最新立体几何与空间向量
2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》空间向量及其运算
2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》§8.5空间向量及其运算最新考纲1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a ＝b相反向量方向相反且模相等的向量a 的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a ∥b 共面向量平行于同一个平面的向量2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量．(3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律①(λa )·b ＝λ(a ·b )；②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .4．空间向量的坐标表示及其应用设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).向量表示坐标表示数量积a·ba 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3共线a ＝λb (b ≠0，λ∈R )a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3垂直a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模|a |a 21＋a 22＋a 23夹角〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23概念方法微思考1．共线向量与共面向量相同吗？提示不相同．平行于同一平面的向量就为共面向量．2．零向量能作为基向量吗？提示不能．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量．3．空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？提示无关．这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面．(√)(2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．(×)(3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .(×)(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(×)(5)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.(√)(6)若a·b <0，则〈a ，b 〉是钝角．(×)题组二教材改编2．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是()A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案A解析BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .3．正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________．答案2解析|EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，∴|EF →|＝2，∴EF 的长为2.题组三易错自纠4．在空间直角坐标系中，已知A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是()A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直答案B解析由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)，∴AB →＝－3CD →，∴AB →与CD →共线，又AB 与CD 没有公共点，∴AB ∥CD .5．已知a ＝(2，3，1)，b ＝(－4，2，x )，且a ⊥b ，则|b |＝________.答案26解析∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2×(－4)＋3×2＋1·x ＝0，∴x ＝2，∴|b |＝(－4)2＋22＋22＝2 6.6．O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且OP →＝34OA →＋18OB →＋tOC →，若P ，A ，B ，C四点共面，则实数t ＝______.答案18解析∵P ，A ，B ，C 四点共面，∴34＋18＋t ＝1，∴t ＝18.题型一空间向量的线性运算例1如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)MP →＋NC 1→.解(1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP→＝－12a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，所以MP →＋NC 1→＋12b ＋＋12c ＝32a ＋12b ＋32c .思维升华用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．跟踪训练1(1)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________________.答案12AB →＋12AD →＋AA 1→解析∵OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，∴OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→.(2)如图，在三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示NM →，则NM →等于()A.12(－a ＋b ＋c )B.12(a ＋b －c )C.12(a －b ＋c )D.12(－a －b ＋c )答案B解析NM →＝NA →＋AM →＝(OA →－ON →)＋12AB→＝OA →－12OC →＋12(OB →－OA →)＝12OA →＋12OB →－12OC→＝12(a ＋b －c )．题型二共线定理、共面定理的应用例2如图，已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)求证：BD ∥平面EFGH .证明(1)连接BG ，则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH→＝EF →＋EH →，由共面向量定理的推论知E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ，所以BD ∥平面EFGH .思维升华证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P ，A ，B )共线空间四点(M ，P ，A ，B )共面PA →＝λPB →且同过点P MP →＝xMA →＋yMB→对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x )OB→对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y )OB→跟踪训练2如图所示，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．(1)向量MN →是否与向量AB →，AA 1→共面？(2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？解(1)∵AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →，∴MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝kC 1A →＋AB →＋kBC →＝k (C 1A →＋BC →)＋AB →＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB →＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k (AA 1→＋AB →)＝(1－k )AB →－kAA 1→，∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1→共面．(2)当k ＝0时，点M ，A 重合，点N ，B 重合，MN 在平面ABB 1A 1内，当0<k ≤1时，MN 不在平面ABB 1A 1内，又由(1)知MN →与AB →，AA 1→共面，∴MN ∥平面ABB 1A 1.综上，当k ＝0时，MN 在平面ABB 1A 1内；当0<k ≤1时，MN ∥平面ABB 1A 1.题型三空间向量数量积的应用例3如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；(2)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值．(1)证明设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p ，q ，r 三个向量两两夹角均为60°.MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB→＝12(q ＋r －p )，∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0.∴MN →⊥AB →，即MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD .(2)解设向量AN →与MC →的夹角为θ.∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ，∴AN →·MC →＝12(q ＋r －12p2－12q ·p ＋r ·q －12r ·2－12a 2cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2cos2－a 24＋a 22－＝a 22.又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →||MC →|cos θ＝32a ×32a ×cos θ＝a 22.∴cosθ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.思维升华(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角．(3)可以通过|a |＝a 2，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．跟踪训练3如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1→的长；(2)求BD 1→与AC →夹角的余弦值．解(1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2＋12＋6，∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为6.(2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b )＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1，∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1，→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.即BD 1→与AC →夹角的余弦值为66.1．已知a ＝(2，3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于()A ．(0，3，－6)B ．(0，6，－20)C ．(0，6，－6)D ．(6，6，－6)答案B解析由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8，12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0，6，－20)．2．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面；③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中正确命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3答案A解析a 与b 共线，a ，b 所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②不正确；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.3．已知向量a ＝(2m ＋1，3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，则实数m 的值等于()A.32B ．－2C ．0 D.32或－2答案B解析当m ＝0时，a ＝(1，3，－1)，b ＝(2，0，0)，a 与b 不平行，∴m ≠0，∵a ∥b ，∴2m ＋12＝3m ＝m －1－m ，解得m ＝－2.4．在空间直角坐标系中，已知A (1，－2，1)，B (2，2，2)，点P 在z 轴上，且满足|PA |＝|PB |，则P 点坐标为()A ．(3，0，0)B ．(0，3，0)C ．(0，0，3)D ．(0，0，－3)答案C 解析设P (0，0，z )，则有(1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z )2＝(2－0)2＋(2－0)2＋(2－z )2，解得z ＝3.5．已知a ＝(1，0，1)，b ＝(x ，1，2)，且a·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为()A.5π6 B.2π3 C.π3 D.π6答案D解析∵a·b ＝x ＋2＝3，∴x ＝1，∴b ＝(1，1，2)，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝32×6＝32，又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π6，故选D.6.如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是()A.3B.2C ．1 D.3－2答案D 解析∵BD →＝BF →＋FE →＋ED →，∴|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD→|＝3－2.7．已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝________.答案－9解析由题意知c＝x a＋y b，即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)，x－y＝7，＋2y＝6，3x＋3y＝λ，解得λ＝－9.8．已知a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，则c＝________.答案(3，－2，2)解析因为a∥b，所以x－2＝4y＝1－1，解得x＝2，y＝－4，此时a＝(2，4，1)，b＝(－2，－4，－1)，又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2，2)．9．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，VP→＝13VC→，VM→＝23VB→，VN→＝23VD→.则VA与平面PMN的位置关系是________．答案平行解析如图，设VA→＝a，VB→＝b，VC→＝c，则VD→＝a＋c－b，由题意知PM→＝23b－13c，PN→＝23VD→－13VC→＝23a－23b＋13c.因此VA→＝32PM→＋32PN→，∴VA→，PM→，PN→共面．又VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.10．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|.其中正确的序号是________．答案①②解析①中，(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝A 1A →2＋A 1D 1→2＋A 1B 1→2＝3A 1B 1→2，故①正确；②中，A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，因为AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中，两异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中，|AB →·AA 1→·AD →|＝0，故④也不正确．11．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)．(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面；(2)判断点M 是否在平面ABC 内．解(1)由题意知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)，即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →，∴MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知MA →，MB →，MC →共面且过同一点M ，∴M ，A ，B ，C 四点共面．∴点M 在平面ABC 内．12．已知a ＝(1，－3，2)，b ＝(－2，1，1)，A (－3，－1，4)，B (－2，－2，2)．(1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点)解(1)2a ＋b ＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2.(2)令AE →＝tAB →(t ∈R )，所以OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB→＝(－3，－1，4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t ，4－2t )，若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95.因此存在点E ，使得OE →⊥b ，此时E －65，－145，13.如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝________.答案56解析连接ON ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－12OA →＝12b ＋12c －12a ，OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12a＋12c －12a ＝16a ＋13b ＋13c .又OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，所以x ＝16y ＝13，z ＝13，因此x ＋y ＋z ＝16＋13＋13＝56.14．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 中点，则△AMD 是()A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定答案C 解析∵M 为BC 中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD →＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0.∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形．15．已知O (0，0，0)，A (1，2，1)，B (2，1，2)，P (1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB→取最小值时，点Q 的坐标是________．答案(1，1，2)解析由题意，设OQ →＝λOP →，则OQ →＝(λ，λ，2λ)，即Q (λ，λ，2λ)，则QA →＝(1－λ，2－λ，1－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(1－2λ)(2－2λ)＝6λ2－12λ＋6＝6(λ－1)2，当λ＝1时取最小值，此时Q 点坐标为(1，1，2)．16．如图，在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为棱AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．(1)证明设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a ，∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0，∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)解∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |，AC ′→·CE →＝(－a ＋c ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝AC ′，→·CE →|AC ′→||CE →|＝12|a |22×52|a |2＝1010，即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。
2023年高考之立体几何和空间向量考点解读
3
=
2
1
1
|AB|·|BC|=
×2×
2
2
1
所 以 VP-ABC = S△ABC ·|PM|=
2 2=2 2,
3
1
26
。
×2 2× 3=
3
3
考查,
一是空间线面关系 的 命 题 真 假 的 判 断,
以选填题的形式考查,
属 于 基 础 题;
二是空间
线线、
线面、
面面平行和垂 直 关 系 交 汇 的 综 合
命题,
(
2)若 ∠POF =1
2
0
°,求 三 棱 锥 PABC
|A1A| -|AM| =
2
6
。
2
2
1
2=
2
解 析:(
1)连 接 DE ,
OF ,设 |AF|=
→
→
→
则 B→
t|AC|,
F =BA + AF = (
1-t)
BA +
→
→
所求体积 V =
76
。
=
6
1
6
×(
4+1+ 4×1)
×
3
2
考点解读:空 间 几 何 体 的 结 构 特 征 是 立
则该圆锥的
1
2
0
°,
4
体积为(
胡银伟
33
2
=
2
-
3
2
2
|PC| -|OC|
2
2
=
= 6。所以圆锥的体积 V
1
1
2
2
π×|OA| ×|PO|= π× (3)× 6=
空间向量与立体几何例题和知识点总结
空间向量与立体几何例题和知识点总结在高中数学的学习中，空间向量与立体几何是一个重要且具有一定难度的板块。
通过空间向量的方法，我们能够更加简便地解决立体几何中的许多问题。
接下来，让我们一起通过一些例题来深入理解，并总结相关的知识点。
一、空间向量的基本知识点1、空间向量的概念：空间中具有大小和方向的量称为空间向量。
2、空间向量的表示：可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。
3、空间向量的运算：包括加法、减法、数乘以及数量积。
加法和减法满足三角形法则和平行四边形法则。
数乘：λ(a ＋ b) ＝λa ＋λb数量积：a·b ＝｜a|·｜b|·cosθ（θ为两向量的夹角）二、空间向量在立体几何中的应用1、证明线线平行设直线 l₁和 l₂的方向向量分别为 a 和 b，如果 a ＝λb（λ 为非零实数），则 l₁∥ l₂。
例 1：在长方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别为棱 AA₁，CC₁的中点，求证：BE ∥ DF 。
解：以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD₁所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系。
设长方体的长、宽、高分别为 a，b，c 。
则 B(a，b，0)，E(a，0，c/2)，D(0，0，0)，F(0，b，c/2)BE ＝（0，b，c/2)，DF ＝（0，b，c/2)因为 BE ＝ DF ，所以 BE ∥ DF 。
2、证明线线垂直设直线 l₁和 l₂的方向向量分别为 a 和 b，如果 a·b ＝ 0，则 l₁⊥l₂。
例 2：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，M，N 分别为棱 AB，CC₁的中点，求证：DM ⊥ MN 。
解：以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD₁所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系。
设正方体的棱长为 2。
则 D(0，0，0)，M(2，1，0)，N(0，2，1)DM ＝（2，1，0)，MN ＝（－2，1，1)DM·MN ＝－4 ＋ 1 ＋ 0 ＝－3 ≠ 0 ，所以 DM 与 MN 不垂直。
2023版新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1
第3课时用空间向量争辩面面角必备学问基础练进阶训练第一层1．[2023·江苏淮安高二检测]已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为( )A.45° B．135°C.45°或135° D．90°2．二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为( )A.45° B．60°C.90° D．120°3．[2023·福建南平高二检测]在如图所示的六面体中，四边形ADEH和BCFG均为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形，AB＝BG＝3，FC＝4，BC＝1，则平面EFGH与平面ABCD所成的角为( )A.30° B．45°C.135° D．45°或135°4．[2023·广东深圳南头中学高二检测]如图所示，点A、B、C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，OC→＝(0，0，2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，2)，平面ABC 与平面ABO的夹角为θ，则cos θ＝________．5．[2023·江苏常州高二检测]如图，四棱锥P ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝3，2BM→＝MC→，且PB⊥AM.(1)求AD的长；(2)求二面角P AM D的正弦值．6．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.(1)求证：AA1⊥平面ABC；(2)求平面A1C1B与平面B1C1B夹角的余弦值．关键力量综合练进阶训练其次层1．在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，且AB＝3，AD＝4，PA＝435，则平面ABD与平面PBD的夹角为( )A.30° B．45°C.60° D．75°2.[2023·湖南武冈高二检测]已知在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，沿对角线AC折叠之后，使得平面BAC ⊥平面DAC ，则二面角B CD A 的余弦值为( )A.2 B ．12C.33 D ．553．如图所示的多面体是由底面为ABCD 的正方体被截面EFGH 所截而得到的，其中AB ＝BC ＝4，AE ＝1，CG ＝4，BF ＝2.则二面角H BC A 的余弦值为( )A.255 B ．45C.35 D ．554．已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1的棱长均为a ，D 是侧棱CC 1的中点，则平面ABC 与平面AB 1D 的夹角的余弦值为( )A.12 B ．22 C ．32D ．0 5．[2023·福建漳州八中高二检测]已知正方形的边长为4，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以EF 为棱将正方形ABCD 折成如图所示的60°的二面角，点M 在线段AB 上．直线DE 与平面EMC 所成的角为60°，则平面MCE 与平面CEF 夹角的余弦值为________．6．[2023·江苏常州高二检测]把边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成两个垂直平面，O ，E 分别为BD ，DC 中点，以O 为原点，OC →方向，OD →方向，OA →方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系．(1)求证：AE ⊥DC ；(2)求二面角A DC B 的余弦值．7．[2023·广东深圳高二测试]如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面是边长为2的等边三角形，D 为棱AC 中点．(1)证明：AB 1∥平面BC 1D ；(2)若面B 1BC 1与面BC 1D 的夹角余弦值为34，求CC 1.8．[2023·山东省试验中学高二检测]如图，在四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝CD ＝1，PA 与平面ABCD 所成角为30°，M 为PB 上一点且CM ⊥PA .(1)证明：PA ⊥DM ；(2)设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，在l 上取点N 使PN →＝DA →，Q 为线段PN 上一动点，求平面ACQ 与平面PDC 夹角的正弦值的最小值．核心素养升级练进阶训练第三层1．[2023·广东广州高二检测]“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓．《九章算术·商功》中描述：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑．”一个长方体ABCD A 1B 1C 1D 1沿对角面斜解(图1)，得到两个一模一样的堑堵(图2)，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解(图2)，得到一个四棱锥，称为阳马(图3)，一个三棱锥称为鳖臑(图4).若鳖臑的体积为4，AB ＝4，BC ＝3，则在鳖臑中，平面BCD 1与平面BC 1D 1夹角的余弦值为( )A.6565 B ．66565 C.6513 D ．265652．[2023·山东青岛高二检测]如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，CD ∥AB ，∠ABC ＝90°，AB ＝2BC ＝2CD ＝4，侧面PAD ⊥面ABCD ，PA ＝PD ＝2.(1)求证：PA ⊥BD ；(2)设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，在l 上是否存在点N ，使得平面PCD 和平面NCD 的夹角的余弦值为539？若存在，请确定N 点的位置；若不存在，请说明理由．第3课时 用空间向量争辩面面角必备学问基础练1．答案：C解析：cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝11·2＝22，即〈m ，n 〉＝45°.∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.故选C.2．答案：B 解析：由条件，知AC →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝－AC →＋AB →＋BD →.∴|CD →|2＝|AC →|2＋|AB →|2＋|BD →|2－2AC →·AB →＋2AB →·BD →－2AC →·BD →，即62＋42＋82－2×6×8cos 〈AC →，BD →〉＝(217)2，∴cos 〈AC →，BD →〉＝12，即〈AC →，BD →〉＝60°，所以二面角的大小为60°.故选B.3．答案：B 解析：由于四边形ADEH 和BCFG 均为直角梯形，A ，D ，C ，B 为直角顶点，其他四个面均为矩形，所以这个六面体是四棱柱，由题意可知DA ，DC ，DE 两两垂直，以点D 为原点建系如图，则E (0，0，4)，G (1，3，3)，C (0，3，0)，H (1，0，3)，则EH →＝(1，0，－1)，HG →＝(0，3，0)，依据题意可知DE ⊥平面ABCD ，所以DE →＝(0，0，4)，即为平面ABCD 的一个法向量，设n ＝(x ，y ，z )为平面EFGH 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EH →＝x －z ＝0，n ·HG →＝3y ＝0取x ＝1，则z ＝1，y ＝0，则n＝(1，0，1)为平面EFGH 的一个法向量，则cos 〈n ，DE →〉＝n ·DE →|n ||DE →|＝42×4＝22，所以平面EFGH 与平面ABCD 所成的角为45°.故选B.4．答案：23解析：由题意可知，平面ABO 的一个法向量为OC →＝(0，0，2)，所以cos θ＝|OC →·n ||OC →|·|n |＝42×3＝23. 5．解析：(1)∵PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，∴不妨以{DA →，DC →，DP →}为一组基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz . 设BC ＝3a ，则B (3a ，3，0)，P (0，0，3)，M (2a ，3，0)，A (3a ，0，0)， 则PB →＝(3a ，3，－3)，AM →＝(－a ，3，0)， ∵PB ⊥AM ，则PB →·AM →＝－3a 2＋9＝0，解得a ＝3， 故AD ＝3a ＝3 3.(2)AM →＝(－3，3，0)，AP →＝(－33，0，3)， 设平面PAM 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AM →＝－3x 1＋3y 1＝0m ·AP →＝－33x 1＋3z 1＝0，取x 1＝3，可得m ＝(3，1，3)，∵PD ⊥平面AMD ，∴可设平面AMD 的法向量为n ＝(0，0，1)，cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝313×1＝31313，因此二面角P AM D 的正弦值为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫313132＝21313.6．解析：(1)证明：∵四边形AA 1C 1C 是正方形， ∴AA 1⊥AC .又∵平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ， 且AA 1⊂平面AA 1C 1C ， ∴AA 1⊥平面ABC .(2)由AC ＝4，BC ＝5，AB ＝3，得AC 2＋AB 2＝BC 2， ∴AB ⊥AC .建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(0，0，4)，B (0，3，0)，B 1(0，3，4)，C 1(4，0，4)， ∴＝(4，－3，4)，＝(0，－3，4)，＝(0，0，4).设平面A 1C 1B 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面B 1C 1B 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2).令x 2＝3，则y 2＝4，∴n 2＝(3，4，0)， ∴|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝165×5＝1625.∴平面A 1C 1B 与平面B 1C 1B 夹角的余弦值为1625.关键力量综合练1．答案：A解析：由于PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直，故以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 又AB ＝3，AD ＝4，PA ＝435，所以A (0，0，0)，B (3，0，0)，D (0，4，0)，P (0，0，435)，由于PA ⊥平面ABCD ，所以平面ABD 的一个法向量为n ＝(0，0，1)， 而PB →＝(3，0，－435)，BD →＝(－3，4，0)，设平面PBD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧m ·PB →＝3x －435z ＝0m ·BD →＝－3x ＋4y ＝0，取x ＝4，则平面PBD 的法向量为m ＝(4，3，53)，cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝0×4＋0×3＋1×531×42＋32＋（53）2＝32，所以〈n ，m 〉＝30°，由图可知平面ABD 与平面PBD 的夹角为锐角，所以平面ABD 与平面PBD 的夹角为30°，故选A.2．答案：D 解析：由于平面BAC ⊥平面DAC ，设AC 的中点为O ，BO ⊥AC ，则BO ⊥平面DAC ，DO ⊥AC ，故以OC 方向为x 轴，OD 方向为y 轴，OB 方向为z 轴，建立空间直角坐标系，设菱形边长为2，则C (1，0，0)，D (0，3，0)，B (0，0，3)，CD →＝(－1，3，0)，CB →＝(－1，0，3)，OB →＝(0，0，3)，明显OB →＝(0，0，3)是平面DAC 的一个法向量，设平面BCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则满足⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0n ·CB →＝0，即⎩⎨⎧x －3y ＝0x －3z ＝0，令x ＝3，可得y ＝z ＝1，故n ＝(3，1，1)，则cos 〈OB →，n 〉＝33·5＝55，即二面角B CD A 的余弦值为55.故选D. 3．答案：B解析：由题可得以D 为原点，以DA ，DC ，DH 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图：则D (0，0，0)，B (4，4，0)，C (0，4，0)，E (4，0，1)，F (4，4，2)，G (0，4，4)， 设H (0，0，h )，由E ，F ，G ，H 共面可得存在实数λ，μ使得GH →＝λEF →＋μFG →， 所以(0，－4，h －4)＝λ(0，4，1)＋μ(－4，0，2)＝(－4μ，4λ，λ＋2μ)， 则⎩⎪⎨⎪⎧0＝－4μ－4＝4λh －4＝λ＋2μ，解得h ＝3，所以H (0，0，3). 又DH ⊥平面ABCD ，所以DH →＝(0，0，3)是平面ABCD 的一个法向量．设平面HBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，又BC →＝(－4，0，0)，HC →＝(0，4，－3)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧BC →·n ＝0HC →·n ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＝04y －3z ＝0，令z ＝4，则n ＝(0，3，4)，所以cos 〈DH →，n 〉＝DH →·n |DH →|·|n |＝123×32＋42＝45，由图可知二面角H BC A 为锐角，所以二面角H BC A 的余弦值为45.故选B.4．答案：B 解析：以点A 为坐标原点，以垂直于AC 的直线为x 轴，以AC 所在直线为y 轴，以AA 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，由于ABC A 1B 1C 1是各棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，所以A (0，0，0)，B 1(32a ，a 2，a )，D (0，a ，a2)，C 1(0，a ，a )，故＝(32a ，a 2，a )，AD →＝(0，a ，a 2)，＝(0，0，a2)，设平面AB 1D 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·AB 1＝0n ·AD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2x ＋a 2y ＋az ＝0ay ＋a 2z ＝0，令y ＝1，则z ＝－2，x ＝3，故n ＝(3，1，－2)，又平面ABC 的一个法向量为m ＝(0，0，1)， 所以|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝23＋1＋4×1＝22，所以平面ABC 与平面AB 1D 所成的锐二面角的余弦值为22.故选B. 5．答案：14解析：由已知得，EF ⊥AE ，EF ⊥DE ， ∴EF ⊥平面ADE ，又EF ⊂平面ABFE ， ∴平面ABFE ⊥平面ADE .取AE 的中点H 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∴E (－1，0，0)，D (0，0，3)，C (0，4，3)，F (－1，4，0)，则ED →＝(1，0，3)，EC →＝(1，4，3)，设M (1，t ，0)(0≤t ≤4)，则EM →＝(2，t ，0)，若平面EMC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·EM →＝0m ·EC →＝0，即⎩⎨⎧2x ＋ty ＝0x ＋4y ＋3z ＝0，取y ＝－2，则m ＝(t ，－2，8－t3).由DE 与平面EMC 所成的角为60°，则82t 2＋4＋（8－t ）23＝32， ∴t 2－4t ＋3＝0，解得t ＝1或t ＝3，均有直线DE 与平面EMC 所成的角为60°.取ED 的中点Q ，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，32，QA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－32， 又EC →＝(1，4，3)，EF →＝(0，4，0)， QA →·EC →＝32－32＝0，QA →·EF →＝0，则QA →为平面CEF 的法向量， 设平面MCE 与平面CEF 夹角为θ. ∴|cos θ|＝|QA →·m ||QA→|×|m |＝|2t －4|3×t 2＋4＋（8－t 3）2＝|t －2|t 2－4t ＋19.当t ＝1时，cos θ＝14；当t ＝3时，cos θ＝14.∴平面MCE 与平面CEF 夹角的余弦值为14.6．解析：(1)证明：由于正方形ABCD 的边长为2， 所以可得A (0，0，2)，E (22，22，0)，D (0，2，0)，C (2，0，0)，B (0，－2，0)，AE →＝(22，22，－2)，DC →＝(2，－2，0)， 由于AE →·DC →＝22×2－22×2＝0，所以AE →⊥DC →⇒AE ⊥DC .(2)设平面ADC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， AD →＝(0，2，－2)，AC →＝(2，0，－2)，所以有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0n ·AC →＝0⇒⎩⎨⎧2y －2z ＝02x －2z ＝0⇒n ＝(1，1，1)，由于ABCD 是正方形，所以AB ＝AD ，由于O 为BD 的中点，所以AO ⊥BD ，由于平面ABD ⊥平面BDC ，平面ABD ∩平面BDC ＝BD ，AO ⊂平面ABD ， 所以AO ⊥平面BDC ，因此向量OA →＝(0，0，2)是平面BDC 的法向量，所以二面角A DC B 的余弦值为OA →·n |OA →|·|n |＝1×22×3＝33.7．解析：(1)证明：如图，连接B 1C ，使B 1C ∩BC 1＝E ，连接DE ，由直三棱柱知四边形B 1BCC 1为矩形，所以E 为B 1C 的中点， ∵在△AB 1C 中，D 、E 分别为AC 和B 1C 的中点，∴DE ∥AB 1， 又因平面AB 1C ∩平面BDC 1＝DE ，DE ⊂平面BDC 1，AB 1⊄平面BDC 1， ∴AB 1∥平面BDC 1.(2)设CC 1＝a ，以D 为坐标原点建系，则B 1(3，0，a )，B (3，0，0)，C 1(0，1，a )，D (0，0，0)，所以＝(0，0，a )，＝(－3，1，a )，DB →＝(3，0，0)，设平面BB 1C 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，故可取n ＝(0，a ，－1)，由于平面B 1BC 1与平面BC 1D 的夹角的余弦值为34，所以|m ·n ||m |·|n |＝34，即34＝3a 2×a 2＋1，解得a ＝3，∴CC 1＝ 3.8．解析：(1)∵四边形ABCD 为矩形，则AD ⊥CD ， 又∵PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥CD ，AD ∩PD ＝D ，AD ，PD ⊂平面PAD ， ∴CD ⊥平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，则PA ⊥CD ， ∵CM ⊥PA ，且CM ∩CD ＝C ，CM ，CD ⊂平面CMD ， ∴PA ⊥平面CMD ，DM ⊂平面CMD ，则PA ⊥DM .(2)∵PD ⊥平面ABCD ，则∠PAD 为PA 与平面ABCD 所成的角，∴∠PAD ＝30°，又∵PD ＝1，则AD ＝3，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (3，0，0)，C (0，1，0)， ∵AD ＝3，且PN →＝DA →，∴PN ＝3，令PQ ＝λ(0≤λ≤3)，则Q (λ，0，1)， ∴AC →＝(－3，1，0)，CQ →＝(λ，－1，1)，设n ＝(x ，y ，z )是平面ACQ 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝－3x ＋y ＝0n ·CQ →＝λx －y ＋z ＝0，取x ＝1，则y ＝3，z ＝3－λ，即n ＝(1，3，3－λ)，平面PDC 的一个法向量为m ＝(1，0，0)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝14＋（3－λ）2， ∵0≤λ≤3，则当λ＝3时，cos 〈m ，n 〉的最大值为12，即平面ACQ 与平面PDC 夹角的余弦值的最大值为12，∴平面ACQ 与平面PDC 夹角的正弦值的最小值为32.核心素养升级练1．答案：B解析：由切割过程可知：BC ⊥平面CC 1D 1，∵VB CC 1D 1＝13S △CC 1D 1·BC ＝13×12×CC 1×4×3＝4，∴CC 1＝2；在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，以D 为坐标原点，DA →，DC →，正方向为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则B (3，4，0)，C (0，4，0)，D 1(0，0，2)，C 1(0，4，2)， ∴BC →＝(－3，0，0)，＝(－3，－4，2)，＝(0，4，0)，设平面BCD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，令a ＝2，解得b ＝0，c ＝3，∴m ＝(2，0，3)； ∴|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝65×13＝66565，即平面BCD 1和平面BC 1D 1夹角的余弦值为66565.故选B.2．解析：(1)证明：由于CD ∥AB ，∠ABC ＝90°， 所以∠BCD ＝90°，由于BC ＝CD ＝2，所以BD ＝BC 2＋CD 2＝22，∠CBD ＝45°，从而∠ABD ＝45°，由于AB ＝4，所以AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos ∠ABD ＝8，所以AD 2＋BD 2＝AB 2，从而BD ⊥AD ，由于侧面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAD ，又由于PA ⊂平面PAD ，所以PA ⊥BD .(2)延长AD 和BC 交于点M ，连接PM ，则l 就是直线PM ，CD 为△ABM 的中位线， 以B 为原点，建立空间直角坐标系B xyz ，如图所示，则P (1，3，2)，D (2，2，0)，M (4，0，0)，C (2，0，0)， 所以CD →＝(0，2，0)，PD →＝(1，－1，－2)， 设平面PCD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·CD →＝0n 1·PD →＝0，即⎩⎨⎧2y 1＝0x 1－y 1－2z 1＝0，令z 1＝1，则x 1＝2，y 1＝0，取n 1＝(2，0，1)， 设在l 上存在点N ，满足PN →＝λPM →(λ∈R )，则CN →＝CP →＋PN →＝CP →＋λPM →＝(－1，3，2)＋λ(3，－3，－2)＝(3λ－1，3(1－λ)，2(1－λ)).设平面NCD 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CD →＝0n 2·CN →＝0，即⎩⎨⎧2y 2＝0（3λ－1）x 2＋3（1－λ）y 2＋2（1－λ）z 2＝0， 令z 2＝3λ－1，则x 2＝－2(1－λ)，y 2＝0，取n 2＝(－2(1－λ)，0，3λ－1)， 设平面PCD 和平面NCD 的夹角为θ， 则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝|5λ－3|3×11λ2－10λ＋3＝539，解得λ＝15或λ＝－35， 所以在l 上存在点N ，N 在线段PM 上，PN ＝15PM ，或者N 在线段PM 的反向延长线上，PN＝35PM .。
2023-2024高二数学空间向量与立体几何专题题型归纳
空间向量的优化问题
利用空间向量的性质，结合不等式、方程等求解最值
如求解点到平面的最短距离、直线的最短距离等
2023-2024高二数学空间向量与立体几何专题题型归纳
题型
主要考察点
解题技巧
示例
证明空间向量平行或垂直
空间向量的平行与垂直性质
利用空间向量基本定理，通过向量间的线性关系来证明
证明两条直线平行或垂直，如证明AB∥CD或AB⊥CD
计算空间向量的夹角与掌握向量的数量积公式，利用夹角公式和距离公式进行计算
计算两条直线的夹角或点到直线的距离
利用空间向量解决立体几何问题
空间向量与立体几何的结合
将立体几何问题转化为向量问题，利用向量运算求解
如利用向量方法求解异面直线所成的角、线面角、二面角等
空间向量的坐标表示与运算
空间向量的坐标运算规则
掌握空间向量的坐标表示方法，利用坐标进行向量运算
如计算向量的模、数量积、线性组合等
新课标2023版高考数学一轮总复习第6章立体几何第5节空间向量及其运算课件
2
解析：|E→F|2＝
→ EF
2＝(E→C＋C→D＋D→F)2
＝E→C2
＋C→D2＋D→F2＋
→→ 2(EC·CD
＋E→C·D→F＋C→D·D→F
)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos
120°＋0＋
2×1×cos 120°)＝2，所以|E→F|＝ 2，所以 EF 的长为 2．
02
关键能力·研析考点强“四翼”
B 解析：M→N＝O→N－O→M＝12(O→B＋O→C)－23O→A＝－23a＋12b＋12c．
2．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 为上底面 A1C1 的中心．若 A→E＝A→A1＋xA→B＋yA→D，则 x，y 的值分别为( )
A．1,1
B．1，12
向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利 用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．
考向 2 空间数量积的应用 如图，已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD
是边长为 1 的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°． (1)求线段 AC1 的长； (2)求异面直线 AC1 与 A1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA1⊥BD．
空间向量基本定理 空间向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，
使得 p＝xa＋yb＋zc
设 O，A，B，C 是不共面的四点，则对平面 ABC
推论
内任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x，y， z，使O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C，且 x＋y＋z＝1
空间向量基本定理的 3 点注意 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底． (2)由于零与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面， 故零不能作为基向量． (3)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．
高中数学 空间向量与立体几何
专题四：立体几何第三讲空间向量与立体几何【最新考纲透析】1．空间向量及其运算（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
2．空间向量的应用（1）理解直线的方向向量与平面的法向量。
（2）能用向量语言表述直线与直线，直线与平面，平面与平面的垂直、平行关系。
（3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。
（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。
【核心要点突破】要点考向1：利用空间向量证明空间位置关系考情聚焦：1．平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。
2．题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。
考向链接：1．空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。
2．空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。
例1：（2010·安徽高考理科·Ｔ18）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥=，90AB EF⊥，2AB，EF FB∠=︒，BF FC=，H为BC的中点。
BFC(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；--的大小。
(3)求二面角B DE C【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。
【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。
【规范解答】,,//,,,,,,,.ABCD AB BC EF FB EF AB AB FB BC FB B AB FBC AB FH BF FC H BC FH BC ABBC B FH ABC ∴⊥⊥∴⊥=∴⊥∴⊥=∴⊥=∴⊥四边形为正方形，又且，平面又为中点，且平面H HB GH HF 如图，以为坐标原点，分别以、、的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系，1,(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,1),(0,0,1).BH A B C D E F =-----令则(1)(0,0,1),(0,0,1),////HF HFGE HF HF ∴==∴⊂⊄∴设AC 与BD 的交点为G ，连接GE 、GH,则G （0,-1,0），GE 又GE 平面EDB,平面EDB,平面EDB(2)(2,2,0),(0,0,1),0,.AC AC AC AC AC =-=∴=∴⊥⊥∴⊥GE GE GE 又BD,且GE BD=G ，平面EBD.(3)1111111(1,,),(1,1,1),(2,2,0).010,10,220011,0y z BE BD BE y z y z y BD ==--=--⎧=--+=⎧⎪=-=⎨⎨--==⎩⎪⎩∴=-1111设平面BDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，）2222222(1,,),(0,2,0),(1,1,1).00,01,10010,-1y z CD CE CD y y z y z CE ==-=-⎧==⎧⎪==-⎨⎨-+==⎩⎪⎩∴=2222设平面CDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，）121212121cos ,,2||||2,60,n n n n n n n n ∴<>===∴<>=即二面角B-DE-C 为60。
空间向量与立体几何知识点
空间向量与立体几何知识点空间向量与立体几何知识点导言：空间向量与立体几何是数学中的两个重要分支，它们既有相互联系的地方，又有各自的独立性。
在几何学中，通过运用向量的概念可以方便地解决一些立体几何的问题，而立体几何知识则为空间向量的研究提供了丰富的实例。
本篇文章将以2000字的篇幅，给出空间向量与立体几何的一些重要知识点，并通过举例说明它们在解决实际问题中的应用。
一、空间向量的基本概念空间向量可理解为带有大小和方向的有向线段，它在三维坐标系中可以由三个分量表示，即一个有序三元组。
空间向量有以下重要性质：1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a 以及 (a + b) + c = a + (b + c)。
2. 向量的数量乘法：向量与一个实数的乘积是一个新的向量，它具有与原向量相同的方向，但长度变化了。
3. 向量的模：向量的模即它的长度，用两点间的距离计算得到，即|a| = √(x^2 + y^2 + z^2)。
二、空间向量的坐标表示在直角坐标系中，向量的坐标表示为(a, b, c)，其中a、b、c分别表示向量在X、Y、Z轴上的投影长度。
可以利用向量的坐标表示来计算向量的模、向量之间的夹角、向量之间的数量积和叉积等。
三、立体几何中的直线与平面在三维空间中，直线可以由两个点或者一个点和一个方向向量来确定，即直线的参数方程可以写为l: P = P0 + td，其中P为直线上一点的坐标，P0为直线上已知点的坐标，d为直线的方向向量，t为参数。
利用参数方程，可以方便地求解直线和直线之间的距离、直线与平面的交点等问题。
平面可以由一个点和两个方向向量来确定，也可以由一个点和法向量确定。
平面的方程一般形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为法向量的分量。
利用平面的方程，可以方便地求解平面与平面之间的夹角、直线与平面之间的夹角等问题。
四、立体几何中的体积计算在立体几何中，体积是一个重要的概念，通常用来描述物体所占据的空间大小。
2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》8
2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》§8.2空间点、直线、平面之间的位置关系最新考纲 1.借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．，π2.3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．概念方法微思考1．分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？提示不一定．因为异面直线不同在任何一个平面内．分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交．2．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？提示不一定．如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(√)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(×)(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×)(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(√)(5)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)(6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．(×)题组二教材改编2．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.3．如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．答案(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD解析(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝12AC，EH＝12BD，∴AC＝BD且AC⊥BD.题组三易错自纠4．α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是()A．垂直B．相交C．异面D．平行答案D解析依题意，m∩α＝A，n⊂α，∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．5.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M答案D解析∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为______．答案3解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH 相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．题型一平面基本性质的应用例1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示．则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证两平面重合．(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线．证明(1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴EF ∥BD .∵在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH .∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ，∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC .∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点．又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ，∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线．题型二判断空间两直线的位置关系例2(1)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交答案D 解析由直线l 1和l 2是异面直线可知l 1与l 2不平行，故l 1，l 2中至少有一条与l 相交．故选D.(2)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝2ED ，CF ＝2FA ，则EF 与BD 1的位置关系是()A．相交但不垂直B．相交且垂直C．异面D．平行答案D解析连接D1E并延长，与AD交于点M，由A1E＝2ED，可得M为AD的中点，连接BF并延长，交AD于点N，因为CF＝2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且MEED1＝12，MFBF＝12，所以MEED1＝MFBF，所以EF∥BD1.思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．异面直线可采用直接法或反证法；平行直线可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决．跟踪训练2(1)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b可能平行或异面或相交，故选A.(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)答案③④解析因为点A 在平面CDD 1C 1外，点M 在平面CDD 1C 1内，直线CC 1在平面CDD 1C 1内，CC 1不过点M ，所以AM 与CC 1是异面直线，故①错；取DD 1中点E ，连接AE ，则BN ∥AE ，但AE 与AM 相交，故②错；因为B 1与BN 都在平面BCC 1B 1内，M 在平面BCC 1B 1外，BN 不过点B 1，所以BN 与MB 1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④.题型三求两条异面直线所成的角例3(2019·青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为()A.15B.25C.35D.45答案D 解析连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，易得A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212×A 1B ×BC 1＝45，即异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.引申探究将上例条件“AA 1＝2AB ＝2”改为“AB ＝1，若异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为910”，试求AA 1AB 的值．解设AA 1AB＝t (t >0)，则AA 1＝tAB .∵AB ＝1，∴AA 1＝t .∵A 1C 1＝2，A 1B ＝t 2＋1＝BC 1，∴cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212×A 1B ×BC 1＝t 2＋1＋t 2＋1－22×t 2＋1×t 2＋1＝910.∴t ＝3，即AA 1AB ＝3.思维升华用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角．跟踪训练3(2018·全国Ⅱ)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为()A.22 B.32 C.52 D.72答案C 解析如图，因为AB ∥CD ，所以AE 与CD 所成角为∠EAB .在Rt △ABE 中，设AB ＝2，则BE ＝5，则tan ∠EAB ＝BE AB ＝52，所以异面直线AE 与CD 所成角的正切值为52.立体几何中的线面位置关系直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题．例如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥FA 且BE ＝12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH ∥AD 且GH ＝12AD .又BC ∥AD 且BC ＝12AD ，∴GH ∥BC 且GH ＝BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解∵BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G 为FA 的中点，∴BE ∥FG 且BE ＝FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH .∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．素养提升平面几何和立体几何在点线面的位置关系中有很多的不同，借助确定的几何模型，利用直观想象讨论点线面关系在平面和空间中的差异．1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为()A ．4B ．3C ．2D ．1答案A 解析首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．2．a ，b ，c 是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c答案C解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.3.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC答案C解析由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.4.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面答案A 解析连接A 1C 1，AC ，则A 1C 1∥AC ，∴A 1，C 1，A ，C 四点共面，∴A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∵M ∈A 1C ，∴M ∈平面ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1，∴M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理A ，O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上．∴A ，M ，O 三点共线．5．(2017·全国Ⅱ)已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为()A.32 B.155 C.105 D.33答案C解析方法一将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图①所示，连接AD 1，B 1D 1，BD .图①由题意知∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AD 1＝BC 1＝2，AB 1＝5，∠DAB ＝60°.在△ABD 中，由余弦定理知BD 2＝AB 2＋AD 2－2×AB ×AD ×cos ∠DAB ＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD ＝3，所以B 1D 1＝3.又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ，所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212×AB 1×AD 1＝5＋2－32×5×2＝105.故选C.方法二以B 1为坐标原点，B 1C 1所在的直线为x 轴，垂直于B 1C 1的直线为y 轴，BB 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图②所示．图②由已知条件知B 1(0，0，0)，B (0，0，1)，C 1(1，0，0)，A (－1，3，1)，则BC 1→＝(1，0，－1)，AB 1→＝(1，－3，－1)．所以cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1，→·BC 1→|AB 1→||BC 1→|＝25×2＝105.所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为105.故选C.6．正方体AC 1中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有________条．答案6解析如图，在正方体AC 1中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有BB 1，DD 1，A 1B 1，A 1D 1，D 1C 1，B 1C 1，共6条．7．(2019·东北三省三校模拟)若直线l ⊥平面β，平面α⊥平面β，则直线l 与平面α的位置关系为________．答案l ∥α或l ⊂α解析∵直线l ⊥平面β，平面α⊥平面β，∴直线l ∥平面α，或者直线l ⊂平面α.8．在三棱锥S －ABC 中，G 1，G 2分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线G 1G 2与BC 的位置关系是________．答案平行解析如图所示，连接SG 1并延长交AB 于M ，连接SG 2并延长交AC 于N ，连接MN .由题意知SM为△SAB的中线，且SG1＝23SM，SN为△SAC的中线，且SG2＝23SN，∴在△SMN中，SG1SM＝SG2SN，∴G1G2∥MN，易知MN是△ABC的中位线，∴MN∥BC，∴G1G2∥BC.9.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．答案2解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为2.10.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②③④解析还原成正四面体A －DEF ，其中H 与N 重合，A ，B ，C 三点重合．易知GH 与EF 异面，BD 与MN 异面．连接GM ，∵△GMH 为等边三角形，∴GH 与MN 成60°角，易证DE ⊥AF ，又MN ∥AF ，∴MN ⊥DE .因此正确命题的序号是②③④.11.如图所示，A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点．(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．(1)证明假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)解取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则AC ∥FG ，EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．又因为AC ⊥BD ，则FG ⊥EG .在Rt △EGF 中，由EG ＝FG＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.12.如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：(1)三棱锥P －ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P －ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝AD 2＋DE 2－AE 22×AD ×DE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.13．平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为()A.32 B.22 C.33 D.13答案A解析如图所示，设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1，∵α∥平面CB 1D 1，则m 1∥m ，又∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，∴B 1D 1∥m 1，∴B 1D 1∥m ，同理可得CD 1∥n .故m ，n 所成角的大小与B 1D 1，CD 1所成角的大小相等，即∠CD 1B 1的大小．又∵B 1C ＝B 1D 1＝CD 1(均为面对角线)，∴∠CD 1B 1＝π3，得sin ∠CD 1B 1＝32，故选A.14.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°；③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD .以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案①③解析如图，①AB ⊥EF ，正确；②显然AB ∥CM ，所以不正确；③EF 与MN 是异面直线，所以正确；④MN 与CD 异面，并且垂直，所以不正确，则正确的是①③.15.如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为________．答案36解析取DE 的中点H ，连接HF ，GH .由题设，HF ∥AD 且HF ＝12AD ，∴∠GFH 为异面直线AD 与GF 所成的角(或其补角)．在△GHF 中，可求HF ＝22，GF ＝GH ＝26，∴cos ∠GFH ＝HF 2＋GF 2－GH 22×HF ×GF ＝(22)2＋(26)2－(26)22×22×26＝36.16.如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2.(1)当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?(2)若BM ∥平面AEF ，判断BM 与EF 的位置关系，说明理由；并求BM 与EF 所成的角的余弦值．解(1)方法一如图所示，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M .因为EC ⊥AC ，OM ，EC ⊂平面ACC 1A 1，所以OM ∥EC .又因为EC ＝2FB ＝2，EC ∥FB ，所以OM ∥FB 且OM ＝12EC ＝FB ，所以四边形OMBF 为矩形，BM ∥OF .因为OF ⊂平面AEF ，BM ⊄平面AEF ，故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．方法二如图所示，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，BQ .因为EC ＝2FB ＝2，所以PE ∥BF 且PE ＝BF ，所以PB ∥EF ，PQ ∥AE ，又AE ，EF ⊂平面AEF ，PQ ，PB ⊄平面AEF ，所以PQ ∥平面AFE ，PB ∥平面AEF ，因为PB ∩PQ ＝P ，PB ，PQ ⊂平面PBQ ，所以平面PBQ ∥平面AEF .又因为BQ ⊂平面PBQ ，所以BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．(2)由(1)知，BM 与EF 异面，∠OFE (或∠MBP )就是异面直线BM 与EF 所成的角或其补角．易求AF ＝EF ＝5，MB ＝OF ＝3，OF ⊥AE ，所以cos ∠OFE ＝OF EF ＝35＝155，所以BM 与EF 所成的角的余弦值为155.。
空间向量与立体几何的知识点总结
空间向量与立体几何空间向量及其线性运算知识点一空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度或模：向量的大小．3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作AB，其模记为|a|或|AB|.4．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 -a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量注意：空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．知识点二空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝OA＋AB＝OB减法a－b＝OA－OC＝CA数乘当λ>0时，λa＝λOA＝PQ；当λ<0时，λa＝λOA＝MN；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.共线向量与共面向量知识点一 共线向量1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 2．直线的方向向量在直线l 上取非零向量a ，我们把与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量． 知识点二 共面向量 1．共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量a 平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .推论：1.已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，存在有序实数对(x ，y )，满足关系AC y AB x OA OP ++=，则点P 与点A ，B ，C 共面。
第一章 空间向量与立体几何(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背知识手册(新教材)
第一章空间向量与立体几何（公式、定理、结论图表）1.空间向量基本概念空间向量：在空间,我们把具有大小和方向的量叫作空间向量.长度（模）：空间向量的大小叫作空间向量的长度或模,记为a 或AB.零向量：长度为0的向量叫作零向量,记为0 .单位向量：模为1的向量叫作单位向量.相反向量：与向量a 长度相等而方向相反的向量,叫作a 的相反向量,记为a.共线向量（平行向量）：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫作共线向量或平行向量.规定:零向量与任意向量平行.相等向量：方向相同且模相等的向量叫作相等向量.2.空间向量的线性运算空间向量的线性运算包括加法、减法和数乘,其定义、画法、运算律等均与平面向量相同.3.共线、共面向量基本定理（1）直线l 的方向向量：在直线l 上取非零向量a ,与向量a平行的非零向量称为直线l 的方向向量.（2）共线向量基本定理：对任意两个空间向量=a b λ （0b ≠ ），//a b 的充要条件是存在实数λ，使=a b λ.（3）共面向量：如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线l 平行或重合,那么称向量a平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内,那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量,叫作共面向量.（4）共面向量基本定理:如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(),x y ,使p xa yb =+ .4.空间向量的数量积（1）向量的夹角：已知两个非零向量a ,b ,在空间任取一点O ,作,OA a OB b ==,则AOB ∠叫作向量a ,b 的夹角,记作,a b <> .如果,2a b π<>= ,那么向量,a b 互相垂直,记作a b ⊥ .（2）数量积定义：已知两个非零向量,a b ,则cos ,a b a b <> 叫作,a b的数量积,记作a b ⋅ .即a b ⋅= cos ,a b a b <> .（3）数量积的性质：0a b a b ⊥⇔⋅= 2cos ,a a a a a a a ⋅=⋅<>= .（4）空间向量的数量积满足如下的运算律：()()a b a bλλ⋅=⋅ a b b a⋅=⋅ (交换律):()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅（分配律).推论：()2222a ba ab b +=+⋅+，()()22a b a b a b+⋅-=- .（5）向量的投影向量：向量a 在向量b 上的投影向量c ：cos ,b c a a b b=<>向量a 在平面α内的投影向量与向量a 的夹角就是向量a所在直线与平面α所成的角.5.空间向量基本定理如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任意一个空间向量p.存在唯一的有序实数组(),,x y z .使得p xa yb zc =++ .6.基底与正交分解(1)基底:如果三个向量,,a b c 不共面,那么我们把{},,a b c 叫作空间的一个基底,,,a b c都叫作基向量.(2)正交分解:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直.且长度都为1.那么这个基底叫作单位正交基底，常用{},,i j k表示.把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫作把空间向量进行正交分解.7.空间直角坐标系在空间选定点O 和一个单位正交基底{},,i j k.以点O 为原点，分别以,,i j k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x 轴.y 轴、z 轴,它们都叫作坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz ,O 叫作原点，,,i j k都叫作坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面.空间直角坐标系通常使用的都是右手直角坐标系.8.空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中,,i j k为坐标向量.给定任一向量OA ,存在唯一的有序实数组(),,x y z ,使OA xa yb zc =++.有序实数组(),,x y z 叫作向量OA 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标.记作(),,OA x y z =.(),,x y z 也叫点A 在空间直角坐标系中的坐标.记作(),,A x y z .9.空间向量运算的坐标表示设()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则：（1）()121212,,a b x x y y z z +=+++，（2）()121212,,a b x x y y z z -=---，（3）()111,,a x y z λλλλ=.10.空间向量平行、垂直、模长、夹角的坐标表示（1）121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===，（2）121212=0++0a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅⇔=，（3）a == ，（4）cos ,a ba b a b ⋅== .11.空间两点间的距离公式设()()11112222,,,,,P x y z P xy z ，则12PP =.12.平面的法向量：直线l α⊥，取直线l 的方向向量a ，称a为平面的法向量.13.空间中直线、平面的平行（1）线线平行:若12,u u 分别为直线12,l l 的方向向量,则1212////,l l u u R λ⇔⇔∃∈ 使得12u u λ=.（2）线面平行:设u 直线l 的方向向量,n 是平面α的法向量,l α⊄，则//0l u n u n α⇔⊥⇔⋅=.法2:在平面α内取一个非零向量a ,若存在实数x ,使得u xa =,且l α⊄，则//l α.法3:在平面α内取两个不共线向量,a b ,若存在实数,x y ，使得u xa yb =+,且l α⊄,则//l α（3）面面平行:设12,n n 分别是平面,αβ的法向量，则12////n n R αβλ⇔⇔∃∈ ，使得12n n λ=.14.空间中直线、平面的垂直（1）线线垂直:若12,u u 分别为直线12,l l 的方向向量,则1212120l l u u u u ⊥⇔⊥⇔⋅=.（2）线面垂直:设u 直线l 的方向向量,n 是平面α的法向量,则//l u n R αλ⊥⇔⇔∃∈ ，使得u n λ=.法2:在平面α内取两个不共线向量,a b,若0a u b u ⋅=⋅= .则l α⊥.（3）面面垂直:设12,n n 分别是平面,αβ的法向量，则12120n n n n αβ⊥⇔⊥⇔⋅=.15.用空间向量研究距离、夹角问题（1）点到直线的距离：已知,A B 是直线l 上任意两点,P 是l 外一点，PQ l ⊥，则点P 到直线l 的距离为PQ =(2)求点到平面的距离已知平面α的法向量为n,A 是平面α内的任一点，P 是平面α外一点,过点P 作则平面α的垂线l ，交平面α于点Q ,则点P 到平面α的距离为AP nPQ n⋅= .（3）直线与直线的夹角若12,n n 分别为直线12,l l 的方向向量，θ为直线12,l l 的夹角，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅=<>=.(4)直线与平面的夹角设1n 是直线l 的方向向量,2n是平面α的法向量,直线与平面的夹角为θ.则121212sin cos ,n n n n n n θ⋅=<>=.（5）平面与平面的夹角平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90 的二面角称为这两个平面的夹角.若12,n n 分别为平面,αβ的法向量，θ为平面,αβ的夹角，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅=<>=.<解题方法与技巧>1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．3.在几何体中求空间向量的数量积的步骤1首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.2利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.3根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.4代入公式a·b ＝|a ||b |cos〈a ，b 〉求解.4.利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基底或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求解(证).5.求点到平面的距离的四步骤6.用坐标法求异面直线所成角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；7.利用向量法求两平面夹角的步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求两个法向量的夹角；(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角)典例1：多选题（2023·全国·高三专题练习）在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A ．当1λ=时，1AB P △的周长为定值B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C．当12λ=时，有且仅有一个点P，使得1A P BP⊥D．当12μ=时，有且仅有一个点P，使得1A B⊥平面1AB P【详解】P在矩形11BCC B内部（含边界）典例2：如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为．(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．由（1）得2AE =，所以12AA AB ==，1A B =则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以AC 则()1,1,1BD = ，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==,设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z = ，则m BD m BA ⎧⋅⎨⋅⎩可取()1,0,1m =-，设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c = ，则n BD n BC ⎧⋅⎨⋅⎩可取()0,1,1n =-r，则11cos ,222m n m n m n⋅===⨯⋅，所以二面角A BD C --的正弦值为213122⎛⎫-= ⎪⎝⎭.典例3：已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）证明见解析；（2）112B D =【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；【详解】（1）[方法一]：几何法因为1111,//BF AB AB AB ⊥，所以BF AB ⊥．又因为1AB BB ⊥，1BF BB B ⋂=，所以AB ⊥平面11BCC B ．又因为2AB BC ==，构造正方体1111ABCG A B C G -，如图所示，()()(0,0,0,2,0,0,0,2,0B A C ∴由题设(),0,2D a （02a ≤≤因为()(0,2,1,1BF DE ==- 所以()012BF DE a ⋅=⨯-+ [方法三]：因为1BF A B ⊥(1BF ED BF EB BB B ⋅=⋅++ 1122BF BA BC BF ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭1cos 2BF BC FBC =-⋅∠+作1BH F T ⊥，垂足为H ，因为面角的平面角．设1,B D t =[0,2],t ∈1B T =典例4：如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．。
空间向量与立体几何知识点
空间向量与立体几何知识点第一篇：空间向量1. 空间向量的表示方法空间向量可以用有向线段、坐标和向量分量等多种方式进行表示。
其中，有向线段表示空间向量的长度、方向和起点，坐标表示空间向量的左端点和右端点的坐标，向量分量表示空间向量在三个坐标轴上的投影。
2. 空间向量的加减法空间向量的加减法与二维向量的加减法类似，可以通过将两个向量的分量逐一相加或相减得到结果向量的分量。
也可以通过平移法、三角法、正交分解等方法进行计算。
3. 空间向量的数量积和向量积空间向量的数量积和向量积都具有几何意义和物理意义。
数量积表示两个向量之间的夹角余弦值和向量长度的乘积，通常用于计算向量的投影和求解平面或直线的方程。
向量积表示两个向量所在平行四边形的面积和法向量，通常用于计算向量的叉积、平面或直线的法向量以及计算空间中两个平面的夹角。
4. 空间向量的共线、垂直和平行空间向量的共线、垂直和平行是三种基本关系。
当两个向量共线时，它们所在直线相交或重合；当两个向量垂直时，它们的数量积为0，而向量积为一个与它们垂直的向量；当两个向量平行时，它们的向量积为0，而数量积为它们长度的乘积。
5. 应用举例空间向量广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。
例如，通过计算物体的重心和质量分布情况，可以求解物体的转动惯量和稳定性问题；通过计算矢量场中的散度和旋度，可以分析流体的运动状态和变化规律；通过计算三维空间中的距离和夹角，可以在计算机图形学中进行三维模型的建模和渲染。
第二篇：立体几何1. 立体几何的基本概念立体几何是研究三维空间中的基本几何对象和它们的性质、关系的数学分支。
它包括点、线、面、体和空间角等多个基本概念，用于描述和分析三维物体的形状、大小和位置关系。
2. 立体几何的基本公理立体几何的基本公理是欧几里得几何的扩展，是指空间中的点、线、面、体和空间角等基本几何对象应满足的性质和约束。
这些公理包括点的唯一性、直线的唯一性、平面的唯一性、线段长度的可加性、平面的无限性、等角推移原理等。
空间向量与立体几何知识点
空间向量与立体几何知识点空间向量与立体几何是数学中的重要分支，它们在解决三维空间问题中发挥着关键作用。
以下是该领域的一些核心知识点：1. 空间向量的概念：空间向量是具有大小和方向的几何对象，可以表示为有序数对或有序数组。
2. 空间向量的表示：空间向量通常用箭头表示，箭头的起点和终点分别代表向量的起点和终点。
3. 空间向量的坐标：空间向量可以通过三个坐标值来表示，这些值分别对应于向量在三个正交坐标轴上的投影。
4. 向量的加法：两个空间向量可以通过平移和连接的方式相加，结果向量的方向和大小由这两个向量决定。
5. 向量的数乘：一个向量可以通过与一个标量相乘来缩放，结果向量的方向保持不变，但大小会按比例变化。
6. 向量的点积（内积）：两个向量的点积是一个标量，它反映了这两个向量的夹角和大小的关系。
7. 向量的叉积（外积）：两个向量的叉积是一个向量，它垂直于原来的两个向量，并且其大小等于原来两个向量构成的平行四边形的面积。
8. 向量的模：一个向量的模是其长度，可以通过勾股定理计算得到。
9. 向量的单位化：将一个向量除以其模，可以得到一个方向相同但长度为1的单位向量。
10. 空间中的点、线、面：在空间中，点由坐标确定，线由两个点确定，面由三个不共线的点确定。
11. 空间直线的参数方程：空间直线可以通过参数方程来表示，其中参数表示直线上点的位置。
12. 空间平面的方程：空间平面可以通过一个方程来表示，该方程描述了平面上所有点的坐标关系。
13. 点到直线的距离：可以通过向量的点积和叉积来计算点到直线的最短距离。
14. 直线与平面的关系：直线可以与平面相交、平行或在平面内。
15. 立体几何体：空间中的几何体如多面体、圆柱、圆锥等，可以通过空间向量来描述其顶点、边和面。
16. 体积和表面积：空间几何体的体积和表面积可以通过积分或向量方法来计算。
17. 空间几何的对称性：空间几何体的对称性可以通过向量和坐标变换来分析。
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：空间向量的概念与运算
教材改编题
3.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2， 则m＝__1_0_.
∵l1⊥l2，∴a⊥b， ∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10.
第
二 部 分
探究核心题型
题型一 空间向量的线性运算
例 1 (1)在空间四边形 ABCD 中，A→B＝(－3,5,2)，C→D＝(－7，－1，－4)，
跟踪训练 1 (1)已知 a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝0,6，－6)
√B.(0,6，－20)
D.(6,6，－6)
由 b＝12x－2a，得 x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝ (0,6，－20).
(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点. ①化简—A1→O －12A→B－12A→D＝__—_A_1→A____；
—A1→O －12A→B－12A→D＝—A1→O －12(A→B＋A→D)＝—A1→O －A→O＝—A1→O ＋O→A＝—A1→A .
②用A→B，A→D，—AA→1 表示—OC→1，则—OC→1＝_12_A→_B_＋__12_A_→_D_＋__—A__A→_1_.
则 λ＋μ＝1 是 A，B，C 三点共线的充要条件
由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线， 反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确； 若A→B，C→D共线，则 AB∥CD 或 A，B，C，D 四点共线，所以 B 不 正确； 由 A，B，C 三点不共线，对空间任意一点 O，若O→P＝34O→A＋18O→B＋ 18O→C，因为34＋18＋18＝1， 可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；
高考数学知识点总结之空间向量与立体几何
2021高考数学知识点总结之空间向量与立体几何一、考点概要：1、空间向量及其运算(1)空间向量的根本知识：①定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向一样、长度相等的有向线段表示一样向量或相等的向量。
②空间向量根本定理：ⅰ定理：假如三个向量不共面，那么对于空间任一向量，存在唯一的有序实数组x、y、z，使。
且把叫做空间的一个基底，都叫基向量。
ⅱ正交基底：假如空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫正交基底。
ⅲ 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用表示。
ⅳ 空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，那么对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使。
③共线向量(平行向量)：ⅰ定义：假如表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量，记作。
ⅱ规定：零向量与任意向量共线;ⅲ共线向量定理：对空间任意两个向量平行的充要条件是：存在实数，使。
④共面向量：ⅰ定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量;空间的任意两个向量都是共面向量。
ⅱ向量与平面平行：假如直线OA平行于平面或在内，那么说向量平行于平面，记作。
平行于同一平面的向量，也是共面向量。
ⅲ共面向量定理：假如两个向量、不共线，那么向量与向量、共面的充要条件是：存在实数对x、y，使。
ⅳ空间的三个向量共面的条件：当、、都是非零向量时，共面向量定理实际上也是、、所在的三条直线共面的充要条件，但用于断定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内。
ⅴ共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对x、y，使得，或对于空间任意一定点O，有。
⑤空间两向量的夹角：两个非零向量、，在空间任取一点O，作， (两个向量的起点一定要一样)，那么叫做向量与的夹角，记作，且。
空间向量与立体几何
向量与坐标系
在三维坐标系中，空间向量的坐标表示 可以通过三维坐标系中的点来表示，反 之亦然。
VS
向量与几何变换
通过向量的线性组合和数乘，可以实现几 何变换，如平移、旋转和缩放等。
THANKS
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影的模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
性质
03
混合积满足交换律、结合律和分配律。
03
向量的应用
向量在物理中的应用
力与运动
向量在描述力和运动时非常有用，例如，速度和加速度是向量， 可以用它们来描述物体的运动状态和变化。
动量与冲量
动量和冲量是向量，它们在描述物体的相互作用和运动变化时具 有重要意义。
空间向量在解决实际问题中的应用
力的合成与分解
在物理和工程领域中，力的合成与分 解是常见的应用，通过空间向量的加 法、数乘和向量的模，可以表示力的 合成与分解。
速度和加速度
在运动学中，速度和加速度是重要的 物理量，通过空间向量的加法、数乘 和向量的模，可以表示物体的速度和 加速度。
空间向量与几何体的相互转化
04
立体几何的基本概念
点、直线和平面的基本性质
点
点是空间中最基本的元素，没有大小和形状，只 有位置。
直线
直线是无限长的，它通过两点或给定方向上所有 点。
平面
平面是无限大的，由直线和不在该直线上的一个 点确定。
空间几何体的表面积和体积
表面积
几何体的表面积是指其外部各面的总 面积。
体积
几何体的体积是指其内部空间所占的 区域大小。
几何意义
性质
向量积满足交换律和结合律，但不满 足分配律。
两个向量的向量积等于它们在垂直于 它们所在平面方向上的投影的模长的 乘积与它们夹角的正弦值的乘积。
空间向量与立体几何知识点2篇
空间向量与立体几何知识点2篇第一篇：空间向量一、空间向量的定义空间向量是指在空间内有确定的方向和长度的物理量，用有向线段表示。
空间向量与平面向量一样，都可以进行加、减、数乘等运算。
但是因为空间具有三维性，空间向量还可以进行叉乘运算。
二、空间向量的表示方法空间向量通常用字母表示，例如a、b、c，其中a表示一个具有方向和长度的空间向量，因此可以表示为：a = (a1, a2, a3)其中，a1、a2、a3分别表示向量a在x、y、z三个方向上的分量。
除了分量表示法外，还可以使用点表示法表示空间向量。
例如，对于空间中的两个点A和B，它们之间的向量可以表示为：AB = (xB – xA, yB – yA, zB – zA)其中，xA、yA、zA表示点A的坐标，xB、yB、zB表示点B的坐标。
三、空间向量的运算1. 加法两个空间向量a和b的加法就是将它们的分量分别相加，表示为：a +b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)2. 减法两个空间向量a和b的减法就是将它们的分量分别相减，表示为：a -b = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)3. 数乘将一个空间向量a乘以一个实数k的结果，即为向量的长度扩大了k倍，方向不变，表示为：ka = (ka1, ka2, ka3)4. 点乘两个空间向量a和b的点乘结果是一个实数，表示为：a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3点乘运算满足交换律和结合律。
5. 叉乘两个空间向量a和b的叉乘结果是另一个向量c，表示为：c = a × bc所表示向量的长度等于a和b所夹平行四边形的面积，方向垂直于a和b所在的平面，符合右手定则。
叉乘运算满足反交换律。
四、空间向量的应用空间向量在物理、工程、计算机图形等领域中都有广泛的应用，例如在物理学中，对于刚体的力和力矩的表示就需要用到空间向量。
在计算机图形中，空间向量的叉乘用来计算表面法向量，从而实现渲染效果。
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(理)2.空间向量与立体几何 (1)空间向量及其运算 ①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意 义．掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． ②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． ③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数 量积判断向量的共线与垂直．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)三视图的画法规则 ①能看见的轮廓线和棱用 实线 表示；不能看见的轮廓线 和棱用 虚线 表示． ②主视图与左视图的高要保持平齐，即“高平齐”； 主视图与俯视图的长应对正．即“长对正”； 俯视图与左视图的宽度应相等．即“宽相等” ③三视图的排列规则：先画正视图，俯视图画在正视图的 下方 ，侧视图则安排在正视图的 正右方 ．
本章在近年高考中考查形式稳定，一般有1－2个选填题， 1个解答题，共19－24分左右．选填题侧重考查线面关系、平行 与垂直、空间角的计算、三视图与空间几何体的表面积、体积 计算，解答题文科较侧重三视图、平行与垂直关系、空间几何 体的表面积与体积计算，理科更侧重推理论证、二面角、线面 角、空间距离等的推理论证与计算．
4．直观图——斜二测画法的三个要点
一是取原坐标系时，在已知图形取互相垂直的x轴、y轴和z 轴，三轴交于点O，画直观图时，把它们画成对应的 x′轴、 y′轴和z′轴 ，三轴交于 O′ ， 且 ∠ x′O′y ＝ 45°( 或 135°) ， ∠x′O′z′＝90°；
二是原图形和直观图中的平行关系一致； 三是平行于x轴的线段，在直观图中保持 原长度不变， 平 行于y轴的线段长度为 原来的一半 ，平行于z轴的线段 长度 不变 ．
[答案] C
3．(2011·深圳一模)一个几何体的三视图如图所示，则该几 何体的体积为( )
A．2
B．1
2 C.3
1 D.3
[答案] C
(1)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何 体是棱柱
(2)两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱 台
(3)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱 锥
如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互 相垂直．
理解以下性质定理，并能够证明． 如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个 平面与此平面的交线和该直线平行． 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交 线相互平行． 垂直于同一个平面的两条直线互相平行．
如果两个平面互相垂直，那么一个平面内垂直于它们交线 的直线与另一个平面垂直．
(3)棱锥： 有一个面是 多边形 ，其余各面都是有一个公共顶点 的 三角形，由这些面所围成的多面体叫做 棱锥 ．
(4)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与 截面之间的部分，这样的多面体叫做 棱台 ．
2．旋转体 (1)旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线 旋转所形成的封闭几何体叫做 旋转体 ，这条定直线叫做旋转 体的 轴 ．
1．多面体 (1)多面体： 由若干个平面多边形围成的几何体叫做 多面体 ， 围 成 多面体的各个多边形叫做多面体的 面，相邻两个面的公共边叫 做多面体的 棱 ，棱与棱的公共点叫做多面体的 顶点 ． (2)棱柱：有两个面 互相平行 ，其余各面都是 四边形 ，并 且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的 多面体叫做 棱柱 ．
(2)圆柱：以矩形的一边所在直线为 旋转轴 ，其余 三 边旋 转形成的 面 所围成的 旋转体 叫做 圆柱 ．
(3)圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为 旋转轴， 其余两边 旋转形成的面所围成的旋转体叫做 圆锥 ．
(4)圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面 之间的部分叫做 圆台 ．
(5)球：半圆或圆绕直径旋转形成的面围成的几何体叫做球 体，简称球．
立体几何与空间向量
②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和 理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理．
理解以下判定定理． 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该 直线与此平面平行． 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那 么这两个平面互相平行． 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么 该直线与此平面垂直．
3．空间几何体的三视图 (1)有关投影的概念 ①中心投影： 把光由点向外散射形成的投影，叫做 中心投影 ； ②平行投影：把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做 平行投影 ，平行投影的投影线是 平行的 ．
(2)空间几何体的三视图 三视图是用平行投影得到的．一个几何体的三视图包括： ①正视图(主视图)：物体前后方向投影所得到的投影图； 它能反映物体的高度和长度； ②侧视图(左视图)：物体左右方向投影所得到的投影图； 它能反映物体的高度和宽度； ③俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映 物体的长度和宽度；
1．下列命题中正确的是( ) A．棱柱的底面一定是平行四边形 B．棱锥的底面一定是三角形 C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 [答案] D
2．(2010·北京，5)一个长方体去掉一个小长方体，所得几 何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如下图所示，则该几何体的 俯视图为( )
(4)用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几 何体叫棱台
以上4个命题正确的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
[解析] 结合有关定义，可知选A.
[答案] A
下列命题中，成立的是( ) A．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥 B．四面体一定是三棱锥 C．棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定是正棱 锥 D．底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱 锥一定是正棱锥
(2)空间向量的应用 ①理解直线的方向向量与平面的法向量． ②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平 面的垂直和平行关系． ③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理 (包括三垂线定理)． ④能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平 面的夹角的计算问题．了解向量方法在研究立体几何问题中的 应用．