相似矩阵与二次型习题课

大 学
对应的特征向量分别为：
线
性 代
0 P1 1,
1 P2 1,
1 P3 1
求 A, A10
数
1
1
0
电
子 解：
教
案
由于A可对角化，故存在可逆矩阵 P [ p1, p2 , p3 ] 使
2 0 0
2 0 0
工 程 大 学
P 1 AP 0 2 0 0 0 1
A P 0 2 0 P 1 0 0 1
三、典型例题
工
a 1 c
程 大
1.
设
A
0
b
0
有一个特征值
1
2,
学
4 c 1 a
线
1
性 代
对应的特征向量为 P1 2
求 a, b, c.
数
2
电
子
a 1 c 1 1
教 解：
案
AP1 P1
即
0
b
0
2
22
4 c 1 a2 2
工 a 2 2c 2
程 大 学
2b 4
4 2c 2 2a 4
线 将方阵A对角化的步骤：
性
代ຫໍສະໝຸດ Baidu数
1.
求A的特征值 1,2 , ,n
电 子
2.
求 i (i 1,2, , n) 对应的特征向量。
教
案 （四）实对称阵 AT A
（1）实对称阵的特征值都是实数，特征向量都是实向量
工 程
（2）实对称阵的不同特征值对应的特征向量必正交。
大
学 （3）实对称阵A可对角化，且都可正交相似于对角阵。
代
数
f ( ) 是 f ( A) 的特征值.
电
子 教
（2）1,2 , ,n
是 Ann
的特征值，则
案
1 2 n a11 a22 ann;12 n A
（3）若A是可逆阵，则A的特征值都不为零，其
工 程
A1 的特征值为 1
大
A*
的特征值为
A
学 （4）A 与 AT 的特征多项式相同，特征值相同。
a 2
b
2
c 1
线
性
3 2 1
代 数
2. 已知 A 0 0
a
可对角化，求a
电
0 0 0
子
教 解： 由于A可对角化，则A有3 个线性无关的特征向
案
量。A的特征值 1 3,2 3 0
与 2 3 0 对应的特征向量中存在2个线性无关的 。
工
程 大
即 (0E A)x 0 的基础解系中含有两个解 。
线 性
将实对称阵A正交相似对角阵的计算步骤：
代 1. 求A的特征值
数
电 2. 求 i (i 1,2, , n) 对应的特征向量1,2 , ,n
子 教
3.
将 1,2 , ,n 正交规范化得到 p1, p2 , , pn
案
4. 构造矩阵P= p1, p2 , , pn ,P正交阵，使 PT AP
线
性 （5）不同特征值对应的特征向量必线性无关。
代
数 （二）相似矩阵、相似变换
电
子 教
1. 定义
P1 AP B
案
2. 性质： 若A与B相似，则有
（1）A与B有相同的特征多项式，特征值。
工 程
（2）
trA trB; A B; R( A) R(B)
大 学
（3）若A可逆，则B可逆，且
A1与 B1也相似。
电
a11 a12 a1n
子
教 案
E A a21
a22
a2n
fA( )
an1 an2 ann
特征方程 fA( ) E A 0, 其解为A的特征值。
工
程 （2）特征向量：i E Ax 0 的非零解。
大
学 3. 性质
线
性 （1）设 是 A 的特征值，则 k 是 Ak 的特征值 ;
大 学
1 0 2
线 故 1 2 3 1 是A的特征值。
性
代
3 1 2 1 0 1
数 电
( E A)x 0,(E A) 5
2
3 0
1
1
子
1 0 1 0 0 0
教
案 与 1 对应的A的线性无关的特征向量只有一个，
故A不能对角化。
工 程
7. 设三阶矩阵 A 的特征值为 1 2,2 2,3 1;
5
6E - A 2 3
1 2 3
1 1
2
3
1 5
1 3 1
1 1
1
0
1 0
1 6 6
1
4
4
1 0 0
0
1 0
1
3
2
3 0
1
工 程
基础解系为： P3 2
大
3
学
线
性故
代
数 电 子 教
案使
1 1 1
P
p1,
p2 ,
p3
1
0 2
0 1 3
2 0 0
P 1 AP 0 2 0 0 0 6
线 （4） Ak 与 Bk 相似 ，相似变换阵仍为P。
性 代
（5） f ( A) 与 f (B) 相似
。
数 电
（三）方阵的对角化
子
教
案 1. 定义
1
P 1 AP
n
2. n阶方阵 A可对角化 A有n个线性无关的特征向量。
工
程
大 推论： 若n阶方阵 A有n个互不相同的特征值，则A 学 一定可以对角化。
工 一、重点与难点
程
大
学 1. 线性无关向量组的正交规范化方法
线
性 2. 方阵的特征值与特征向量的证明问题
代
数 电
3. 判断方阵可否对角化
子
教 4. 求一正交阵，使实对称阵正交相似于对角阵
案
工 二、基础知识
程
大 （一）方阵的特征值与特征向量
学
线
1. 定义 Ax x, x 0
性
2. 求法
代
数 （1）特征多项式
线
0 1 1
1 1 0
性 代
又 P 1 1 1
P 1
1
1
1
数
1 1 0
0 1 1
电
子
2 0 0
2 3 3
教 案
所以 A P 0 2 0 P 1 4 5 3
0 0 1
4 4 2
210
工 程 大 学
A10
A 4b
性
a 5 b 6
代 数
(2) 1 2 2 时， (2E A)x 0,
电
子
1 1 1 1 1 1
教 案
2E - A 2 2
2
0
0
0
3 3 3 0 0 0
工
1 1
程 大
基础解系为：
P1
1
,
P2
0
学
0 1
线
性
代 3 6时，
(6E A)x 0
数 电 子 教 案
学
线 R( A) 1
a0
性
代
1 1 1
2 0 0
数 电
3.
设A与B相似，A
2
4 2 B 0 2 0
子
3 3 a
0 0 b
教
案
(1)求a , b (2)求可逆阵P，使 P1AP B
工 解： (1)由A与B相似得A的特征值为2，2，6. 所以
程
大
学 1 4 a 4 b
线
1
2 1 2
工 程
4.
已知
P
1
是矩阵 A
5
a
3
的一个
大
1
1 b 2
学
线 特征向量。
性
代 （1）求a, b及特征向量P所对应的特征值。
数 电
（2）问A能否对角化？说明理由。
子
教 案
解：
1
(1)
AP P
即
2
a
b 1
a 3
b
0
1
2 1 2
工
程 (2) E A 5 3 3 ( 1)3