高等数学洛必达法则教学ppt

1 ln x 1 lim ln x lim lim 0 x x x x x x
lim x e0 1
x
1 x
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
例18 求 lim x
x 1
1 1 x
解
lim ln x
x 1
1 1 x
1 lim ln x x 1 1 x
不是未定式不能用洛必达法则 !
2cos 2 x (2cos 2 x ) lim lim x 0 x 0 3 (3)
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
x 4 16 例2 求 lim x2 x 2 0 解 方法一： ( ) 0 x 4 16 4 x3 lim lim 32 x2 x 2 x2 1 方法二：
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
3. 00 0 1
f ( x ) 0 g ( x ) 0 g( x ) y f ( x) f ( x ) g( x ) 0 f ( x )1 g( x )
步骤：
0
0 0 ln 0 取对数 1 ln 1 0 . 0 0 ln
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
1 1 例15 求 lim( ). x 0 sin x x
解
1 1 lim( ). x 0 sin x x
x sin x lim x 0 x sin x
1 cos x lim x 0 sin x x cos x
0
导数来确定未定式的极限，而不是求商的导数.
0 2)上述定理对“ ”型或“ ”型的极限均成 0 立，其它类型的不定型需要转化为以上两种类型后
才能使用洛必达法则。
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
sin 2 x 例1 求 lim x0 3x 0 ( ) 0
sin 2 x 2 2cos 2 x (sin 2 x ) 解 lim lim lim ' x 0 x 0 x 0 3x 3 (3 x ) 3
第三节 洛必达法则
例13 求 lim x 2 e x .
x
解
x
lim x 2e x .
x
0

e lim 2 x x ex lim x 2 x ex lim x 2

第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
2.
1 1 00 步骤： . 0 0 00 1 x 例14 求 lim x 1 x 1 ln x x ln x x 1 1 x lim 解 lim x 1 x 1 ln x x 1 ( x 1) ln x 1 ln x 1 ( x ln x ) ( x ln x x 1) lim lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 [( x 1) ln x ] x 1 x ln x ln x x ln x 1 1 lim x 1 ln x 2 2
2
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
三、其他类型未定式的极限
0 , ,0 ,1 ,
0 0
关键：将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的 类型： 或 0

0
1. 0
1 1 步骤：0 , 或 0 0 . 0
第三章 导数的应用
解
1 arctan x 2 2 2x x 1 x 2 lim 1 lim lim lim 2 x 2 x x x x 1 x 1 1 2 x x
可多次使用洛必达法则，但在反复使用法则时，要时
刻注意检查是否为未定式，若不是未定式，不可使用 法则。
等价无穷小代换 洛必达法则
0 ( ) 0
1 2 x sin x x 1 1 2 lim lim lim x 0 6 x 6 6 x 0 6 x x 0 3 x 2
第三章 导数的应用

第三节 洛必达法则
例5 求 lim 2
x
arctan x 1 x


第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
1 x sin 例11 求 lim x x x 0 e 1
2
1 1 2 x sin cos x x 解 原式 lim x 0 ex
分母→1，分子振荡而没有极限L.Hospital法则“失效”
1 x sin x 1 x 但 lim x lim x x sin 1 0 0 x 0 e 1 x 0 e 1 x
x 1 lim( ) x 1 1 x ln x
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
二、洛必达法则
定理3.3.1（洛必达法则）设函数 f(x) 、g(x) 满足：
（1） lim f ( x ) 0, lim g( x ) 0 ；
x x0 x x0
（2） f(x) 、g(x)在x0的某去心邻域 N ( x0 , ) 内可导， 且 g ( x ) ≠0 ；
的极限都为零或都趋于无穷大，极限
f ( x) f ( x) lim (或 lim ) x x0 g ( x ) x g ( x )
0 通常称为未定式，分别记为 和 。 0
0 （ 1） , 0
（ 2） 0 ,
（3） 00 , 0 ,1
第三章 导数的应用

0 ( ) 0
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
ln tan 3 x 例6 求 lim x 0 ln tan 2 x
( ) 解 ln tan 3 x tan 2 x 3sec2 3 x 3 tan 2 x lim lim lim 2 x 0 ln tan 2 x x 0 tan 3 x 2sec 2 x 2 x 0 tan 3 x 3 2x lim 1 2 x 0 3 x

第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
ln x 例8 求 lim ( >0) x x ( ) 解 1 ln x lim lim x x x x x 1
1 lim x x
0
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
注意 4)若 不存在()
第三节 洛必达法则
x ln x 例12 求 lim
x0
解
x 0
lim x ln x
0

ln x lim x 0 1 x 1 x lim 1 x 0 2 x
1 1 注意到： 求导比 x ln x 求导简单
lim ( x ) 0
x 0
第三章 导数的应用
x 0
lim x lim e
x x 0
x ln x
e
x 0
lim x ln x
lim x e 1
x 0 x 0
第三章 导数的应用
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例17 求 lim x
x
1 x
解
lim x lim e x
x
1 x
1 ln x x
e
lim 1 ln x x x
ln f ( x ) 1 g( x )
ln y g( x )ln f ( x )
lim ln y lim g( x )ln f ( x ) lim
第三章 导数的应用
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例16 求 lim x x
x0
解
1 ln x x lim ( x ) 0 lim x ln x lim lim 1 x 0 x 0 1 x 0 x 0 2 x x
洛必达法则失效！
sin x 1 x sin x x 1 lim lim x x sin x x sin x 1 x
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x sin x 例10 求 lim x 0 (1 cos x ) e x 1 x sin x 能用等价无穷小代 解 lim x 0 (1 cos x ) e x 1 换的先代换 x sin x lim x 0 1 2 x x 2 x sin x lim x 0 1 3 x 1 2 2 x 1 cos x 1 2 lim lim x 0 3 2 x 0 3 2 3 x x 2 2
第三节 洛必达法则
例如, lim tan x , ( 0 ) x 0 x 0
ln sin ax lim , () x 0 ln sin bx
x 0 lim x ， 0
x
lim x e x， 0
x 0
arcsin x x12 lim( ) 1 x 0 x
1 x 0 lim (ln ) x 0 x
0 ( ) 0
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
注意： 3) 在很多情况下，要与其它求极限的方法（如
等价无穷小代换或重要极限等）综合使用，
才能达到运算简捷的目的.
用洛必达法则
例如, 而
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
x sin x 例4 求 lim 2 x 0 x sin x
解
x sin x x sin x x sin x 1 cos x lim 2 lim 2 lim lim 3 x 0 x 0 x sin x x 0 x 0 x x x 3 x2
洛必达法则失效！
x sin x 例如, lim x x
1 cos x lim x 1
极限不存在
sin x lim (1 ) 1 x x
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Hale Waihona Puke Baidu
x sin x 例9 求 lim x x sin x ( ) 解
x sin x 1 cos x lim lim 不存在() x x sin x x 1 cos x
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
xn 例7 求 lim x x e
解
( )
xn nx n1 lim x lim x e x e x n( n 1) x n 2 lim 2 x x e
使用n次洛必 达法则
n! lim n x x e 0

（3） lim f ( x ) A （A为有限数，也可为无穷大）．
x x0
g ( x )
则
f ( x) f ( x ) lim lim A x x0 g ( x ) x x0 g ( x )
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
定理的证明 1) 应用洛必达法则时，是通过分子与分母分别求
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
第三章
导数的应用
第一节 微分中值定理
第二节 函数的性质
第三节 洛必达法则
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
第三节 洛必达法则
本节主要内容: 一.未定式 二.洛必达法则 三.其他类型未定式的极限
第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
一、未定式
如果当xx0（或x ）时，两个函数 f(x)和g(x)
x 4 16 ( x 2)( x 2)( x 2 4) lim lim x2 x 2 x2 x2 2 ( x 2)( x 4) lim x2 1
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第三章 导数的应用
第三节 洛必达法则
sin 5 x 例3 求 lim x sin 2 x
解
(sin 5 x ) sin 5 x 5cos 5 x 5 5 lim lim lim x x sin 2 x (sin 2 x ) x 2cos 2 x 2 2