整数同余的性质与证明研
第二章 同余
3
定理 2 模m同余是等价关系, 即 (1) 对任一整数a , a ≡ a (mod m ); (3)若a ≡ b (mod m ), b ≡ c (mod m ), 则a ≡ c (mod m ) (传递性 ) (自反性 ) (2)若a ≡ b (mod m ), 则b ≡ a (mod m ); (对称性 )
即:欧拉( Euler ) 数ϕ ( x )是定义在正整数上的 函 函数,ϕ ( m )的值等于0,1, 2,L , m − 1中与m互素的数的 个 数.
12
二、简化剩余系
定义 2 如果模m的剩余类里面的数与m互素,就 .(又 把这个类叫做一个与模m互素的剩余类.(又称简化 剩余类)
定义3 设m是一个正整数,在模m的所有不同简 化剩余类中,从每个类任取一个数组成的整数的集合, 叫做模m的一个简化剩余系.
证 因(e , ϕ ( n)) = 1, 则存在整数d ,1 ≤ d < ϕ ( n), 使得
ed ≡ 1 (mod ϕ ( n))
由2.3定理4 2.3定理4 定理
19
于是存在正整数k , 使得 ed = 1 + kϕ ( n). 因(a , pq ) = 1, 所以(a , p ) = 1,由Euler 定理
定 理13 设 m 是 正 整 数 , a ≡ b (mod m ), 则 ( a , m ) = ( b , m ). 因 而 若 d 能 整 除 m 及 a, b二 者 之 一, 则 d 必 能 整 除 a, b 中的另一个.
7
证明同余式的一般方法(基本的方法):
同余的基本概念和性质
模相等的同余关系的运算性质
模相等的同余关系满足交换律和结合律 模相等的同余关系满足消去律 模相等的同余关系满足分配律 模相等的同余关系满足幂等律
同余的应用
同余在模方程中的应用
模方程的同余解法 同余在模方程中的应用实例 同余在模方程中的求解步骤 同余在模方程中的优势与局限性
同余在数论中的应用
整除理论：同余是整除理论中的重要概念，用于研究整数之间的除法关系。
● - 同余关系具有反身性，即任意整数a都与自身对模m同余，即a≡a(mod m)。 ● - 同余关系具有对称性，即如果a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。 ● - 同余关系具有传递性，即如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。 ● - 对于任意整数a、b和c，若a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
同余的性质
模相等的同余关系
● 定义：如果两个整数a和b除以同一个正整数m的余数相同，则称a和b对模m同余，记作 a≡b(mod m)。
● 性质： - 同余关系具有反身性，即任意整数a都与自身对模m同余，即a≡a(mod m)。 - 同余关 系具有对称性，即如果a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。 - 同余关系具有传递性，即如果 a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。 - 对于任意整数a、b和c，若a≡b(mod m)且 b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
同余的基本概念和性质
汇报人：XX
目录
同余的定义
同余的性质
01
02
同余的应用
同余的证明方法
03
04
同余的定义
什么是同余
同余的定义：两个整数除以某 个固定整数得到的余数相同， 则称这两个整数同余。
同余
可以理解为： 31除以4的余数是3 可以理解为： 50除以4的余数是18
求123+72的和除以10的余数
方法一：123+72=195
求121+74的和除以3的余数
方法一：121+74=195
求121-74的差除以3的余数
方法一：121-74=47
同余式定义和基本性质
若ab(mod m), cd(mod m), k为正整数 ①可加减性 和（差）的余数等于余数的和（差） 即a±c b±d(mod m), 特别地有a±k b±k(mod m). 同时有a-b 0（mod m） 显然：移项变号同样适用于同余式
【例7】若今天是星期六，从今天 102003天后的那一天是星期（ ）
10 3(mod7)
6
10
2003
3
2003
(mod7)
3 （ 1 mod7） 2003 6 333 5
10
2003
3 3
2003
5
5(mod7)
∴所求那天是星期四。
一次同余式组
• 本节介绍一次同余式组的解法及其应用举 例． • 在公元三世纪前,《孙子算经》里已提出了下 面的同余式组 xb1(mod m1), xb2(mod m2),…, xbk(mod mk) (1) • 这种形式的问题, 并且很好地解决了它.《孙子 算经》里所提出的问题之一如下: • “今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数之 剩三, 七七数之剩二. 问物几何？” “答日二 15:51:43 十三.”
一个数除以3余2，除以5余3，除以7余 2，求这个数。 被7除余2的数有：2，9，16，23
被5除余3的数有：3，8，13，18，23 被3除余2的数有：2，5，8，11，14，17 ，20，23
同余的概念与性质
同余的概念与性质同余：设m 是大于1的正整数，若用m 去除整数b a ,，所得余数相同，则称a 与b 关于模m 同余，记作)(mod m b a ≡，读作a 同余b 模m ；否则称a 与b 关于模m 不同余记作)(mod m b a ≠。
性质1：)(mod m b a ≡的充要条件是Z t mt b a ∈+=,，也即)(|b a m -。
性质2：同余关系满足下列规律：（1）自反律：对任何模m 都有)(mod m a a ≡；（2）对称律：若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡；（3）传递律：若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡，则若)(mod m c a ≡。
性质 3:若,,,2,1),(mod s i m b a i i =≡则).(mod ),(mod 21212121m b b b a a a m b b b a a a s s s s ≡+++≡++推论： 设k 是整数，n 是正整数，（1）若)(mod m c b a ≡+，则)(mod m b c a -≡。
（2）若)(mod m b a ≡，则)(mod m a mk a ≡+；)(mod m bk ak ≡；)(mod m b a n n ≡。
性质4：设)(x f 是系数全为整数的多项式，若)(mod m b a ≡，则 ))(mod ()(m b f a f ≡。
性质5：若)(mod m bd ad ≡，且1),(=m d ，则)(mod m b a ≡。
性质6：若)(mod m b a ≡，且m d b d a d |,|,|，则)(mod d m d b d a ≡。
性质7：若)(mod m b a ≡，且m m |1，则)(mod 1m b a ≡。
性质8：若)(mod i m b a ≡，s i ,,2,1 =，则]),,,(mod[21s m m m b a ≡这里],,,[21s m m m 表示s m m m ,,,21 的最小公倍数。
数论中的同余关系与整数性质研究
数论中的同余关系与整数性质研究数论是数学的一个分支，研究整数的性质和相互关系。
在数论中，同余关系是一种重要的概念，它涉及到整数的除法和余数的概念。
本文将探讨同余关系与整数性质的研究。
一、同余关系的定义与性质同余关系是指两个整数除以同一个正整数所得的余数相等。
例如，对于任意整数a、b和正整数m，如果a除以m的余数与b除以m的余数相等，则称a与b关于模m同余，记作a≡b (mod m)。
同余关系具有以下性质：1. 自反性：对于任意整数a和正整数m，a≡a (mod m)。
2. 对称性：对于任意整数a、b和正整数m，如果a≡b (mod m)，则b≡a (mod m)。
3. 传递性：对于任意整数a、b、c和正整数m，如果a≡b (mod m)且b≡c (mod m)，则a≡c (mod m)。
同余关系的定义和性质为研究整数的性质和相互关系提供了基础。
二、同余关系与整数性质的应用1. 整数的分类同余关系可以将整数划分为若干个同余类。
对于给定的正整数m，同余类[a]是所有与a关于模m同余的整数的集合。
例如，对于模4，同余类[0]包含所有能被4整除的整数，同余类[1]包含所有除以4余1的整数，以此类推。
同余类的划分可以帮助我们研究整数的性质。
例如，对于给定的正整数m，我们可以研究同余类[0]中的整数的性质，如它们是否能被m整除，是否是偶数等。
同样，我们可以研究同余类[1]中的整数的性质，如它们除以m的余数是否为1，是否是奇数等。
2. 整数的运算同余关系在整数的运算中起着重要的作用。
例如，我们可以利用同余关系来简化整数的加法和乘法。
对于任意整数a、b和正整数m，如果a≡b (mod m)，则有以下性质：- 加法性质：a+c≡b+c (mod m)。
- 乘法性质：ac≡bc (mod m)。
这意味着，如果两个整数在模m下同余，那么它们的和和积在模m下也同余。
这种性质可以简化整数的运算，减少计算的复杂度。
3. 素数与同余关系同余关系与素数的研究也有密切的联系。
第5讲同余的概念和性质
第5讲-同余的概念和性质第5讲同余的概念和性质解题思路：理解并熟记同余的性质，运用同余性质把数化小、化易。
同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b（modm）.性质1：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m），（传递性）。
★性质2：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m），（可加减性）。
★性质3：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。
性质4：若a≡b（mod m），那么a n≡b n（mod m），（其中n为自然数）。
性质5：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。
例1 判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？例2 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。
例3 求14389除以7的余数。
例4 四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？十位，…上的数码，再设M=a＋0a＋…＋n a，求证：N≡M（mod 9）例6 求自然数1002＋1013＋1024的个位数字。
习题1.验证对于任意整数a 、b ，式子a ≡b （mod1）成立，并说出它的含义。
2.已知自然数a 、b 、c ，其中c ≥3，a 除以c 余1，b 除以c 余2，则ab 除以c 余多少？3.1993年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几？4.求33335555＋55553333被7除的余数。
6. 数，被13除余多少？7.求1993100的个位数字.第五讲 同余的概念和性质你会解答下面的问题吗？问题1：今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几？这个问题并不难答.因为，一个星期有7天，而15÷7=2…1，即15＝7×2+1，所以“六·一”儿童节是星期一。
整除性和同余性的定义和性质
整除性和同余性的定义和性质整除性和同余性是数学中非常重要的概念。
它们在代数、数论以及计算机科学等众多学科中有着广泛的应用。
本文将从定义、性质等方面对整除性和同余性进行详细的介绍。
一、整除性的定义和性质1.1 定义整除性是指对于两个整数a和b，若存在另外一个整数k，使得a=k×b，则称a可以被b整除，b是a的因数，a是b的倍数。
通常记为b|a。
1.2 性质①任何整数都可以被1和其本身整除。
②如果b|a，且c|b，则c|a。
③如果b|a，且a|c，则b|c。
④如果b|a，且a|b，则a=b或a=-b。
⑤如果b|a且b≠0，则|b|≤|a|，并且|a|/|b|是一个整数。
1.3 应用整除性在代数学和数论中都有广泛的应用。
以代数为例，整除性是求最大公因数和最小公倍数的基本工具。
对于给定的两个整数a和b，可以通过求解它们的公共因子（即两者都能够整除的整数）的最大值来得到它们的最大公因数。
而最小公倍数则可以通过求解a和b之间的联通代数条件来得到。
二、同余性的定义和性质2.1 定义同余性是指对于任意的整数a和b，若它们的差a-b能够被某一个正整数m整除，则称a和b在模m意义下同余，记为a≡b(mod m)。
2.2 性质① (自反性) a≡a(mod m)。
② (对称性) 若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。
③ (传递性) 若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
④ (加减法性) 若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a±c≡b±d(mod m)。
⑤ (乘法性) 若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。
2.3 应用同余性在计算机科学中有广泛的应用。
由于计算机只能计算有限集合中的元素，因此需要在有限范围内的数据上进行运算。
同余性可以将数据限制在一个固定的范围内，并保证运算后的结果还在这个范围内，从而避免了数据溢出或越界的问题。
同余的基本概念和性质
例3 说明 是否被641整除。
因此 0 (mod 641)，
即641 。
第一节 同余的基本性质
第一节 同余的基本性质
设式(4)对于n = k成立，则有 1 (mod 2k + 2) = 1 q2k + 2， 其中qZ，所以
=(1 q2k + 2)2=1 q 2k + 31(mod 2k + 3)， 其中q 是某个整数。这说明式(4)当n = k 1也成立。 由归纳法知式(4)对所有正整数n成立。
第一节 同余的基本性质
a2 1 (mod p) pa2 1 = (a 1)(a 1)，
证明 由
pa 1或pa 1，
所以必是
a 1或a 1 (mod p)。
例8 设p是素数，a是整数，则由a2 1(mod p)可以推出
即a 1 (mod p)或a 1 (mod p)。
解 因为792 = 8911，故 792n 8n，9n及11n。 我们有 8n 8 z = 6，
证明 留作习题。
定理5 下面的结论成立： (ⅰ) a b (mod m), dm, d>0 a b (mod d); (ⅱ) a b (mod m), k > 0, kN ak bk (mod mk)； (ⅲ) a b (mod mi )，1 i k a b (mod [m1, m2, , mk])； (ⅳ) a b (mod m) (a, m) = (b, m)； (ⅴ) ac bc(modm), (c, m) =1 a b (mod m).
定义1 给定正整数m，如果整数a与b之差被m整除，则称a与b对于模m同余，或称a与b同余，模m，记为 a b (mod m)， 此时也称b是a对模m的同余
第五讲 同余的性质
第五讲同余的性质班级姓名基本知识点同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b（modm）. 上式可读作：a同余于b，模m。
补充定义：若m（a-b），就说a、b对模m不同余，用式子表示是：a b（modm）我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数）。
性质1：a≡a（mod m），（反身性）性质2：若a≡b（mod m），那么b≡a（mod m），（对称性）。
性质3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m），（传递性）。
性质4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m），（可加减性）。
性质5：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。
性质6：若a≡b（mod m），那么a n≡b n（mod m），（其中n为自然数）。
性质7：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。
第 1 页共 4 页注意同余式性质7的条件（c，m）＝1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。
例题精讲例1 求2003×59除以7的余数。
例2 自然数16520，14903，14177除以m的余数相同，m的最大值是多少？例3 求753×281+432×23-256×48除以11的余数。
例4 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。
例 5 今天是星期日，再过364365天是星期几？再过365364天又是星期几？第 2 页共 4 页练习1.判定288和214对于模37是否同余，74和20呢？2.求4321×3275+2983-19×876除以17的余数。
余数性质及同余定理(B级)
余数性质及同余定理知识框架一、余除法的定及性1.定：一般地，若是 a 是整数， b 是整数（ b≠0） ,若有 a÷b=q⋯⋯ r ，也就是 a＝b×q＋ r ,0≤r＜ b；我称上面的除法算式一个余除法算式。
里：(1)当 r 0 ：我称 a 可以被 b 整除， q 称 a 除以 b 的商或完好商(2)当 r 0 ：我称 a 不可以被 b 整除， q 称 a 除以 b 的商或不完好商一个圆满的余除法解模型 : 如是一堆，共有 a 本，个 a 就可以理解被除数，在要求依照 b 本一捆打包，那么 b 就是除数的角色，打包后共打包了 c 捆，那么个 c 就是商，最后节余 d 本，个 d 就是余数。
个能学生清楚的理解余除法算式中 4 个量的关系。
并且可以看出余数必然要比除数小。
2.余数的性⑴ 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数；⑵ 余数小于除数．二、余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a,b 分除以 c 的余数之和，或个和除以 c 的余数。
比方： 23，16 除以 5 的余数分是 3 和 1，所以 23+16＝ 39 除以 5 的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。
比方： 23，19 除以 5 的余数分是 3 和 4，所以 23+19＝ 42 除以 5 的余数等于3+4=7 除以 5 的余数22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a,b 分除以 c 的余数之差。
比方： 23， 16 除以 5 的余数分是 3 和 1，所以 23－ 16＝7 除以 5 的余数等于2，两个余数差3－ 1＝2.当余数的差不减，上除数再减。
比方： 23，14 除以 5 的余数分是 3 和 4， 23－ 14＝ 9 除以 5 的余数等于4，两个余数差3＋ 5－4＝ 43.余数的乘法定理a 与b 的乘除以c 的余数，等于a,b 分除以 c 的余数的，也许个除以 c 所得的余数。
整数同余的性质与证明研
整数同余的性质与证明研究（纯色禁忌，书）摘 要：整数同余在研究数论的过程中占有很重要的地位，本文简单阐述了整数同余的概念，并对整数同余的性质进行了简单说明与证明研究。
通过整数同余的性质与证明的研究，本文给出了整数同余的定义、性质及其证明。
整数同余的性质包括反身性、对称性、传递性，从这三个性质还可延伸出一些其他的性质，从这些性质中，我们可以来对整数同余有功多的了解，从而在解决实际问题时可使问题简化 。
关键词：整数同余，性质证明，剩余类1、引言同余是数论中的基本概念，日常生活中就常常遇到，例如，1984年元旦是星期日，由于1984年共有366天，而366=7⨯25+2，所以，1985年元旦应是星期二，这里我们只关心余数。
用一个固定的正整数去除所有的整数，把余数相同的归在一类，余数不相同的不在同一类，进而讨论分类整数的性质。
本文以m 为模，其中m 为正整数。
2、 整数同余的概念定义：给定一个正整数m ，把它叫做模。
如果用m 去除任意两个整数a 与b 所得的余数相同，我们就说a ，b 对模m 同余，记作a ()m odm b ≡。
如果余数不同，我们就说a ，b 对模m 不同余，记作a ≠b ()m odm 。
上述定义也可以叙述为：若b -a m ，则叫a 同余b 模m ，记为a ≡b ()m odm 。
自然，若ｍ不整除a-b ，则a 不恒等于b ()m odm ，例如15≡1()7m od 43≡-7()10m od5≠2()4mod 13≠1()5mod3、整数同余的性质及其证明性质1（反身性）a ()m odm a ≡， 证明：a ()m odm a ≡显然成立。
性质2（对称性）若a ()m odm b ≡，则b ()m odm a ≡。
证明：由条件a ()m odm b ≡，设t qm a +=，t pm b +=，显然，a ()m odm b ≡， b ()m odm a ≡成立。
证完。
性质3（传递性）若a ()()()m odm c a m odm c b m odm b ≡≡≡，则，。
第36讲 同 余
第 17 讲 同 余同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数问题的重要工具之一。
设m 是一个给定的正整数，如果两个整数a 与b 用m 除所得的余数相同，则称a 与b 对模同余，记作)(mod m b a ≡，否则，就说a 与b 对模m 不 同余，记作)(mod m b a ≡，显然，)(|)(,)(mod b a m Z k b km a m b a -⇔∈+=⇔≡；1、 同余是一种等价关系，即有自反性、对称性、传递性1).反身性：)(mod m a a ≡；2).对称性：)(mod )(mod m a b m b a ≡⇔≡；3). 传递性：若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡则)(mod m c a ≡;2、加、减、乘、乘方运算若 a b ≡（mod m ） c d ≡（mod m ）则 a c b d ±≡±（mod m ），ac bd ≡（mod m ），n na b ≡（mod m ） 3、除法 设 ac bd ≡（mod m ）则 a b ≡（mod (,)m c m ）。
A 类例题例1．证明： 一个数的各位数字的和被9除的余数等于这个数被9除的余数。
分析 20≡2(mod9)，500≡5(mod9)，7000≡7(mod9)，……，由于10n－1=9M ，则10n ≡1(mod9)，故a n ×10n ≡a n (mod9)。
可以考虑把此数变为多项式表示a n ×10n + a n-1×10n-1+…+ a 1×10+a 0后处理。
证明 设a=110n n a a a a =a n ×10n + a n-1×10n-1+…+ a 1×10+a 0，∵10≡1(mod9)，∴10n ≡1(mod9)，∴a n ×10n + a n-1×10n-1+…+ a 1×10+a 0≡a n + a n-1+…+ a 1+a 0。
同余
a 用a modm表示余数r，则 a [ ]m ( a m odm ) m
定理3 整数a, b模m 同余 a modm=b modm
ab (modm) m|a-b a modm=b modm
a=b+km
性质：
(1) ( 2) ( 3)
[(a modm ) (b modm )]modm (a b) modm [(a modm ) (b modm )]modm (a b) modm [(a modm ) (b modm )]modm (a b) modm
(r r ) a b (q q)m
m a b的充分必要条件是 m r r. 但因为 0 r r m ， 因此，
且 m r r 的充分必要条件是 r r 0 ，所以 m a b 的充分必 要条件是 r r 0. 这就是定理的结论.
2
2003
2
22 1 4 4(mod 7).
故第 22003 天是星期二。 定理5 若 x y(mod m),
ai bi (mod m),
0 i k, 则 0 i k.
a0 a1 x ak x k b0 b1 y bk yk (mod m).
故 3 n, 9 ｜ n.
k 定理7 设 n ak 1000 a11000 a0 , 0 ai 1000. 则7或11,或
13 n 7或11或 13 a0 a2 - a1 a3 .
例4 设 n 637693.
例5 设n 75312289.
定理10 设a b ( mod m) . 若d | m, 则a b ( mod d) .
第二讲-同余(数论复赛辅导)
第二讲 同余一.基础知识1.定义1. 设m 是正整数，若用m 去除整数b a ,，所得的余数相同，则称a 与b 关于模m 同余，记作)(mod m b a ≡，否则称a 与b 关于模m 不同余，记作a)(mod m b .例如：)15(mod 434≡，)7(mod 11000-≡，98(mod 2) 等等。
当m b <≤0时，)(mod m b a ≡，则称b 是a 对模m 的最小非负剩余。
对于固定的模m ，通常有下面的性质：性质1. )(mod m b a ≡的充要条件是,a mt b t Z =+∈也即)(|b a m -。
性质2.同余关系满足以下规律：（1）（反身性）)(mod m a a ≡；（2）（对称性）若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡；（3）（传递性）若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡，则)(mod m c a ≡；（4）（同余式相加）若)(mod m b a ≡，)(mod m d c ≡，则)(mod m d b c a ±≡±；（5）（同余式相乘）若)(mod m b a ≡，)(mod m d c ≡，则)(mod m bd ac ≡；注意：① 反复利用（4）（5），可以对多于两个的（模相同的）同余式建立加、减和乘法的运算公式 ；② 特别地，由（5）易推出：若)(mod m b a ≡，c k ,为整数且0>k ，则)(mod m c b c a kk ≡； ③ 同余式的消去律一般并不成立，即从)(mod m bc ac ≡未必能推出)(mod m b a ≡，可是我们却有以下结果：若)(mod m bc ac ≡，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≡),(mod c m m b a . 由此可以推出：（6）若,1),(=m c )(mod m bc ac ≡，则有)(mod m b a ≡，即在c 与m 互素时，可以在原同余式两边约去c 而不改变模.（7）若)(mod m b a ≡，d ｜m ，则)(mod d b a ≡；（8）若)(mod m b a ≡，0≠d ，则)(mod dm db da ≡；（9）若(mod )(1,2,,)i a b m i k ≡=L ，则12(mod [,,,])k a b m m m ≡L ，特别地，若12,,,k m m m L 两两互素时，则有12(mod )k a b m m m ≡⋅⋅⋅L ；性质3.若k i m b a i i ,,2,1),(m od Λ=≡，则)(mod 11m b a k i k i i i ∑∑==≡；11(mod )k ki i i i a b m ==≡∏∏； 性质4.设)(x f 是系数全为整数的多项式，若)(mod m b a ≡，则))(mod ()(m b f a f ≡。
同余的 概念与性质
由上例可知，同样的两个数关于不同的模同余关系可能不相同．
例3. 2 求证：(1) 如果a除以m的余数为r(0≤r<m), 那么 a≡r (modm); (2)如果a ≡r (modm)，0≤r<m，那么a 除以m的 余数为r。
证明 (1) 由题意得可设， a＝mq+r ( 0≤r<m ) ． 由于0≤r<m ，所以r除以m的不完全商为0，余数为r，即 r ＝m· ０+r ( 0≤r<m ) ． 根据同余概念，可得a≡r(modm); (2) 因为a ≡ r(modm)，所以由同余概念可得· a＝mq1+R , r＝mq2+R，( 0≤R<m )， 又因为０≤r<m，所以q2＝0，即R＝r. 因此 得 a＝mq1+r (0≤r<m)．即a被m除，所得的余数为r．
例3. 12 把由1开始的自然数依次写下来，直写到 第201位为止，就是 201位
12345678910111213…
试问这个数除以3的余数等于几?
解 因为1～9写在一起构成九位数，10～99写在一 起为90 X 2＝180位数，所以由1开始的自然数依 次写到99，合计为189位数，由于201－189=12， 因此只需在1写到99后再写上100，101，102，103 四个数．即从１开始的自然数依次写到103就构成 一个201位数(由103个连续的自然数组成）． 因为每三个连续自然数的各位数字之和能被3除， 103≡1(mod3)，所以这个数除以3的余数为1．
从例3．6的证明，还可以得出如下的结论：
如果 a ≡ b (modm)，又d 能整除m以及整除a，b两 个数中的一个，则d 必能整除a，b中的另一个．
同余的概念及其基本性质
4.证明：641 232 1 解：依次计算对模641的同余数
22 4，24 16，28 256， 216 256 256 154(mod641) 232 154 154 1(mod641) 232 1 0(mod641)
5.设a为奇数，则a2n 1(mod 2n2 ) (n 1). 解：设a = 2m 1， 当n = 1时，有 a2 = (2m 1)2 = 4m(m 1) 1 1 (mod 23)（*）成立。 设式(*)对于n = k成立，则有
a2k 1(mod 2k2 ) a2k 1 q 2k2 所以 a2k1 (1 q 2k2 )2 1 q 2k3 q2 2(k2)2 记 1 q'2k3 1(mod 2k3 ),q' Z. 这说明式(*)当n = k 1也成立。由归纳法得证.
一般地，求a bc 对模m的同余的步骤如下： ① 求出整数k，使ak 1 (mod m)；
② 求出正整数r，r < k，使得bc r (mod k)；
③ abc ar (mod m)
——减小幂指数
练习：若a Z ,证明 10|a1985 a1949 . 提示：a5 a(mod10)
一、问题的提出 1、今天是星期一，再过100天是星期几？ 再过1010 天呢？ 2、3145×92653=2910 93995的横线处漏写了一个 数字，你能以最快的办法补出吗？
3、13511，13903，14589被自然数m除所得余数 相同，问m最大值是多少？
同余的性质与定理的证明
同余的性质与定理的证明性质3 若+∈∈Z m Z c b a ,,,，且()m b a mod ≡，()m c b mod ≡，则()m c a mod ≡证明：()()()()()()c b b a m c b m r m q c r m q b m c b b a m r m q b r m q a m b a -+-⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=+=⇒≡-⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=+=⇒≡3221mod mod()()m c a c a m m o d ≡⇒-⇒ 定理1 ,,Z b a ∈ ()b a m -⇔()m b a mod ≡（b a ,对模m 同余） 证明：设11r mq a +=，22r mq b +=，m r <≤10，m r <≤20充分性：()b a m -⇒()()2121r r q q m m -+-()212122121100r r m r r m r r m m r m r r r m =⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-⇒<-<-⇒⎭⎬⎫<≤<≤-⇒ 必要性：()m b a mod ≡⇒21r r =⇒()21q q m b a -=-⇒()b a m - 性质4 若+∈∈Z m Z d c b a ,,,,，且()m b a mod ≡，()m d c mod ≡， 则()m d b c a mod +=+，()m d b c a mod -=-证明：()()()()()()()()⎩⎨⎧----+-⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=+=⇒≡-⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=+=⇒≡d c b a m d c b a m d c m t m q d t m q c m d c b a m r m q b r m q a m b a 4321mod mod ⇒()()d b c a m +-+⇒()m d b c a m o d +=+⇒()()d b c a m ---⇒()m d b c a mod -=-性质5 若+∈∈Z m Z d c b a ,,,,，且()m b a mod ≡，()m d c mod ≡， 则()m bd ac mod =证明：()()()()()()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-⇒-⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=+=⇒≡-⇒-⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=+=⇒≡b d c m d c m t m q d t m q c m d c c b a m b a m r m q b r m q a m b a 4321mod mod ⇒()()b d c c b a m ---⇒)(bd ac m -⇒()m bd ac mod =性质6 若+∈∈Z m Z d c b a ,,,,，且()m b a mod ≡，则()m bc ac mod =证明：()m b a mod ≡⇒()()c b a m b a m r mq b r mq a -⇒-⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=+=21 ⇒bc ac m -⇒()m bc ac mod =定理2 若+∈∈Z m Z b a x i i ,,,，且()m b a i i mod ≡，n i ,1,0=，则 =+++--0111a x a x a x a n n n n 0111b x b x b x b n n n n +++-- ()m m o d证明：()()m x b x a Z x n i m b a i i i i i i mod ,1,0mod ≡⇒⎪⎭⎪⎬⎫∈=≡ ⇒()()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⇒==⇒=m x b x a m b a m x b x a m b a n n n n n n mod mod mod mod 000000⇒=+++--0111a x a x a x a n n n n 0111b x b x b x b n n n n +++-- ()m m o d 性质7 若+∈∈Z m d Z b b a a ,,,,,11且d a a 1=，d b b 1=，()1,=m d ， ()m b a m o d ≡，则()m b a mod 11≡证明：()()()()⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=-⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==-⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=+=⇒≡1,mod 111121d m b a d m d b b d a a b a m r mq b r mq a m b a ⇒()11b a m -⇒()m b a m o d 11≡性质8 若+∈∈Z k m Z b a ,,,,，d 是m b a ,,的任意正公因数，且()m b a mod ≡， 则()mk bk ak mod ≡，⎪⎭⎫ ⎝⎛≡d m d b d a mod 证明：()m b a mod ≡⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=+=r mq b r mq a 21⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=+=rk mkq bk rk mkq ak 21 ⇒()bk ak mk -⇒()mk bk ak mod ≡()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⇒⎪⎭⎪⎬⎫⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=+=⇒≡d r q d m d b d r q d m d a m b a d r mq b r mq a m b a 2121,,mod 的正公因数是 ⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛-d b d a d m ⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛≡d m d b d a mod性质7、8也可以叙述为：若()m cb ca mod ≡，而()d m c =,，则⎪⎭⎫ ⎝⎛≡d m b a mod ， 特别地，当()1,=m c 时，有()m b a mod ≡。
同余
或21+X+Y=36，X-Y+13=22
X+Y=6，X-Y=-2，或X+Y=15，X-Y=9， 解得X=2，Y=4。
例3 ：求111 被7除的余数。
50
解：∵111111被7整除，
∴
11 1
50
≡11（mod 7）≡4（mod 7）
即余数为4。
例4：求( 257
解： ( 257
i0
( 1 ) a i (mod
i
7)
n
即有7|a的充要条件是 7| 对模11和13同理可证。 注：这里用的是1000进制。
( 1) a i
i
i0
例1:1234567891011…2005 除以3的余数是多少.
解:因为一个数除以3的余数,即其各位数字和 除以3 的余数.所以所求余数
解:两边关于9同余,则有8*3 所以错误. 5,不成立
例判断 28997*39495=1114523641 5是否正确
解:两边关于9同余,则有8*3 所以错误. 5,不成立
定义：称k0 ,k1,…km-1叫做模m的剩余类，设 a0,a1…am-1是m个整数，并且其中任何两数都不 在一个剩余类里，则a0,a1…am-1叫做模m的一个 完全剩余系(简称完系)
第三章 同余
§1 同余的概念及其基本性质
在日常生活中，我们常接触到一些周 期为正整数性的问题.例如：问火车下午2 点从金华出发,30小时后到广州,则到广州 是几点?就是24去除30所得的余数6加2,即 晚上8点到广州,这就是同余问题.今天是星 期一,问过了100天后是星期几等……．,现 在同余理论已发展成为初等数论中内容丰
b. 由同余的定义可知: 相等必同余，同余未 必相等，不同余肯定不相等,这是一种很好 的方法，尤其在证明不相等时非常有用。
初等数论第三章同余
⑥ a b c (m o d m ) a c b (m o d m )
证 ： a b c (m o d m ) m c a b
m ( c b ) a a ( c b )(m o d m ).
① a b (mod m)，dm，d > 0 a b (mod d)；
证 ： a b (m o d m )
d |a b
a b (m o d d ).
② a b (mod m)，k > 0，kN ak bk (mod mk)；
证 ： a b (m o d m ) m | a b
证 ： a b (m o d m i ) m i a b [ m 1 , , m k ] a b .
④ a b (mod m) (a, m) = (b, m)；
证 ： a m q1 r
( a , m ) ( m , r ),
同 理 ， b m q 2 r ( b , m ) ( m , r ).
n n1
a1 10 a 0
1
(1)
i
3、9 的整除特征 ——各位上的数字之和能被3（9）整除
10 1 m od(3)
a a n 10 a1 10 a 0 a n a1 a 0 m od ( 3 )
n
例1
检查5874192、435693 能否被3（9）整除。
证 ： a b (m o d m )
d |a b
a b (m o d d ).
小学奥数教程：同余问题_全国通用(含答案)
1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a 同余于b ，模m 。
2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711-（）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸ 整数N 被11除的余数等于N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；⑹ 整数N 被7，11或13除的余数等于先将整数N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．模块一、两个数的同余问题【例 1】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 (法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12例题精讲知识点拨教学目标5-5-3.同余问题【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。
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性质5若 特别的若a b ，则
证明：由定理1， ， ，故 ，证完。
性质4与性质5也可叙述为：
如果a :
(1) ；
(2) .
通常复数的等式有消去律，即若a，b，c为复数，c 0，则 可得出a＝b。下面引理表明，对于同余式也有类似性质，但是条件c 要改成 。
引理1
证明：由引理条件可知 ，于是 则由于 即 。证完
引理2（1）若 。
（2）若 。
（3） .
证明：（1）是显然的。（2）：由条件知，存在整数x使得 于是
.
（3）由（1）知“ ”是成立的。另一方面，如果 ,则 即a-b是 a-b是 的倍数，即 。证完
谈到整数同余，我想在这提一下剩余类
设m是一个固定的正整数，利用带余除法，每个整数均模m同余于0,1，…，m-1当中的一个。由于0,1，…m-1彼此模m不同余，所以每个整数也只能同余于他们当中的一个。对于整数i，考虑m同余于i的整数所构成的集合
整数同余的性质与证明研究
（纯色禁忌，书）
摘要：整数同余在研究数论的过程中占有很重要的地位，本文简单阐述了整数同余的概念，并对整数同余的性质进行了简单说明与证明研究。通过整数同余的性质与证明的研究，本文给出了整数同余的定义、性质及其证明。整数同余的性质包括反身性、对称性、传递性，从这三个性质还可延伸出一些其他的性质，从这些性质中，我们可以来对整数同余有功多的了解，从而在解决实际问题时可使问题简化。
，
那么上面是说： 是彼此不想交的m个集合，并且他们的并集就是Z。
我们把每个集合 叫做模m的一个剩余类，于是，模m共有m个剩余类。同一个剩余类中任意两个整数是模m同余的，不同的剩余类中两个整数是模m不同余的。
关于剩余类我们暂且讨论到这一点。下面我们给出定理2，由定理2，我们还可以引出其他的性质。
定理2若 ,则： 则
15 1
43 -7
5 2
13 1
3、整数同余的性质及其证明
性质1（反身性）a ，
证明：a 显然成立。
性质2（对称性）若a ，则b 。
证明：由条件a ，设Βιβλιοθήκη ， ，显然，a ， b 成立。证完。
性质3（传递性）若a 。
证明：由
，
因此a 证完
定理1整数a，b对模m同余的充要条件是m整除a-b，即 ， 是整数。
关键词：整数同余，性质证明，剩余类
1、引言
同余是数论中的基本概念，日常生活中就常常遇到，例如，1984年元旦是 星期日，由于1984年共有366天，而366=7 25+2，所以，1985年元旦应是星期二，这里我们只关心余数。用一个固定的正整数去除所有的整数，把余数相同的归在一类，余数不相同的不在同一类，进而讨论分类整数的性质。
克勤，余红兵。初等数论，第二章第一节，，中国科学技术大学，1995年10月，16—17。
闵嗣鹤，严士健。初等数论，第三版，第三章，第一节。，高等教育，2003年12月，48—50。
数学与应用数学专业2009级
《初等数论》课程
整数同余的性质与证明研究
小组成员：xxx，xxx
2011年6月
证明：设 ，0≦ ﹤m，0≦ ﹤m，若 ，则， ，因此 。反之若 ，因此 .证完。
由定理1及整除的性质可以很容易得到下列与相等类似的性质：
性质4
（ⅰ）
（ⅱ）若a+b c ，则a c-b 。
证明：由定理1，a1=b1+mt1，a2=b2+mt2，因此a1+a2=b1+b2+m（t1+t2），即得（ⅰ）
性质10若 ,因而若d能整除m，及a，b二数之一，则d必能整除a，b中的另一个。
证明：由定理1， ，（其中，t是整数），故 ，则a，m与m，b有相同的公因数，因而 .证完。
关于整数同余的性质及其证明，到此我们讨论研究完毕。
参考文献
复中。初等数论选讲，第二章第一节.东北，东北师大学。1991 年6月，76—77。
。
性质6若 ，即：
。
证明：由定理1， ，故 ， 。
证完
性质7（1）若 。
（2）若
.
证明：（1）由 ，则存在一个整数t，使 （*），在（*）是两边同时乘上k（k﹥0）得： ，故 。
（2）由（1）可证（2）成立。证完
性质8若
。
证明 ：由定理1， 的最小公倍数整除a-b，故有：
证完
性质9若 则。
证明：由 可得， m整除a-b，又d整除m，则，d整除a-b，故 证完
本文以m为模，其中m为正整数。
2、整数同余的概念
定义：给定一个正整数m，把它叫做模。如果用m去除任意两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a，b对模m同余，记作a 。如果余数不同，我们就说a，b对模m不同余，记作a b 。
上述定义也可以叙述为：若 ，则叫a同余b模m，记为a b 。自然，若ｍ不整除a-b，则a不恒等于b ，例如