专题162二次根式的乘除八年级数学人教版下册

第十六章 二次根式

16.2 二次根式的乘除

1．二次根式的乘法法则

（1）一般地，二次根式的乘法法则是：

__________(00)a b a b =≥≥，．

语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数__________．

在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a ，b 均为非负数这一条件． 000)a b c abc a b c =≥≥≥，，． ②00)b d bd b d =≥≥，，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数；

③乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可应用． （2）二次根式乘法法则的逆用

(00)ab a b a b =≥≥，．

语言叙述：积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积．

公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须满足a ≥0，b ≥0．实际上，a ≥0，b ≥0是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab ≥0即可．

二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方根，在进行二次根式的乘法运算时，这两个关系经常交替使用． (0000)abcd a b c d a b c d =≥≥≥≥，，，．

运用这个性质可以化简二次根式：如果一个二次根式的被开方数有的因数（式）是完全平方数（式），(00)ab a b a b =

≥≥，2(0)a a a =≥将这些因数（式）

“开方”出来，从而将二次根式化简．

利用积的算术平方根的性质化简的步骤：

①将被开方数进行因数分解或因式分解；

②应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来．

2．二次根式的除法法则

（1）一般地，二次根式的除法法则是：

0__________0)a b =≥，． 语言叙述：二次根式相除，把被开方数__________，根指数不变．

【注意】①a ≥0，b >0时，式子才成立，若a ，b 都是负数，虽然0a b >范围内无意义；若b =0，a b

则号无意义．学-科网 ②如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数．

③二次根式的运算结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式．

（2）二次根式除法法则的逆用

00)a b =≥>， ★语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．

公式中的a ，b 表示的代数式必频满足a ≥0，b >0，a ≥0，b >0是限制公式右边的，对公式的左边，只要

0a b

≥且0b ≠即可．

利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为“（a ≥0，b >0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可． 3．最简二次根式

满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

（1）被开方数不含__________；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．

【拓展】分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化．

分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号．分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜．

K知识参考答案：

1．ab，不变2．>，相除3．分母

K—重点二次根式的乘法和除法；最简二次根式的判断

K—难点二次根式的乘法法则和除法法则的逆用

K—易错运算顺序错误；忽视隐含条件

一、二次根式的乘法

1．法则中的a，b表示的代数式都必须是非负的．

2．两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方．

【例1】下列计算正确的是

A．25×35=65B．32×33=36

C．42×23=85D．22×63=126

【答案】D

⨯⨯得

【例2】916144

A．144 B．±144 C．±12 D．12

【答案】A

⨯⨯．故选A．

916144

⨯⨯916144=3412=144

二、二次根式的除法

1000)a b c =≥>>，，；

2．((()m n ÷=÷⋅，其中000a b n ≥>≠，

，．

【例3】

= A ．a 、b 同号

B ．a ≥0，b >0

C ．a >0，b >0

D ．a >0，b ≥0 【答案】B

【解析】由二次根式的非负性可知，a ≥0，b ≥0，由于b 是分母，故b >0．故选B ．

【例4】计算

A ．

B ．23x

C ．

D ．3

x 【答案】C

【解析】原式=4×C ． 三、二次根式的乘除混合运算

二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用．

二次根式乘除混合运算的一般步骤：

（1）将算式中的除法转化为乘法；

（2）利用乘法运算律将运算转化为系数和被开方数的乘法运算；

（3）将系数和被开方数分别相乘；

（4）化成最简二次根式．

【例5】

A B C D ．