第一学期期末考试高三数学试题

第一学期期末考试 高三数学试题

(考试时间：120分钟 总分：160分)

命题人： 朱占奎 张乃贵 王宏官 范继荣 审题人： 吴卫东 石志群

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）

1．已知集合{}1,6,9A =，{}1,2B =，则A

B = ▲ ．

2．复数(1i +2

)a bi =+（,a b 是实数，i 是虚数单位），则a b +的值为 ▲ ． 3．函数2log (3)y x =-的定义域为 ▲ ．

4

分层抽样的方法抽取300高中三个学段学生人数分别为1200，1000，800抽取的学生人数为 ▲ ．

5．已知一个算法的流程图如右图，则输出的结果S

6．在ABC ∆中，2BD DC =，若12AD AB AC λλ=+，7．将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数．8．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，D 为棱1AA 14AA =，2AB =，则四棱锥1B ACC D -9．以双曲线221916

x y -=的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为 ▲ ．

10．设函数()()f x x a x a b =--+（,a b 都是实数）．

则下列叙述中，正确的序号是 ▲ ．（请把所有叙述正确的序号都填上） ①对任意实数,a b ，函数()y f x =在R 上是单调函数；

②存在实数,a b ，函数()y f x =在R 上不是单调函数； ③对任意实数,a b ，函数()y f x =的图像都是中心对称图形； ④存在实数,a b ，使得函数()y f x =的图像不是中心对称图形． 11．已知在等差数列{}n a 中，若22m n p s t r ++=++，,,,,,m n p s t r ∈N *

则22m n p s t r a a a a a a ++=++，仿此类比，可得到等比数列{}n b 中的一个正确命题：若22m n p s t r ++=++，,,,,,m n p s t r ∈N *，则 ▲ ． 12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2468120a a a a =，且

46826824824611117

60

a a a a a a a a a a a a +++=，则9S 的值为 ▲ ．

13．在平面直角坐标系中，()0,0,(1,2)A B 两点绕定点P 顺时针方向旋转θ角后，分别到

()4,4,A '(5,2)B '两点，则cos θ的值为 ▲ ．

14．已知函数()3f x x a =+与函数()32g x x a =+在区间(,)b c 上都有零点，

则222

2242a ab ac bc b bc c +++-+的最小值为 ▲ ．

二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15． （本题满分14分）已知函数()2sin 24f x x π⎛

⎫

=+

⎪⎝

⎭

. （1）求函数()y f x =的最小正周期及单调递增区间； （2）若06

()85

f x π

-=-，求0()f x 的值.

16． （本题满分14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，

ABD ∆为正三角形，,EB ED CB CD ==.

（1）求证：EC BD ⊥；

（2）若AB BC ⊥，,M N 分别为线段,AE AB 的中点，

求证：平面//DMN 平面BEC .

17． （本题满分15分）已知椭圆C ：()

22

2210x y a b a b

+=>>和

圆O ：2

2

2

x y a +=，()()121

,0,1,0F F -分别是椭圆的左、右两焦点，过1F 且倾斜角为α0,

2πα⎛⎫

⎛⎤∈ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭

的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，交圆O 于,P Q 两点（如图所示，点A 在x 轴上方）．当4

π

α=

时，弦PQ

（1）求圆O 与椭圆C 的方程；

（2）若点M 是椭圆C 上一点，求当22,,AF BF AB 成等差数列时，MPQ ∆面积的最大值.

18． （本题满分15分）某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是

AB BD l ==，3

B π

∠=

的固定装置，AB 上可滑动的点C 使CD 垂直

于底面（C 不与,A B 重合），且CD 可伸缩（当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转），利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿D C A →→运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处

至A 处运行速度为3v ．为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中

DCB θ∠=的大小.

（1）当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ的函数（用含有v 和l 的式子）； （2）当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？

19． （本题满分16分）设函数x ae x x f +=

4

112

1)(（其中a 是非零常数，e 是自然对数的底），记1()()n n f x f x -'=（2≥n ，n ∈N *）

（1）求使满足对任意实数x ，都有)()(1x f x f n n -=的最小整数n 的值（2≥n ，n ∈N *）； （2）设函数)()()()(54x f x f x f x g n n +⋯++=，若对5≥∀n ，n ∈N *，)(x g y n =都存在极值点n t x =，求证：点))(,(n n n n t g t A （5≥n ，n ∈N *）在一定直线上，并求出该直线方程；

D

C