线性规划问题的几何意义

• 图中0，Q1,2,3,4都是顶点。
2.2 几个定理
• 定理1 域 若线性规划问题存在可行域，则其可行
D X
n
P x
j j 1
j
b ,
x j 0
• 是凸集
证：为了证明满足线性规划问题的约束条件
P x
j j 1
n
j
b, x j 0, j 1,2,, n
由此可见 X∈D，D 是凸集。
证毕。
引理 1 线性规划问题的可行解X=(x1,x2,…，xn)T为
基可行解的充要条件是X的正分量所对应的系数列向 量是线性独立的。
证 : (1) 必要性由基可行解的定义可知。 (2) 充分性若向量 P1，P2，„，Pk 线性独立， 则必有 k≤m；当 k=m 时，它们恰构成一个基，从而 X=(x1,x2,„,xk,0„0)为相应的基可行解。当 k＜m 时， 则一定可以从其余的列向量中取出 m-k 个与
• 根据引理 1 ，若 X 不是基可行解，则其正分量 所对应的系数列向量 P1，P2，… ，Pm线性相关， 即存在一组不全为零的数α i,i=1,2,…,m使得
• α 1P1+α 2P2+…+α mPm=0 (1-9)
• 用一个μ ＞0的数乘(1-9)式再分别与(1-8)式 相加和相减，。
这样得到 (x1-μ α 1)P1+(x2-μ α 2)P2+…+(xm-μ α m)Pm=b (x1+μ α 1)P1+(x2+μ α 2)P2+…+(xm+μ α m)Pm=b 现取 X(1)=［(x1-μ α 1),(x2-μ α 2),…,(xm-μ α m),0,…，0］ X(2)=［(x1+μ α 1),(x2+μ α 2),…,(xm+μ α m),0,…，0］ 由X(1),X(2)可以得到X=（1/2）X(1)+（1/2）X(2)， 即X是X(1)，X(2)连线的中点
ˆ X
ˆ 1 ， X ˆ 2 ，„，X ˆ k X

i 1
k
ˆ i , 0, i X i

i 1
k
i
1
于是
ˆ C CX

i 1
k
ˆ i i X

i 1
k
ˆ i i CX
设：
i ˆ CX m, i 1,2,, k
于是：

j 1
m
1 Pj x j b 与

j 1
m
2 Pj x j b
将这两式相减，即得

m j 1
2 0 1 Pj x x j j

• 因 X(1)≠X(2) ，所以上式系数不全为零， 故向量组 P1,P2,… ， Pm 线性相关，与假设 矛盾。即X不是基可行解。

j 1
n
Pj x j

n j 1 n
Pj x j1 1 x j2 Pj x j1


j 1 n


j 1

j 1
n
Pj x j2
Pj x j2
b b b b
1 2 x 又因 j , x j 0, 0,1 0 ，所以 xj≥0，j=1,2,„,n。
P1，P2，„，Pk 构成最大的线性独立向量组，其对应的解恰为 X， 所以根据定义它是基可行解。
定理2 线性规划问题的基可行解X对应于可行 D的顶点。 证：不失一般性，假设基可行解X的前m个分量为 正。故
P
j 1
m
j
xj b
（1-8）
现在分两步来讨论，分别用反证法。
(1) 若X不是基可行解， 则它一定不是可行域D的顶点
• 实心圆，实心球体，实心立方体等都是凸集， 圆环不是凸集。从直观上讲，凸集没有凹入 部分，其内部没有空洞。图1-7中的(a)(b)是凸 集，(c)不是凸集。 • 图1-2中的阴影部分 是凸集。
• 任何两个凸集的交集是凸集，见图1-7(d)
2. 凸组合
• 设 X(1) ， X(2) ， … ， X(k) 是 n 维欧氏空间 E 中的 k 个点。 若存在μ1，μ2，…，μk，且0≤μi≤1, i=1,2,…，k;
• 由此得到 X(0)≤CX(m) • 根 据 假 设 CX(0) 是 最 大 值 ， 所 以 只 能 有 CX(0)=CX(m) • 即目标函数在顶点X(m)处也达到最大值。 有时目标函数可能在多个顶点处达到最大; 这时在这些顶点的凸组合上也达到最大值。 称这种线性规划问题有无限多个最优解。
假设 是目标函数达到最大值的顶点，若是这些 顶点的凸组合，即
k
i i X

i 1
k
i i CX
（1- 10）
在所有的顶点中必然能找到某一个顶点X(m)，使CX(m)是所 有CX(i)中最大者。并且将X(m)代替(1-10)式中的所有X(i)， 这就得到

i 1
k
i CX i

i 1
k
i CX m CX m
1 1 P x b , x j j j 0, j 1,2,, n
j 1 n n
2 2 P x b , x j j j 0, j 1,2,, n
j 1
T (1) (2)
令 X=(x1，x2，„，xn) 为 x ,x 连线上的任意一点，即 (1) (2) X= α X +(1-α )X (0≤α ≤1) 1 2 x x j (1 ) x j X 的每一个分量是 j ，将它代入约束条件， 得到
ˆ CX

i 1
k
i m m
另外，若可行域为无界，则可能无最优解，也可能有 最优解，若有也必定在某顶点上得到。根据以上讨论， 可以得到以下结论：
线性规划问题的所有可行解构成的集合是凸集，也可 能为无界域，它们有有限个顶点，线性规划问题的 每个基可行解对应可行域的一个顶点； 若线性规划问题有最优解，必在某顶点上得到。虽然 顶点数目是有限的 (它不大于个)，若采用“枚举法” 找所有基可行解，然后一一比较，最终可能找到最 优解。但当n,m的数较大时，这种办法是行不通的， 所以要继续讨论，如何有效地找到最优解，有多种 方法， 这里仅介绍单纯形法。
另一方面，当μ 充分小时，可保证 • xi±μ α i≥0，i=1,2,…,m • 即X(1)，X(2)是可行解。 • 这证明了X 不是可行域 D 的顶点。
(2) 若X不是可行域D的顶点，则它一 定不是基可行解
因为X不是可行域 D 的顶点，故在可行域D 中可找到不同的两点 • X(1)=(x1(1),x2(1),…,xn(1))T • X(2)=(x1(2),x2(2),…,xn(2))T • 使 X=α X(1)+(1-α ) X(2) ， 0＜α ＜1 • 设X是基可行解，对应向量组P1…Pm线性独 立。当j＞m时，有 xj=xj(1)=xj(2)=0，由于 X(1)，X(2)是可行域的两点。应满足
令 μ 1=α λ ,μ 2=(1-λ ),μ 3=λ (1-α )
• 这就得到 • X=μ 1X(1)+μ 2X(2)+μ 3X(3) • ∑iμ i=1,0＜μ i＜1
定理 3 若可行域有界，线性规划问题的目标函
数一定可以在其可行域的顶点上达到最优。 证 设 X(1),X(2) ， … ， X(k) 是可行域的顶点，若 X(0) 不是顶点，且目标函数在 X(0) 处达到最优 z*=CX(0)(标准型是z=max z)。 因X(0)不是顶点，所以它可以用 D 的顶点线性表 示为
• X′=α X(1)+(1-α )X(3) 0＜α ＜1 • 又因X是X′与X(2)连线上的一个点，故 • X=λ X′+(1-λ )X(2) 0＜λ ＜1 • 将X′的表达式代入上式得到 • X=λ ［α X(1)+(1-α )X(3)］+(1-λ )X(2) • =λ α X(1)+λ (1-α )X(3)+(1-λ )X(2)
运筹学
（第二版）
刁在筠等 编
第1章 线性规划 与单纯形 法
第2 节 线性规划问 题的几何意 义
wk.baidu.com
高等教育出版社
第1章 线性规划与单纯形法
第2节线性规划问题的几何意义
• 2.1 基本概念 • 2.2 几个定理
2.1 基本概念
1. 凸集 2. 凸组合 3. 顶点
1.凸集
• 设K是n维欧氏空间的一点集，若任意两点X(1)∈K， X(2)∈K 的 连 线 上 的 所 有 点 αX(1)+(1-α)X(2)∈K ， (0≤α≤1)；则称K为凸集。 • 图1-7

i 1
k
i
1
• 使X=μ1X(1)+μ2X(2)+…+μkX(k) • 则称X为X(1)，X(2)，…，X(k)的凸组合。（当0＜μi＜ 1时，称为严格凸组合）.
3. 顶点
• 设K是凸集，X∈K；若X不能用不同的两点 X(1)∈K 和X(2)∈K的线性组合表示为 • X=αX(1)+(1-α)X(2)，(0＜α＜1) • 则称X为K的一个顶点(或极点)。
X 0

i 1
k
i xii , i 0,

i 1
k
i
1
定理3的证明：
证： 设X(1),X(2)，…，X(k)是可行域的顶点，
若X(0)不是顶点，且目标函数在X(0)处达到
最优z*=CX(0)(标准型是z=max z)。
代入目标函数得
0 CX C

i 1
引理2 若K是有界凸集，则任何一点X∈K 可表示为K的顶点的凸组合。
• 本引理证明从略，用以下例子说明这引理。
• 例5 设X是三角形中任意一点，X(1),X(2)和X(3) 是三角形的三个顶点，试用三个顶点的坐标 表示X(见图1-8)
解 任选一顶点X(2)，做一条连线XX(2)；并延长交于 X(1)、X(3)连接线上一点X′。因X′是X(1)、X(3)连线 上一点，故可用X(1)、X(3)线性组合表示为
的所有点(可行解)组成的集合是凸集， 只要证明D中任意两点连线上的点必然在D内即可。 设
1 1 1 X 1 x1 , x2 , , xn
X 2
x
1
2
, x 2 , , x 2
2 n

T
T
是D内的任意两点；X(1)≠X(2)。
则有
第2节 结束