高等数学洛必达法则教学ppt
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高等数学课件同济版第二节洛必达法则
,
汇报人：
目录
洛必达法则的起源和历史
洛必达法则是由法国数学家洛必达提出的 洛必达法则是微积分中的一个重要法则，用于解决极限问题 洛必达法则在17世纪末被提出，并在18世纪初被广泛应用
洛必达法则在微积分的发展中起到了重要作用，对现代数学和科学产生了深远影响
洛必达法则在高等数学中的地位和作用
洛必达法则是微积 分中的一个重要定 理，用于解决极限 问题
洛必达法则在高等 数学中广泛应用于 求极限、求导数、 求积分等问题
洛必达法则是解决 复杂极限问题的有 效工具，可以提高 求解效率
洛必达法则在高等 数学中具有重要的 理论价值和实际应 用价值
洛必达法则的定义和定理
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洛必达法则：一种用于求极限的方法，由法国数学家洛必达提出
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法则的逆形式
洛必达法则的变种：包括洛必 达法则的推广形式和洛必达法 则的逆形式
洛必达法则的变种和推广形式： 包括洛必达法则的推广形式和 洛必达法则的逆形式
总结洛必达法则的重要性和应用价值
洛必达法则是微积分中的重要定理， 对于解决极限问题具有重要意义。
洛必达法则可以帮助我们更好地理 解和掌握微积分的基本概念和方法。
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洛必达法则在工程、物理、经济等 领域有着广泛的应用价值。
洛必达法则在解决实际问题时，可 以提高计算效率和准确性。
分析洛必达法则在高等数学中的地位和发展趋势
洛必达法则是微积 分中的重要定理， 广泛应用于求极限、 导数、积分等领域
洛必达法则在高等数 学中的地位：是解决 复杂数学问题的重要 工具，也是理解微积 分概念的重要途径
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汇报人：
目录
洛必达法则的起源和历史
洛必达法则是由法国数学家洛必达提出的 洛必达法则是微积分中的一个重要法则，用于解决极限问题 洛必达法则在17世纪末被提出，并在18世纪初被广泛应用
洛必达法则在微积分的发展中起到了重要作用，对现代数学和科学产生了深远影响
洛必达法则在高等数学中的地位和作用
洛必达法则是微积 分中的一个重要定 理，用于解决极限 问题
洛必达法则在高等 数学中广泛应用于 求极限、求导数、 求积分等问题
洛必达法则是解决 复杂极限问题的有 效工具，可以提高 求解效率
洛必达法则在高等 数学中具有重要的 理论价值和实际应 用价值
洛必达法则的定义和定理
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洛必达法则：一种用于求极限的方法，由法国数学家洛必达提出
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法则的逆形式
洛必达法则的变种：包括洛必 达法则的推广形式和洛必达法 则的逆形式
洛必达法则的变种和推广形式： 包括洛必达法则的推广形式和 洛必达法则的逆形式
总结洛必达法则的重要性和应用价值
洛必达法则是微积分中的重要定理， 对于解决极限问题具有重要意义。
洛必达法则可以帮助我们更好地理 解和掌握微积分的基本概念和方法。
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洛必达法则在工程、物理、经济等 领域有着广泛的应用价值。
洛必达法则在解决实际问题时，可 以提高计算效率和准确性。
分析洛必达法则在高等数学中的地位和发展趋势
洛必达法则是微积 分中的重要定理， 广泛应用于求极限、 导数、积分等领域
洛必达法则在高等数 学中的地位：是解决 复杂数学问题的重要 工具，也是理解微积 分概念的重要途径
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高等数学第三章第二节洛必达法则课件.ppt
lim f (x) g(x)
是未定式极限 , 如果
f (x) 极限 g ( x)
不存在
,
是否
f (x) g(x)
的极限也不存在
?
举例说明 .
3 2
ln(1 x)～ x
分析:
原式
1
lim
3sin
x
x2
cos
1 x
1
(3
0)
2 x0
x
2
1
3.
6
分析:
பைடு நூலகம்原式
lim
x0
cos
x x
(x sin 2
sin x
求
lim
x
xn ex
(n 0 , 0).
型
n 为正整数的情形.
解:原式 lim
x
nxn1
ex
lim
x
n(n 1)xn2
2 e x
lim
x
n!
n e x
0
说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时,
ln x,
ex ( 0)
后者比前者趋于 更快 .
2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如, 用洛必达法则
x)
lim
x0
x
sin x3
x
sin x ～ x
lim cos x 1
x0
lim 1
x0
cos 3x2
x
lim
x0
1 2
x2
3x2
1 6
1
cos
x
～
1 2
x
2
3)
lim f (x) xa F(x)
高数课件9洛必达法则
由慢到快依次是： 对数函数、幂函数、 指数函数 这一点从图上即可看出 o
y x
y ln x
x
tan x . 例6 求 lim x tan 3 x
2
( )
解 直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则
tan x sin x cos 3 x lim lim x tan 3 x x sin 3 x cos x
( 1)( [ ] 1)( [ ] ) x r 1 lim x [ ]1e x ( 1)( [ ] 1)( [ ]) lim 0 [ ]1 x 1 r x e x x 当 x 时， ln x , x , e 都趋于 本例说明： x ye 但它们趋于+∞的速度有快有慢 y
1 1 例10 求 lim( ). x 0 sin x x
解
x sin x 原式 lim x 0 x sin x
()
1 cos x lim 0. x 0 sin x x cos x
3. 0 ,1 , 型
0 0
步骤: 00
0 ln 0 取对数 1 ln 1 0 ln 0
关于 型的极限，有下述定理
定理
设f ( x ), g ( x )在x0的某邻域内有定义，且 (1) lim f ( x ) lim g ( x )
x x0 x x0
( 2) f ( x ), g ( x )可导，且g( x ) 0 f ( x ) ( 3) lim A(或 ) x x 0 g ( x ) f ( x) f ( x ) 则 lim lim A(或 ) x x0 g ( x ) x x 0 g ( x )
y x
y ln x
x
tan x . 例6 求 lim x tan 3 x
2
( )
解 直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则
tan x sin x cos 3 x lim lim x tan 3 x x sin 3 x cos x
( 1)( [ ] 1)( [ ] ) x r 1 lim x [ ]1e x ( 1)( [ ] 1)( [ ]) lim 0 [ ]1 x 1 r x e x x 当 x 时， ln x , x , e 都趋于 本例说明： x ye 但它们趋于+∞的速度有快有慢 y
1 1 例10 求 lim( ). x 0 sin x x
解
x sin x 原式 lim x 0 x sin x
()
1 cos x lim 0. x 0 sin x x cos x
3. 0 ,1 , 型
0 0
步骤: 00
0 ln 0 取对数 1 ln 1 0 ln 0
关于 型的极限，有下述定理
定理
设f ( x ), g ( x )在x0的某邻域内有定义，且 (1) lim f ( x ) lim g ( x )
x x0 x x0
( 2) f ( x ), g ( x )可导，且g( x ) 0 f ( x ) ( 3) lim A(或 ) x x 0 g ( x ) f ( x) f ( x ) 则 lim lim A(或 ) x x0 g ( x ) x x 0 g ( x )
《洛必达法则》课件
简化求导后的表达式，得出所 求的极限值。Байду номын сангаас
洛必达法则的证明过程
01 利用导数的定义和性质，证明洛必达法则在一定 条件下成立。
02
通过反证法，证明洛必达法则的正确性。
03 利用数学归纳法，证明洛必达法则在更广泛的情 况下成立。
03
洛必达法则的实例解析
洛必达法则在极限计算中的应用
总结词
洛必达法则是计算极限的重要工具，尤其在处理复杂函数或不定式时，通过求导简化计 算过程，得到极限值。
洛必达法则与其他方法的比较
01
02
03
与其他求极限的方法相 比，洛必达法则是比较
直接和简便的。
对于一些特殊问题，其 他方法可能更加适用， 例如泰勒级数、等价无
穷小等。
在使用洛必达法则时， 需要注意与其他方法的 结合使用，以便更好地
解决问题。
05
洛必达法则的习题与解 析
基础题目解析
总结词
掌握洛必达法则的基本应用
洛必达法则的推导过程
导数的定义和性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有连续性、可加性、可乘性和 链式法则等性质。
洛必达法则的推导步骤
确定函数在所求点处的导数是 否存在。
对函数进行变形，使其满足洛 必达法则的形式。
利用导数的性质和极限的运算 法则，对分子和分母分别求导 。
详细描述
通过解析基础题目，了解洛必达法则的基本形式和适用条件，掌握如何利用洛 必达法则求解简单函数的极限。
进阶题目解析
总结词
提升对复杂函数极限的求解能力
详细描述
解析进阶题目，学会处理含有参数、复合函数、幂指函数等复杂情况的极限问题，进一步掌握洛必达法则的应用 技巧。
洛必达法则的证明过程
01 利用导数的定义和性质，证明洛必达法则在一定 条件下成立。
02
通过反证法，证明洛必达法则的正确性。
03 利用数学归纳法，证明洛必达法则在更广泛的情 况下成立。
03
洛必达法则的实例解析
洛必达法则在极限计算中的应用
总结词
洛必达法则是计算极限的重要工具，尤其在处理复杂函数或不定式时，通过求导简化计 算过程，得到极限值。
洛必达法则与其他方法的比较
01
02
03
与其他求极限的方法相 比，洛必达法则是比较
直接和简便的。
对于一些特殊问题，其 他方法可能更加适用， 例如泰勒级数、等价无
穷小等。
在使用洛必达法则时， 需要注意与其他方法的 结合使用，以便更好地
解决问题。
05
洛必达法则的习题与解 析
基础题目解析
总结词
掌握洛必达法则的基本应用
洛必达法则的推导过程
导数的定义和性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有连续性、可加性、可乘性和 链式法则等性质。
洛必达法则的推导步骤
确定函数在所求点处的导数是 否存在。
对函数进行变形，使其满足洛 必达法则的形式。
利用导数的性质和极限的运算 法则，对分子和分母分别求导 。
详细描述
通过解析基础题目，了解洛必达法则的基本形式和适用条件，掌握如何利用洛 必达法则求解简单函数的极限。
进阶题目解析
总结词
提升对复杂函数极限的求解能力
详细描述
解析进阶题目，学会处理含有参数、复合函数、幂指函数等复杂情况的极限问题，进一步掌握洛必达法则的应用 技巧。
高等数学课件--D3_2洛必达法则
n
1
e 1 ~ u
2
lim
2012-10-12
1 ln n n
n
n
1 n 2 同济高等数学课件
lim
ln n n
1 2
例3
0
例3 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
0 ,1 , 型
0 0
洛必达法则
f
g
e
g ln f
0
型
f g
1 g 1 g
型
0 型
0
1 f
型
1 f
f g
f
1 g
2012-10-12
同济高等数学课件
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思考与练习
1. 设 lim 是否
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
是未定式极限 , 如果
f ( x ) g ( x )
极限不存在 ,
的极限也不存在 ? 举例说明 .
3) lim f ( x ) F ( x)
x a
存在 (或为∞)
lim f ( x) F ( x )
lim
xa
f ( x) F ( x)
x a
(洛必达法则)
证: 仅就极限 lim
xa
2012-10-12
f ( x) F ( x)
存在的情形加以证明 .
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同济高等数学课件
1 6
cos x ( x sin x) x sin x
2
sin x ～ x
lim cos x 1
x0
x 0
x sin x
x
经典洛必达法则-PPT课件
f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
k k e f ( ) e kf ( ) 0
cos x 0 .( ) 例 求 lim 0 x 2 x 2 sin x (cosx) 解 原式 lim lim sin 1. 1 x 2 x 2 ) 2 (x 2
cos x 1 x 0 例求 lim .( ) 3 x 0 0 x 1 s in x 21 x 解 原式 lim . 2 x 0 3 x
例
3 x 3 x 2 求 lim . 3 2 x 1x x x 1
0 ( ) 0
解：
正解：
×
注意: 不是未定式不能用L’Hospital法则 !
2、 型未定式解法：
定理3：设
(1) 定理 3 对其他极限过程也是成 立的。
f ( x ) ( 2 ) 当 lim 不存在也不为 时，应改用他 F ( x )
f( x x ) sin x 0
F ( x ) f ( x ) sin x
验证 F ( x ) 在 [0,] 上满足Rolle定理条件.
3.
f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
f ( x ) f ( x ) ( 或 f ( x ) f ( x )), 0 0 ( x ) 0 . 那么 f 0
洛必达法则-PPT
arctan x
【例3】求 lim 2 x
1
.
(0) 0
x
【解】 原式
lim
x
1
1
x 1 x2
2
x2
lim x1
x2
1.
【例4】求 lim lnsinax . x0 lnsinbx
()
【解】原式
a cos ax sinbx
lim
x0 bcos bx sinax
cosax lim x0 cosbx
x0
x2 3x2
1 3
二、0·∞,∞－∞,00,1∞,∞0 型未定式解法
【关键】将以上其它类型未定式化为洛必达法则可 解决的类型 ( 0 ), ( )
0
1. 【0·∞】型
注：以下写法仅是记号
【步骤】 0 1 , 或 0 0 1 0 .
00
【例8】 求 lim x2e x . x
x0 1
【例2】
求
lim
x1
x3 x3
3x x2
x
2
1
.
(0) 0
【解】原式
lim
x1
3
3 x2
x2 3 2x
1
lim 6x x1 6 x
2
3. 2
【注意】（1） 上式中 lim 6已x 不是未定式， x1 6 x 2
不能再使用洛必达法则，否则导致 错误的结果.
（2） 由此可见，在使用罗必达法则时应 步步整理、步步判别。如果不是未定式就 坚决不能用洛必达法则。
2
【例6】
求
xn
lim
x
e
x
(n 为正整数， 0)
高三数学复习课件_专题6、洛必达法则
解析： 0 型 0
lim
x0
s
in x
x
l i m( s i n x) x0 x
limcosx x0 1
1
二、洛必达法则求极限
例2.求 limxlnx x 0
解析：不适合条件，需转化
1
lim
x 0
x
l
n
x
lim
x 0
ln 1 x
x
lim
x 0
x 1
x2
lim(x) 0 x 0
例3.求
lim(
x1
x
1
1
l
1 n
) x
解析：
l
x
i m(
1
x
1
1
1 ln
) x
lxi1m(lxnx1)xln1x
lim x1 l
n
1 x
1
x
x
x
1
l
x
im 1 l
n
1 x
1
x 1
1 x
1
lim
x1
x2 11 x x2
1 2
例4.求
lim
x1
x
3 x3
x
2 3x
x
2
1
解析：
limx3 x2 x 1 x1 x3 3 x 2
h)
3 5
f( x0
)
6 5
三、洛必达法则的应用
适用题型： 1.不等式恒成立或能成立题目。
2.能分离参数成 a h(x)或a h(x) ，归结 为求 h(x)的某个最值(或其极限值)问题。 3.常规方法不易求得最值或其极限值(往往
高教社2024高等数学第五版教学课件-3.1 微分中值定理与洛必达法则
() = 时的特例.所以柯西中值定理又称为广义中值定理.
二
洛必达法则
1.未定式
当 → 0 （→ ∞ ） 若两个函数()与()都趋于零或者
()
都趋于无穷大，则极限
可能存在，也可能不存在.
()
→0
这种极限叫做未定式
通常把
0
∞
并简记为“ ”型或“ ”型．例如，
0
−
′ − ′()
显然 如果取() = 那么() − () = − ′ () = 1 从而柯西中值公
式就可以写成
() − () = ′ ()( − )
( < < ) .
这样就变成拉格朗日中值公式了，因此拉格朗日中值定理是柯西中值定理在取
′ () ≡ 0.
若 ≠ 由于() = ()，则最大值和最小值至少有一个在区间内部取
得，不妨设有一点 ∈ (, )使() = (如图3—1)．从而有
−
−
→
≥0
−
+
−
→
≤0
−′ = −
+′
=
故 ′ = 0.
→0
1
2
∞
这是1 型未定式,( )
1
2
+ ( ) =
→0
1
2
2
→0+
=
=
(
−
→0+ 2
1
)2
1
2
−
=
= .
2
,
0
0
∞
∞
本节的定理只能用于 或 型的函数的极限,对其他未定型必须先化为两种类
二
洛必达法则
1.未定式
当 → 0 （→ ∞ ） 若两个函数()与()都趋于零或者
()
都趋于无穷大，则极限
可能存在，也可能不存在.
()
→0
这种极限叫做未定式
通常把
0
∞
并简记为“ ”型或“ ”型．例如，
0
−
′ − ′()
显然 如果取() = 那么() − () = − ′ () = 1 从而柯西中值公
式就可以写成
() − () = ′ ()( − )
( < < ) .
这样就变成拉格朗日中值公式了，因此拉格朗日中值定理是柯西中值定理在取
′ () ≡ 0.
若 ≠ 由于() = ()，则最大值和最小值至少有一个在区间内部取
得，不妨设有一点 ∈ (, )使() = (如图3—1)．从而有
−
−
→
≥0
−
+
−
→
≤0
−′ = −
+′
=
故 ′ = 0.
→0
1
2
∞
这是1 型未定式,( )
1
2
+ ( ) =
→0
1
2
2
→0+
=
=
(
−
→0+ 2
1
)2
1
2
−
=
= .
2
,
0
0
∞
∞
本节的定理只能用于 或 型的函数的极限,对其他未定型必须先化为两种类
《高数32洛必达法则》课件
在证明过程中，需要注意处理各种可能的情况，如分母和分子的极限是否为零、 是否满足洛必达法则的应用条件等。
洛必达法则的数学意义
洛必达法则是微积分学中求极限的一种常用方法，它通过将 复杂的极限问题转化为求导数的形式，使得问题得到简化。
洛必达法则是微积分学中重要的基本概念之一，它反映了函 数在某点的局部性质，对于理解函数的极限行为和可导性具 有重要意义。
04
CATALOGUE
洛必达法则的扩展和推广
洛必达法则的推广形式
洛必达法则的推广
在一定条件下，洛必达法则可以应用 于更广泛的函数形式，例如分段函数 、无穷区间上的函数等。
洛必达法则的变形
根据不同的情况，洛必达法则可以变 形为不同的形式，以便更好地应用于 各种问题。
洛必达法则在微积分中的应用
极限计算
进阶习题
进阶习题1
求函数$f(x) = frac{ln x}{x}$在$x = e$处的 导数值。
进阶习题2
求函数$g(x) = frac{x^3 - 1}{x^2 + 1}$在 $x = 2$处的导数值。
进阶习题3
求函数$h(x) = frac{cos x}{x}$在$x = frac{pi}{2}$处的导数值。
洛必达法则的实例分析
例1
分析函数$lim_{x to 0} frac{sin x}{x}$的极限值，通过应用 洛必达法则得到结果为1。
例2
分析函数$lim_{x to infty} frac{x^n}{e^x}$的极限值，通 过应用洛必达法则得到结果为0。
例3
分析函数$lim_{x to 0} frac{ln(1 + x)}{x}$的极限值，通过 应用洛必达法则得到结果为1。
洛必达法则的数学意义
洛必达法则是微积分学中求极限的一种常用方法，它通过将 复杂的极限问题转化为求导数的形式，使得问题得到简化。
洛必达法则是微积分学中重要的基本概念之一，它反映了函 数在某点的局部性质，对于理解函数的极限行为和可导性具 有重要意义。
04
CATALOGUE
洛必达法则的扩展和推广
洛必达法则的推广形式
洛必达法则的推广
在一定条件下，洛必达法则可以应用 于更广泛的函数形式，例如分段函数 、无穷区间上的函数等。
洛必达法则的变形
根据不同的情况，洛必达法则可以变 形为不同的形式，以便更好地应用于 各种问题。
洛必达法则在微积分中的应用
极限计算
进阶习题
进阶习题1
求函数$f(x) = frac{ln x}{x}$在$x = e$处的 导数值。
进阶习题2
求函数$g(x) = frac{x^3 - 1}{x^2 + 1}$在 $x = 2$处的导数值。
进阶习题3
求函数$h(x) = frac{cos x}{x}$在$x = frac{pi}{2}$处的导数值。
洛必达法则的实例分析
例1
分析函数$lim_{x to 0} frac{sin x}{x}$的极限值，通过应用 洛必达法则得到结果为1。
例2
分析函数$lim_{x to infty} frac{x^n}{e^x}$的极限值，通 过应用洛必达法则得到结果为0。
例3
分析函数$lim_{x to 0} frac{ln(1 + x)}{x}$的极限值，通过 应用洛必达法则得到结果为1。
经典洛必达法则ppt
例5. 求
解: 原式
例6. 求 解: (1) n 为正整数的情形. 原式
例7. 求 (2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
从而 由(1)
用夹逼准则
e x sin x 1 0 .( ) 例 求 lim 2 x 0 (arcsin 0 x)
解 arcsin x ~ x ( x 0) e x sin x 1 0 原 式 lim ( ) 2 x 0 0 x e x cos x 0 lim ( ) x 0 0 2x x e si n x 1 . lim x0 2 2
特别地 当 F ( x ) x ,
F (b) F (a ) b a , F ( x ) 1,
f (b) f (a ) f ( ). ba
f ( b ) f ( a ) f ( ) F ( b ) F ( a ) F ( )
柯西中值定理 若函数 f ( x )及F ( x )满足: (1) 在闭区间 [a, b]上连续 ; (2) 在开区间 (a, b)内可导 , 且F ( x ) 0, 则在开区间 (a, b)内至少存在一点 ,使得 f (b) f (a ) f ( ) F (b) F (a ) F ( ) 柯西定理的下述证法对吗 ?
0 1、 型未定式解法： 0
定理1：设
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 .
证明：注意，x = a 有可能是 f (x) 和 F(x) 的间断点 故 x = a 只可能是可去间断点
则有
注意：
（2）使用法则时一定要注意验证法则的条件。
（3） 定理1中
高等数学《洛必达法则》课件
2. 若 lim f ( x) , lim g( x) ,
x x0
x x0
则称 lim f ( x) 为 型未定式 . xx0 g( x)
例如, lim tan x , x tan3 x
2
3. 若 lim f ( x) 0, lim g( x) ,
x x0
x x0
例如, lim x ln x, x0
1 lim ( x0 x
1
e
x
), 1
则称 lim[ f ( x)]g( x) 为 1 型未定式.
x x0
1
6. 若 lim f ( x) 0, lim g( x) 例0,如, lim(cos x)x ,
x x0
x x0
x0
则称 lim[ f ( x)]g( x) 为 00 型未定式.
x x0
7. 若 lim f ( x) , lim g( x) 例0, 如, lim xsin x ,
x , x 该法则仍然成立.
(2) 若 lim f ( x)仍为0型未定式 ,且 f ( x) ,
xx0 g( x)
0
g( x)满足定理中f ( x), g( x)所满足的条件,则可
继续使用洛必达法则 , 即
f (x)
f ( x)
f ( x)
lim
lim
lim
.
xx0 g( x) xx0 g( x) xx0 g( x)
0
例9 求 lim xm ln x. （m>0） ( 0 ) x0+
解
原式
lim
x0
ln x xm
lim
x0
x1 m xm1
xm
lim x0
高等数学课件-D32洛必达法则
例题二：判断函数性质问题
题目
判断函数 f(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x)) 的奇偶性。
解题思路
本题考察的是利用洛必达法则判断函数的性质。 首先，我们需要判断函数在x=0处的值，然后 利用洛必达法则求解函数在x→0时的极限值， 最后根据奇偶性的定义进行判断。
例题二：判断函数性质问题
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总结回顾本次课程内容
洛必达法则的基本概念
洛必达法则是用于求解不定式极限的一种有效方法，通过分子分母分别求导的方式，简化极限的求解 过程。
洛必达法则的适用条件
在使用洛必达法则时，需要满足一定的条件，如分子分母在某点的去心邻域内可导，且分母导数不为 零等。
洛必达法则的求解步骤
首先验证是否满足适用条件，然后分别对分子分母求导，得到新的分子分母，再次判断是否满足适用 条件，如此循环直至求出极限或判断极限不存在。
泰勒公式可以将函数展开为多项式形式，而洛必达法则可 以解决多项式函数的极限问题。因此，可以将泰勒公式与 洛必达法则结合使用，解决复杂函数的极限问题。
要点二
复杂函数极限的求解
对于复杂函数，可以先使用泰勒公式将其展开为多项式形 式，然后应用洛必达法则进行求解。这种方法可以简化复 杂函数的极限求解过程。
在复变函数中应用
证明过程
由于$varphi(x)$在点$a$附近单调且有界，因此存在极限 $lim_{x to a} varphi(x) = l$。又因为$frac{F'(x)}{G'(x)} to l$， 所以$frac{F(x)}{G(x)} to l$。
03 洛必达法则在高等数学中 应用
3-3洛必达法则09[1]1024-PPT文档资料
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第三节 洛必达法则
0 一、 型未定式 0 二、 型未定式
三、其他未定式
第三章
0 一、 型未定式的洛比达法则 0
定Байду номын сангаас 3.4
( 1 ) lim f ( x ) lim F ( x ) 0
x a
(2 ) f(x ) 与 F (x )在 U (a ) 内可导， 且 F ( x ) 0
x U ( a ) ( 不妨设 x a )
。
则 (x ), (x ) 在 [x ,a ] 上满足柯西中值定 件 .
故 ( x , a ), 使
f (x) F (x)
(x ) (x ) (a ) (x ) (x ) (a )
( ) f ( ) ( ) F ( )
例1
解
例2
解
x 0 . 型 求 lim 0 cos x x 0ln 1 . 原式 lim lim cot x x 0 sin x x 0 cos x π arctan x 0 求 lim 2 . 型 1 0 x x 1 2 2 x 1 x lim 1. 原式 lim 2 1 x1 x x 2 x
tan xx lim 2 . 例4 求 x 0 x tan x
0 型 0
(tan x ~ x , x 0 )
tan x x 0 解 原式 lim 3 型 x 0 x 0
sec x1 lim x 0 3x2
2
1 tan x 1 lim . 2 3 x0 x 3
2
x x
用洛必达 法则
4º 注意洛比达法则与其它求极限方法的灵活使用.
0 一、 型未定式 0 二、 型未定式
三、其他未定式
第三章
0 一、 型未定式的洛比达法则 0
定Байду номын сангаас 3.4
( 1 ) lim f ( x ) lim F ( x ) 0
x a
(2 ) f(x ) 与 F (x )在 U (a ) 内可导， 且 F ( x ) 0
x U ( a ) ( 不妨设 x a )
。
则 (x ), (x ) 在 [x ,a ] 上满足柯西中值定 件 .
故 ( x , a ), 使
f (x) F (x)
(x ) (x ) (a ) (x ) (x ) (a )
( ) f ( ) ( ) F ( )
例1
解
例2
解
x 0 . 型 求 lim 0 cos x x 0ln 1 . 原式 lim lim cot x x 0 sin x x 0 cos x π arctan x 0 求 lim 2 . 型 1 0 x x 1 2 2 x 1 x lim 1. 原式 lim 2 1 x1 x x 2 x
tan xx lim 2 . 例4 求 x 0 x tan x
0 型 0
(tan x ~ x , x 0 )
tan x x 0 解 原式 lim 3 型 x 0 x 0
sec x1 lim x 0 3x2
2
1 tan x 1 lim . 2 3 x0 x 3
2
x x
用洛必达 法则
4º 注意洛比达法则与其它求极限方法的灵活使用.
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x 0
lim x lim e
x x 0
x ln x
e
x 0
lim x ln x
lim x e 1
x 0 x 0
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
例17 求 lim x
x
1 x
解
lim x lim e x
x
1 x
1 ln x x
e
lim 1 ln x x x
洛必达法则失效！
sin x 1 x sin x x 1 lim lim x x sin x x sin x 1 x
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
x sin x 例10 求 lim x 0 (1 cos x ) e x 1 x sin x 能用等价无穷小代 解 lim x 0 (1 cos x ) e x 1 换的先代换 x sin x lim x 0 1 2 x x 2 x sin x lim x 0 1 3 x 1 2 2 x 1 cos x 1 2 lim lim x 0 3 2 x 0 3 2 3 x x 2 2
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
3. 00 0 1
f ( x ) 0 g ( x ) 0 g( x ) y f ( x) f ( x ) g( x ) 0 f ( x )1 g( x )
步骤：
0
0 0 ln 0 取对数 1 ln 1 0 . 0 0 ln
ln f ( x ) 1 g( x )
ln y g( x )ln f ( x )
lim ln y lim g( x )ln f ( x ) lim
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
例16 求 lim x x
x0
解
1 ln x x lim ( x ) 0 lim x ln x lim lim 1 x 0 x 0 1 x 0 x 0 2 x x
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
1 1 例15 求 lim( ). x 0 sin x x
解
1 1 lim( ). x 0 sin x x
x sin x lim x 0 x sin x
1 cos x lim x 0 sin x x cos x
0
洛必达法则失效！
x sin x 例如, lim x x
1 cos x lim x 1
极限不存在
sin x lim (1 ) 1 x x
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
x sin x 例9 求 lim x x sin x ( ) 解
x sin x 1 cos x lim lim 不存在() x x sin x x 1 cos x
第三节 洛必达法则
例13 求 lim x 2 e x .
x
解
x
lim x 2e x .
x
0
e lim 2 x x ex lim x 2 x ex lim x 2
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
2.
1 1 00 步骤： . 0 0 00 1 x 例14 求 lim x 1 x 1 ln x x ln x x 1 1 x lim 解 lim x 1 x 1 ln x x 1 ( x 1) ln x 1 ln x 1 ( x ln x ) ( x ln x x 1) lim lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 [( x 1) ln x ] x 1 x ln x ln x x ln x 1 1 li是求商的导数.
0 2)上述定理对“ ”型或“ ”型的极限均成 0 立，其它类型的不定型需要转化为以上两种类型后
才能使用洛必达法则。
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
sin 2 x 例1 求 lim x0 3x 0 ( ) 0
sin 2 x 2 2cos 2 x (sin 2 x ) 解 lim lim lim ' x 0 x 0 x 0 3x 3 (3 x ) 3
0 ( ) 0
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
ln tan 3 x 例6 求 lim x 0 ln tan 2 x
( ) 解 ln tan 3 x tan 2 x 3sec2 3 x 3 tan 2 x lim lim lim 2 x 0 ln tan 2 x x 0 tan 3 x 2sec 2 x 2 x 0 tan 3 x 3 2x lim 1 2 x 0 3 x
（3） lim f ( x ) A （A为有限数，也可为无穷大）．
x x0
g ( x )
则
f ( x) f ( x ) lim lim A x x0 g ( x ) x x0 g ( x )
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
定理的证明 1) 应用洛必达法则时，是通过分子与分母分别求
等价无穷小代换 洛必达法则
0 ( ) 0
1 2 x sin x x 1 1 2 lim lim lim x 0 6 x 6 6 x 0 6 x x 0 3 x 2
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
例5 求 lim 2
x
arctan x 1 x
0 ( ) 0
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
注意： 3) 在很多情况下，要与其它求极限的方法（如
等价无穷小代换或重要极限等）综合使用，
才能达到运算简捷的目的.
用洛必达法则
例如, 而
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
x sin x 例4 求 lim 2 x 0 x sin x
解
x sin x x sin x x sin x 1 cos x lim 2 lim 2 lim lim 3 x 0 x 0 x sin x x 0 x 0 x x x 3 x2
2
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
三、其他类型未定式的极限
0 , ,0 ,1 ,
0 0
关键：将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的 类型： 或 0
0
1. 0
1 1 步骤：0 , 或 0 0 . 0
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
例如, lim tan x , ( 0 ) x 0 x 0
ln sin ax lim , () x 0 ln sin bx
x 0 lim x ， 0
x
lim x e x， 0
x 0
arcsin x x12 lim( ) 1 x 0 x
1 x 0 lim (ln ) x 0 x
不是未定式不能用洛必达法则 !
2cos 2 x (2cos 2 x ) lim lim x 0 x 0 3 (3)
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
x 4 16 例2 求 lim x2 x 2 0 解 方法一： ( ) 0 x 4 16 4 x3 lim lim 32 x2 x 2 x2 1 方法二：
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
第三章
导数的应用
第一节 微分中值定理
第二节 函数的性质
第三节 洛必达法则
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
第三节 洛必达法则
本节主要内容: 一.未定式 二.洛必达法则 三.其他类型未定式的极限
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
一、未定式
如果当xx0（或x ）时，两个函数 f(x)和g(x)
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
ln x 例8 求 lim ( >0) x x ( ) 解 1 ln x lim lim x x x x x 1
1 lim x x
0
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
注意 4)若 不存在()
x 4 16 ( x 2)( x 2)( x 2 4) lim lim x2 x 2 x2 x2 2 ( x 2)( x 4) lim x2 1
32
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
sin 5 x 例3 求 lim x sin 2 x
解
(sin 5 x ) sin 5 x 5cos 5 x 5 5 lim lim lim x x sin 2 x (sin 2 x ) x 2cos 2 x 2 2
1 ln x 1 lim ln x lim lim 0 x x x x x x
lim x e0 1
x
1 x
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
例18 求 lim x
x 1
1 1 x
解
lim ln x
x 1
1 1 x
1 lim ln x x 1 1 x
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
xn 例7 求 lim x x e
解
( )
xn nx n1 lim x lim x e x e x n( n 1) x n 2 lim 2 x x e
使用n次洛必 达法则
n! lim n x x e 0