相似矩阵与二次型习题课
大学线性代数课件相似矩阵及二次型5.2
由P 1 AP , 得AP P,
1
即 A p1, p2,, pn p1, p2,, pn
2
n
1 p1, 2 p2 ,, n pn .
A p1, p2 ,, pn Ap1, Ap2 ,, Apn
于是有
2 1 2
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
1 0 2
解
1 2
2
(1)由 A E 2 2
4
2
4 2
22 7 0
得 1 2 2, 3 7.
将 1 2 2代入A 1E 0, 得方程组
2xx1124xx2224xx33
这与至少有一个ai0 j0 0(i0 j0)矛盾, 故A不可 对 角 化.
思考题
判断下列两矩阵A, B是否相似.
1
A
1
1 1
1 1 ,
n
B
1
0 0
0 0 .
1 1 1
1 0 0
思考题解答
解 因 det( A E) (n )( )n1, A的特征值为
1 n, 2 n 0.又A是实对称矩阵, 存在可逆 矩阵P1,使得
2
1 1 ,
0
0
2 0.
1
将3 2代 入A E x 0, 得 方 程 组 的
基 础 解 系 3 1,1,1T .
由 于1 ,2 ,3 线 性 无 关. 所以 A 可对角化.
2 0 1
令
P
1
,
2
,
3
1
0
1
0 1 1
1 0 0
相似矩阵及二次型5-习题课
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特征值问题
通过相似变换可以求解矩阵的特征 值和特征向量问题。
线性系统
通过相似变换可以将线性系统化为 易于分析的形式。
04 二次型习题解析与解答
习题一解析与解答
总结词：基础题
详细描述：这道题考察了二次型的基本概念和性质，包括二次型的矩阵表示、标 准型和规范型等。通过这道题，学生可以巩固二次型的基本知识点，掌握二次型 的基本运算和变换方法。
相似变换
如果存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$为对角矩阵，则称 矩阵A经过相似变换化为对角矩阵。
相似矩阵变换的性质
保持矩阵的特征值不变
相似变换不改变矩阵的特征值。
保持矩阵的行列式值不变
相似变换不改变矩阵的行列式值。
保持矩阵的迹不变
相似变换不改变矩阵的迹。
相似矩阵变换的应用
简化矩阵
通过相似变换可以将复杂的矩阵 化为简单的对角矩阵，便于分析。
ห้องสมุดไป่ตู้详细描述
二次型是多项式中只含有x和y的二次 项的代数和，即形式为$f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2$的函数，其中a 、b、c是常数。
二次型的标准型
总结词
二次型的标准型是将二次型转换为另一种形式，以便更好地研究其性质和特征。
详细描述
通过变量替换，将二次型转换为标准型，即$f(x, y) = ax^2 + 2bxy + cy^2$的 形式，其中a、b、c是常数，且a不等于0。
相似矩阵及二次型5-习题课
contents
目录
• 相似矩阵的定义与性质 • 二次型的定义与表示 • 二次型的相似矩阵变换 • 二次型习题解析与解答 • 总结与回顾
《工程高等代数》6第六章相似矩阵与二次型习题解答
习 题 六A 组1．填空题（1）已知向量[]TT(1,2,3),(4,,6),,7t =-=-=a b a b ，则t = ． 解72． （2）设04=x ，A 为正交矩阵，则0=Ax ． 解 4．（3）设P 为n 阶可逆矩阵，12130000,00n a a a -⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭A B =P A P，则B 的特征值为 ．解 33312,,,na a a ． （4）已知3阶方阵A 的特征值分别为1,1,2-，则矩阵322=-B A A 的特征值是 ，=B ．解 1,3,0;0--．（5）如果n 阶矩阵A 的元素全为1，那么A 的n 个特征值是 ． 解 ,0,0,,0n ．（6）矩阵022222222--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭的非零特征值是 ． 解 4．（7）设010100001-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，1-=B P AP ，其中P 为三阶可逆矩阵, 则200422-=B A ． 解 300030001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭．（8） 设()33ija ⨯=A 是实正交矩阵，且111=a ，T (1,0,0)=b ，则线性方程组Ax =b 的解是 ．解 T (1,0,0)．（9）二次型22121212(,)24f x x x x x x =+-的矩阵是 ．解 1222-⎛⎫ ⎪-⎝⎭．（10）二次型222123112213233(,,)2222f x x x x x x x x x x x x =-+-++的秩是 ． 解 2．（11）二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 ． 解 2．（12）二次型T f =x Ax 是正定的充分必要条件是实对称矩阵A 的特征值都是 ． 解 正数． 2．选择题（1）已知[]1,2,,1===a b a b ，则向量a 与b 的夹角为 ． （A ）0； （B ）4π； （C ）3π； （D ）2π． 解 （C ）．（2）n 阶方阵A 的两个不同的特征值所对应的特征向量 ． （A ）线性相关； （B ）线性无关； （C ）正交； （D ）内积为1． 解 （B ）．（3）设P 为三阶可逆矩阵，123894765⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，123,,λλλ是1-=B P AP 的三个特征值，则123λλλ++的值为 ．（A ）1； （B ）10； （C ）15； （D ）19． 解 （C ）．（4）设P 为可逆矩阵，λ=≠Ax x 0，11--=B P A P ，则矩阵B 的特征值和特征向量分别是 ．（A ）λ和x ； （B ）1λ-和x ； （C ）1λ-和1-P x ； （D ）λ和Px ．解 （C ）．（5）设A 是n 阶实对陈矩阵，P 是n 阶可逆矩阵．已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵()T1-P AP属于特征值λ的特征向量是 ．（A ）1-P α； （B ）TP α； （C ）P α； （D ）()T1-Pα．解 （B ）．（6）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,αα，则1α，12()+A αα线性无关的充分必要条件是 ．（A ）01≠λ； （B ）02≠λ； （C ）01=λ； （D ）02=λ． 解 （B ）．（7）设A ，B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，E 为n 阶单位矩阵，则下列命题正确的是 ． （A ）λλ-=-E A E B ； （B ）A 与B 有相同的特征值与特征向量； （C ）A 与B 都相似于一个对角矩阵； （D ）对任意常数t ，t -E A 与t -E B 相似．解 （D ）．（8）n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角矩阵相似的 ． （A ）充分必要条件； （B ）充分非必要条件；（C ）必要非充分条件； （D ）既非充分也非必要条件． 解 （B ）．（9）设矩阵001010100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，已知矩阵A 相似于B ，则(2)R -A E 与()R -A E 之和等于 ．（A ）2； （B ）3； （C ）4； （D ）5． 解 （C ）．（10）设1111111111111111⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭A =，400000000000000⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭B =，则A 与B ． （A ）合同且相似； （B ）合同但不相似； （Ｃ）不合同但相似； （Ｄ）不合同且不相似． 解 （A ）．（11）二次型222123123121323(,,)()444f x x x a x x x x x x x x x =+++++经正交变换=x Py 可以化成标准形216f y =，则a 的值是 ．（A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）无法确定． 解 （B ）．3．利用Schimidt 正交化方法将下列向量组规范正交化． （1） TTT123(1,2,1),(1,3,1),(4,1,0)=-=-=-a a a ； 解 先正交化T 11(1,2,1)==-b a ，[][]12T 22111,5(1,1,1),3=-=-b a b a b b b ，[][][][]1323T 33121122,,(2,0,2),,=--=b a b a b a b b b b b b ， 再单位化得T T 1212122,1),1,1,1),==-==-b b e e bb T 3330,1)==b e b ． （2） 矩阵111011101110-⎛⎫⎪-⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的列向量组． 解 先正交化，111011⎛⎫⎪ ⎪==⎪- ⎪ ⎪⎝⎭b a ， [][]1222111111103,21012,33111⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b a b a b b b ，[][][][]13233312112211111033,,2211123,,31550114--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭b a b a b a b b b b b b ．再单位化得1212121103,1211⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎪⎪====⎪⎪-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭b b e e b b ，3331334-⎛⎫ ⎪⎪==⎪⎪⎪⎝⎭b e b ． 4．设向量T 1(1,1,1)=a ，求非零向量2a ，3a ，使得1a ，2a ，3a 是正交向量组．解 根据题意，2a ，3a 应满足方程T10=x a ，即0x y z ++=．解得基础解系为T1(1,1,0)=-ξ和T 2(1,0,1)=-ξ．正交化得到T21(1,1,0),==-a ξ [][]22T 32122,1(1,1,2),2=-=--ξa a ξξa a ． 5．求下列矩阵的特征值和特征向量．（1）1124-⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）110430102-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （3）123213336⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭．解 （1）特征多项式为11(3)(2)24λλλλ--=---，得到特征值为122,3λλ==．对于12λ=，解齐次线性方程组11110220x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得基础解系11⎛⎫⎪-⎝⎭，对应的特征向量可取1111,01k k ⎛⎫=≠ ⎪-⎝⎭p ．对于23λ=，解齐次线性方程组11210210x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得基础解系12-⎛⎫⎪⎝⎭，对应的特征向量可取2221,02k k -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭p ．（2）特征多项式为2110430(2)(1)12λλλλλλ---=--=---A E ， 得到特征值为值1231,2λλλ===．对于121λλ==，解齐次线性方程组123210042001010x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 得基础解系121⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭，对应的特征向量可取11112,01k k ⎛⎫⎪=≠ ⎪ ⎪-⎝⎭p ．对于32λ=，解齐次线性方程组123310*********x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得基础解系001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，对应的特征向量可取2220001k k ⎛⎫⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭p ．（3）特征多项式为(1)(9)λλλλ-=+-A E ，得到特征值为1230,1,9λλλ==-=．对于10λ=，解齐次线性方程组(0)-=A E x 0，得基础解系1111-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ，特征向量为1111,01k k -⎛⎫ ⎪-≠ ⎪ ⎪⎝⎭．对于21λ=-，解齐次线性方程组()+=A E x 0，得基础解系2110-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，特征向量为2211,00k k -⎛⎫ ⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭． 对于39λ=，解齐次线性方程组(9)-=A E x 0，得基础解系3112⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，特征向量为3311,02k k ⎛⎫ ⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭．6．设3111-⎛⎫=⎪⎝⎭A ，234()16842ϕ=++++A E A A A A ，求()ϕA 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式为231(2)11λλλλ---==--A E ，得到A 的特征值为122λλ==．对于122λλ==，解齐次线性方程组110110x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得特征向量11⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ．因为2是A 的特征值，所以(2)80ϕ=是()ϕA 的特征值，11k k ⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ为()ϕA 的全部特征向量()0k ≠．7．证明（1）若n 阶方阵A 满足2=A A ，则A 的特征值为0或1；（2）若n 阶方阵A 满足k=A E ，则A 的特征值λ满足1kλ=．证明 （1）设≠x 0满足λ=Ax x ，λ是A 的特征值，则22λ=A x x ， 故22λλ===x Ax A x x ，得(1)λλ-=x 0，因为≠x 0，所以0λ=或1λ=．（2）设≠x 0满足λ=Ax x ，则k k λ===x A x Ex x ．因此(1)kλ-=x 0，而≠x 0，故1k λ=．8．设11111a a b b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 与000010002⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Λ相似，求a ，b ．解 由于A 的特征值与Λ的特征值相同，也是0，1，2，因此()20120,20,b a ab ⎧=--=⨯⨯=⎪⎨-==⎪⎩A A E 得0a b ==．9．设方阵12422421x --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A 与54y ⎛⎫⎪=⎪ ⎪-⎝⎭Λ相似，求,x y ．解 由A 与Λ相似可知，A 的特征值为1235,,4y λλλ===-，于是1154,52442429360,425x y x x ++=+-⎧⎪--⎪⎨+=-+-=-=⎪⎪--⎩A E 得4x =，5y =．10．设A 与B 均为n 阶方阵，0≠A ，证明AB 与BA 相似．证明 由0≠A 知1-A 存在，于是11()()--==A AB A A A BA BA ，因此AB 与BA 相似．11．若A 与B 相似，C 与D 相似，则分块矩阵⎛⎫ ⎪⎝⎭A 00C 与⎛⎫⎪⎝⎭B00D 相似． 证明 由条件可知，存在可逆矩阵1P ，2P ，使得111122,--==P AP B P CP D ，于是111111111111222222------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭P 0P 0B 0A 0P AP 0P A 0P 00P 0P 0D 0C 0P CP 0P C 0P 11122-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P0P 0A 00P 0P 0C ， 所以⎛⎫ ⎪⎝⎭A 00C 与⎛⎫⎪⎝⎭B 00D 相似．12．已知3阶矩阵A 与三维向量x ，使得向量组x ，Ax ，2A x 线性无关，且满足3232=-A x Ax A x ．（1）记()2,,P =x Ax A x ，求三阶矩阵B ，使1-=A PBP ； （2）计算行列式+A E ．解 （1）设123123123a a a b b b c c c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭B =，则由=AP PB 得 ()()123232123123a a a ,,,,b b b c c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Ax A x A x x Ax A x ． 上式可写为2111a b c Ax =x +Ax +A x ， 22222a b c A x =x +Ax +A x ， 32333a b c A x =x +Ax +A x ．将3232=-A x Ax A x 代入得2233332a b c -Ax A x =x +Ax +A x ．由于x ，Ax ，2A x 线性无关，故1110,1a c b ===； 2220,1a b c ===； 3330,3,2a b c ===-，从而000103012⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭B =．（2）由（1）知A 与B 相似，故+A E 与+B E 相似，从而1001134011+=+==--A E B E ．13．求下列矩阵多项式．（1）设3223-⎛⎫=⎪-⎝⎭A ，求109()5ϕ=-A A A ；（2）212122221⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求1098()65ϕ=-+A A A A ．解 （1）由(1)(5)0λλλ-=--=A E 得特征值为121,5λλ==．对于11λ=，解方程组()-=A E x 0得特征向量111⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ，取111⎛⎫= ⎪⎝⎭p ．对于25λ=，解方程组(5)-=A E x 0得特征向量211-⎛⎫=⎪⎝⎭ξ，取211-⎛⎫= ⎪⎝⎭p ． 令1211(,)11-⎛⎫==⎪⎝⎭P p p ，则115-⎛⎫== ⎪⎝⎭P AP Λ，于是9999199911111151511,11511221515--⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A P P Λ 10101010110101515121515-⎛⎫+-== ⎪-+⎝⎭A P P Λ，10911()5211ϕ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭A A A ．（2）由(1)(5)(1)0λλλλ-=-+--=A E 求得特征值1231,1,5λλλ=-==．对于11λ=-，解方程组()+=A E x 0，得1112⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭p ．对于21λ=，解方程组()-=A E x 0，得2110⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭p ．对于15λ=，解方程组(5)-=A E x 0，得3111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ．因此，123111(,,)111201⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭P p p p ，且1115--⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭P AP Λ， 888888188888888111(1)112251515111111330152515632015222151525-⎛⎫⎛⎫--+-+-+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==--=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A P P Λ， 10988888888888888888888()65()(5)2515151123121152515112132315152522022425151522411525152243151525448ϕ=-+=--⎛⎫+-+-+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪=-++-+- ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪-+-++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫+-+-+-⎛⎫⎪ =-++-+- ⎪ ⎪-+-++--⎝⎝⎭A A A A A A E A E 1122112.224⎪⎪⎪⎭-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭14．求一个正交相似变换矩阵，把下列对称矩阵化为对角矩阵．（1）220212020-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ； （2）222254245-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭A =． 解 （1）由(1)(4)(2)0λλλλ-=--+=A E ，得到A 的特征值为1232,1,4λλλ=-==，对于12λ=-，解齐次线性方程组(2)+=A E x 0得特征向量1122⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得111232⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ．对于21λ=，解齐次线性方程组()-=A E x 0得特征向量2212⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ，单位化得221231⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭p ．对于34λ=，解齐次线性方程组(4)-=A E x 0得特征向量3221⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得121231⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭p ．写出正交矩阵12212123221⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭P ，则1214--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ． （2）由2(1)(10)0λλλ-=--=A E ，得到A 的特征值为12310,1λλλ===．对于110λ=，解齐次线性方程组(10)-=A E x 0得特征向量1122⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ，单位化得111232⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭p ．对于221λλ==时，解齐次线性方程组()-=A E x 0得特征向量23221,221-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ．123,,ξξξ是正交向量组，将23,ξξ单位化得2322111,23321-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p ．取正交矩阵12212123221-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭P ，则有11011-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ．15．设三阶实对称矩阵A 的特征值为6,3,3，与特征值6对应的特征向量为T 1(1,1,1)=p ，求矩阵A ． 解 设123,,p p p 分别是对应于特征值6,3,3的特征向量，则23,p p 应与1p 正交，即满足方程1230++=x x x ，解得23111,001--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p ，于是123111(,,)110101--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P p p p ，1633-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，因此，1641131413114-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A P P ．16．设A ，B 为同阶方阵，（1）如果A ，B 相似，试证A ，B 的特征多项式相等；（2）举一个二阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立； （3）当A ，B 均为实对称矩阵时，试证（1）的逆命题成立． 解 （1）若A ，B 相似，则存在可逆矩阵P ，使1-=P AP B ，故()()11111.λλλλλλ------=-=-=-=-=-E B P EP P AP P E A PP E A P P E A P E A（2）令0100⎛⎫⎪⎝⎭A =，0000⎛⎫ ⎪⎝⎭B =，则2λλλ-=-=E A E B ，但A 与B 不相似．否则由1-=P AP B =0得A =0，矛盾．（3）A ，B 均为实对称矩阵时, A ，B 均相似于对角阵. 若A ，B 的特征多项式相等，则特征值相等，记为12,,,n λλλ ，有A 相似于1n λλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，B 也相似于1n λλ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ ，存在可逆矩阵P ，Q 使得111n λλ--⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭P AP =Q BQ ，于是()()111---=PQ A PQ B ，由1-PQ 可逆知A ，B 相似． 17．设三阶实对称矩阵A 的秩为2，126λλ==是A 的二重特征值．若T 1(1,1,0)=α,T 2(2,1,1)=α,T 3(1,2,3)=--α, 都是A 的属于特征值6的特征向量．（1）求A 的另一特征值和对应的特征向量；（2）求矩阵A ．解 （１）因为126λλ==是A 的二重特征值，故A 的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个．由题设知T 1(1,1,0)=α，T 2(2,1,1)=α为A 的属于特征值6的线性无关特征向量．又A 的秩为2，于是||0=A ，所以A 的另一特征值30λ=．设30λ=所对应的特征向量为T 123(,,)x x x =α，则有T 10=αα，T 20=αα，即121230,20.x x x x x +=⎧⎨++=⎩解得基础解系为T (1,1,1)=-α，故A 的属于特征值30λ=全部特征向量为T (1,1,1)k k =-α，其中k 为任意不为零的常数．(２) 令矩阵12(,,)=P ααα，则1660-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，所以 1011612164221126111624233300110224111333-⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪==-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭A P P ．18．用矩阵表示下列二次型．（1）222(,,)2846f x y z x y z xy yz =+--+；（2）22221234123412131424(,,,)532468f x x x x x x x x x x x x x x x x =+-++-++．解 （1）120(,,)(,,)223038x f x y z x y z y z -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭． （2）1212343451231304(,,,)20103401x x f x x x x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 19．用正交变换法将下列二次型化为标准型．（1）22212312313(,,)2628f x x x x x x x x =+++； （2）22212312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++；（3）2222123412341214(,,,)22f x x x x x x x x x x x x =++++-233422x x x x -+．解 （1）二次型的矩阵为204060402⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，由0λ-=A E 求得A 的特征值为1232,6λλλ=-==．对于12λ=-，解(2)+=A E x 0得特征向量1101⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭p ．对于236λλ==，解(6)-=A E x 0得特征向量23011,001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p ．123,,p p p 是正交的，单位化后并写成正交矩阵10100101⎛⎫⎪=⎪⎪-⎭P ． 令=x Py ，这一正交变换把原二次型化为标准形222123266f y y y =-++．（2）二次型的矩阵为200032023⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，由(2)(1)(5)0λλλλ-=---=A E 求得A 的特征值为1231,2,5λλλ===．对于11λ=，解方程组()-=A E x 0得特征向量1011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得1011⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭p ． 对于22λ=，解方程组(2)-=A E x 0得特征向量2100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得2100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ．对于35λ=，解方程组(5)-=A E x 0得特征向量3011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得3011⎛⎫⎪=⎪⎪⎭p ．于是正交矩阵123010(,,)00⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎝P p p p ，在正交变换=x Py 下，22212325f y y y =++． （3）二次型的矩阵为1101111001111011-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A ． 由2(1)(1)(3)0λλλλ-=+--=A E 得A 的特征值12341,1,3λλλλ=-===．对于11λ=-，解方程组()+=A E x 0得特征向量11111⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得1111121⎛⎫⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭p ．对于231λλ==，解方程组()-=A E x 0得A 的特征向量231001,1001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ，23,ξξ是正交的，只需单位化得231001,1001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭p p ． 对于43λ=，解方程组(3)-=A E x 0得特征向量41111-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得4111121-⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭p ．写出正交矩阵11022110221102211022⎛⎫-⎪ ⎪ --= ⎪- ⎪ ⎪ ⎝P ， 在正交变换=x Py 下，222212343f y y y y =-+++． 20．用配方法化下列二次型为标准形，并写出变换矩阵．222123123121323(,,)2224f x x x x x x x x x x x x =+++++．解222222123123233123(,,)()(),f x x x x x x x x x y y y =++++-=+-其中，112322333,,,y x x x y x x y x =++⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 即 11222333,,,x y y x y y x y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 故所用的变换矩阵为110011001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭． 21．判定下列二次型的正定性．（1）2221231231223(,,)56444f x x x x x x x x x x =++--；（2）222123123121323(,,)10282428f x x x x x x x x x x x x =++++-．解 （1） 二次型的矩阵为520262024-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ， 因为 525250,260,26284026024-->=>--=>--，所以f 正定．（2） 二次型的矩阵为10412421412141⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，因为 10412104100,0,421404212141>>-<-，所以f 非正定，也非负定．22．确定t 的取值范围，使得下列的二次型为正定．（1）222123123121323(,,)5422f x x x x x tx x x x x x x =+++--； （2）222123123121323(,,)5224f x x x tx x x tx x x x x x =++--+．解 （1）二次型的矩阵为52121111t -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ．要使f 正定，就要求A 的顺序主子式都大于零，即 50>，521021=>，5212112011t t--=->--， 得2t >．即当2t >时，f 是正定的．（2）二次型的矩阵为112125t t t--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ．要使f 正定，就要求A 的顺序主子式都大于零，即 0t >，(1)01t tt t t -=->-，21125510125t t tt t ---=-+->-，t <<t <<时，f 是正定的． 23．设A 是可逆实矩阵，证明T A A 是正定矩阵.证明 由T T T ()=A A A A 知，T A A 是对称矩阵．对任意的≠x 0，有≠Ax 0，所以()()()2TT T 0==>x A A x Ax Ax Ax ，从而T A A 是正定矩阵．24．设A 是三阶实对称矩阵，已知A 的秩()2R =A ，且满足条件22+A A =0, （1）求A 的全部特征值；（2）当k 为何值时，矩阵k A+E 为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵．解 （1）设λ为A 的一个特征值，对应的特征向量为α，则()λ=≠A 0ααα，22λ=A αα，于是()()2222λλ+=+AA αα．由条件22+A A =0得()22λλ+=0α．又≠0α，所以220λλ+=，即2λ=-或0λ=．因为实对称矩阵A 必可对角化，又()2R =A ，所以A 与对角矩阵220-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭相似．因此，矩阵A 的全部特征值为1232,0.λλλ==-=（2）矩阵k A+E 仍为实对称矩阵，由（1）知k A +E 的全部特征值为2,2,.k k k -+-+于是，当2k >时，k A+E 的全部特征值大于零，从而矩阵k A+E 为正定矩阵．B 组1．已知向量T (1,,1)k =a 是矩阵211121112⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的逆矩阵1-A 的特征向量，求常数k 的值．解 设1-A 的特征向量T (1,,1)k =a 对应的特征值为λ，则有1λ-=A a a ，λ=a Aa ，即1211112111121k k λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得2k =-或1．2．若矩阵22082006a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使1.-=P AP Λ解 矩阵A 的特征多项式为2222082(6)(2)16(6)(2)06a λλλλλλλλ--⎡⎤-=---=---=-+⎣⎦-E A ， 故A 的特征值为.2,6321-===λλλ由于A 相似于对角矩阵Λ，故621==λλ应有两个线性无关的特征向量，即3(6)2R --=E A ，于是有(6)1R -=E A ．由42021068400000000a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭E A知0a =．因此，对应于621==λλ的两个线性无关的特征向量可取为1001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ， 2120⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ．当23-=λ时，4202102840001008000--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭E A ，解方程组12320,0,x x x +=⎧⎨=⎩得对应于23-=λ的特征向量3120⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ．令011022100⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P ，则P 可逆，并有1-=P AP Λ．3．设矩阵1322010232,101,223001-*⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A PB P A P ，求2+B E 的特征值和特征向量．解 计算出1011100001--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ， 522252225*--⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A1700254223-*⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪--⎝⎭B P A P ， 9002274225⎛⎫ ⎪+=-- ⎪ ⎪--⎝⎭B E ．由22(3)(9)0λλλ+-=--=B E E 得2+B E 的特征值为1239,3λλλ===．对于129λλ==，由()λ-=A E x 0求得对应的线性无关特征向量为12121,001--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p ．因此，对应于129λλ==的全部特征向量为1122k k +p p ，12,k k 不同时为零．对于33λ=，由()λ-=A E x 0求得特征向量为3011⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ．因此，对应于33λ=的全部特征向量为33k p ，3k 不为零．4．设,A B 相似，且111200242,0203300a b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A B ， （1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1-=P AP B ．解 （1）由于,A B 相似，所以,A B 有相同的特征值，即1232,b λλλ===．由于2是A 的二重特征值，所以2是2(2)(3)3(1)0a a λλλλ⎡⎤-=--++-=⎣⎦A E 的二重根，解得5a =．由22(2)(812)(2)(6)λλλλλλ-=--+=--A E 得到36b λ==．（2）对于122λλ==，解方程组(2)-=A E x 0得基础解系12111,001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p ．对于36λ=，解方程组(6)-=A E x 0得基础解系3123⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭p ．令123111(,,)102013⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭P p p p ，有1-=P AP B ．5．已知111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭p 是矩阵2125312a b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A 的一个特征向量， （1）求,a b 的值和特征向量p 对应的特征值； （2）问A 是否可对角化？说明理由．解 （1）由2121()531121a bλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=-= ⎪⎪ ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭A E p 0得2120,530,120.a b λλλ---=⎧⎪+--=⎨⎪-+++=⎩解得3,0,1a b λ=-==-．（2）因为212533102-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，所以3(1)λλ-=-+A E ，1λ=-是三重根．但()2R +=A E ，从而1λ=-对应的线性无关的特征向量只有一个，故A 不能对角化．6．设矩阵21112111a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 可逆，向量11b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α是矩阵*A 的一个特征向量，λ是α对应的特征值，其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵．试求a ,b 和λ的值．解 矩阵*A 属于特征值λ的特征向量为α，由于矩阵A 可逆，故*A 可逆.于是0≠λ，0≠A ，且*λ=A αα．两边同时左乘矩阵A ，得*λ=AA A αα，λ=AA αα，即211111211111b b a λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ． 由此，得方程组3,22,1.b b b a b λλλ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪++=⎪⎩AA A 由第一、二个方程解得1=b ，或2-=b ．由第一、三个方程解得2a =．由于 21112132411a a==-=A ，故特征向量α所对应的特征值433b bλ==++A ．所以，当1=b 时1=λ； 当2-=b 时4λ=．7．设矩阵12314315a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化．解 A 的特征多项式为21232(2)01431431515110(2)143(2)(8183).15a a a a λλλλλλλλλλλλλλ------=-=--------=--=--++---E A当2=λ是特征方程的二重根时，则有,03181622=++-a 解得2a =-．当2a =-时，A 的特征值为2,2,6, 矩阵2-E A 123123123-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的秩为1，故2=λ对应的线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化．若2=λ不是特征方程的二重根，则a 31882++-λλ为完全平方，从而18316a +=，解得23a =-．当32-=a 时，A 的特征值为2,4,4，矩阵32341032113⎛⎫- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪-- ⎪⎝⎭E A =的秩为2，故4=λ对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A 不可相似对角化．8．设n 阶矩阵111b b b b b b ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭A ，（1）求A 的特征值和特征向量；（2）求可逆矩阵P , 使得1-P AP 为对角矩阵． 解 （1）① 当0≠b 时，[][]111||1(1)(1)1n b b b b n b b b b λλλλλλ--------==-------- E A ．得A 的特征值为11(1)n b λ=+-，21n b λλ===- ． 对于11(1)n b λ=+-，1(1)(1)11(1)1(1)1(1)11(1)11111111111111111111111100000000n bb b n b n b b n b b n b n n n n n n n λ------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭-----⎛⎫⎛ ⎪ -------- ⎪ ⎪ →→ ⎪ -------- ⎪ ⎪⎝⎭⎝E A 11111001000101.00001100000000n n n n n ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪→→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可解得T1(1,1,1,,1)= ξ，所以A 的属于1λ的全部特征向量为T1(1,1,1,,1)k k = ξ，其中k 为任意不为零的常数．对于21b λ=-，有2111000000b b b b b b b b b λ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭E A ．可解得T 2(1,1,0,,0)=- ξ，T 3(1,0,1,,0)=- ξ， ，T (1,0,0,,1)n =- ξ．故A 的属于2λ的全部特征向量为2233n n k k k +++ ξξξ，其中n k k k ,,,32 是不全为零的常数．②当0=b 时，100010||(1)001n λλλλλ---==-- E A ．因此特征值为11n λλ=== ，任意非零列向量均为特征向量．（2）①当0≠b 时，A 有n 个线性无关的特征向量，令12(,,,)n = P ξξξ，则11(1)11n b b b -+-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭P AP ． ②当0=b 时，=A E ，对任意可逆矩阵P , 均有1-=P AP E ．9．设A 为三阶矩阵，123,,ααα是线性无关的三维列向量，且满足1123=++A αααα，2232=+A ααα，32323=+A ααα．（1）求矩阵B , 使得()()123123,,,,=A B αααααα；（2）求矩阵A 的特征值；（3）求可逆矩阵P , 使得1-P AP 为对角矩阵．解 （1）由123123100(,,)(,,)122113⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A αααααα可知，100122113⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ．（2）因为123,,ααα是线性无关的三维列向量，可知矩阵()123,,=C ααα可逆，所以1-=C AC B ，即矩阵A 与B 相似，由此可得矩阵A 与B 有相同的特征值．由2100122(1)(4)0113λλλλλλ--=---=--=---E B ， 得矩阵B 的特征值，也即矩阵A 的特征值1231,4λλλ===．（3）对应于121==λλ，解齐次线性方程组()-E B x =0，得基础解系T 1(1,1,0)=-ξ，T 2(2,0,1)=-ξ．对应于43=λ，解齐次线性方程组()4-E B x =0，得基础解系()T30,1,1=ξ．令矩阵()123120,,101011--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭Q ξξξ，则 1100010004-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Q BQ ．因 ()()1111----==Q BQ Q C ACQ CQ A CQ ，记矩阵()()123121323120,,101,2,011--⎛⎫⎪===-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭P CQ ααααααααα，P 即为所求的可逆矩阵．10．设实对称矩阵111111aa a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵，并计算-A E ．解 由2(1)(2)0a a λλλ-=----+=A E ，得到A 的特征值1231,2a a λλλ==+=-．对于121a λλ==+，由()λ-=A E x 0，求得两个线性无关的特征向量12111,001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p ．对于32a λ=-，由()λ-=A E x 0，求得对应的特征向量3111-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ．令123111(,,)101011-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P p p p ，则1112a a a -+⎛⎫ ⎪==+ ⎪ ⎪-⎝⎭P AP Λ．并且，1112(3)a a ----=-=-=-=-A E P P PP P E P E ΛΛΛ．11．设11111,1112a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A β，线性方程组=Ax β有解但不惟一，（1）求a 的值；（2）求正交矩阵Q ，使得T Q AQ 是对角矩阵．解 （1）因为线性方程组=Ax β有解但不惟一，所以21111(1)(2)011aa a a a ==--+=A ．当1a =时，()()R R ≠A A β，方程组无解．当2a =-时，()()R R =A A β，方程组有解但不惟一．因此，2a =-．（2）可计算出112121211-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，于是由(3)(3)0λλλλ-=-+=A E ，得到13λ=，23λ=-，30λ=．由()λ-=A E x 0求得对应的特征向量分别为1231110,2,1111⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭p p p ．单位化后（已是正交的）得到正交矩阵0⎛ =⎝Q ． 于是，T330⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭Q AQ ． 12．已知二次型222123232332(0)f x x x ax x a =+++>可以通过正交变换化成标准形22212325f y y y =++，求参数a 及所用的正交变换． 解 二次型的矩阵为2000303a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ．由题意知A 的特征值为1231,2,5λλλ===．将11λ=代入22(2)(69)0a λλλλ-=--+-=A E ，0a >，得2a =．于是200032023⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ．对于11λ=，解方程组()-=A E x 0得特征向量1011⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ，单位化得1011⎛⎫⎪=⎪⎪-⎭p ． 对于22λ=，解方程组(2)-=A E x 0得特征向量2100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，取2100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ．对于35λ=，解方程组(5)-=A E x 0得特征向量3011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化得3011⎛⎫⎪=⎪⎪⎭p ．故所用的正交变换矩阵为01000⎛⎫⎪ ⎪ =⎝P ． 13．判断二次型12111n n i i i i i f x x x-+===+∑∑是否正定．解 二次型的矩阵为110000211102210100021000102110001221000012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ． 计算得到A 的任意k 阶顺序主子式1(1)02kk k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭A ，因此，二次型是正定的． 14．设二次型22212313222(0)f ax x x bx x b =+-+>，其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为12-．（1）求,a b 的值；（2）利用正交变换把二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．解 （1）二次型对应的矩阵为002002a b b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ．设A 的特征值为123,,λλλ，则 123221a λλλ++=+-=，21230020421202a ba b b λλλ==--=--． 解得1,2a b ==．（2）由102020202⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，得2(2)(3)λλλ-=--+A E ，于是A 的特征值为1232,3λλλ===-． 对于122λλ==，由(2)-=A E x 0，求得两个线性无关的特征向量12200,110⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p p ．对于33λ=-，由(3)+=A E x 0，求得特征向量3102⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭p ．由于123,,p p p 已是正交，单位化后得到正交矩阵0100⎫⎪⎪=⎪ ⎪Q ．于是有T223⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭Q AQ ．在正交变换=x Qy 下，有 222123223f y y y =+-． 15．证明二次型T f =x Ax 在1=x 时的最大（小）值为矩阵A 的最大（小）特征值． 证明 设存在正交变换=x Py ，将T f =x Ax 化为标准形2221122n n f y y y λλλ=+++ ．不妨设1λ是A 的特征值中的最大值，则2222221122112()n n n f y y y y y y λλλλ=+++≤+++ ．由于正交变换不改变向量的长度，而1=x ，所以1=y ，故22222211221121()n n n f y y y y y y λλλλλ=+++≤+++= ．并且，f 可以达到上限1λ，只要取121,0n y y y ==== 即可．故二次型T f =x Ax 在1=x 时的最大值为矩阵A 的最大特征值．最小值的情形同理可证．16．设U 为可逆矩阵，T=A U U ，证明Tf =x Ax 是正定二次型．证明 设≠x 0，由U 为可逆矩阵知≠Ux 0，于是2T T T T ()0f ====>x Ax x U Ux Ux Ux Ux，故Tf =x Ax 是正定二次型．17．设对称矩阵A 为正定矩阵，证明存在可逆矩阵U ，使得T=A U U ．证明 若A 为正定阵，则存在正交矩阵P ，使得121n λλλ-⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ P AP Λ， 其中，每个0i λ>．而T⎫⎪ ⎪⎪=⎪⎪⎝QQ Λ， 1T T T ()()-===A P P PQQ P PQ PQ Λ．令()T=U PQ ，则T =A U U ．而,P Q 均可逆，所以U 可逆．18．设,A B 都是n 阶正定矩阵，证明+A B 也是n 阶正定矩阵． 证明 由于T T ,==A A B B ，所以T T T ()+=+=+A B A B A B ，即+A B 是对称矩阵．又,A B 都是n 阶正定矩阵，即对任意的非零向量x ，有T T 0,0>>x Ax x Bx ，因此T T T ()0+=+>x A B x x Ax x Bx ，故+A B 是n 阶正定矩阵．19．设12,p p 分别是矩阵A 的属于特征值12,λλ的特征向量，且12λλ≠，试证12+p p 不可能是A 的特征向量．证明 由条件有111222,λλ==Ap p Ap p ．设12+p p 是A 的某个特征值0λ的特征向量，则12012()()λ+=+A p p p p ．另一方面，12121122()λλ+=+=+A p p Ap Ap p p ．因此，101202()()λλλλ-+-=p p 0．由于12,p p 线性无关，故102λλλ==，矛盾．故12+p p 不可能是A 的特征向量．20． 已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2． （1）求a 的值；（2）求正交变换=x Qy ，把),,(321x x x f 化成标准形； （3）求方程123(,,)0f x x x =的解. 解 （1）二次型对应矩阵为110110002a a a a -+⎛⎫ ⎪=+- ⎪ ⎪⎝⎭A ．由二次型的秩为2知，1101100002a a a a-+=+-=A ，得0a =． （2）这里110110002⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，可求出其特征值为0,2321===λλλ．由(2)-=E A x 0，求得特征向量12101,001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα．由(0)-=E A x 0，求得特征向量3110⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α．由于12,αα已经正交，直接将12,αα，3α单位化，得1231011,0,1010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪===-⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭ηηη． 令()123,,=Q ηηη，即为所求的正交变换矩阵．由=x Qy ，可化原二次型为标准形2212312(,,)22f x x x y y =+． （3）由),,(321x x x f ==+222122y y 0，得1230,0,y y y k ===（k 为任意常数）．从而所求解为 ()12330,,00c k c k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪====- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x Qy ηηηη，其中c 为任意常数．21．设A 是n 阶实对称矩阵，且2=A A ，证明存在正交矩阵P 使得1r-⎛⎫=⎪⎝⎭E P AP 0．证明 根据定理，对于n 阶实对称矩阵，存在正交矩阵1P 使得12111n λλλ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，其中12,,,n λλλ 是A 的n 个特征值．由于2=A A ，故A 的特征值满足2λλ=，即0,1λ=．设()R r =A ，则12,,,n λλλ 这n 个数中有r 个1，n r -个0．调整12,,,n λλλ 的顺序使得前r 个数为1，后n r -个为0，相应地调整1P 的列，得到P ，P 仍为正交矩阵，且1r-⎛⎫= ⎪⎝⎭E P AP 0． 22．设A 是n 阶实对称矩阵，且2=A E ，证明存在正交矩阵P 使得1rn r --⎛⎫= ⎪-⎝⎭E P AP E ． 证明 根据定理，对于n 阶实对称矩阵，存在正交矩阵1P 使得12111n λλλ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，其中12,,,n λλλ 是A 的n 个特征值．由于2=A E ，故A 的特征值满足21λ=，即1,1λ=-．设()R r =A ，则12,,,n λλλ 这n 个数中有r 个1，n r -个1-．调整12,,,n λλλ 的顺序使得前r 个数为1，后n r -个为1-，相应地，调整1P 的列得到P ，P 仍为正交矩阵，且1rn r --⎛⎫= ⎪-⎝⎭E P AP E ． 23．设A 是一个n 阶实对称矩阵，若对于任一n 维列向量都有T 0=x Ax ，则=A 0．证明 设T f =x Ax ，取T(0,,0,1,0,,0)i = x （i x 的第i 个坐标为1，其余都是0），则有 T 0i i ii f a ===x Ax ， 1,2,,i n = ．再取(,)T (0,,0,1,0,,0,1,0,,0)i j = x （(,)i j x 的第,i j 个坐标为1，其余都是0，i j ≠），则有 (,)T (,)0()2i j i j ii jj ij f a a a ===++x Ax ，所以0ij a =．综合可得=A 0．24． 设T ⎛⎫= ⎪⎝⎭AC D C B 为正定矩阵，其中A ,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为n m ⨯矩阵． （1）计算T P DP ，其中1m n -⎛⎫-= ⎪⎝⎭E A C P O E ； （2）利用（1）的结果判断矩阵T 1--B C A C 是否为正定矩阵，并证明你的结论．解 （1）由T 1m T n -⎛⎫= ⎪-⎝⎭E O P C A E ，有 1T1T T 1m m T n n ---⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭E O A C A O E A C P DP =C A E C B O B C A C O E ． （2）矩阵T 1--B C A C 是正定矩阵．由（1）的结果可知，矩阵D 合同于矩阵T 1-⎛⎫ ⎪-⎝⎭A O M =OBC A C ． 由D 为正定矩阵可知，矩阵M 为正定矩阵．因矩阵M 为对称矩阵，故T 1--B C A C 为对称矩阵．对T (0,0,,0)= x 及任意的T 12(,,,)n y y y =≠ y 0，有()T TT T 1T 1,()0--⎛⎫⎛⎫=-> ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭A 0x x y y B C A C y 0B C A C y ，故T 1--B C A C 为正定矩阵．。
大学线性代数课件相似矩阵及二次型5.1
特征多项式 f ( ) 是 的 n 次多项式，
f () | I A|
n b1n1 b2n2 bn1 bn
n
n ( aii )n1 b2n2 bn1 (1)n | A| .
i 1
三、特征值与特征向量的求解方法
1
(3) 当 2 3 时，由 (3I A ) x 0 有
2 2 x1 0 , 2 2 x2 0
A 1 2 2 1
求解得基础解系为 1 .
1
故A 的属于特征值的 2 3所有特征向量为
X k k 1 , (k 0).
1
显然
11
与
1 1
线性无关。
性质2 设 0 为 A 的特征值，则有
(1) 0 为 AT 的特征值；
(2) k 0 为 k A 的特征值 (k 0);
(3)
若
A
可逆，则
1 0
为
A1
的特征值。
证明
(1) 由 | 0 I A| 0 , |0I AT | 0;
(2) 由 A X 0 X , (k A)X (k0 )X ;
所以向量组 X1, X 2, , X r 线性无关.
2. 对于n 阶矩阵A,如果 0是 A 的特征方程的 k 重根， 则矩阵A对应于特征值 0的线性无关的特征向量的
个数 k .
证明 (略)
表明 对于 n 阶矩阵 A，不一定能找到 n 个线性无关的特征 向量，除非对于 A 中的任意一个特征值，其线性无关 的特征向量的个数正好等于该特征值的重数。
1 0
1 0
~
4 0
1 0
1 0,
4 1 1 0 0 0
第五章 相似矩阵及二次型 线性代数 含答案
第五章 相似矩阵及二次型5.4.1 基础练习 1. (1223),(3151),(,)αβαβ==∠求.2. 若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则1213A -⎛⎫⎪⎝⎭的一个特征值为 .3. 试证ｎ阶方阵Ａ的满足2A A =，则Ａ的特征值为0或者1.4.已知三维向量空间中，12(111),(121)TTαα==-正交，试求3123,,αααα，使得是三维向量空间的一个正交基.5. 已知向量1(111)T α=，求3R 的一个标准正交基.6. 已知122224242A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，问A 能否化为对角阵？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.7. 将二次型222123121323171414448f x x x x x x x x x =++---，通过正交变换x Py =化成标准型.8. 判别二次型()222123123121323,,55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定？5.4.2 提高练习1. 设n 阶实对称矩阵A 满足2A A =，且A 的秩为r ，试求行列式det(2E －A).2. 设460350361A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，问A 能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使得-1P AP 为对角阵.3. 已知实对称矩阵220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，分别求出正交矩阵P ，使1P AP -为对角阵. 4. 化二次型()123121323,,f x x x x x x x x x =++为标准形，并求所作的可逆线性变换.5. 设A，B分别为m阶，n阶正定矩阵，试判定分块矩阵ACB⎛⎫= ⎪⎝⎭是否为正定矩阵？6. 判别二次型22256444f x y z xy xz=---++的正定性.7. 判断下列两矩阵A，B是否相似11100111100,111100nA B⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第五章 参考答案5.4.1 基础练习 1.[,]cos ||||||||4αβπθθαβ===∴=2.34. 3.略.4. 设3123()0Tx x x α=≠，则[][]1223,0,,0αααα==，即 12313312321002001x x x x x x x x x α-⎛⎫++==-⎧⎧ ⎪⇒⇒=⎨⎨ ⎪-+==⎩⎩ ⎪⎝⎭5. 设非零向量23,αα都与2α正交，即满足方程11230,0T x x x x α=++=或者，其基础解 系为： 12100,111ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 令 121321101,0,1111ααξαξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1）正交化令 121122121111[,]1,0,[,]11βαβαβαβαββ⎛⎫⎛⎫⎪⎪===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1323233312321122221[,][,][,]12[,][,][,]21βαβαβαβαββαβββββββ-⎛⎫⎪=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭2）标准化令1||||i i i ςββ=，则1231111,0,2111ςςς-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎭⎭⎭6. 由2122224(2)(7)242A E λλλλλλ---=---=--+--得，1232,7λλλ===-将12λ=λ=2代入()1A-λE x=0，得方程组 12312312322024402440x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩解值得基础解系 12200,111αα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理，对3λ=-7，由()3A-λE x=0，求得基础解系()31,2,2Tα=，由于201120112≠，所以123,,ααα线性无关，即A 有3个线性无关得特征向量，因而A 可对角化，可逆矩阵为：123201(,,)012112P ααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭7. 第一步，写出对应得二次型矩阵，并求其特征值 172221442414A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭， ()()2172221441892414A E λλλλλλ---⎛⎫⎪-=---=-- ⎪⎪---⎝⎭，从而A 的全部特征值为1239,18λλλ===。
相似矩阵与二次型习题课1
工 程 大 学 线 性 代 数 电 子 教 案
10 2 0 0 1 10 1 1 1 10 1 10 A PP PP PP P P P 0 2 0 P 0 0 1
2 2 0 8. 求一个正交相似变换矩阵P，将 A 2 1 2 0 2 0
求 A, A10
由于A可对角化，故存在可逆矩阵 P [ p1 , p2 , p3 ] 使
工 程 大 学 线 性 代 数 电 子 教 案
2 0 0 P 1 AP 0 2 0 0 0 1 0 1 1 又 P 1 1 1 1 1 0
工 程 大 学 线 性 代 数 电 子 教 案
一、重点与难点 1. 线性无关向量组的正交规范化方法
2. 方阵的特征值与特征向量的证明问题
3. 判断方阵可否对角化 4. 求一正交阵，使实对称阵正交相似于对角阵
工 程 大 学 线 性 代 数 电 子 教 案
二、基础知识
（一）方阵的特征值与特征向量
1. 定义
a 2 b2 c1
3 2 1 0 0 a A 2. 已知 可对角化，求a 0 0 0
解： 由于A可对角化，则A有3 个线性无关的特征向 量。A的特征值 1 3, 2 3 0
工 程 大 学 线 性 代 数 电 子 教 案
* 2 A 3E ( 则
)
解答： 126
工 程 大 学 线 性 代 数 电 子 教 案
1 k 1 例3：已知 是 的特征向量， A 1 2 1 1 A 1 2 1 1 1 2
解答： 1或-2 则
k( )
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5.8相似矩阵及二次型(习题课)
2 . (1) x = 1, y = − 1;
第 五 章
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2 0 0 0 18 0 ; 3. (1) 0 0 - 6
1 −2 2 2 −1 −2 U 4.可对角化， = 2 2 1
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1.(7 (1) t 的
; (2) 对应
.
2.(10分) 设矩阵A与B相似，其中
(1) 求x和y的值；;
第 五 章
(2) 求可逆矩阵P, 使锝 3.(10分) 设矩阵 矩阵A的 求 值 其相似 的值 矩阵； 值
1, 2, −1,
上 页 下 页 返 回 结 束
(1) 矩阵B的 (2) |B|
相似, 则 x = _____, y = _____ .
第 五 章
5.二次型 矩阵 6. _______ , __________
二次型
上 页 下 页 返 回 结 束
.
7.矩阵 对应的二次型是_________。 8.当 t 满
的。 二 40 ) 2是矩阵 2的 的 ,
第五章
测试题
一、填空题(每小题4分，共32分)．
* | 1.设A是n 阶方阵，A 是A的伴随矩阵， A |= 2, * 则矩阵 B = AA 的特征值是 ___, 特征向量是 ___。
第 五 章
2. 三阶方阵A的特征值为 1, −1, 2 则
B = 2 A − 3A
3.设
3
2
的特征值是 ___.
上 页 下 页 返 回 结 束
−1 1 0 −1 −4 1 −4 3 0 , B = 1 3 0 A= 1 0 2 0 0 2
ds4-4第四章 相似矩阵及二次型
其中 Λ是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角矩阵.
推论 设 A 为 n 阶对称矩阵，λ是 A 的特征方程的 k 重根， 则矩阵 A E的秩 R A E =n－k, 从而对应特征值 λ恰有 k 个 线性无关的特征向量. 证 设n 阶对称矩阵A 的特征值为 1 ,, n , 其中k个为 , 则由定理7知 A 与 diag (1 ,, n ) 相似，
1 1 对于 1 1, A E 1 1
1 1 0 0 ,
1 得 1 , 1
9
1 1 对于 1 3, A 3E 1 1
1 1 0 0 ,
1 3n 1 3n 1 1 3 n 1 3 n . 2
10
三、小结
1. 对称矩阵的性质： (1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向 量单位化；(4)最后正交化．
(1) 求出 A 的互不相等的特征值 它们的重数依次为
1 , 2 ,, s ,
r1 , r2 , , rs , (r1 r2 rs n).
对应特征值 i (i 1,2, s ),
(2) 由定理 5 及定理 7 知,
恰有 ri 个线性无关的实特征向量, 把它们正交化并单位化,
§4 对称矩阵的对角化
定理1 实对称矩阵的特征值为实数.
证明 设复数为对称矩阵A的特征值 , 复向量x为
对应的特征向量 ,
即 Ax x , x 0.
相似矩阵习题答案
相似矩阵、二次型部分例题参考答案（一）特征值，特征向量的求法例1 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=144241422217A 的特征值与特征向量。
解1818041422217144241421217----=---=-λλλλλλλλA E ()172218214411λλλ-=---()174218210401λλλ-=-- ()()()()918162271822--=+--=λλλλλ得到特征值是1821==λλ，93=λ当18=λ时，由()018=-x A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000221442442221得基础解系()T0,1,21-=α，()T 1,0,22-=α因此属于特征值18=λ的特征向量是2211ααk k +（1k ，2k 不全为零）当9=λ时，由()09=-x A E ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000110102000110452542452228得基础解系()T2,2,13=α，因此属于特征值9=λ的特征向量是33αk （03≠k ）例2 设矩阵322232223A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭010101001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1*P A P β-=，求2B E +的特征值与特征向量，*A 为A 的伴随矩阵，E 为三阶单位阵。
解：计算*522252225A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，1011100001P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1*700254223B P A p -⎛⎫⎪==-- ⎪ ⎪--⎝⎭从而 9002274225B E ⎛⎫ ⎪+=-- ⎪ ⎪--⎝⎭[]2(2)(9)(3)E B E λλλ-+=-- 129λλ==时，1(1 1 0)T η=-，2(2 0 1)T η-；33λ=时，3(0 1 1)T η=例3 设n 阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111 b b b b b b A （1）求A 的特征值和特征向量；（2）求可逆阵P ，使AP P 1-为对角阵。
《线性代数》第五章相似矩阵及二次型精选习题及解答
故， β 3 = ( −
1 3
1 3
1 3
1) T ⇒ γ 3 =
β3 3 = (− 6 β3
3 6
3 3
3 T ) 2
⎛ 3 2 4⎞ ⎜ ⎟ 例 5.3 计算 3 阶矩阵 A＝ 2 0 2 的全部特征值和特征向量. ⎜ ⎟ ⎜ 4 2 3⎟ ⎝ ⎠
n n
f ( x) = xT Ax ，其中 A T = A .
6．熟悉矩阵 A 合同（或相合）于 B 的定义，理解合同关系是等价关系. 7．熟练掌握化二次型 xT Ax 为平方和（标准形）或求实对称矩阵 A 的相合标准形的 3 种方法：正交变换法；配方法；和同型初等行、列变换法. 8．了解惯性定理，会求矩阵 A 的正、负惯性指数和符号差，会求二次型的规范形. 9．熟练掌握正定二次型（正定矩阵）的定义和判别方法. 10．熟悉实对称矩阵 A 正定（二次型正定）的各种等价命题（正定的充要条件）. 11．理解 A 正定的必要条件： a ii > 0( i = 1, 2, L , n ); det( A ) > 0 . 12． 会利用正交变换化二次型为标准型和极坐标平移方法判别一般二次曲线和曲面的类 型.
故 A 是正交矩阵. 例 5.2 已知向量 α 1 = (1,1, 0, 0 ) , α 2 = (1, 01, 0 ) , α 3 = ( − 1, 0, 0,1) 是线性无关向
T T T
量组，求与之等价的正交单位向量组. 解法一 先正交化，再单位化 (1) 取 β 1 =
α1
(2) 令 β 2 = k β 1 + α 2 ，使得 β2 与 β 1 正交
T −1 ∗
5.3 例题分析
例 5.1 设 a 是 n 阶列向量， E 是 n 阶单位矩阵，证明 A = E −
同济大学线性代数课件__第五章相似矩阵及二次型
p3
0 4
30
设
1 0 1
P ( p1, p2 , p3 ) 0 1 0
1 1 4
则
1
P 1AP 2
2
31
性质：若l 是 A 的特征值, 即 Ax = lx (x≠0)，则
(1) kl 是 kA 的特征值(k是常数)，且 kAx = klx (2) lm 是 Am 的特征值(m是正整数)，且 Amx = lmx (3) 若 A可逆，则l-1是 A-1的特征值, 且 A-1x = l-1x
16
定义4 若 n 阶矩阵 A 满足 A A E 则称 A 为正交矩阵, 且 A1 A
令 A (1,2 , ,n )
A
A
1
2
(1
,
2
,
n
,n
)
11
21
n1
故
[i , j ] i j
ij
1, 0,
i i
j j
1 2 2 2
n 2
1 n 2 n
nn
17
特征值及二次型问题是线性代数的重要问题。
[ x ty, x ty] 0, t [ x, x] 2[ x, y]t [ y, y]t 2 0
(1) [ x, y ] = [ y, x ]; [ x, y]2 [x, x][ y, y]
(2) [lx, y] = l[ x, y ];
(3) [ x + y, z ] = [ x, z ] + [ y, z ];
解: (1) A2 2A 3E 有特征值 l 2 2l 3
(2) 3阶阵 A有特征值 1, -1, 2，故 | A | 2，A可逆。 A 3A 2E 有特征值 -1，-3，3
线性代数课件第五章相似矩阵及二次型-习题课
证明二次型经过可逆线性变换后，其标准型不变 。
综合练习题
选择题
给定矩阵A和B，判断以下哪些说法是 正确的？
解答题
求矩阵A的特征值和特征向量，并判断 A是否可对角化。如果可对角化，求出 相似对角矩阵。
THANK YOU
感谢聆听
• 解析：首先，我们需要找到矩阵$A$的特征值和特征向量。通过计算，我们得 到特征值$\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2$，以及对应的特征向量$\alpha_1 = (1, -1)^T, \alpha_2 = (1, 1)^T$。然后，我们构造矩阵$P = (\alpha_1, \alpha_2) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ -1 & 1 \end{pmatrix}$，并验证$P^{1}AP = B$。
线性代数课件第五章相似矩阵 及二次型-习题课
目
CONTENCT
录
• 相似矩阵的定义与性质 • 二次型的定义与性质 • 习题解析与解答 • 解题技巧与注意事项 • 课后练习与巩固
01
相似矩阵的定义与性质
定义与性质
相似矩阵的定义
如果存在一个可逆矩阵P，使得 $P^{-1}AP=B$，则称矩阵A与B相 似。
100%
特征值问题
在解决特征值问题时，可以利用 相似变换将原矩阵转化为易于计 算的形式。
80%
数值计算
在数值计算中，可以利用相似变 换来加速计算过程和提高计算精 度。
02
二次型的定义与性质
二次型的定义
二次型是线性代数中的一种重要概念，它是一个多 项式函数，其自变量是一组向量，因变量是一个标 量。
综合习题解析
题目
线性代数第4章相似矩阵及二次型课件
则1,2 ,3 两两正交.
四、正交矩阵
定义 6 如果 n 阶矩阵 满足 T E 即1 T , 那么称 为正交矩阵，简称正交阵.
定理 2 设矩阵 是 n 阶方阵，则下列结论等价：
1 是 n 阶正交阵； 2 的列向量组是 n 的一个规范正交基； 3 的行向量组是 n 的一个规范正交基.
0 0 3
一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法
解 矩阵 A 的特征多项式为
1 0 0
A E 0 2 0 1 2 3 ,
0 0 3
所以 A 的全部特征值为 1 1 , 2 2 , 3 3.
由此例可知，对角矩阵的全部特征值就是它的对角线上的元素.
一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法
1 1
1 2
11，
3 应满足齐次线性方程组 Ax 0， 即
1 1
1 2
1 1
x1 x2 x3
0 0
，
对系数矩阵 A 实施初等行变换，有
A
1 1
1 2
1 1
1 0
1 3
1
0
1 0
0 1
01，
得
x1 x2
x3 0
，
从而有基础解系
1 0 1
.
1
取3
0
1
，则3 为所求.
正交矩阵具有如下性质：
(i) 若 A 为正交阵,则 A1 AT 也是正交阵，且 A 1或 1；
(ii) 若 A 和 B 都是正交阵，则 AB 也是正交阵.
定义 7 若 P 为正交矩阵，则线性变换 y Px 称为正交变换. 设 y Px 为正交变换， 则有 y yT y xTPTPx xT x x . 因此正交变换保持向量的长度不变.
线性代数习题册(第五章 相似矩阵及二次型参考答案)
二、计算题
7. 用施密特（Schimidt）正交化过程将向量= 组α1
1 = 1 ,α2 1
1 = 2 ,α3 3
1
4
规范正交化.
9
解：根据施密特正交化方法,
1
b=1
a=1
1
,
1
−1
b2
= a2 − [[bb11,,ab12
−1
=
1 2
0 1
,
b3
=
= b3 | b3 |
1
1 6
−2 1
。
三、证明题
8. 设α 是一个 n 维非零列向量，试证 A=
E
−
α
2 Tα
αα
T
是一个正交矩阵.
解：
AT
A
= E − α2Tα αα
T
T
E
−
2 αTα
αα
T
( A) λ −1 A n
(B) λ −1 A
(C ) λ A
( D) λ −1 A n−1
分析：设 Aξ = λξ ，又 A 可逆，所以 A−1ξ = 1 ξ ， | A | A−1ξ =| A | 1 ξ
λ
λ
⇒ A*ξ = | A | ξ ， λ
5. 设 3 阶矩阵 A 的特征值为1, 3, 5 ，则 A 的行列式 A 等于（ D ）.
第五章 相似矩阵及二次型
单元 12 向量的内积与正交性
一、选择题
1. 设 x, y ∈ Rn , [ x, y] 表示向量 x 与 y 的内积，则下列不正确的是（ D ）.
历年数二 相似矩阵与二次型
第五章 相似矩阵与二次型5.1内积及性质112~111P 5.2正交向量组114~112P 5.3正交矩阵及性质116~115P 5.4特征值与特征向量120~117P 5.5相似矩阵121P5.6实对称矩阵125~124P5.7二次型及标准型129~127P 5.8两矩阵合同129P5.9线性变换30P ；逆变换42P ；用正交变换化二次型为标准型129P 5.10正定二次型；负定二次型134~132P 5.11矩阵的等价、相似、合同（1）A 与B 等价⇔A 经过初等变换化为B B PAQ =⇔，其中Q P ,可逆()()B r A r =⇔，且B A ,同型矩阵（2）A 与B 相似B AP P =⇔-1（3）A 与B 合同B AC C T =⇔，C 可逆Ax x T ⇔,Bx x T有相同的正、负惯性指数 题型5.1 矩阵的特征值和特征向量及其逆问题例5.1.1（98，3）设向量Tn a a a ),,,(21 =α，Tn b b b ),,,(21 =β都是非零向量，且满足条件0=βαT，记n 阶矩阵TA αβ=，求：(1)2A ；(2)矩阵A 的特征值和特征向量.分析：注意利用矩阵运算的特殊性：βαT为数，Tαβ为矩阵 详解：（1）由TA αβ=和0=βαT,有0)()()())((2======TTTTTTTTTAA A αββααβαββαβααβαβ 即2A 为n 阶零矩阵。
（2）设x Ax λ=,)0(≠x ,因为02=A ,于是x Ax x A 220λλ===，又知0≠x ， 故0=λ，即A 的特征值全为零。
不妨设向量βα,中的分量0,011≠≠b a ， 对齐次线性方程组0)0(=-x A E 的系数矩阵施以初等行变换：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-00000021212221212111 n n n n n n n b b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a A ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==---=nn nn x x x x x b b x b b x 2212121 由此可得该方程组的基础解系为 T n n T T b bb b b b )1,,0,0,(,,)0,,1,0,(,)0,,0,1,(11132121 -=-=-=-ααα 于是，A 的属于特征值0=λ的全部特征向量为）是不全为零的任意常数121112211,,,(---+++n n n c c c c c c ααα评注：题中假定011≠b a ，消元最简单。
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电
a11 a12 a1n
子
教 案
E A a21
a22
a2n
fA( )
an1 an2 ann
特征方程 fA( ) E A 0, 其解为A的特征值。
工
程 （2）特征向量：i E Ax 0 的非零解。
大
学 3. 性质
线
性 （1）设 是 A 的特征值，则 k 是 Ak 的特征值 ;
a 2
b
2
c 1
线
性
3 2 1
代 数
2. 已知 A 0 0
a
可对角化，求a
电
0 0 0
子
教 解： 由于A可对角化，则A有3 个线性无关的特征向
案
量。A的特征值 1 3,2 3 0
与 2 3 0 对应的特征向量中存在2个线性无关的 。
工
程 大
即 (0E A)x 0 的基础解系中含有两个解 。
学
线 R( A) 1
a0
性
代
1 1 1
2 0 0
数 电
3.
设A与B相似，A
2
4 2 B 0 2 0
子
3 3 a
0 0 b
教
案
(1)求a , b (2)求可逆阵P，使 P1AP B
工 解： (1)由A与B相似得A的特征值为2，2，6. 所以
程
大
学 1 4 a 4 b
线
A 4b
性
a 5 b 6
代 数
(2) 1 2 2 时， (2E A)x 0,
电
子
1 1 1 1 1 1
教 案
2E - A 2 2
2
0
0
0
3 3 3 0 0 0
工
1 1
程 大
基础解系为：
P1
1
,
P2
0
学
0 1
线
性
代 3 6时，
(6E A)x 0
数 电 子 教 案
5
6E - A 2 3
1 2 3
1 1
2
3
1 5
1 3 1
1 1
1
0
1 0
1 6 6
1
4
4
1 0 0
0
1 0
1
3
2
3 0
1
工 程
基础解系为： P3 2
大
3
学
线
性故
代
数 电 子 教
案使
1 1 1
P
p1,
p2 ,
p3 1Biblioteka 0 20 1 3
2 0 0
P 1 AP 0 2 0 0 0 6
线
性 （5）不同特征值对应的特征向量必线性无关。
代
数 （二）相似矩阵、相似变换
电
子 教
1. 定义
P1 AP B
案
2. 性质： 若A与B相似，则有
（1）A与B有相同的特征多项式，特征值。
工 程
（2）
trA trB; A B; R( A) R(B)
大 学
（3）若A可逆，则B可逆，且
A1与 B1也相似。
线
0 1 1
1 1 0
性 代
又 P 1 1 1
P 1
1
1
1
数
1 1 0
0 1 1
电
子
2 0 0
2 3 3
教 案
所以 A P 0 2 0 P 1 4 5 3
0 0 1
4 4 2
210
工 程 大 学
A10
代
数
f ( ) 是 f ( A) 的特征值.
电
子 教
（2）1,2 , ,n
是 Ann
的特征值，则
案
1 2 n a11 a22 ann;12 n A
（3）若A是可逆阵，则A的特征值都不为零，其
工 程
A1 的特征值为 1
大
A*
的特征值为
A
学 （4）A 与 AT 的特征多项式相同，特征值相同。
线 将方阵A对角化的步骤：
性
代 数
1.
求A的特征值 1,2 , ,n
电 子
2.
求 i (i 1,2, , n) 对应的特征向量。
教
案 （四）实对称阵 AT A
（1）实对称阵的特征值都是实数，特征向量都是实向量
工 程
（2）实对称阵的不同特征值对应的特征向量必正交。
大
学 （3）实对称阵A可对角化，且都可正交相似于对角阵。
三、典型例题
工
a 1 c
程 大
1.
设
A
0
b
0
有一个特征值
1
2,
学
4 c 1 a
线
1
性 代
对应的特征向量为 P1 2
求 a, b, c.
数
2
电
子
a 1 c 1 1
教 解：
案
AP1 P1
即
0
b
0
2
22
4 c 1 a2 2
工 a 2 2c 2
程 大 学
2b 4
4 2c 2 2a 4
1
2 1 2
工 程
4.
已知
P
1
是矩阵 A
5
a
3
的一个
大
1
1 b 2
学
线 特征向量。
性
代 （1）求a, b及特征向量P所对应的特征值。
数 电
（2）问A能否对角化？说明理由。
子
教 案
解：
1
(1)
AP P
即
2
a
b 1
a 3
b
0
1
2 1 2
工
程 (2) E A 5 3 3 ( 1)3
工 一、重点与难点
程
大
学 1. 线性无关向量组的正交规范化方法
线
性 2. 方阵的特征值与特征向量的证明问题
代
数 电
3. 判断方阵可否对角化
子
教 4. 求一正交阵，使实对称阵正交相似于对角阵
案
工 二、基础知识
程
大 （一）方阵的特征值与特征向量
学
线
1. 定义 Ax x, x 0
性
2. 求法
代
数 （1）特征多项式
大 学
1 0 2
线 故 1 2 3 1 是A的特征值。
性
代
3 1 2 1 0 1
数 电
( E A)x 0,(E A) 5
2
3 0
1
1
子
1 0 1 0 0 0
教
案 与 1 对应的A的线性无关的特征向量只有一个，
故A不能对角化。
工 程
7. 设三阶矩阵 A 的特征值为 1 2,2 2,3 1;
大 学
对应的特征向量分别为：
线
性 代
0 P1 1,
1 P2 1,
1 P3 1
求 A, A10
数
1
1
0
电
子 解：
教
案
由于A可对角化，故存在可逆矩阵 P [ p1, p2 , p3 ] 使
2 0 0
2 0 0
工 程 大 学
P 1 AP 0 2 0 0 0 1
A P 0 2 0 P 1 0 0 1
线 （4） Ak 与 Bk 相似 ，相似变换阵仍为P。
性 代
（5） f ( A) 与 f (B) 相似
。
数 电
（三）方阵的对角化
子
教
案 1. 定义
1
P 1 AP
n
2. n阶方阵 A可对角化 A有n个线性无关的特征向量。
工
程
大 推论： 若n阶方阵 A有n个互不相同的特征值，则A 学 一定可以对角化。
线 性
将实对称阵A正交相似对角阵的计算步骤：
代 1. 求A的特征值
数
电 2. 求 i (i 1,2, , n) 对应的特征向量1,2 , ,n
子 教
3.
将 1,2 , ,n 正交规范化得到 p1, p2 , , pn
案
4. 构造矩阵P= p1, p2 , , pn ,P正交阵，使 PT AP