第六章对策论基础

1 2 3
1 6 1 8
A
2
3
2
4
3 4
9 3
1 0
10
6
最优纯策略的表述
• 若满足
max i
mjin{aij
}
min j
miax{aij
}
• 则上述条件规定的局势
(i*
,
* j
)
• 叫做最优纯局势，也是矩阵对策的最优解， 是局中人I、II的最优纯策略。
• 定理：矩阵对策G={S1,S2,A}Biblioteka Baidu纯策略解的
y1, y2 0
• 解得
x3 1/ 3, x4 2 / 3; y1 1/ 2, y2 1/ 2,V 5
矩阵混合对策问题的解
X (0,0,1/ 3,2 / 3,0)T Y (1/ 2,1/ 2,0,0,0)T V 5
相关定理
记T(G)为矩阵对策G的解集
定理1 设有两个矩阵对策 G1={S1,S2,A1}， G2={S1,S2,A2}， 其中A1=(aij)， A2=(aij+L)， L为一任意常数，则
混合策略的定义
• 令纯策略集对应的概率向量是
X (x1, x2 , , xm ) Y ( y1, y2 , , yn )
• 它们满足 xi , y j 0,i 1,2, , m; j 1,2, , n
m
n
xi 1 y j 1
i 1
j 1
• 混合策略的集合 S1* {X}, S2* {Y}
(1) VG2 VG1 L (2) T1(G) T2 (G)
相关定理
• 定理2 设有两个矩阵对策 G1={S1,S2,A1}， G2={S1,S2,A2}， >0，为一任意常数，则 (1) VG2 VG1
(2) T(G1) T(G2 )
优其策中略T1集(G。)和T2(G)分别为局中人Ⅰ和Ⅱ的最
i 1
n
aij y j V ,i 1,2, m
j 1
n
y j 1, y j 0
j 1
• 关于混合对策问题的解，我们有如下定理：
混合对策最优解定理
• 如果(X*,Y*)是对策G的最优混合局势，则对
于某个i或j来说，有：
n
(1)若xi* 0，则
aij
y
* j
V
j 1
m
(2)若y
* j
• 博弈论是研究博弈现象的规律的数学理论 和方法
• 博弈现象的要素
– 局中人（参与人） —二人或多人 – 行动与策略—有限或无限 – 信息—完全或不完全 – 支付函数—可正可负
一、基本概念与名词
• 局中人 • 策略与策略集 • 局势 • 赢得函数 • 零和对策 • 矩阵对策：二人有限零和对策
二、对策分类
第六章 对策论基础
• 概论
– 基本概念与名词 – 对策分类
• 矩阵对策的基本理论
– 矩阵对策的数学模型 – 最优纯策略 – 混合策略与混合扩充
第一节 概论
• 基本概念与名词 • 对策分类
博弈现象
下棋与打牌 体育比赛 战争 市场进入 谈判 生产管理决策 竞拍
二、博弈论及博弈现象的要素
例子引出混合策略
• 赢得期望值 E(x, y) xy 3x(1 y) 4(1 x) y
2(1 x)(1 y)
4xy x 2 y 1/ 2 5 / 2
4(x 1/ 2)(y 1/ 4) 5 / 2
• 在x=1/2，y=1/4时，赢得函数取得最优 值5/2。这实际上是对策双方都满意的结果。 我们把纯策略对应的概率向量叫做混合策 略，最优解则是最优混合策略。本例中， 最优混合策略是(1/2,1/2)和(1/4,3/4)。
充要条件是存在一个纯局势
(i*,
* j
)
使得
aij* ai* j* ai* j ,i 1,2, , m; j 1,2, , n
例子的最优纯策略
• 在上述定理中
• 因此符a合ij* 条 m件jin(aij ),
ai* j miax(aij )
max(a
i
ij
*
)
min j
(ai*
j
)
的即为最优纯策略。
• 则称(X*,Y*)为最优混合局势，或叫做G在混 合策略下的解，V叫做对策G的值。X*、Y* 分别是局中人I、II的最优混合策略。
混合对策问题的解法
• 如果G的值是V，则局中人I和II的最优策略 是下列两组不等式的解：
m
aij xi V , j 1,2, n
i 1
m
xi 1, xi 0
对策的数学表示
• 二人矩阵对策用下列式子表示
G I, II , S1, S2, A或G S1, S2, A
• 其中I、II表示两个局中人，S1、S2分别表 示局中人I、II的策略集，A则表示赢得矩阵：
A (aij )
二、最优纯策略
• 现有一矩阵对策
G S1, S2, A
• 其中 S1 {1,2 ,3,4}, S2 {1, 2 , 3}
–零和博弈
– 纯策略博弈 – 混合策略博弈
–非零和博弈
– 完全信息博弈
静态博弈 动态博弈
– 不完全信息博弈
静态博弈 动态博弈
非零和的四种博弈 也可以有纯策略和混合 策略博弈之分。
动态时行动和策略 不同，要素有五个；而 静态时行动与策略不加 区别，要素有三个。
第二节 矩阵对策的基本理论
• 矩阵对策的数学模型 • 最优纯策略 • 混合策略与混合扩充
动态
对策
静态
微分
不结盟
结盟
有限
无限
联合
合作
二人
多人
零和
非零和
二、对策分类
一）按对策双方是
否存在有约束力的 协议来分：
–合作对策 –非合作对策
二）按局中人数分
类：
•二人对策 •多人对策
三）按策略数分 类：
•有限策略对策 •无限策略对策
二人非合作对 策是我们讨论的重 点。
非合作博弈的进一步分类
非合作博弈
• 将 G* {S1*, S2*, E} 叫做G的混合扩充。
最优混合策略的定义
• 若令
E( X *,Y ) max E( X ,Y ), E( X ,Y *) min E( X ,Y )
X S1*
YS2*
• 并有 min E(X *,Y ) max E(X ,Y *) V
YS2*
X S1*
一、矩阵对策的数学模型
• 以齐王赛马为例说明 齐王赛马—二人非合作零和对策
– 局中人—齐王和田忌 – 策略— 上 中下三种等级的马的组合 ，比三次，
有六组策略：( 上，中，下) 、 ( 中，上，下) 、 ( 上，下，中) 、 ( 中，下，上) 、 ( 下，上，中) 、 ( 下，中，上) .
对对田齐忌王，，则这用六组i ,策i 略1用,2,3,i4,,i5,61,2表,3示,4,。5,6 表示，
1 2
A
3 4
7 4
3 6
• 若混合策略均不为零，由上述定理知混合 对策问题数学模型的不等式应为等式。因
此有
第二步 用方程组求解
• 最优混合策略满足如下方程组
7x3 4x4 V
7 y1 3y2 V
3x3 6x4 V
4 y1 6 y2 V
x3 x4 1
y1 y2 1
x3, x4 0
– 支付函数—赢了得一千金，输了付一千金。
齐王赛马赢得函数
田忌
1 2 3 4 5 6
(上中下) 1 3 1 1 1 1 -1 (上下中) 2 1 3 1 1 -1 1 齐 (中上下) 3 1 -1 3 1 1 1 王 (中下上) 4 -1 1 1 3 1 1 (下中上) 5 1 1 -1 1 3 1 (下上中) 6 1 1 1 -1 1 3
A
1 2
1 4
3 2
分析上述例子
• 因为
max i
mjin{aij
}
2,
min j
miax{aij
}
3
• 所以
max i
mjin{aij
}
min j
miax{aij
}
• 此时假设局中人I以概率x选取策略1，以概 率(1-x)选取策略2；局中人II以概率y选取 策略1，以概率(1-y)选取策略2。则对于局 中人I来说，赢得的期望值为E(x,y)，它等 于
9 6
5 6 0 8 8 3
第一步 简化赢得矩阵
• 划去普遍较小的行，例如第1、2行，得
1 2 345
3 7 3 9 5 9 A 4 4 6 8 7 6
5 6 0 8 8 4
1 2
3 7 3 A 4 4 6
5 6 0
• 划去普遍较大的列，例如第3、4、5三列， 结果如上。
进一步化简
• 上述结果的第一行比第三行普遍更优，因 此再划去第三行，得
• 上述例子的最优纯策略为：最优局势(2, 2 )
且G=2为局中人I的赢得值。
三、混合策略与混合扩充
• 基本概念：当
max i
mjin{aij
}
min j
miax{aij
}
时不存在最优纯策略，此时需要应用混合
策略的方法确定参加对策的纯策略。
• 例如 G S1, S2, A
S1 {1,2}, S2 {1, 2} 1 2
0，则
aij xi* V
i 1
n
(3)若 aij y*j V ,则xi* 0 j 1
m
(4)若
aij xi*
V
,
则y
* j
0
i 1
以例说明混合对策问题的特殊解法
• 对于G={S1,S2,A}
1 2 3 4 5
1 3 4 0 3 0 2 5 0 2 5 9
A
3 4
7 4
3 6
9 8
5 7
习题
• P.272-273，习题1、3、4、5。
• (新书) P292：习题1、3、4、5。