上海历年高考数学压轴题题选
上海高考数学函数压轴题解析详解
，
化简得 ．
当 时，上式恒成立．
因此，在 轴上存在定点 ，使 ．（12分）
9．(本小题满分14分)
已知数列 各项均不为0，其前 项和为 ，且对任意 都有 （ 为大于1的常数），记 ．
(1)求 ；
(2)试比较 与 的大小（ ）；
(3)求证： ，（ ）．
解：(1)∵ ，①
∴ ．②
②－①，得
，
即 ．（3分）
∴ ．（当且仅当 时取等号）．
综上所述， ，（ ）．（14分）
在①中令 ，可得 ．
∴ 是首项为 ，公比为 的等比数列， ．（4分）
(2)由(1)可得 ．
．
∴ ，（5分）
．
而 ，且 ，
∴ ， ．
∴ ，（ ）．（8分）
(3)由(2)知 ， ，（ ）．
∴当 时， ．
∴
，（10分）
（当且仅当 时取等号）．
另一方面，当 ， 时，
．
∵ ，∴ ．
∴ ，（当且仅当 时取等号）．（13分）
又MN⊥MQ， 所以
直线QN的方程为 ，又直线PT的方程为 ……10分
从而得 所以
代入（1）可得 此即为所求的轨迹方程.………………13分
6．（本小题满分12分）
过抛物线 上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，
（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知点F（0，1），是否存在实数 使得 若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.
40若u[0，1]，v[–1，0],同理可证满足题设条件.
综合上述得g(x)满足条件.
3. (本小题满分14分)
已知点P( t , y )在函数f ( x ) = (x –1)的图象上，且有t2– c2at + 4c2= 0 ( c 0 ).
历届高考数学压轴题汇总及答案(上海卷2019-2020)
历届高考数学压轴题汇总及答案（上海卷2019-2020）一．填空题1.(上海2019.12题) 已知集合[,1]U[4,9]A t t t t =+++，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 ．2.(上海2020.12题) 已知1a ，2a ，1b ，2b ，……，()*k b k N ∈是平面内两两互不相等的向量，满足121a a -=，且{1,2}j i a b -∈（其中1,2i =，1,2,...j =，k ），则K 的最大值为______. 二．选择题3.(上海2019.16题) 以()1,0a ，()20,a 为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于()1,0y ，()2,0y ，且满足12ln ln 0y y +=，则点1211,a a ⎛⎫⎪⎝⎭的轨迹是 （ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线4.(上海2020.16题) 若存在a R ∈且a 0≠，对任意的x R ∈，均有()()()f x a f x f a ++＜恒成立，则称函数()f x 具有性质P ，已知：1q ：()f x 单调递减，且()0f x ＞恒成立；2q ：()f x 单调递增，存在00x ＜使得()00f x =，则是()f x 具有性质P 的充分条件是（ ） A .只有1q B .只有2q C .1q 和2qD .1q 和2q 都不是三．解答题5.(上海2019.20题) 已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =． （1）当81,3P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断()()13d P d P +与()22d P 的关系．6.(上海2020.20题) 双曲线1C ：22214x y b-=，圆2C ：()22240x y b b +=+＞在第一象限交点为A ，(),A A A x y ，曲线22222241,44,A x y x x b x y b x x⎧-=⎪Γ⎨⎪+=+⎩＞＞。
完整)上海高中数学三角函数大题压轴题练习
完整)上海高中数学三角函数大题压轴题练习三角函数大题压轴题练1.已知函数$f(x)=\cos(2x-\frac{\pi}{3})+2\sin(x-\frac{\pi}{4})\sin(x+\frac{\pi}{4})$。
Ⅰ）求函数$f(x)$的最小正周期和图象的对称轴方程。
解：（1）$f(x)=\cos(2x-\frac{\pi}{3})+2\sin(x-\frac{\pi}{4})\sin(x+\frac{\pi}{4})$frac{1}{3}\cos(2x-\frac{\pi}{3})+\frac{4}{3}\sin x\cos x$frac{1}{3}(\cos^2x-\sin^2x-\frac{1}{2})+\frac{4}{3}\sin x\cos x$frac{1}{6}(3\cos2x-1)+\frac{4}{3}\sin x\cos x$frac{1}{6}(3\cos2x+2\sin x\cos x-\frac{2}{3})$frac{1}{6}(3\cos2x+\sin(2x-\frac{\pi}{3})-\frac{2}{3})$frac{1}{6}(3\cos2x+\sin2x\cos\frac{\pi}{3}-\cos2x\sin\frac{\pi}{3}-\frac{2}{3})$frac{1}{6}(2\cos2x+\sqrt{3}\sin2x-\frac{2}{3})$frac{1}{3}(\cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x)-\frac{1}{3}$frac{2}{3}\sin(2x+\frac{\pi}{3})-\frac{1}{3}$所以，函数$f(x)$的最小正周期为$\pi$，图象的对称轴方程为$x=k\pi+\frac{\pi}{3}$（$k\in Z$）。
2）在区间$[-\frac{5\pi}{6},\frac{\pi}{2}]$上，$f(x)$单调递增，而在区间$[\frac{\pi}{2},\frac{7\pi}{6}]$上单调递减。
上海02到12年高考数学压轴题题选
上海历年高考数学压轴题题选（2012文）23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =（1,2,...,k m =），即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5 （1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a（2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1,2,...,k m =），求证：k k b a =（1,2,...,k m =）（3）设100m =，常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若(1)22(1)n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列，求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +-（2012理）23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于数集{}121,,,...,n X x x x =-，其中120...n x x x <<<<，2n ≥，定义向量集{}(,),,Y a a s t s X t X ==∈∈r r ，若对任意1a Y ∈u r ，存在2a Y ∈u u r ，使得120a a ⋅=u r u u r，则称X 具有性质P ，例如{}1,1,2-具有性质P（1）若2x >，且{}1,1,2,x -具有性质P ，求x 的值 （2）若X 具有性质P ，求证：1X ∈，且当1n x >时，11x =（3）若X 具有性质P ，且11x =、2x q =（q 为常数），求有穷数列12,,...,n x x x 的通项公式（2012春）23. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.（2011文）23、（18分）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈），将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c L L 。
上海中学2025届高三压轴卷数学试卷含解析
上海中学2025届高三压轴卷数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线()220y px p =>经过点(M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．B ．4C ．2D ．-2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45B ．42C ．25D ．363．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．22152x y -=D ．22125x y -=4．已知(),A A A x y 是圆心为坐标原点O ，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转23π到OB 交圆于点(),B B B x y ，则2AB yy +的最大值为（ ）A ．3B ．2CD5．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = )A ．85B ．65C ．45D ．256．已知集合(){}*,|4,M x y x y x y N =+<∈、，则集合M 的非空子集个数是（ ）A ．2B ．3C ．7D ．87．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||PM 的最小值为（ ）A ．3B ．2(51)-C ．45D ．48．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．1639．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．134B ．67C ．182D ．10810．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭ C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ） A ．1B ．1或12C ．32D ．32±12．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．413．抛物线2112y x =的焦点坐标为______. 14．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上一点，且12C P PC =.设三棱锥1P D DB -的体积为1V ，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V ，则1V V的值为________.15．已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为_______．16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '．若0x >时，()2f x x '<，则不等式2(2)(1)321f x f x x x -->+-的解集是___________．三、解答题：共70分。
历届高考数学压轴题汇总及答案
历届高考数学压轴题汇总及答案一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分）已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分)已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34a =-时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)对任意21[,)e x ∈+∞均有()2f x a≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数.设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1na =+*,ab ∈N ，求223a b -的值.四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。
(1)设{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；(2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ；(3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围．已知函数l (n )f x x =.（Ⅰ）若()f x 在1x x =，212()x x x ≠处导数相等，证明：12()()88ln2f x f x +>-； （Ⅱ）若34ln2a <-，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点.六、2018年高考数学江苏卷：(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项1b ,公比为q 的等比数列. (Ⅰ)设10a =,11b =,2q =若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围；(Ⅱ)若110a b =>,m ∈*N ,q ∈,证明：存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立,并求d 的取值范围(用1b ,m ,q 表示).七、2017年高考数学上海卷：（本小题满分18分）设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x ＜时，都有12()()f x f x ≤. （1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 是周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，g()x 是定义在R 上的、恒大于零的周期函数，M 是g()x 的最大值.函数()()()h x f x g x =.证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.八、2017年高考数学浙江卷：(本题满分15分)已知数列{}n x 满足：1=1x ，()()*11ln 1N n n n x x x n ++=++∈. 证明：当*N n ∈时， (I )10n n x x +＜＜；(I I )1122n n n n x x x x ++-≤； (III )1-21122n n n x -≤≤.高考压轴题答案一、2019年上海卷： 解：（1）等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．当120,3a d π==，集合22S ⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭． （2）12a π=，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=， 综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合{}123,,S b b b =，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，()sin 4sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1,2k ∴= 当1k =时满足条件，此时{,1,1}S =--．③当5T =时，5n n b b +=，()sin 5sin ,52n n n n a d a a d a k π+=+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0,]d π∈，故1,2k =．当1k =时，sin ,1,sin 1010S ππ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意．∴④当6T =时，6n n b b +=，()sin 6sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =．当1k =时，S =⎪⎪⎩⎭，满足题意．⑤当7T =时，()7,sin 7sin sin n n n n n b b a d a a +=+==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7,7m n m -=>，不符合条件． 当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意． 综上，3,4,5,6T =．二、2019年浙江卷：解：（1）当34a =-时，()3ln 4f x x =-()0,∞+，且：()3'4f x x =-==， 因此函数()f x 的单调递增区间是12ω=,单调递减区间是()0,3.（2）由1(1)2f a ≤，得04a ＜当0a ＜()f x 2ln 0x -≥，令1t a=，则t ≥设()22ln g t t x =，t ≥则2()2ln g t t x=-，（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭则()(22)2ln g x g x =，记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p x x '===∴p(x)≥p(1)=0，∴g(t)≥g(2√2)=2p(x)≥0（ii ）当211,7x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g ≥，令211()(1),,7q x x x x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q x'=+>，故()q x 在211,7e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，1()7q x q ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭，由（i ）得11(1)077q p p ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,()0q x g t g ∴<∴≥=>，由（i ）（ii ）知对任意21,,),()0x t g t e ⎡⎫∈+∞∈+∞≥⎪⎢⎣⎭，即对任意21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()f x ≤综上所述，所求的a 的取值范围是⎛ ⎝⎦．三、2019年江苏卷：解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥，， 所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=+02233445555555C C C C C C =++++a =+因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．四、2018年上海卷：解：（1）数列{}n b 与{}n a 接近．理由：{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，可得112n n a -=，11112n n nb a +=+=+， 则011111111222n n n n b a ---=+-=-<，*n N ∈， 可得数列{}n b 与{}n a 接近；（2）{}n b 是一个与{}n a 接近的数列， 可得11n n n a b a +-≤≤，数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =， 可得1[0,2]b ∈，2[1,3]b ∈，3[3,5]b ∈，4[7,9]b ∈，可能1b 与2b 相等，2b 与3b 相等，但1b 与3b 不相等，4b 与3b 不相等，集合1234{|,}i M x x b i ===，，，， M 中元素的个数3m =或4；（3）{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，可得11n a a n d =+-（）， ①若0d ＞，取n n b a =，可得110n n n n b b a a d ++-=-=>， 则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意； ②若0d =，取11n b a n=-，则11111n n b a a a n n -=--=<，*n N ∈，可得11101n n b b n n +-=->+， 则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意； ③若20d ﹣＜＜，可令21211n n b a --=-，221n n b a =+，则()2212211120n n n n b b a a d ---=+--=+＞，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中恰有100个正数，符合题意； ④若2d-，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，即为11n n n a b a -+，11111n n n a b a +++-+， 可得()111120n n n n b b a a d ++-+--=+，21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中无正数，不符合题意．综上可得，d 的范围是(2,)-+∞．五、2018年浙江卷：解：（Ⅰ）函数()f x的导函数1()f x x'=-， 由12()()f x f x ''=1211x x -=-， 因为12x x ≠12+=．= 因为12x x ≠，所以12256x x >．由题意得121212()()ln ln ln()f x f x x x x x ++=．设()ln g x x =，则1()4)4g x x'=，所以()g x 在[256,)+∞上单调递增， 故12()(256)88ln 2g x x g >=-，即12()()88ln 2f x f x +>-． （Ⅱ）令()e a k m -+=，211a n k ⎛+⎫=+ ⎪⎝⎭，则 ()?0f m km a a k k a -->+-≥，(0)f n kn a a n k n ⎫----<⎪⎭<， 所以，存在0(,)x m n ∈）使00()f x kx a =+，所以，对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y kx a =+与曲线()y f x =有公共点． 由()f x kx a =+得k =．设()h x =，则22ln 1()12()x a g x a h x x x +--+'==，其中()ln g x x =-． 由（Ⅰ）可知()(16)g x g ≥，又34ln2a -≤，故–11613420g x a g a ln a -+-+=-++（）≤（）-≤，所以()0h x '≤，即函数()h x 在（0，+∞）上单调递减，因此方程()0f x kx a --=至多1个实根．综上，当34ln2a -≤时，对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点.六、2018江苏卷：解：（Ⅰ）由题意得||1n n a b -≤对任意1,2,3,4n =均成立 故当10a =，121q b ==时可得|01|1|2|1|24|1|38|1d d d -⎧⎪-⎪⎨-⎪⎪-⎩≤≤≤≤即1335227532d d d ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤所以7532d ≤≤（Ⅱ）因为110a b =>，1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…均能成立把n a ，n b 代入可得1111|(1)|(2,3,1n b n d b q b n m -+--=+≤…,) 化简后可得11111112(22)(222)0(2,3,1)111n n n m b q b b b q n n n m n n n ----=-+=-+=+---≤…, 因为q ∈，所以122n m -≤，22(2,3,1)n n m -=+≤…,而110(2,3,,11nb q n m n->=+-…） 所以存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立 当1m =时，112)b d ≤当2m ≥时，设111n n b q c n -=-，则111111(1)(2,3,)1(1)n n n n n b q b q q n q c c b q n m nn n n --+---=-==--… 设()(1)f n q n q =--，因为10q ->，所以()f n 单调递增，又因为q ∈所以11()(1)(1)2(1)2111m m m f m q m q m m m m ⎛⎫ ⎪⎛⎫=----=-- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭≤ 设111,0,2x x x m m ⎛⎤==∈ ⎥⎝⎦，且设1()21x g x x =+-，那么'21()2ln 2(1)x g x x =-- 因为2ln 22ln 2x ≤，214(1)x -≥所以'21(x)2ln 20(1)x g x =-<-在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，即()f x 单调递增。
上海市五十二中2025届高考数学押题试卷含解析
上海市五十二中2025届高考数学押题试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=( )A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+2．为得到的图象，只需要将的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位 3．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于A ，B 两点，若2PA AF =，则AB 为( )A ．409B ．40C ．16D ．1634．若复数z 满足1zi i =-（i 为虚数单位），则其共轭复数z 的虚部为（ ） A ．i -B ．iC ．1-D ．15．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．24π+B ．24π-C ．242π-D ．243π-6．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．1407．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．20,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．2,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．30,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．3,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭8．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．22B ．32C ．102D ．129．ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，2a =，1b =，则CD =（ ） A ．2133a b + B ．1233a b +C ．3455a b + D ．4355a b + 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83π3B ．4π1633C 16343π+D ．43π311．已知椭圆2222:19x y C a a +=+，直线1:30l mx y m ++=与直线2:30l x my --=相交于点P ，且P 点在椭圆内恒成立，则椭圆C 的离心率取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭12．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '，当0x ≥时，恒有())03(xf f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（ ）．A ．{|31}x x -<<-B ．1{|1}3x x -<<- C ．{|3x x <-或1}x >-D ．{|1x x <-或1}3x >-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海历年高考数学压轴题题选
上海历年高考数学压轴题题选(2012 文)23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于项数为m的有穷数列a n，记b k max印©,…©（k 1,2,..., m），即b k为a i,a2,...,a k中的最大值，并称数列b n是a n的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5（1）若各项均为正整数的数列a n的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的a n（2）设b n是a n的控制数列，满足3k b m k 1 C（C 为常数，k 1,2,..., m），求证：b k a k（k 1,2,..., m）(3)设m100，常数a 1 n(n 1),1 ，若a n an? ( 1) 2n，b n是a n的控制数列,求(b1aj(b2a2)... (b j00 a100)（2012 理）23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分r r 对于数集X 1,x1,x2,...,x n，其中0 X1 X2 ... x n，n 2，定义向量集Y a a （s,t）,s X,t X ，ir uu ir m若对任意a1Y，存在a2Y，使得Q& 0，则称X具有性质P，例如1,1,2具有性质P（1）若x 2，且1,1,2, x具有性质P，求x的值（3）若X具有性质P，且为1、x2 q （q为常数），求有穷数列x1, x2,..., x n的通项公式（2）若X具有性质P，求证：1 X，且当冷1时，为1（3）若X具有性质P，且为1、x2 q （q为常数），求有穷数列x1, x2,..., x n的通项公式（2012 春）23. （本题满分18 分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.（2011 文）23、（18分）已知数列｛a n｝和｛b n｝的通项公式分别为a n 3n 6 , b n 2n 7 （n N*）,将集合｛x|x a n,n N*｝U｛x|x b n,n N*｝中的元素从小到大依次排列，构成数列c1,c2,c3,L ,c n,L 。
高考数学压轴题汇总及答案
历届高考数学压轴题汇总及答案一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分）已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ；（2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分)已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +>(Ⅰ)当34a =-时,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)对任意21[,)e x ∈+∞均有()f x ≤求a 的取值范围.注： 2.71828e =L 为自然对数的底数.设2*012(1),4,nnn x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值.四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。
(1)设{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；(2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ；(3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在2132201200,,,b b b b b b L ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围．已知函数l (n )f x x -=.（Ⅰ）若()f x 在1x x =，212()x x x ≠处导数相等，证明：12()()88ln2f x f x +>-；（Ⅱ）若34ln2a <-，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点.六、2018年高考数学江苏卷：(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项1b ,公比为q 的等比数列.(Ⅰ)设10a =,11b =,2q =若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围；(Ⅱ)若110a b =>,m ∈*N ,q ∈,证明：存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立,并求d 的取值范围(用1b ,m ,q 表示).七、2017年高考数学上海卷：（本小题满分18分）设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x ＜时，都有12()()f x f x ≤.（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 是周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，g()x 是定义在R 上的、恒大于零的周期函数，M 是g()x 的最大值.函数()()()h x f x g x =.证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.八、2017年高考数学浙江卷：(本题满分15分)已知数列{}n x 满足：1=1x ，()()*11ln 1N n n n x x x n ++=++∈.证明：当*N n ∈时，(I )10n n x x +＜＜；(I I )1122n n n n x x x x ++-≤；(III )1-21122n n n x -≤.高考压轴题答案一、2019年上海卷：解：（1） 等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．∴当120,3a d π==，集合S ⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭．（2）12a π= ，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=，综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合{}123,,S b b b =，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，()sin 4sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1,2k ∴=当1k =时满足条件，此时{,1,1}S =--．③当5T =时，5n n b b +=，()sin 5sin ,52n n n n a d a a d a k π+=+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0,]d π∈，故1,2k =．当1k =时，sin,1,sin 1010S ππ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意．④当6T =时，6n n b b +=，()sin 6sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =．当1k =时，22S =⎨⎬⎪⎪⎩⎭，满足题意．⑤当7T =时，()7,sin 7sin sin n n n n n b b a d a a +=+==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7,7m n m -=>，不符合条件．当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件．当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意．综上，3,4,5,6T =．二、2019年浙江卷：解：（1）当34a =-时，()3ln 4f x x =-+，函数的定义域为()0,∞+，且：()3'4f x x -+=-+，因此函数()f x 的单调递增区间是12ω=,单调递减区间是()0,3.（2）由1(1)2f a ≤，得04a ＜≤，当204a ＜时，()f x ，等价于2ln 0x ≥，令1t a=，则t ≥，设()22ln g t t x =--，t ≥，则2()2ln g t t x=--，（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤则()2ln g x g x =-- ，记1()ln ,7p x x x =--≥，则1()p x x '==列表讨论：x17117⎛⎫ ⎪⎝⎭，1(1,)+∞()'p x ﹣0+()P x 17P ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减极小值()1P 单调递增∴p(x)≥p(1)=0，∴g(t)≥g(2√2)=2p(x)≥0（ii ）当211,7x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g ≥=令211()(1),,7q x x x x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q x'=+>，故()q x 在211,7e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，1()7q x q ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭，由（i ）得11(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,()0q x g t g ∴<∴≥=-，由（i ）（ii ）知对任意21,,),()0x t g t e ⎡⎫∈+∞∈+∞≥⎪⎢⎣⎭，即对任意21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2f x a≤，综上所述，所求的a 的取值范围是4⎛ ⎝⎦．三、2019年江苏卷：解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥ ，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====，44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==．因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n=+02233445555555C C C C C C =++++a =+因为*,ab ∈N ，所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．四、2018年上海卷：解：（1）数列{}n b 与{}n a 接近．理由：{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，可得112n n a -=，11112n n nb a +=+=+，则011111111222n n n n b a ---=+-=-<，*n N ∈，可得数列{}n b 与{}n a 接近；（2）{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，可得11n n n a b a +-≤≤，数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =，可得1[0,2]b ∈，2[1,3]b ∈，3[3,5]b ∈，4[7,9]b ∈，可能1b 与2b 相等，2b 与3b 相等，但1b 与3b 不相等，4b 与3b 不相等，集合1234{|,}i M x x b i ===，，，，M 中元素的个数3m =或4；（3）{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，可得11n a a n d =+-（），①若0d ＞，取n n b a =，可得110n n n n b b a a d ++-=-=>，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意；②若0d =，取11n b a n=-，则11111n n b a a a n n -=--=<，*n N ∈，可得11101n n b b n n +-=->+，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意；③若20d ﹣＜＜，可令21211n n b a --=-，221n n b a =+，则()2212211120n n n n b b a a d ---=+--=+＞，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中恰有100个正数，符合题意；④若2d - ，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，即为11n n n a b a -+ ，11111n n n a b a +++-+ ，可得()111120n n n n b b a a d ++-+--=+ ，21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中无正数，不符合题意．综上可得，d 的范围是(2,)-+∞．五、2018年浙江卷：解：（Ⅰ）函数()f x的导函数1()f x x'=-，由12()()f x f x ''=1211x x -，因为12x x ≠，所以12+=．=+．因为12x x ≠，所以12256x x >．由题意得121212()()ln ln ln()f x f x x x x x +=-+-=．设()ln g x x =-，则1()4)4g x x'=-，所以()g x 在[256,)+∞上单调递增，故12()(256)88ln 2g x x g >=-，即12()()88ln 2f x f x +>-．（Ⅱ）令()e a k m -+=，211a n k ⎛+⎫=+ ⎪⎝⎭，则()–0f m km a a k k a -->+-≥，(0)f n kn a a n k n ⎫----<⎪⎭<，所以，存在0(,)x m n ∈）使00()f x kx a =+，所以，对于任意的a ∈R 及k ∈（0，+∞），直线y kx a =+与曲线()y f x =有公共点．由()f x kx a =+得k =．设ln ()x x a h x x --=，则22ln 1()12()x a g x a h x x x --+--+'==，其中()ln 2x g x x =-．由（Ⅰ）可知()(16)g x g ≥，又34ln2a -≤，故–11613420g x a g a ln a -+-+=-++（）≤（）-≤，所以()0h x '≤，即函数()h x 在（0，+∞）上单调递减，因此方程()0f x kx a --=至多1个实根．综上，当34ln2a -≤时，对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点.六、2018江苏卷：解：（Ⅰ）由题意得||1n n a b -≤对任意1,2,3,4n =均成立故当10a =，121q b ==时可得|01|1|2|1|24|1|38|1d d d -⎧⎪-⎪⎨-⎪⎪-⎩≤≤≤≤即1335227532d d d ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤所以7532d ≤≤（Ⅱ）因为110a b =>，1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…均能成立把n a ，n b 代入可得1111|(1)|(2,3,1n b n d b q b n m -+--=+ ≤…,)化简后可得11111112(22)(222)0(2,3,1)111n n n m b q b b b q n n n m n n n ----=-+=-+=+--- ≤…,因为q ∈，所以122n m -≤，22(2,3,1)n n m -=+≤…,而110(2,3,,11n b q n m n ->=+- …）所以存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立当1m =时，112)b d ≤当2m ≥时，设111n n b q c n -=- ，则111111(1)(2,3,)1(1)n n n n n b q b q q n q c c b q n m n n n n --+---=-==-- …设()(1)f n q n q =--，因为10q ->，所以()f n单调递增，又因为q ∈所以11()(1)(1)(1)2111m m f m q m q m m m m ⎛⎫ ⎪⎫=---=-- ⎪⎪-⎭ ⎪-⎝⎭ ≤设111,0,2x x x m m ⎛⎤==∈ ⎥⎝⎦，且设1()21x g x x =+-，那么'21()2ln 2(1)x g x x =--因为2ln 2ln 2x ，214(1)x -≥所以'21(x)2ln 20(1)x g x =-<- 在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，即()f x 单调递增。
历届高考数学压轴题汇总及答案
历届高考数学压轴题汇总及答案1.2019年高考数学上海卷：已知等差数列$\{a_n\}$的公差$d\in(0,\pi]$，数列$\{b_n\}$满足$b_n=\sin(a_n)$，集合$S=\{x|x=b_n,n\in N^*\}$。
1) 若$a_1=0,d=\frac{\pi}{6}$，求集合$S$的元素个数；2) 若$a_1=\frac{2\pi}{3}$，求集合$S$；3) 若集合$S$有三个元素$b_{n+T}=b_n$，其中$T$是不超过$7$的正整数，求$T$的所有可能值。
2.2019年高考数学浙江卷：已知实数$a\neq0$，函数$f(x)=a\ln x+x+1$，$x>0$。
1) 当$a=-1$时，求函数$f(x)$的单调区间；2) 对任意$x\in[\frac{3}{4},+\infty)$，有$f(x)\leq\frac{1}{2}e^{2a}$，求$a$的取值范围。
3.2019年高考数学江苏卷：设$(1+x)=a+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$，$n^2,n\in N^*$，已知$a_3=2a_2a_4$。
1) 求$n$的值；2) 设$(1+3x)=a+b\sqrt{3}$，其中$a,b\in N^*$，求$a^2-3b^2$的值。
4.2018年高考数学上海卷：给定无穷数列$\{a_n\}$，若无穷数列$\{b_n\}$满足对任意$n\in N^*$，都有$b_n-a_n\leq1$，则称$\{b_n\}$与$\{a_n\}$“接近”。
1) 设$\{a_n\}$是首项为$1$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，构造一个与$\{a_n\}$接近的数列$\{b_n\}$，并说明理由；2) 设数列$\{a_n\}$的前四项为：$a_1=1,a_2=2,a_3=4,a_4=8$，$\{b_n\}$是一个与$\{a_n\}$接近的数列，记集合$M=\{x|x=b_i,i=1,2,3,4\}$，求$M$中元素的个数$m$；3) 已知$\{a_n\}$是公差为$d$的等差数列，若存在数列$\{b_n\}$满足：$\{b_n\}$与$\{a_n\}$接近，且在$1$的等比数列，$b_n=a_{n+1}+1$，$n\in N^*$，判断数列$\{b_n\}$是否满足$b_2-b_1,b_3-b_2,\cdots,b_{201}-b_{200}$中至少有$100$个为正数，求$d$的取值范围。
历届高考数学压轴题汇总及答案(上海卷)
历届高考数学压轴题汇总及答案（上海卷2017-2018）一．填空题1.(上海2017.12题)如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合1234{P ,P ,P ,P }Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“▲”的点分布在P l 的两侧．用1D （P l ）和2D （P l ）分别表示P l 一侧和另一侧的“▲”的点到P l 的距离之和．若过P 的直线P l 中有且只有一条满足1D （P l ）2D =（P l ），则Ω中所有这样的P 为 .2.(上海2018.12题已知实数x x y y ₁、₂、₁、₂满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，的最大值为 。
二．选择题3、(上海2017.16题)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=．P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ 的最大值．记{(,)}P Q Ω=，P 在1C 上，Q 在2C 上，且OP OQ w =，则Ω中元素个数为（ ）A .2个B .4个C .8个D .无穷个4.(上海2018.16题)设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数，若()f x 的图像绕原点逆时针旋转6π后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）D.01f （）三．解答题5、(上海2017.20题)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点. （1）若P在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设83,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =，求直线AQ 的方程.6.(上海2018.20题)(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)设常数2t ＞，在平面直角坐标系xOy 中，已知点0(2)F ，，直线:l x t =，曲线：(0,y 0)x t ≤≤≥，l 与x 轴交于点A ，与τ交于点B P Q ，、分别是曲线τ与线段AB 上的动点。
上海高中数学三角函数大题压轴题练习
三角函数大题压轴题练习1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域 解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+1cos 22(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =++-+221cos 22sin cos 22x x x x =++-1cos 22cos 22x x x =- sin(2)6x π=-2T 2ππ==周期∴ 由2(),()6223k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3x k k Z ππ=+∈（2）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈- 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以 当3x π=时，()f x 取最大值 1又1()()1222f f ππ-=<=，当12x π=-时，()f x 取最小值-所以 函数 ()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[2．已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．解：（Ⅰ）1cos 2()222x f x x ωω-=+112cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤， 所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．3. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.解：（Ⅰ） 由题意得3sin cos 1,m n A A =-= 12sin()1,sin().662A A ππ-=-= 由A 为锐角得 ,663A A πππ-==（Ⅱ） 由（Ⅰ）知1cos ,2A =所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x s x =+=-+=--+因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值32.当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，4.已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值．【解析】（1）依题意有1A =，则()s i n ()f x x ϕ=+，将点1(,)32M π代入得1sin()32πϕ+=，而0ϕπ<<，536πϕπ∴+=，2πϕ∴=，故()sin()cos 2f x x x π=+=； （2）依题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,)2παβ∈，45sin ,sin 513αβ∴====，3124556()cos()cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=。
上海高考数学压轴题50道(有答案-精品).
20 11高考压轴题目选（5 0题）1 .（函数）设32（log （f x x x =++,则对任意实数,a b , “Oa b +艺是“（（Ofafb +扌的条件。
2.（函数）设22,22（,（yxyxyxf+2定义在平面上的函数，且+=2,｛（xyxA｝0,0, 12*yxy,令） , （, （｛Ay xy x fB €=,则 B 所覆盖的面积为3.（函数）老师在黑板上写岀了若干个幕函数。
他们都至少具备一下三条性质中的一条：（1）是奇函数；（2）在（，-妍8上是增函数；（3）函数图像经过原点。
小明统计了一下，具有性质（1）的函数共10个，具有性质（2）的函数共6个，具有性质（3）的函数共有15个，则老师写岀的幕函数共有个。
4.（函数）已知定义在R上的奇函数（xf,满足（4（fxfx=，且在区间[0,2] 上是増函数,若方程f（x=m（m>0在区间[]& 8-上有四个不同的根1234,..xxxx,则1234X xxx +++=5.（函数）已知函数（1. fxa =\/x2+1女在区间（KM上是减函数，则实数a的取值范围是6.（函数）方程x22x-l = 0的解可视为函数y=x2的图像与函数ylx横坐标，若x4+ax -4=0的各个实根xl, x2, xk （k <4所对应的点（xi,（i=12,“k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是7.（函数）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。
设顶点p （x , y ）的轨迹方程是（y f x =,则（fx的最小正周期为；（yfx地其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为O8.（三角函数）已知（sin （0 363f x x f f ©coiunifn 1（i =+>=i I I u u u,,且（fx 在区间637mf ] I U有最小值，无最大值，则3=9.（三角函数）已知函数271（sin sin 2cos 662x fxxxxococof1 *+-e I I U U R.（其中g>）,若对任意的aER,函数（yfx=, （7i]xaae+,的图像与直线l=y交点个数的最大值为2,则co的取值范围为1 0.（三角函数）已知方程x 2+3x+4=0的两个实根分别是xl, x2,则21arct anarc tanxx+ 1 1 .（数列）设定义在*N上的函数：（21（（（22nnkfnnfnk=-[ | =| =| [,其中*kN € ,记（1（2（3（4（2n naf ffff=+++++ ,则In n a a +=1 2.（数列）在m （m>2）个不同数的排列PlP2…Pn中，若<j <m 时Pi>Pj （即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序。
上海高考数学压轴题50道(有答案-精品)
高考压轴题目选（５０题）１．（函数）设32()log (f x x x =++，则对任意实数,a b ，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的 条件。
２．（函数）设)22,22(),(y x y x y x f +-=为定义在平面上的函数，且+=2),{(x y x A }0,0,12≥≥≤y x y ，令}),(),({A y x y x f B ∈=，则B 所覆盖的面积为３．（函数）老师在黑板上写出了若干个幂函数。
他们都至少具备一下三条性质中的一条：（1）是奇函数；（2）在(,)-∞+∞上是增函数；（3）函数图像经过原点。
小明统计了一下，具有性质（1）的函数共10个，具有性质（2）的函数共6个，具有性质（3）的函数共有15个，则老师写出的幂函数共有 个。
４．（函数）已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=５．（函数）已知函数()1).f x a =≠在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是６．（函数）方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i)（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是７．（函数）如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动。
设顶点p （x ，y ）的轨迹方程是()y f x =，则()f x 的最小正周期为 ；()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域的面积为 。
８．（三角函数）已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________ ９．（三角函数）已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，（其中0ω>），若对任意的a ∈R ，函数()y f x =，(π]x a a ∈+，的图像与直线1=y 交点个数的最大值为2，则ω的取值范围为１０．（三角函数）已知方程x 2+33x+4=0的两个实根分别是x 1，x 2，则21a r c t a n a r c t a n x x += １１．（数列）设定义在*N 上的函数：(21)()()(2)2n n k f n n f n k =-⎧⎪=⎨=⎪⎩，其中*k N ∈，记(1)(2)(3)(4)(2)n n a f f f f f =+++++，则1n n a a +-=１２．（数列）在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序。
上海市第一中学2023届高考压轴卷数学试卷含解析
2023年高考数学模拟试卷 注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b ca b +++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（ ）A．1⎛ ⎝⎭ B．( C．1⎛ ⎝⎦ D． 2．设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知非零向量a ，b 满足||a b |=|，则“22a b a b+=-”是“a b ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解:4．已知命题:p 若1a <，则21a <，则下列说法正确的是（ ）A ．命题p 是真命题B ．命题p 的逆命题是真命题C ．命题p 的否命题是“若1a <，则21a ≥” D ．命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a <”5．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ）A ．35B ．710C ．45D ．9106．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（ ）A ．2e B ．4e CD7．已知R 为实数集，{}2|10A x x =-≤，1|1B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则()A B =R（ ）A ．{|10}x x -<≤B ．{|01}x x <≤C ．{|10}x x -≤≤D ．{|101}x x x -≤≤=或8．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C、圆2C 上的动点，P为x 轴上的动点，则PN PM-的最大值是（ ）A ．254+B ．9C ．7D ．252+9．若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( ) A ．932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．932,2ln 2ln 5⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．932,2ln 2ln 5⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．9,2ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 10．若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．111．设点(,0)A t ，P 为曲线xy e =上动点，若点A ，P 间距离的最小值为6，则实数t 的值为（ ）A ．5B ．52C ．ln 222+ D ．ln 322+12．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动， 且AB 总是平行于x 轴， 则FAB ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届上海市市西中学高三压轴卷数学试卷含解析
2025届上海市市西中学高三压轴卷数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] 2．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点与圆M ：22(2)5x y -+=的圆心重合，且圆M 被双曲线的一条渐近线截得的弦长为22，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．3D ．3 3．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知抛物线y 2= 4x 的焦点为F ，抛物线上任意一点P ，且PQ ⊥y 轴交y 轴于点Q ，则 PQ PF ⋅的最小值为（ ）A ．-14B ．-12C ．-lD ．15．数列{}n a 满足：21n n n a a a +++=，11a =，22a =，n S 为其前n 项和，则2019S =（ ）A ．0B ．1C ．3D ．46．若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．12B ．12-C ．12iD ．12i - 7．231+=-i i （ ） A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122i - 8．复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．若复数z 满足i 2i z -=，则z =（ ）A B C ．2 D10．“”αβ≠是”cos cos αβ≠的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知非零向量a ，b 满足||a b |=|，则“22a b a b +=-”是“a b ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解:12．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( )A ．0x ±=B ．20x y ±=C 0y ±=D ．20x y ±= 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海高考数学(函数)经典压轴习题解析详解
欢迎阅读上海高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解1.(本小题满分12分)已知常数a>0,n 为正整数，f n (x)=x n –(x+a)n (x>0)是关于x 的函数. (1)判定函数f n (x)的单调性，并证明你的结论. (2)对任意n ?a,证明f`n+1(n+1)<(n+1)f n `(n) n –1n –1n –1n –1解：(1)若u,v ?[–1，1]，|p(u)–p(v)|=|u 2–v 2|=|(u+v)(u –v)|，取u=43?[–1，1]，v=21?[–1，1],则|p(u)–p(v)|=|(u+v)(u –v)|=45|u –v|>|u –v|， 所以p(x)不满足题设条件. （2）分三种情况讨论：10.若u,v ?[–1，0]，则|g(u)–g(v)|=|(1+u)–(1+v)|=|u –v|，满足题设条件； 20.若u,v ?[0，1]，则|g(u)–g(v)|=|(1–u)–(1–v)|=|v –u|，满足题设条件； 30.若u ?[–1，0]，v ?[0，1]，则：|g(u)–g(v)|=|(1–u)–(1+v)|=|–u –v|=|v+u|≤|v –u|=|u –v|，满足题设条件; 40若u ?[0，1]，v ?[–1，0],同理可证满足题设条件.综合上述得g(x)满足条件. 3.(本小题满分14分)（3）（仅理科做）∵f(x)在x>–1时单调递增，|c|?|a |>0, ∴f(|c|)?f(|a |4)=1|a |4|a |4+=4|a |4+f(|a|)+f(|c|)=1|a ||a |++4|a |4+>4|a ||a |++4|a |4+=1. 即f(|a|)+f(|c|)>1.4．（本小题满分15分）设定义在R 上的函数43201234()f x a x a x a x a x a =++++（其中i a ∈R ，i=0,1,2,3,4），当x=－1时，f(x)取得极大值23，并且函数y=f(x+1)的图象关于点（－1，0）对称．（1） 求f(x)的表达式；221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩………………………………………………………3分由（1）－（2）可得1.3MN QN k k ∙=-………………………………6分又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-……10分从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==- 代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程.………………13分由①②得：⎪⎩⎨∈-==),(,142121R x x x x y ∴点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分（2）由（1）得：),14,(211-=x x ),14,(222-=x x )1,2(21-+xx P42)14)(14(2221222121x x x x x x FB FA +--=--+=⋅…………………………10分所以0)(2=+⋅故存在λ=1使得0)(2=+⋅FP FB FA λ…………………………………………12分 解法（二）：（1）∵直线PA 、PB 与抛物线相切，且,0=⋅PB PA ∴直线PA 、PB 的斜率均存在且不为0，且,PB PA ⊥ 设PA 的直线方程是)0,,(≠∈+=k R m k m kx y（1） 求正实数a 的取值范围； （2） 设1,0>>a b ，求证：.ln 1bba b b a b a +<+<+ 解：（1）01)(2'≥-=axax x f 对),1[+∞∈x 恒成立， xa 1≥∴对),1[+∞∈x 恒成立 又11≤x1≥∴a 为所求.…………………………4分（2）取b b a x +=，1,0,1>+∴>>bba b a ， 一方面，由（1）知x axxx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数，即b a b b a +>+1ln ……………………………………8分 另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G∴)(x G 在),1(+∞上是增函数且在0x x =处连续，又01)1(>=G求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设双曲线E 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则(,0),(,0),(,0)B c D a C c -．由3BD DC =，得3()c a c a +=-，即2c a =．∴222||||16,||||124,||||2.AB AC a AB AC a AB AC a ⎧-=⎪+=-⎨⎪-=⎩（3分）xx解之得1a =，∴2,c b ==∴双曲线E 的方程为2213y x -=．（5分）(2)设在x 轴上存在定点(,0)G t ，使()BC GM GN λ⊥-．1y λ=-GM GN λ-(BC GM GN λ⊥-12(ky m t ky m λ+-=+-2226(1)6()03131k m km m t k k ---=--，化简得kmt k =． 当1t m=时，上式恒成立． 因此，在x 轴上存在定点1(,0)G m，使()BC GM GN λ⊥-．（12分）9．(本小题满分14分)已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*n ∈N 都有(1)n n p S p pa -=-（p 为大于1的常数），记12121C C C ()2n n n n nn na a a f n S ++++=．(1)求n a ； (2)试比较(1)f n +与1()2p f n p+的大小（*n ∈N ）； 2C na a ++(1)np +(1)f n +1111(1)2(1)n n n p p p p +++-+=⋅-． 而1()2p f n p+1111(1)2()n n n p p p p p +++-+=⋅-，且1p >， ∴1110n n p p p ++->->，10p ->．∴(1)f n +<1()2p f n p+，（*n ∈N ）．（8分） (3)由(2)知1(1)2p f p +=，(1)f n +<1()2p f n p+，（*n ∈N ）． ∴当2n …时，211111()(1)()(2)()(1)(2222n np p p p f n f n f n f p pp p-++++<-<-<<=． 111(21)222p p p f n p p p ⎛⎫⎛⎫+++++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…2,,21n -时，1)n+⎣⎦分）。
上海市南汇第一中学2025届高考数学押题试卷含解析
上海市南汇第一中学2025届高考数学押题试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ） A ．35B ．710C ．45D ．9102．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线22y x a =-是曲线ln y x a =-的切线，则a =（ ） A ．2-或1B ．1-或2C ．1-或12D ．12-或1 4．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（ ） A ．49B ．49- C ．43D ．43-5．若，则（ ） A ．B ．C ．D ．6．将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（ ） A ．14种B ．15种C ．16种D ．18种7．已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径的圆经过点P ，若PF F ∆223，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．5D ．38．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．9．已知集合|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A 真子集的个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．810．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）A ．30010B ．40010C ．50010D ．6001011．已知函数1()2x f x e x -=+-的零点为m ，若存在实数n 使230x ax a --+=且||1m n -≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,4]B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[2,3]12．在直角坐标系中，已知A （1，0），B （4，0），若直线x +my ﹣1=0上存在点P ，使得|PA |=2|PB |，则正实数m 的最小值是( ) A ．13B ．3C 3D 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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上海历年高考数学压轴题题选（2012文）23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =（1,2,...,k m =），即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5 （1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a（2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1,2,...,k m =），求证：k k b a =（1,2,...,k m =）（3）设100m =，常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若(1)22(1)n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列，求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +- （2012理）23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于数集{}121,,,...,n X x x x =-，其中120...n x x x <<<<，2n ≥，定义向量集{}(,),,Y a a s t s X t X ==∈∈r r ，若对任意1a Y ∈u r ，存在2a Y ∈u u r ，使得120a a ⋅=u r u u r，则称X 具有性质P ，例如{}1,1,2-具有性质P（1）若2x >，且{}1,1,2,x -具有性质P ，求x 的值 （2）若X 具有性质P ，求证：1X ∈，且当1n x >时，11x =（3）若X 具有性质P ，且11x =、2x q =（q 为常数），求有穷数列12,,...,n x x x 的通项公式 （2012春）23. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. （2011文）23、（18分）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈），将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈U 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c L L 。
⑴ 求三个最小的数，使它们既是数列{}n a 中的项，又是数列{}n b 中的项； ⑵ 12340,,,,c c c c L 中有多少项不是数列{}n b 中的项？说明理由； ⑶ 求数列{}n c 的前4n 项和4n S （*n N ∈）。
（2011理）22、（18分）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈），将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈U 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c L L 。
⑴ 求1234,,,c c c c ；⑵ 求证：在数列{}n c 中、但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a L L ； ⑶ 求数列{}n c 的通项公式。
（2011理）23、（18分）已知平面上的线段l 及点P ，在l 上任取一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l 。
⑴ 求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ； ⑵ 设l 是长为2的线段，求点集{|(,)1}D P d P l =≤所表示图形的面积；⑶ 写出到两条线段12,l l 距离相等的点的集合12{|(,)(,)}P d P l d P l Ω==，其中12,l AB l CD ==，,,,A B C D 是下列三组点中的一组。
对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。
① (1,3),(1,0),(1,3),(1,0)A B C D --。
② (1,3),(1,0),(1,3),(1,2)A B C D ---。
③ (0,1),(0,0),(0,0),(2,0)A B C D 。
（2011春）21. (本题满分14分)本题公园小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。
已知抛物线y x F 4:2=（1）△ABC 的三个顶点在抛物线F 上，记△ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在的直线的斜率分别为CA BC AB k k k ,,，若A 的坐标在原点，求CA BC AB k k k +-的值；（2）请你给出一个以)1,2(P 为顶点、其余各顶点均为抛物线F 上的动点的多边形，写出各多边形各边所在的 直线斜率之间的关系式，并说明理由。
说明：第（2）小题将根据结论的一般性程度给与不同的评分。
（2010文）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．若实数x 、y 、m 满足x m y m -<-，则称x 比y 接近m ．（1）若21x -比3接近0，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：22a b ab +比33a b +接近2；（3）已知函数()f x 的定义域{},,D x x k k Z x R π≠∈∈．任取x D ∈，()f x 等于1sin x +和1sin x -中接近0的那个值．写出函数()f x 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．（2010理）22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分。
若实数x 、y 、m 满足m y m x ->-，则称x 比y 远离m ．（1）若21x -比1远离0，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33a b +比22a b ab +远离2；（3）已知函数()f x 的定义域⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈⎩⎨⎧+≠=R x Z k k x x D ,,42ππ．任取x D ∈，()f x 等于x sin 和x cos 中远离0的那个值．写出函数()f x 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．（2010文）23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知椭圆Γ的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，(0,)A b 、(0,)B b -和(,0)Q a 为Γ的三个顶点．（1）若点M 满足1()2AM AQ AB =+uuu r uuu r uu u r，求点M 的坐标；（2）设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E ．若2122b k k a⋅=-，证明：E为CD 的中点；（3）设点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，如何构作过PQ 中点F 的直线l ，使得l 与椭圆Γ 的两个交点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=uu u r uuu r uu u r ？令10a =，5b =，点P 的坐标是（-8，-1），若椭圆Γ上的点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=uu u r uuu r uu u r，求点1P 、2P 的坐标．（2010理）23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．已知椭圆Γ的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点P 的坐标为（b a ,-）．（1）若直角坐标平面上的点M 、)0,(),,0(a B b A -满足1()2PM PA PB =+uuu r uu r uu r，求点M 的坐标；（2）设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E ．若2122b k k a⋅=-，证明：E 为CD 的中点；（3）对于椭圆Γ上的点)0()sin ,cos (πθθθ<<b a Q ，如果椭圆Γ上存在不同的两个交点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=uu u r uuu r uu u r，写出求作点1P 、2P 的步骤，并求出使1P 、2P 存在的θ的取值范围．（2010春）23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。
已知首项为1x 的数列}{n x 满足11+=+n nn x ax x （a 为常数）。
（1）若对于任意的11-≠x ，有n n x x =+2对于任意的*N n ∈都成立，求a 的值；（2）当1=a 时，若01>x ，数列}{n x 是递增数列还是递减数列？请说明理由；（3）当a 确定后，数列}{n x 由其首项1x 确定，当2=a 时，通过对数列}{n x 的探究，写出“}{n x 是有穷数列”的一个真命题（不必证明）。
说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分。
（2009理）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。
已知函数()y f x =的反函数。
定义：若对给定的实数(0)a a ≠，函数()y f x a =+与1()y f x a -=+互为反函数，则称()y f x =满足“a 和性质”；若函数()y f ax =与1()y f ax -=互为反函数，则称()y f x =满足“a积性质”。
（1） 判断函数2()1(0)g x x x =+>是否满足“1和性质”，并说明理由； （2） 求所有满足“2和性质”的一次函数；（3） 设函数()(0)y f x x =>对任何0a >，满足“a 积性质”。
求()y f x =的表达式。
（2009文）23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分. 已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列（1）若 31n a n =+，是否存在*,m n N ∈，有1m m k a a a ++=？请说明理由；（2）若nn b aq =（a 、q 为常数，且aq ≠0）对任意m 存在k ，有1m m k b b b +⋅=，试求a 、q 满足的充要条件；（3）若21,3nn n a n b =+=试确定所有的p,使数列{}n b 中存在某个连续p 项的和式数列中{}n a 的一项，请证明.（2009理）23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。