实数典型例题(培优)

实数典型问题精析（培优）

例1．（2009的相反数是（ ）

A ．

B

C ．2-

D ．2

分析：本题考查实数的概念――相反数，要注意相反数与倒数的区别，实数a 的相反数是-a ，选A .要谨防将相反数误认为倒数，错选D.

例2．（2009年江苏省中考题）下面是按一定规律排列的一列数：

第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

； ……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

． 那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（A ） A ．第10个数

B ．第11个数

C ．第12个数

D ．第13个数

解析：许多考生对本题不选或乱选，究其原因是被复杂的运算式子吓住了，不善于从复杂的式子中寻找出规律，应用规律来作出正确的判断.也有一些考生尽管做对了，但是通过写出第10个数、第11个数、第12个数、第13个数的结果后比较而得出答案的，费时费力，影响了后面试题的解答，造成了隐性失分.本题貌似复杂，其实只要认真观察，就会发现，从第二个数开始，减数中的因数是成对增加的，且增加的每一对数都是互为倒数，所以这些数的减数都是

21，只要比较被减数即可，即比较14

1131121111、、、的大小，答案一目了然.

例3（荆门市）定义a ※b ＝a 2－b ，则(1※2)※3＝＿＿＿.

解 因为a ※b ＝a 2－b ，所以(1※2)※3＝(12－2)※3＝(－1)※3＝(－1)2－3＝－2.故应填上－2. 说明：求解新定义的运算时一定要弄清楚定义的含义，注意新定义的运算符号与有理数运算符号之间的关系，及时地将新定义的运算符号转化成有理数的运算符号. 例4（河北省）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、…，这样的数称为“正方形数”.从如图所示中可以发现，任何一个

4=1+3 9=3+6

16=6+10 …

大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.下列等式中，符合这一规律的是（ ）

A.13＝3+10

B.25＝9+16

C.36＝15+21

D.49＝18+31

解 因为15和21是相邻的两个“三角形数”，且和又是36，刚好符合“正方形数”，所以36＝15+21符合题意，故应选C .（说明 本题容易错选B ，事实上，25虽然是“正方形数”，而9和16也是“正方形数”，并不是两个相邻“三角形数”）.

例5．（2009

2()x y =+，则x －y 的值为（ ）

A ．－1

B ．1

C ．2

D ．3

分析：因为x-1≥0，1-x ≥0，所以x ≥1，x ≤1，即x ＝1.而

由2()x y =+，有1+y ＝0，所以y ＝-1，x －y ＝1-（1）＝2.

例6．（2009年宜宾市中考题）已知数据：

13

，π，－2．其中无理数出现的频率为( )

A ．20％

B ．40％

C ．60％

D ．80％ 分析：，2

2

和都是无理数；л是无限不循环小数，也是无理数；而3

1，-2都是有理数，所以无理数出现的频率为53＝0.6＝60％，选C ． 例7．为了求2008322221++++ 的值，可令S ＝2008322221++++ ，则2S ＝

20094322222++++ ，因此2S-S ＝122009-，所以2008322221++++ ＝122009-．仿照以上推理计算出20093255551+++++ 的值是（ ）

A ．152009- B.15

2010- C.4152009- D.4152010-

解析：本题通过阅读理解的形式介绍了解决一类有理数运算问题的方法，利用例题介绍的方法，有：设S ＝2009

3255551+++++ ，则5S ＝201020093255555+++++ ，因此5S-S ＝20105-1，所以S ＝415

2010-，选D.

说明：你能从中得到解决这类问题的一般性规律吗？试一试.

例8． （2009年枣庄市中考题）a 是不为1的有理数，我们把11a

-称为a 的差倒．．数．．如：2的差倒数是1112

=--，1-的差倒数是111(1)2=--．已知113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依此类推，则2009a = ．

解析：首先要理解差倒数．．．

的概念，再按照要求写出一列数，从中找出规律，再应用规律来解决问题.根据题意可得到：113a =-，2a ＝433111=--）（，3a ＝4

311-＝4，4a ＝3

1411-=-，…，可见这是一个无限循环的数列，其循环周期为3，而2009＝669×3+2，所以a 2009与a 2相同，即2009a =34

． 典型例题的探索

（利用概念）例3. 已知：M a a b =++-82是a +8的算术数平方根，N b a b =--+324是b -3立方根，求M N +的平方根。

分析：由算术平方根及立方根的意义可知a +≥80

><=+-><=-+2342,122b a b a 联立<1><2>解方程组，得：a b ==13， 代入已知条件得：M N ==903，，所以M N +=+=+=903033

故M ＋N 的平方根是±3。

练习：1. 已知x y x y +=-=-234323，，求x y +的算术平方根与立方根。

2. 若一个正数a 的两个平方根分别为x +1和x +3，求a

2005的值。 （大小比较）例4. 比较a a a 、

、1的大小。 分析：要比较a a

a 、、1的大小，必须搞清a 的取值范围，由1a 知a ≠0，由a 知a ≥0，综合得a >0，此时仍无法比较，为此可将a 的取值分别为①01<1三种情况进行讨论，各个击破。当01<

a ==、.，显然有1a a a >> 当a =1时，a a

a ==1，当a >1时，仿①取特殊值可得a a a >>1