不等式的易错点以及典型例题

不等式的易错点以及典型例题

1.同向不等式能相减，相除吗？

2.不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式）

3.分式不等式()()

()0≠>a a x g x f 的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x 的系数变为正值，奇穿偶回）

4.解指数对数不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数

的真数大于零.）

5.含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论)

6.利用重要不等式ab b a 2≥+ 以及变式2

2⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≤b a ab 等求函数的最值时，你是否注意到a ，b +∈R （或a ，b 非负），且“等号成立”时的条件，积ab 或和a

＋b 其中之一应是定值？(一正二定三相等) 7.

) R b , (a , b a 2ab 2222+∈+≥≥+≥+ab b a b a (当且仅当c b a ==时，取等号）； a 、b 、c ∈R ，ca bc ab c b a ++≥++222（当且仅当c b a ==时，取等号）；

8.在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底1

0<a ）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是……．

9.解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是

关键．”

10.对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题）

11.在解决有关线性规划应用问题时，有以下几个步骤：先找约束条件，作出可

行域，明确目标函数，其中关键就是要搞清目标函数的几何意义，找可行域时要

注意把直线方程中的y 的系数变为正值。如：求2<5a-2b<4,-3<3a+b<3求a+b

的取值范围，但也可以不用线性规划。

11.不等式易错典型例题

（1）未等价转化致错

例题1：已知1324a b a b -<+<<-<且，则2a+3b 的取值范围是

A 1317(,)22-

B 711(,)22-

C 713(,)22-

D 913(,)22

- 错解：对条件“1324a b a b -<+<<-<且”不是等价转化，解出a,b 的范围，

再求2a+3b 的范围，扩大了范围。

正解：用待定系数法，解出2a+3b=52(a+b)12

-(a-b),求出结果为D 。或用线性规划法。

（2）含参函数未讨论致错

（3）是否取端点致错

（4）充分必要条件概念不清致错

例题4-1：设,,1x y R x y ∈+>则使成立的充分不必要条件是

A 1x y +≥

B 1122

x y >>或 C 1x ≥ D x<-1 错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清。

正确答案为D 。

（5）均值不等式应用不当致错：一正二定三相等

①忽视条件正数

②忽视条件定值

③忽视条件取等号

例7-1若实数m ，n ，x ，y 满足m 2+n 2=a ，x 2+y 2=b （a ≠b ），则mx+ny 的最大值为（ ）

A 、2b a +

B 、ab

C 、222b a +

D 、b

a a

b + 答案：B

点评：易误选A ，忽略运用基本不等式“=”成立的条件。

④多次使用忽视等号是否同时成立

例题8-1：实数m,n,x,y 满足m 2+n 2=a 2 , x 2+y 2=b , 则mx+ny 的最大值是 。

A 、2b a +

B 、ab

C 、2

2

2b a + D 、22b a + 答案：B

错解：A

错因：忽视基本不等式使用的条件，而用2

222222b a y n x m ny mx +=+++≤+得出错解。

正解：三角函数换元法

设m=a .cosA, n=a sinA; x=b .cosB, y=b sinB

则mx+ny=（a .cosA ）（b .cosB ）+（a .cosB ）（b sinB ）=ab .[sin(A-B ）]

因此mx+ny 的最大值是ab .

⑤用均值不等式时忽略实际情况

例题9：数列{a n }的通项式90

2+=n n a n ，则数列{a n }中的最大项是（ ） A 、第9项 B 、第8项和第9项

C 、第10项

D 、第9项和第10项

答案：D

点评：易误选A ，运用基本不等式，求n

n a n 901+=，忽略定义域N*。 （6）综合应用中考虑不全致错

例题10：如果2log 3log 2121ππ≥-

x 那么x sin 的取值范围是（ ）

A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21

B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21

C 、⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,2121,21

D 、⎥⎦

⎤ ⎝⎛⋃⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,2323,21

正确答案：B

错因：利用真数大于零得x 不等于60度，从而正弦值就不等于

23，于是就选了D.其实x 等于120度时可取得该值。故选B 。

（7）不会应用几何意义致错

例题11：x 为实数，不等式|x －3|－|x －1|>m 恒成立，则m 的取值范围是（ ）

A.m>2

B.m<2

C.m>－2

D.m<－2

正确答案：D 。

错误原因：容易忽视绝对值的几何意义，用常规解法又容易出错。

（8）数形结合应用不当致错

例题12：f(x)=︱2x —1｜，当a ＜b ＜c 时有f(a)＞f(c)＞f(b)则（ ）

A a ＜0,b ＜0,c ＜0

B a ＜0,b ＞0,c ＞0

C 2a -＜2c D

22+a c ＜2

正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法解题。

（9）换元后的取值范围不对致错

例13：已知1sin sin 3

x y +=，求2sin cos x y -的最大值和最小值。 错解一：22111sin cos (sin )612

x y x -=+-， 当1sin 6x =-时，取得最小值1112

-；当sin 1x =时，取得最大值1； 错解二：22111sin cos (cos )212

x y x -=--， 当1cos 2x =时，取得最小值1112-；当cos 1x =-时，取得最大值43

； 正解分析：解法二忽略了范围限制，