新高三数学下期中第一次模拟试题(附答案)

将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
4．A
解析：A 【解析】
分析：
a,
b
R
，由
a b 2 2
ab ，可得
1 ab
a
4
b2
，又 a b
1 a
1 b
5 ，可得
a
b 1
1 ab
5
a
b 1
a
4
b2
，化简整理即可得出.
详解：
a,
b
R
，由
a b 2 2
ab ，可得
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知 x ， y 均为正实数，且 1 1 1 ，则 x y 的最小值为（ ） x2 y2 6
A．20
B．24
C．28
D．32
7．已知等差数列 an 的前 n 项为 Sn ，且 a1 a5 14 ， S9 27 ，则使得 Sn 取最小值
2
，n∈N*，∴an＝n2sin（
2n 1 2
π）＝
n2, n是奇数 n2, n是偶数
，
∴a1+a2+a3+…+a10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92＝1+2+3+…+10＝ 10 1+10 =55
2
故选 C．
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、三角函数的周期性，属于中
定理推得 a2 b2 c2 ，三角形为直角三角形.
【详解】
①根据大角对大边得到 a>b,再由正弦定理 a b 知 sinA sinB，①正确； sin A sin B
② sin2A sin2B ，则 A B 或 A B , ABC 是直角三角形或等腰三角形；所以②错 2
误；③由已知及余弦定理可得 a a2 c2 b2 b b2 c2 a2 c ，化简得 a2 b2 c2 ，
5．C
解析：C 【解析】
先考虑充分性,当 x>0 时， x 1 2 x 1 2 ，当且仅当 x=1 时取等.所以充分条件成立.
x
x
再考虑必要性，当 x 1 2 时，如果 x>0 时， x2 2x 1 0 (x 1)2 0 成立，当 x
x=1 时取等.当 x<0 时，不等式不成立. 所以 x>0. 故选 C.
2ac
2bc
所以③正确.
故选 C.
【点睛】
本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题
时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据,解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余
弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 ab 及 b2 、 a2
时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理
．
25．已知数列 an 是公差为 2 的等差数列，若 a1 2, a3, a4 成等比数列．
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）令 bn 2n1 an ，数列 bn 的前 n 项和为 Sn ,求满足 Sn 0 成立的 n 的最小值.
26． ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ．已知 acosC ccos A a ． （1）求证： A B ； （2）若 A ， ABC 的面积为 3 ，求 ABC 的周长．
x 0
19．如图,无人机在离地面高 200m 的 A 处,观测到山顶 M 处的仰角为 15°、山脚 C 处的俯角
为 45°,已知∠MCN=60°,则山的高度 MN 为_________m.
20．已知数列 的前 项和
，则
_______．
三、解答题
21．在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋 转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为 a 的正三角形 ABC 绕其
a13 )
13(a4 2
a10 )
13
，故选
D.
考点：等差数列的通项公式、前 n 项和公式.
9．B
解析：B 【解析】
【分析】
根据等差数列 an 性质可知： a1 a2，a3 a4 ， a5 a6 ， a7 a8 构成新的等差数列，然
后求出结果
【详解】
由等差数列的性质可知： a1 a2，a3 a4 ， a5 a6 ， a7 a8 构成新的等差数列，
，又
，所以
，所以数列
的通项公式为
，令
，解得
，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，
所以使得 取最小值时的 为 ，故选 B．
考点：等差数列的性质.
8．D
解析：D 【解析】
【详解】
试题分析：∵ a3 a5 2a10 4 ，∴ 2a4 2a10 4 ，∴ a4 a10 2 ，
∴
S13
13(a1 2
被 5 除余 1 的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列an，则此数列的项数为（ ）
A．134
wk.baidu.com
B．135
C．136
D．137
二、填空题
13．设an是公比为 q 的等比数列， q 1，令 bn an 1(n 1, 2, ) ，若数列bn有连
续四项在集合53,23,19,37,82中，则 6q = .
B．100
C．135
D．80
10．等比数列 an 中，
a1
1 8
,
q
2
，则
a4
与
a8
的等比中项是（
）
A．±4
B．4
C． 1 4
D． 1 4
11．若 0 a 1， b c 1，则 ( )
A． (b)a 1 c
B． c a c ba b
C． ca1 ba1
D． logca logba
中心
O
逆时针旋转到三角形
A1B1C1，且
0,
2 3
.顺次连结
A，A1，B，B1，C，C1，
A，得到六边形徽标 AA1BB1CC1 .
(1)当＝ 时，求六边形徽标的面积； 6
(2)求六边形徽标的周长的最大值.
22．在 ABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，设平面向量
p sin A cos B,sin A, q cos B sin A,sin B ，且 p q cos2 C
6
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一、选择题
1．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知条件得
an＝n2sin（
2n 2
1
π）＝
n2, n是奇数 n2, n是偶数
，所以
a1+a2+a3+…+a10＝22﹣12+42
﹣32+…+102﹣92，由此能求出结果．
【详解】
∵ 2n 1 2
=n
+
【详解】
设 a4 与 a8 的等比中项是 x ．
由等比数列 an 的性质可得 a62＝a4a8 ， x a6 ．
∴ a4 与 a8
的等比中项
x
a6
1 25 8
4．
故选 A．
【点睛】
本题考查了等比中项的求法，属于基础题．
11．D
解析：D 【解析】
【分析】
运用不等式对四个选项逐一分析
【详解】
对于 A ，
x 2 y 2 0
16．设正项数列an的前 n 项和是 Sn ，若an和 Sn 都是等差数列，且公差相等，则
a1 ＝_______．
2x y 0
17．已知实数
x
，
y
满足不等式组
x
y
3
0
，则
z
x
2
y
的最小值为__________．
x 2 y 6
xy2 18．若变量 x，y 满足 2x 3y 9 ，则 z＝2x+y 的最大值是_____．
时的 n 为（ ）．
A．1
B．6
C．7
D．6 或 7
8．在等差数列{an}中， a3 a5 2a10 4 ，则此数列的前 13 项的和等于（ ）
A．16
B．26
C．8
D．13
9．在等差数列 an 中，如果 a1 a2 40, a3 a4 60 ，那么 a7 a8 （ ）
A．95
6．A
解析：A 【解析】
分析：由已知条件构造基本不等式模型 x y x 2 y 2 4即可得出.
详解：
x,
y
均为正实数，且
x
1
2
y
1
2
1 6
，则 6
x
1
2
1 y2
1
x y (x 2) ( y 2) 4
6( 1 1 )[(x 2) ( y 2)] 4 x2 y2
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、
午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元 1984 年农历为甲子年，公元 1985
年农历为乙丑年，公元 1986 年农历为丙寅年，则公元 2047 年农历为
A．乙丑年
B．丙寅年
C．丁卯年
D．戊辰年
3． ABC 中有：①若 A B ，则 sinA>sinB ；②若 sin2A sin2B ，则 ABC —定为等
6(2 y 2 x 2 ) 4 6(2 2 y 2 x 2 ) 4 20 当且仅当 x y 10 时取等
x2 y2
x2 y2
号.
x y 的最小值为 20.
故选 A. 点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.
7．B
解析：B 【解析】
试题分析：由等差数列 的性质，可得
b c 1， b 1， c
0
a
1
，则
b c
a
1，故错误
对于 B ，若 c a c ，则 bc ab cb ca ，即 ac b 0，这与 b c 1矛盾，故错
1 ab
a
4
b2
，
又ab 1 1 5， ab
可得
a
b
1
1 ab
5
a
b
1
a
4
b2
，
化为 a b2 5a b 4 0 ，
解得1 a b 4 ，
则 a b 的取值范围是1, 4.
故选：A. 点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题.
腰三角形；③若 acosB bcos A c ，则 ABC —定为直角三角形.以上结论中正确的个
数有（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．已知
a, b
R
,
且
a
b
1 a
1 b
5 ,则
a
b
的取值范围是（
）
A．[1, 4]
B．2,
C． (2, 4)
D． (4, )
5．“ x 0 ”是“ x 1 2 ”的 x
14． ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a ， b ， c ，且 2b cosC (3a 2c) cos B .当 b 4 2 ， a 2c ， ABC 的面积为______.
x 2y 0
15．若实数
x,
y
满足约束条件
x
y
0
，则 z 3x y 的最小值等于_____．
12．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852 年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》
中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874 年，英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高
斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定
理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将 1 至 2019 中能被 3 除余 1 且
档题．
2．C
解析：C 【解析】
记公元 1984 年为第一年，公元 2047 年为第 64 年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，
地支循环了五次，第四个为“卯”,所以公元 2047 年农历为丁卯年.
故选 C.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
①根据正弦定理可得到结果；②根据 A B 或 A B , 可得到结论不正确；③可由余弦 2
a7 a8 a1 a2 4 1 a3 a4 a1 a2 40 3 20 100
故选 B 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质运用，等差数列中连续的、等长的、间隔相等的几项的和
依然成等差，即可计算出结果。
10．A
解析：A 【解析】
【分析】
利用等比数列 an 的性质可得 a62＝a4a8 ，即可得出．
（Ⅰ）求 C ；
（Ⅱ）若 c 3, a b 2 3 ，求 ABC 中边上的高 h .
23． ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 ABC 的外接圆半径为
R ，且 2 3R sin A sin B b cos A 0 .
（1）求 A ；
（2）若 tan A 2tan B ，求
新高三数学下期中第一次模拟试题(附答案)
一、选择题
1．已知数列 an 的通项公式是
an
n2
sin（
2n 2
1
），则
a1
a2
a3
A．110
B．100
C．55
D．0
a10
2．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总
称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”
b sin C
的值.
a 2b sin B 2c sin C
24．等差数列{an}的各项均为正数， a1 1,前 n 项和为 Sn ．等比数列{bn} 中， b1 1，
且 b2S2 6 , b2 S3 8 ．
（1）求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式；
（2）求
1 S1
1 S2
1 Sn