三角函数数学建模
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从图中可见h＝AEsinθ，又AE＝AG＋GF＋FE，其中AG＝0.48，GF ＝CDcosθ＝0.28cosθ，FE＝FCctgθ＝0.48ctgθ．因此
h＝AEsinθ＝(0.48＋0.28cosθ＋0.48ctgθ)sinθ ＝0.48(sinθ＋cosθ)＋0.28cosθsinθ
10
例4
则：
3
t1
MN 1
R 4 1
3R
44
t2
R
因为 t1 < t 2 ，所以鼠可以逃脱猫的追捕。
B
r
O M
R
N
A
11
例4
新方案：其实，此题中运用了高中物理圆周运动的知识，只要鼠在 半径小于R/4的圆内转动，它的角速度就比猫大。鼠从A点沿半径出 发后，在进入R/4的圆内后就可开始转动，相同时间转过的角度就 比猫大，总会到达离猫最远的地方（即比猫多转1800）。此后鼠在 转动的同时，再逐渐扩大半径到R/4的圆周上，并保持与猫最远， 此后再沿半径方向运动到岸边，猫一定追不上这只鼠的。
（4） yAsin(x)的图象、周期、最值及增减性区间。
（5）两角和与差的三角函数： sin() sincos cossin cos() coscos msinsin cos2 2cos2112sin2 sin2 2sincos
2
建模知识应用提示
凡与周期性振动有关或类似的问题，如电流、水波、声波、 爆炸物爆炸后引起的振动等等，适宜建立三角函数模型。量的大 小呈现周期性变化的问题，也可考虑建立三角函数模型。
数学建模—三角函数
2009.1.9
1
基础知识及应用
（1）在 RtABC中，若 C 90，则acsinA ,bcco sA
（2） 在ABC 中
a b c 2R
sina sinB sinC
a 2 b 2 c2 2 b cc o sA
S
1 bcsin 2
A
（3）任意角三角函数的基本关系式：
tanc so in s ,sin2cos21
一只老鼠为了躲避猫的追捕，跳入了半径为Ｒ的圆形湖中．猫不会游泳，只能沿湖岸追击， 并且总是试图使自己离老鼠最近(即猫总是试图使自己在老鼠离岸最近的点上)。设猫在陆 地上的最大速度是老鼠在湖中游泳的速度的４倍。问老鼠能否摆脱猫的追击?(如果老鼠上 岸时猫不在老鼠上岸的位置，则认为老鼠摆脱了猫的追击．)
如图，设鼠从A点跳入水中，开始一直往圆心O点游去，这时猫只能在A点处不动。
鼠运动过O点后，猫开始沿图中大圆运动。以O为圆心再作一小圆，半径r是大圆
半径R的1/4，此时鼠在小圆内始终向着猫和圆心连线的方向远离猫运动，因鼠的
速度是猫的速度的1/4，鼠在小圆内沿曲线总能到达小圆周上的一点M，此时猫在
大圆周上的B点。此后鼠沿MN直线运动到N点需时间t1，猫从B点到N点需时间t2。
AR
QB
所以 ∠PRO=30°
故当n最小为300时，汽车能驶达风景点．
5
例2
如图所示，有一条河MN，河岸的一侧有一很高建筑物AB．一人位于河 岸另一侧P处，手中有一个测角器(可以测仰角)和一个可以测量长度 的皮尺(测量长度不超过5米)。
请你设计一种测量方案(不允许过河)，并给出计算建筑物的高度AB及距 离PA的公式．希望在你的方案中被测量数据的个数尽量少．
解：设风景点的位置为点P，坡面与地面交于直线AB，两条路所在直线分别
与AB交于R、Q，P在地面上的射影为O，连结PO、OQ、OR，则
AB⊥OQ，∠PQO=45°，
∠RPQ=45°．
在Rt△POQ中，PQ=OP． 在Rt△PQR中，
α P
RQ = PQ =OP，
β
PR=PQ=2OP．
O
所以，在△PRO中，sin∠PRO=．
12
再见！
13
例3
14
6
例2
常见有两种测量方案。 方案1： P位于开阔地域，则测量方案如下图所示，被测量的数据
为PC(测角器的高)和PQ(Q为在PA水平直线上选取的另一测量点)的长度， 仰角α和β。
设AB为x，PA为y，则计算公式为
7
例2
方案2：若P处也是一可攀登建筑物(如楼房)，则可在同一垂线上选两个 测量点(见图3—113)，被测数据为PC和CD的长度，仰角α和β．
一些与角有关的问题如视角、பைடு நூலகம்位角，以及与旋转有关的问 题也可以建立三角函数模型。
对于周期性变化的问题，一定要认真、准确、真实地搜集数 据，要从不同渠道、不同角度去取得数据。
3
牛刀小试
如图，甲船从点A处出发沿正北方向以每小时30海里的速度航行， 点B在A的正北方向100海里处，乙船从点B出发，沿南偏东60°的方
向以每小时40海里的速度行驶，两船同时出发，经过_________小
时后，两船处于东西方向线上．
北
B
C
D
A
4
例1
在45°的山坡上有一风景点，该风景点到达山脚有两条路，一条是笔直到达山 脚的小路，另一条是与这小路成45°夹角的直线公路．若某辆汽车的最大爬坡 度数为n，问n为何值时该汽车才能安全到达该风景点？
设AB＝x，PA＝y，则计算公式为
说明：无论哪个方案都至少要测4个数据．
8
例3
房间的门宽为0.9米， 墙厚为0.28米．今有一家具其水平截面如图， 问能否把此家具水平地移入房间内(说明理由)．
9
解法一 如图，墙厚CD＝0.28米，家具的一边AB
例3
只要h不超过门宽0.9米，则家具可水平地搬入屋内．
h＝AEsinθ＝(0.48＋0.28cosθ＋0.48ctgθ)sinθ ＝0.48(sinθ＋cosθ)＋0.28cosθsinθ
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例4
则：
3
t1
MN 1
R 4 1
3R
44
t2
R
因为 t1 < t 2 ，所以鼠可以逃脱猫的追捕。
B
r
O M
R
N
A
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例4
新方案：其实，此题中运用了高中物理圆周运动的知识，只要鼠在 半径小于R/4的圆内转动，它的角速度就比猫大。鼠从A点沿半径出 发后，在进入R/4的圆内后就可开始转动，相同时间转过的角度就 比猫大，总会到达离猫最远的地方（即比猫多转1800）。此后鼠在 转动的同时，再逐渐扩大半径到R/4的圆周上，并保持与猫最远， 此后再沿半径方向运动到岸边，猫一定追不上这只鼠的。
（4） yAsin(x)的图象、周期、最值及增减性区间。
（5）两角和与差的三角函数： sin() sincos cossin cos() coscos msinsin cos2 2cos2112sin2 sin2 2sincos
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建模知识应用提示
凡与周期性振动有关或类似的问题，如电流、水波、声波、 爆炸物爆炸后引起的振动等等，适宜建立三角函数模型。量的大 小呈现周期性变化的问题，也可考虑建立三角函数模型。
数学建模—三角函数
2009.1.9
1
基础知识及应用
（1）在 RtABC中，若 C 90，则acsinA ,bcco sA
（2） 在ABC 中
a b c 2R
sina sinB sinC
a 2 b 2 c2 2 b cc o sA
S
1 bcsin 2
A
（3）任意角三角函数的基本关系式：
tanc so in s ,sin2cos21
一只老鼠为了躲避猫的追捕，跳入了半径为Ｒ的圆形湖中．猫不会游泳，只能沿湖岸追击， 并且总是试图使自己离老鼠最近(即猫总是试图使自己在老鼠离岸最近的点上)。设猫在陆 地上的最大速度是老鼠在湖中游泳的速度的４倍。问老鼠能否摆脱猫的追击?(如果老鼠上 岸时猫不在老鼠上岸的位置，则认为老鼠摆脱了猫的追击．)
如图，设鼠从A点跳入水中，开始一直往圆心O点游去，这时猫只能在A点处不动。
鼠运动过O点后，猫开始沿图中大圆运动。以O为圆心再作一小圆，半径r是大圆
半径R的1/4，此时鼠在小圆内始终向着猫和圆心连线的方向远离猫运动，因鼠的
速度是猫的速度的1/4，鼠在小圆内沿曲线总能到达小圆周上的一点M，此时猫在
大圆周上的B点。此后鼠沿MN直线运动到N点需时间t1，猫从B点到N点需时间t2。
AR
QB
所以 ∠PRO=30°
故当n最小为300时，汽车能驶达风景点．
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例2
如图所示，有一条河MN，河岸的一侧有一很高建筑物AB．一人位于河 岸另一侧P处，手中有一个测角器(可以测仰角)和一个可以测量长度 的皮尺(测量长度不超过5米)。
请你设计一种测量方案(不允许过河)，并给出计算建筑物的高度AB及距 离PA的公式．希望在你的方案中被测量数据的个数尽量少．
解：设风景点的位置为点P，坡面与地面交于直线AB，两条路所在直线分别
与AB交于R、Q，P在地面上的射影为O，连结PO、OQ、OR，则
AB⊥OQ，∠PQO=45°，
∠RPQ=45°．
在Rt△POQ中，PQ=OP． 在Rt△PQR中，
α P
RQ = PQ =OP，
β
PR=PQ=2OP．
O
所以，在△PRO中，sin∠PRO=．
12
再见！
13
例3
14
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例2
常见有两种测量方案。 方案1： P位于开阔地域，则测量方案如下图所示，被测量的数据
为PC(测角器的高)和PQ(Q为在PA水平直线上选取的另一测量点)的长度， 仰角α和β。
设AB为x，PA为y，则计算公式为
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例2
方案2：若P处也是一可攀登建筑物(如楼房)，则可在同一垂线上选两个 测量点(见图3—113)，被测数据为PC和CD的长度，仰角α和β．
一些与角有关的问题如视角、பைடு நூலகம்位角，以及与旋转有关的问 题也可以建立三角函数模型。
对于周期性变化的问题，一定要认真、准确、真实地搜集数 据，要从不同渠道、不同角度去取得数据。
3
牛刀小试
如图，甲船从点A处出发沿正北方向以每小时30海里的速度航行， 点B在A的正北方向100海里处，乙船从点B出发，沿南偏东60°的方
向以每小时40海里的速度行驶，两船同时出发，经过_________小
时后，两船处于东西方向线上．
北
B
C
D
A
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例1
在45°的山坡上有一风景点，该风景点到达山脚有两条路，一条是笔直到达山 脚的小路，另一条是与这小路成45°夹角的直线公路．若某辆汽车的最大爬坡 度数为n，问n为何值时该汽车才能安全到达该风景点？
设AB＝x，PA＝y，则计算公式为
说明：无论哪个方案都至少要测4个数据．
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例3
房间的门宽为0.9米， 墙厚为0.28米．今有一家具其水平截面如图， 问能否把此家具水平地移入房间内(说明理由)．
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解法一 如图，墙厚CD＝0.28米，家具的一边AB
例3
只要h不超过门宽0.9米，则家具可水平地搬入屋内．