
-1
0
1
3
不 存 在
3 -1
3 3
0
不
存0
在
3、扇形的公式
l
r
弧长公式：l r
a
扇形面积公式：S
1 2
lr
1 2
r2
例：扇形的周长为6cm,面积为2cm²，求该 扇形圆心角所对的弧度数。
解：设该扇形的圆心角的弧度数为，半径为r, 弧长为l，则
周长：l 2r ar 2r 6 面积：S 1 lr 1 ar 2 2
sin2 2sin cos
cos2 cos2 sin 2
2cos2 1
1 2sin2
二倍角公式常用于降次化简
tan2 2 tan
1 tan 2
（5）辅助角公式
例：sin x cosx 2( 2 sinx 2 cos x)
2
（2 sinxcos
2
cosx sin
)
4
4
2 sin(x )
cos a
y
–+
tan a
y
–
+
o
x
––
o
x
–+
o +
–x
例：
1、如果角a的终边经过点P0(-3,-4)，
求sin a, cos a, tan a
解：r (3)2 (4)2 5
sin a y 4 r5
cos a x 3 r5
tan a y 4 4 x 3 3
答案：D
2、三角函数的公式
13
4
1 2 1 18
54
第三部分 三角函数的图像与性质
大题题型： 1、已知解析式 2、解析式含参数 3、作图与图像变换
1、正弦、余弦函数的图象与性质
y=sinx
y=cosx
y
y
图
1
1
象
2
o
-1
2
3
2
2 x
o 3 2 x
2 -1 2
2
定义域
R
R
值域 性 周期性
[-1，1]
T=2
2
13
cos(
)
cos
cos
sin
sin
4
4
4
12 2 ( 5 ) 2 17 2 13 2 13 2 26
例：周练1第4题
注：要求的角用已知的角表示 B
解：∵
π
（
）（
）
4 tan(
4
π )
tan
(a
)
(
4
π )
4
tan( ) tan( )
1
tan(
)
tan(
4
)
21 54
（1）同角三角函数关系式
sin 2 cos2 1
（2）诱导公式
sin tan cos
诱导公式三
sin() sin ， cos() cos ， tan() tan 。
诱导公式四
诱导公式二
sin( ) sin ， sin( ) sin ，
cos( ) cos ， cos( ) cos ，
tan( ) tan 。 tan( ) tan 。
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
sin( pπ - a ) = cos a 2
cos( pπ - a ) = sin a 2
（3）两角和差的正余弦公式
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
第一部分 角的概念与表示
1、任意角的概念 2、弧度制 3、扇形的相关计算
1、角的概念
（1）角的概念的推广 y 的终边
(,)
正角
o
负角
零角 x
的终边 （2）在坐标系中讨论角 轴线角与象限角
（3）终边相同的角 若a与β 终边相同，则β =α+2kπ,k∈Z
（4）终边在同一直线上的角
22 求得a 1或a 4
第二部分 三角函数的公式
1、三角函数的定义 2、同角三角函数关系式 3、诱导公式 4、和差倍角公式
1、三角函数的定义
1、任意角的三角函数定义 r x2 y 2
sin a y cos a x tan a y
r
r
x
2、任意角的三角函数在各个象限的符号
sina
y
++
D
例：早练1第1题 根据角的范围判断符号的正负
1、已知
cos
12
,a
(3π，2π), 则cos(
π )
(Biblioteka Baidu
13
2
4
D
)
A、5 2 13
B、7 2 13
C、17 2 26
D、7 2 26
解：∵sin 2 cos2 1,而cos 12 | sin | 5 ,
13
13
又∵ (3 ,2 ),sin 0故sin 5
奇偶性
奇函数
质
单调性
[2k
2
,
2k
2
],
k
Z,Z
[2k , 2k 3 ], k z,]
2
2
[-1，1]
T=2
偶函数
[2k , 2k ], k Z,Z
[2k , 2k ], k Z,]
2、正切函数的图象与性质
y=tanx
y 图
象 3
2
2
o
2
3
2
x
定义域
值域
周期性 奇偶性 单调性
{x | x k , k N}
2 R
T
奇函数
(k , k )(k Z)
2
2
例：复习卷第3题 例：复习卷第4题
A D
题型一：已知解析式 求单调区间、值域、周期、求值
例：复习卷大题第二题
答案：
题型二：解析式含参
例：复习卷大题第二题
正弦：
正余 余正 符号同
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
余弦：
余余 正正 符号反
tan( ) tan tan
1 tan tan
tan( ) tan tan
1 tan tan
分式结构 上同下反
（4）二倍角的正余弦公式
若a与β 终边在同一直线，则β =α+kπ,k∈Z
例：
终边与0°角相同的角的集合：{ | 2k , k Z}
终边在x轴上的角的集合：{ | k , k Z}
终边在y轴上的角的集合：{ | k , k Z}
2
如图，终边在阴影部分的角的集合为：
45° { | 2k 2k , k Z}
4
若sinx与cosx前面的系数是1：1，提取 2
例：sin x
3 cos x 2(1 sinx 3 cos x)
2
2
（2 sinxcos cosx sin )
3
3
2sin(x )
3
若sinx与cosx前面的系数是1：3 ，提取2
题型：化简与求值 例：复习卷第1题
D
1 2
例：复习卷第2题
30°
6
4
2、弧度制
弧度与角度的换算
180°= π rad
0O 30O 45O 60O 90O 120O 135O 150O 180O 270O 360O
弧 度0 sin 0
cos 1
tan 0
64 12 22 32 22
31
3
3
2
2 3 5
3 46
3 2
2
3 2
3
12
21 22
0
-1 0
1 2
0
1 2 3 22 2
-1
0
1
3
不 存 在
3 -1
3 3
0
不
存0
在
3、扇形的公式
l
r
弧长公式：l r
a
扇形面积公式：S
1 2
lr
1 2
r2
例：扇形的周长为6cm,面积为2cm²，求该 扇形圆心角所对的弧度数。
解：设该扇形的圆心角的弧度数为，半径为r, 弧长为l，则
周长：l 2r ar 2r 6 面积：S 1 lr 1 ar 2 2
sin2 2sin cos
cos2 cos2 sin 2
2cos2 1
1 2sin2
二倍角公式常用于降次化简
tan2 2 tan
1 tan 2
（5）辅助角公式
例：sin x cosx 2( 2 sinx 2 cos x)
2
（2 sinxcos
2
cosx sin
)
4
4
2 sin(x )
cos a
y
–+
tan a
y
–
+
o
x
––
o
x
–+
o +
–x
例：
1、如果角a的终边经过点P0(-3,-4)，
求sin a, cos a, tan a
解：r (3)2 (4)2 5
sin a y 4 r5
cos a x 3 r5
tan a y 4 4 x 3 3
答案：D
2、三角函数的公式
13
4
1 2 1 18
54
第三部分 三角函数的图像与性质
大题题型： 1、已知解析式 2、解析式含参数 3、作图与图像变换
1、正弦、余弦函数的图象与性质
y=sinx
y=cosx
y
y
图
1
1
象
2
o
-1
2
3
2
2 x
o 3 2 x
2 -1 2
2
定义域
R
R
值域 性 周期性
[-1，1]
T=2
2
13
cos(
)
cos
cos
sin
sin
4
4
4
12 2 ( 5 ) 2 17 2 13 2 13 2 26
例：周练1第4题
注：要求的角用已知的角表示 B
解：∵
π
（
）（
）
4 tan(
4
π )
tan
(a
)
(
4
π )
4
tan( ) tan( )
1
tan(
)
tan(
4
)
21 54
（1）同角三角函数关系式
sin 2 cos2 1
（2）诱导公式
sin tan cos
诱导公式三
sin() sin ， cos() cos ， tan() tan 。
诱导公式四
诱导公式二
sin( ) sin ， sin( ) sin ，
cos( ) cos ， cos( ) cos ，
tan( ) tan 。 tan( ) tan 。
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
sin( pπ - a ) = cos a 2
cos( pπ - a ) = sin a 2
（3）两角和差的正余弦公式
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin