数值计算方法 函数逼近 - 函数逼近
常用函数的逼近和曲线拟合
常用函数的逼近和曲线拟合在数学中，函数逼近和曲线拟合都是常见的问题。
函数逼近是指找到一个已知函数，尽可能地接近另一个函数。
而曲线拟合则是给定一组数据点，找到一条曲线来描述这些数据点的分布。
本文将讨论常用的函数逼近和曲线拟合方法。
一、函数逼近1. 插值法插值法是最简单的函数逼近方法之一。
它的基本思想是：给定一组已知点，通过构造一个多项式，使得该多项式在这些点处的函数值与已知函数值相等。
插值法的优点是精度高，缺点是易产生龙格现象。
常用的插值多项式有拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式。
拉格朗日插值多项式的形式为：$f(x)=\sum_{i=0}^{n}y_{i}\prod_{j=i,j\neq i}^{n}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}$其中，$x_{i}$是已知点的横坐标，$y_{i}$是已知点的纵坐标，$n$是已知点的数量。
牛顿插值多项式的形式为：$f(x)=\sum_{i=0}^{n}f[x_{0},x_{1},...,x_{i}]\prod_{j=0}^{i-1}(x-x_{j})$其中，$f[x_{0},x_{1},...,x_{i}]$是已知点$(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),...,(x_{i},y_{i})$的差商。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的函数逼近方法。
它的基本思想是：给定一组数据点，找到一个函数，在这些数据点上的误差平方和最小。
通常采用线性模型，例如多项式模型、指数模型等。
最小二乘法的优点是适用性广泛，缺点是对于非线性模型要求比较高。
最小二乘法的一般形式为：$F(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}\varphi_{i}(x)$其中，$a_{i}$是待求的系数，$\varphi_{i}(x)$是一组已知的基函数，$n$是基函数的数量。
最小二乘法的目标是使得$\sum_{i=1}^{m}[f(x_{i})-F(x_{i})]^{2}$最小，其中$m$是数据点的数量。
函数逼近
第3章 函数逼近
设函数 f ( x ) C[a, b] ，集合
H n span 1, x , x ,
2
,x
n
如果存在 p( x ) H n，满足 max f ( x ) p( x ) En
a xb
其中 En min max f ( x ) pn ( x )
pn ( x )H n a x b
a n
b k 0 k k a k
f ( x) S( x)
b a
k
( x ) ( x )dx 0 k 0,1,
21
,n
数值分析
第3章 函数逼近
Th
设给定节点 f ( x ) C[a, b]，则其最佳平方逼近
唯一存在，且可以由前述 Gram 组成的方程组求解构造。
注：
组成的交错点组。
Chebyshev定理给出了最佳一致逼近多项式满足的性质
10
数值分析
第3章 函数逼近
f ( x )有唯一 设函数 f ( x ) C[a, b] ，则在 H n 中， 的最佳一致逼近多项式 P ( x ) 。
Th
（存在唯一性）
Th
（最佳一致逼近多项式的一种求法）
( n1)
[a , b]上不 设 f ( x ) 在[a , b]上有n+1阶导数， f ( x) 在 p( x ) H n 是 f ( x ) 的最佳一致逼近多项式，则： 变号， [a , b]的端点属于f ( x ) p( x ) 的交错点组。
n j 0
是[a,b]上的一个线性无
关函数系,且 j ( x) C[a, b] , ( x ) 为[a,b]上的一个权函数。 如果存在一组系数 使得广义多项式 满足
数值分析--第3章 函数逼近和快速傅里叶变换
（1.3）
ln i m B n (m )(f,x)f(m )(x).
这个结果不但证明了定理1，而且由(1.3)给出了 f (x) 的一个逼近多项式，但它收敛太慢，实际中很少使用.
2020/5/8
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更一般地，可用一组在 C[a,b] 上线性无关的函数集合
i(x)in0 来逼近 f(x)C[a,b]，此时元素
在 C[a,b]上也可以类似定义带权内积.
（1.14）
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定义4 设 [a, b] 是有限或无限区间，在 [a, b] 上的非负 函数 (x)满足条件：
（1）
b
a
xk
(x)dx存在且为有限值
(k0,1,),
（2） 对 [a, b] 上的非负连续函数 g (x) ，如果
bg(x)(x)dx0, a
(x ,y ) x 1 y 1 x n y n .
（1.5）
若将它推广到一般的线性空间 ，X则有下面的定义.
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定义3 X 是数域K(R或C)上的线性空间，对 u,vX, 有K中一个数与之对应，记为 (u, v，) 它满足 以下条件：
(1)(u ,v ) (v ,u ), u ,v X ;
mafx (x)p(x)
axb
( 为任给的小正数)，这就是著名的魏尔斯特拉斯定理.
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定理1 设 f(x)C[a,b]，则对任何 0，总存在一
个代数多项式 p(x) ， 使
f(x)p(x)
在 [a , b ] 上一致成立.
伯恩斯坦1912年给出的证明是一种构造性证明.
他根据函数整体逼近的特性构造出伯恩斯坦多项式
牛顿迭代法的函数逼近和拟合
牛顿迭代法的函数逼近和拟合在数学和计算机科学中，函数逼近（function approximation）和拟合（function fitting）是重要的问题之一，它们涉及到如何用已知数据或函数来找出与之近似的函数形式。
而牛顿迭代法是一种常用的数值计算方法，可以被广泛地应用在函数逼近和拟合中。
一、牛顿迭代法简介牛顿迭代法是一种求解方程的方法，其本质是一种迭代算法，可以通过给出一个函数在某点的值以及该点的导数，迭代地求出函数的零点或者极值点。
其基本公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x_n)$表示函数在点$x_n$处的函数值，$f'(x_n)$表示函数在点$x_n$处的导数，$x_{n+1}$是通过迭代算法得到的新的近似解。
在使用牛顿迭代法时，需要注意函数的光滑性和局部收敛性，如果函数不光滑或者在某些点处导数为零，那么迭代可能会导致发散或者收敛速度极慢。
二、牛顿迭代法在函数逼近中的应用在函数逼近中，如果我们已知一些数据点$(x_i, y_i)$，并且想要找到一个函数$f(x)$，可以用这些数据点来拟合函数，那么可以使用牛顿迭代法来实现。
具体的方法如下：1.首先定义一个函数$g(x)$，它满足$g(x_i)=y_i$；2.然后利用牛顿迭代公式，给出$f(x)$的递归式：$$f(x_{n+1})=f(x_n)+\frac{g(x_n)-f(x_n)}{g'(x_n)}$$其中，$g(x)$是一个在点$(x_i, y_i)$处值为$y_i$，在其他点处为零的光滑函数。
3.重复进行上述迭代，直到得到一个满足精度要求的近似解。
通过牛顿迭代法的函数逼近方法，我们可以得到在数据点上的逼近函数，这个函数可以用来进行插值和外推等操作，同时也可以作为一个简单的近似模型来使用。
三、牛顿迭代法在函数拟合中的应用除了函数逼近，牛顿迭代法还可以用于函数拟合，这里的函数拟合指的是通过一些给定的函数基，将一个在某些点处已知函数值的函数表示为基函数线性组合的形式。
函数逼近
第七章 函数逼近用简单的函数p (x )近似地代替函数f (x )，是计算数学中最基本的概念和方法之一。
近似代替又称为逼近，函数f (x )称为被逼近的函数，p (x )称为逼近函数，两者之差)()()(x p x f x R -=称为逼近的误差或余项在计算数学里，所谓简单的函数主要是指可以用加、减、乘、除四则运算进行计算的函数，如有理分式函数、多项式等。
由于多项式最简单，计算其值只需用到加、减与乘三种运算，且求其微分和积分都很方便，所以常用它来作为逼近函数，而被逼近的函数f (x )一般是一个比较复杂的不易计算的函数或以表格形式给出的函数。
第六章介绍的插值法实际上也是函数逼近的一种方法。
不过，它要求函数p (x )与f (x )在节点处具有相同的函数值 (甚至要求有相同的导数值)，但在非节点处，p (x ) 虽然有可能很好地逼f (x )，但也可能使逼近f (x ) 的误差很大，如果实际问题要求p (x )在区间[a , b ] 上每一点都“很好”地逼近的话，用插值多项式p (x ) 去逼近f (x )有时就要失败，所谓龙格现象，就是典型一例。
大家知道，用f (x )的泰勒(Taylor)展开式)()()!1()()(!)()(!2)())(()()(010)1(00)(200000之间与在x x x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n n ξξ++-++-++-''+-'+=Λ的部分和去逼近函数f (x )，也是常用的方法。
这种方法的特点是：x 越接近于x 0，误差就越小，x 越偏离x 0，误差就越大。
若要使这种逼近在整个所讨论的区间上都达到精度要求，则需取很多项，这样，计算工作量就大大增加。
因此，如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题，这个问题的一般提法是：对于函数类A 中给定的函数f (x )，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类B (⊂ A )中寻找一个函数p (x )，使p (x )与f (x )之差在某种度量意义下最小。
数值计算方法期末总结
数值计算方法期末总结导言数值计算是近年来发展迅速的一门学科，它研究如何利用数字近似计算数学方程和问题的解。
在科学计算、工程分析、金融建模等领域都有广泛应用。
本文将对数值计算方法进行总结，包括数值逼近、插值与外推、数值微积分、线性方程组解法、非线性方程解法、数值积分与数值微分以及随机数生成与蒙特卡洛方法。
通过总结这些方法的基本原理、优缺点和应用领域，可以帮助读者更好地理解和运用数值计算方法。
一、数值逼近数值逼近是指通过有限次数的计算，利用某一数列逐步逼近函数的值。
数值逼近可以分为插值和外推。
插值是在给定的有限个数据点之间找到一个函数，使得函数经过这些数据点。
而外推是利用已知数据点的决策逐渐增加，以获得更精确的近似值。
在实际应用中，数值逼近被广泛应用于数据处理和数据分析中，常用于构造曲线拟合、图像处理和信号处理中。
数值逼近的方法有拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。
二、插值与外推插值与外推是数值计算中用于估计未知函数值的重要工具。
插值是在给定数据点之间构造一个模型函数，使得函数经过这些数据点。
外推是利用一些已知数据点的决策逐渐逼近未知函数的方向。
常用的插值与外推方法有多项式外推、样条插值、最小二乘法、有限差分法等。
它们可以用于函数逼近、数据拟合和数值求解等问题。
三、数值微积分数值微积分是一种利用数值方法来近似计算积分和求解微分方程的方法。
数值微积分广泛应用于工程计算、金融建模和科学研究等领域，是计算机辅助设计和分析的关键技术之一。
在数值微积分中，常用的方法有数值积分和数值微分。
数值积分主要用于求解曲线下面积和计算函数的平均值等问题，常用方法有复合梯形公式、复合辛普森公式、复合高斯公式等。
而数值微分主要用于近似计算函数的导数，常用方法有有限差分法、龙贝格公式和微分方程的数值解法等。
四、线性方程组解法线性方程组是科学计算中的重要问题之一，其求解方法的好坏直接影响到计算结果的精度和稳定性。
线性方程组的求解方法有直接法和迭代法两种。
数值分析---函数逼近与曲线拟合
于是
1 5 1 5 17 2 2 ( x) x ( x ) x x 9 7 4 7 252
2
3）几种常用的正交多项式
• 勒让德多项式 当区间[-1,1],权函数ρ(x) ≡1时,由 {1,x,…,xn,…}正交化得到的多项式就称为 勒让德多项式,并用P0(x),P1(x),…,Pn(x),… 表示. 其简单的表达式为
全体，按函数的加法和数乘构成连续函数 空间---- C[a, b]
3.1 函数逼近的基本概念
1)线性无关
设集合S是数域P上的线性空间,元素
x1,x2,…,xn∈S,如果存在不全为零的数
a1,a2,…,an∈P,使得
a1 x1 a2 x2 ... an xn 0,
则称x1,x2,…,xn线性相关.
( x , 0 )
2
1
0
于是
1
1 1 ( x) x 4
1 x ln xdx 9
2
1 1 2 1 1 7 2 (1 , 1 ) ( ln x)( x ) dx (ln x)( x x )dx 0 0 4 2 16 144
1 5 ( x , 1 ) ( ln x) x ( x )dx 0 4 144
且有以下常用公式
p 0 ( x) 1 p1 ( x ) x p 2 ( x ) (3 x 2 1) / 2 p 3 ( x ) (5 x 3 3 x ) / 2 p 4 ( x ) (35x 4 30x 2 x ) / 8 p 5 ( x ) (63x 5 70x 3 15x ) / 8 p 6 ( x ) ( 231 x 6 315x 4 105x 2 5) / 16
利用逼近法解决函数近似问题
利用逼近法解决函数近似问题随着科技的不断发展，逼近法在数值计算中的应用也越来越广泛。
逼近法是一种重要的数值计算方法，能够有效地解决函数近似问题，为实际问题的求解提供了很大的帮助。
本文将介绍逼近法及其在函数近似问题中的应用。
一、逼近法的基本原理
逼近法是通过构造逼近函数来近似原函数的方法。
逼近函数可以是多项式、三角函数、指数函数等，构造逼近函数的目的是在给定的点上与原函数的函数值和导数值相等或相近。
其中，多项式逼近法是最为常用的一种方法。
二、多项式逼近法
多项式逼近法是通过在给定的点上构造一个多项式函数来近似原函数。
常用的多项式逼近方法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和最小二乘法，其中最小二乘法是最为通用的方法。
最小二乘法是通过最小化误差平方和来确定逼近多项式的系数，具有较好的稳定性和精度。
三、函数近似问题的应用
函数近似问题在实际应用中非常广泛，如在数值积分、微分方程求解、信号处理、图像处理等领域都有广泛的应用。
以信号处理领域为例，通过对原信号进行函数逼近，我们可以更好地分析信号的特性和应用价值。
四、逼近法的优缺点
逼近法具有一定的优缺点。
优点在于能够高效地解决函数近似问题，并且在一定条件下具有良好的精度和稳定性；缺点在于在求解高阶逼
近函数时，计算量较大且计算复杂度较高。
综上所述，逼近法是一种重要的数值计算方法，能够有效地解决函
数近似问题。
多项式逼近法是其中最为常用的一种方法，通过构造多
项式函数来近似原函数。
逼近法在实际应用中有广泛的应用领域，在
处理实际问题时非常有用。
计算方法讲义：六 函数逼近
第六章 函数逼近用简单的函数近似代替复杂函数，是计算数学中最基本的方法之一。
近似又称为逼近，被逼近的函数与逼近函数之差)()()(x p x f x R -=称为逼近的误差或余项。
简单函数：仅用加、减、乘、除。
多项式是简单函数。
插值也可以理解为一种逼近形式。
用Taylor展开：10)1(00)(000)()!1()()(!)())(()()(++-++-+-'+=n n nn x x n f x x n x fx x x f x f x f ξ 的部分和逼近f (x )也是一种逼近方法，其特点是：x 越接近于x 0，误差就越小。
如何在给定精度下求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题。
逼近的度量标准有：一致逼近和平方逼近。
6.1 函数内积本节介绍几个基本定义：权函数、内积、正交、正交函数系。
定义1 设ρ (x )定义在有限或无限区间[a , b ]上，若具有下列性质：(1) ρ(3) 对非负的连续函数g (x )，若⎰=ba dx x x g 0)()(ρ，则在(a ,b )上g (x ) ≡ 0，称ρ (x )为[a , b ]上的权函数。
常用权函数有：211)(],1,1[xx -=-ρ；x e x -=∞)(],,0[ρ；2)(],,[x e x -=∞+-∞ρ；1)(],1,1[=-x ρ等。
定义2 设f (x )，g (x ) ∈ C [a , b ]，ρ (x )是[a , b ]上的权函数，则称⎰=ba dx x g x f x g f )()()(),(ρ为f (x )与g (x )在[a ,b ]上以ρ (x )为权函数的内积。
内积有如下性质：(1) (f , f )≥0，且(f , f )=0 ⇔ f = 0；(2) (f , g ) = (g , f )；(3) (f 1 + f 2, g ) = (f 1, g ) + (f 2,g )；(4)对任意实数k ，(kf , g ) = k (f , g )。
《数值分析》第3讲：函数逼近与计算
函数的逼近与计算
pn * ( x) ? 1、Chebyshev给出如下概念
设 f ( x) C[a,b], 如p果( x) Hn ,
f (x)
|
p( x0 )
f
(
x0
)
|
max
a xb
|
p( x)
f ( x) |
p4 0*(x)
则称 x是0 偏差点。
如果 p( x0 ) f ( x0 ) 则称 x是0 正偏差点。
b
2a
a0 (
x ) 0 (
x)k
(
x)dx
b
b
2a an( x)n( x)k ( x)dx 2a ( x) f ( x)k ( x)dx
即
I ak
2a0 0( x),k ( x) 2a11( x),k ( x)
2an n( x),k ( x) 2 f ( x),k ( x)
函数的逼近与计算
则
1
1 1
2
n1
1 H 2
1 3
1 n2
1 n 1
1 n2
1 2n 1
例3.2 (P56)
已知 f ( x) 1 x2 C[0, 1], span{1, x}
则
1
(0 , 0 )
1dx 1,
0
(0 , 1)
1
1
xdx
0
2
(1, 0 )
1
1
xdx ,
▲ 1856年解决了椭圆积分的雅可比逆转问题，建立了椭圆函数 新结构的定理，一致收敛的解析函数项级数的和函数的解析性的 定理，圆环上解析函数的级数展开定理等。
函数的逼近与计算
计算方法第四章(逼近法)
2n {
m j0
aj
m i 1
x jk i
m i 1
xik
yi }
m
m
记： sl xil , tl xil yi
i 1
i 1
n
得正规方程组(法方程)： s jkaj tk , k 0,1,L , n
j0
2. 内积
定义：设 X 为 R 上的线性空间，对于 X 中的任意两
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.58 0.81 1.01 1.32 1.49 1.67 1.93 2.18 2.395
得正规方程组：
94a50a0452a815a15.83141.962 a0 0.15342, a1 0.09845 a 1.424, b 0.2267 y 1.424e0.2267x
1 8
(35x4
30x2
3),
P5
(
x)
x3
15
x)
LL
证明:
由分部积分法得(Pk , Pj )
1 [(x2 1) j ]( j)[(x2 1)k ](k) dx
1
1 [(x2 1) j ]( j) d[(x2 1)k ](k1) 0 1 [(x2 1)k ](k1)[(x2 1) j ]( j1) dx
多项式，或称为变量x 和 y 之间的经验公式.
显然，S 达到最小值，则
S 0 , k 0,1,L , n ak
S
ak
2 m
m i 1
[ P( xi
)
yi
数值计算方法复习知识点
数值计算方法复习知识点数值计算方法是研究计算数值解的方法和数值计算的理论。
它是计算数学的一个分支，主要用于解决无法用解析方法求解的数学模型问题。
本文将综述数值计算方法的一些重要知识点，包括插值与逼近、数值微分与数值积分、线性方程组的直接解法与迭代解法以及常微分方程的数值解法。
一、插值与逼近1.插值：插值是利用已知数据点构造一个函数，使得该函数在给定的数据点上与已知函数完全相等。
常见的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
2. 逼近：逼近是从已知数据点构造一个函数，使得该函数在给定的数据点附近与已知函数近似相等。
逼近常用的方法有最小二乘逼近和Chebyshev逼近。
二、数值微分与数值积分1.数值微分：数值微分是通过计算差分商来近似计算函数的导数。
常见的数值微分方法有前向差分、后向差分和中心差分。
2.数值积分：数值积分是通过近似计算定积分的值。
常见的数值积分方法有中矩形法、梯形法和辛普森法。
三、线性方程组的直接解法与迭代解法1.直接解法：直接解法是通过一系列数学运算直接计算线性方程组的解。
常见的直接解法有高斯消元法和LU分解法。
2. 迭代解法：迭代解法是通过迭代计算逼近线性方程组的解的方法。
常见的迭代解法有Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法。
四、常微分方程的数值解法1.常微分方程：常微分方程是描述动力系统的数学模型，常用来描述物理系统、生物系统等。
常微分方程的数值解法主要包括初始值问题的一阶常微分方程和常微分方程组的数值解法。
2.常微分方程的数值解法：常微分方程的数值解法有欧拉方法、改进的欧拉方法、龙格-库塔方法等。
这些方法都是将微分方程转化为递推方程，通过迭代计算逼近微分方程的解。
总结：数值计算方法是求解数学模型的重要工具，在科学计算、工程设计和经济管理等领域有广泛的应用。
本文回顾了数值计算方法的一些重要知识点，包括插值与逼近、数值微分与数值积分、线性方程组的直接解法与迭代解法以及常微分方程的数值解法。
函数逼近的几种算法及其应用汇总
函数逼近的几种算法及其应用汇总
一、函数逼近的几种算法
1、最小二乘法
最小二乘法是一种基于线性模型的函数逼近算法，它的基本假设是拟合函数的形状可以用线性模型表示，且被拟合数据存在一定的噪声存在，最小二乘法的核心思想就是最小化残差（拟合数据与模型之间的偏差）的平方和来寻找最佳拟合参数。
2、Kriging
Kriging（克里金插值）是一种基于空间相关数据的空间插值算法，它会根据空间相关性分析，通过构建模型，拟合、估计和预测空间数据之间的关系，从而实现函数逼近。
3、K近邻算法
K近邻（K Nearest Neighbors Algorithm）是一种基于实例学习的分类算法，它通过计算测试实例与训练实例之间的距离，来决定其所属的类别。
K近邻算法也可以用于函数逼近，这种方法无需训练阶段，可以快速的拟合不同的函数，而且拟合函数的过程中也不需要优化参数。
4、神经网络
神经网络是一类用于函数逼近的算法，它通过模拟人脑神经网络的连接模式，在一系列训练数据的基础上，得到一些函数的参数，从而实现函数的拟合和预测。
二、函数逼近算法的应用
1、多元线性回归
多元线性回归利用最小二乘法，可以对多元关系进行拟合。
第3讲-函数逼近
5
函数插值是插值函数 p(x) 与被插函数 f(x) 在节点处函数 值相同，即 P ( x i )
f ( x i )， ( i 0 ,1, , n ) ；而曲线拟合函数 ( x ) 不
要求严格地通过所有数据点 ( x i , y i ) 。 即，拟合函数 (x) 在xi处的偏差(亦称残差）
5
4
实 验 数 据
3
y
2 1
0
1
2
3
4
5
x
17
例 设某实验数据如下： i xi yi 1 0 5 2 1 2 3 2 1 4 3 1 5 4 2 6 5 3
6 6 6 2 a0m a1 xi a2 xi yi i 1 i 1 i 1 6 6 6 6 2 3 a0 xi a1 xi a2 xi xi yi i 1 i 1 i 1 i1 6 6 6 6 2 3 4 2 a0 xi a1 xi a2 xi xi yi i 1 i 1 i 1 i1
13.8434
70.376
i
i 1 4
2 i
i
a0 3.9374 a1 7.4626
4 a 0 7 .32 a1 70 .376 7 .32 a 0 13 .8434 a1 132 .12985
x y
i
132.12985
y 3.9374 7.4626 x
2
2
即
e
1 2
i0
n
2 i
( x
i0
n
i
) f ( x i )
2
最小。
这种要求误差（偏差）平方和最小的拟合称为曲线拟合的 最小二乘法。
函数逼近法python
函数逼近法python
函数逼近法是一种常见的数学方法，它可以将一个复杂的函数逼近成一个简单的函数。
在Python中，有许多方法可以进行函数逼近，比如最小二乘法、样条函数法、高斯过程法等等。
下面我们将介绍一些常见的函数逼近方法及其Python实现。
1.最小二乘法
最小二乘法是一种基于平方误差最小化的函数逼近方法。
它通过求解最小二乘问题来确定逼近函数的系数，从而使得逼近函数与原函数在给定区间内的平方误差最小。
在Python中，可以使用numpy库的polyfit函数来进行最小二乘逼近。
2.样条函数法
样条函数法是一种基于分段多项式的函数逼近方法。
它将函数划分为若干个小区间，并在每个小区间内拟合一个多项式函数，以达到逼近的目的。
在Python中，可以使用scipy库的interpolate模块来进行样条函数逼近。
3.高斯过程法
高斯过程法是一种基于贝叶斯定理的函数逼近方法。
它通过利用已有数据的信息，对未知函数进行概率分布的建模，并在后验概率分布中选取一个最优函数作为逼近函数。
在Python中，可以使用scikit-learn库的GaussianProcessRegressor类来进行高斯过程逼近。
以上是一些常见的函数逼近方法及其Python实现。
在实际应用
中，可以根据具体问题的特点选择适合的函数逼近方法，并通过Python的强大功能快速高效地实现。
数值分析知识点大全总结
数值分析知识点大全总结一、数值计算方法数值计算方法是数值分析的基础，它涵盖了数值逼近、数值积分、插值与拟合、数值微分与数值积分、解线性方程组、求解非线性方程与方程组、解常微分方程等内容。
下面我们将逐一介绍这些方面的知识点。
1. 数值逼近数值逼近是研究如何用简单的函数来近似一个复杂的函数的方法。
常见的数值逼近方法包括多项式逼近、三角函数逼近、曲线拟合等。
其中，最为重要的是多项式逼近，它可以用来近似任意函数，并且具有较好的数学性质。
2. 数值积分数值积分是研究如何用离散的数据来估计连续函数的积分值的方法。
常见的数值积分方法包括梯形公式、辛普森公式、龙贝格公式等。
其中，辛普森公式是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来估计任意函数的积分值，并且具有较好的数值稳定性。
3. 插值与拟合插值与拟合是研究如何用离散的数据来构造连续函数的方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
而拟合方法则是研究如何用简单的函数来拟合复杂的数据，常见的拟合方法包括最小二乘法、最小二乘多项式拟合等。
4. 数值微分与数值积分数值微分与数值积分是研究如何用差分方法来估计导数与积分的值的方法。
常见的数值微分方法包括向前差分、向后差分、中心差分等。
而数值积分方法则可以直接用差分方法来估计积分的值。
5. 解线性方程组解线性方程组是研究如何用迭代法或直接法来求解线性方程组的方法。
常见的迭代法包括雅各比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
而直接法则是指用消元法来求解线性方程组的方法。
6. 求解非线性方程与方程组求解非线性方程与方程组是研究如何用迭代法来求解非线性方程与方程组的方法。
常见的迭代法包括牛顿法、割线法等。
其中，牛顿法是一种非常高效的求解非线性方程与方程组的方法，它具有收敛速度快的特点。
7. 解常微分方程值积分方法包括龙格-库塔法、变步长欧拉法、变步长龙格-库塔法等。
其中，龙格-库塔法是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来求解各种类型的常微分方程。
数值计算方法 最佳逼近 - 最佳逼近
F[n_]:=Sum[GF[n]/G[n,n]*g[n],{n,0,2}];
F[n]//N;
Expand[%]
程序设计
Clear[g,f,G]
f[x_]:=Sqrt[x];
g[n_]:=x^n;
最
G[i_,j_]:=Integrate[g[i]g[j],{x,0,1}]
佳
平
GF[i_]:=Integrate[f[x]g[i],{x,0,1}]
GF[i_]:=Integrate[f[x]g[i],{x,-1,1}] F[n_]:=Sum[GF[n]/G[n,n]*g[n],{n,0,3}];
程序设计
F[n]//N;
Expand[%]
程序设计
Clear[g,f,G,F]
f[x_]:=Sin[Pi*x];
g[k_]:=x^k-Sum[(Integrate[x^k*g[i],{x,0,1}])/(Integrate[g[i]^2, {x,0,1}])*g[i],{i,0,k-1}]
第 三
函数插逼近值与曲法线拟合
章
主讲教师：刘春凤
1
函数逼近
2
正交多项式
3
曲线的拟合
4
最佳一致逼近
5 最佳平方逼近
最佳平方逼近的概念 最佳平方函数逼近的求解
最佳平方逼近的概念
1
【定义】 设函数 f ( x) 在区间[a, b] 上连续，i ( x)(i 0,1,m) 为定义在[a, b]上的
一组线性无关的连续函数。 H Span{0 ,1,,m }
近
MatrixForm[%]
b=Table[GF[i],{i,0,n}];
MatrixForm[%]
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函数插逼近值与曲法线拟合
章
主讲教师：刘春凤
1
函数逼近
2
正交多项式
3
曲线的拟合
4
最佳一致逼近
5
最佳平方逼近
函数逼近与函数空间 向量和矩阵的范数 误差分析 超定线性方程组的最小二乘解
数学的期望与烦恼
插
值
法
概
期 望
述
实际问题
期 望
期 望
内在规律
试验数据 观测数据
函数关系
反映内在规律的解析式是什么? 内在规律是否有函数解析式? 实验数据的内在规律是什么? 实验数据是否存在内在规律?
函
数
N 维数量空间内积 ( x, y) x1 y1 x2 y2 x3 y3
逼
( x, y) x1 y1 x2 y2 ... xn yn
近
函数逼近概念
内积空间
{X (线性空间),( , )}称为内积空间
设X是数域K(R 或C）上的线性空间，对u, v X ,
函 有K中一个数与之对应，记为 (u, v),它满足以下条件：
函数逼近与函数空间
初始想法
简单函数 p( x) 复杂函数 f ( x)
要求：
f ( x) p( x) 尽可能小 （足够的小） 函
数 逼
N维空间
近
H n {Pn ( x),,}
C[a, b]{[a, b] 区间上的连续函数， ，数乘}
C p[a,b]{[a,b]区间上具有 p 阶连续导数的函数， ，数乘}
1
n
1
x x (x, x)2 (
2) 2
2
i i 1
近
欧氏范数
n
4. 向量的 p 范数 :
x ( p
xi p ) 1p ,
i 1
向量的范数概念
几点说明
1,2,三种范数是p 范数的特殊情况
函
n
n
1
x
xi p1(
xi p ) p
数
1 i 1
i 1
逼 近
n
1
n
p1
x x (
2
i 1
2
)
2
p 2(
i
xi ) p
i 1
n
x
max
1 i n
xi
p lim
p
x
p
lim(
p
xi
)p
1 p
i 1
n
max xi p p max xi p xn p xi p p n max xi p p max xi i 1
向量的范数概念
几点说明
1, 2, 三种范数均满足范数定义的条件
以范数为例，满足定义条件1和条件2是显然的.
xn2
x
2
n
x
2 x x
n
2
2-范数和 -范数是等价的。
如不作说明，今后 是指任意一种向量范数
矩阵的范数
例 1 计 算 向 量x (1,2,3)T 的 各 种 范 数.
x 6, x 3, x 14.
1
2
函
数
逼
例 2 计 算 向 量x (1,2,3,...1000)T 的 各 种 范 数.
函
数
由于 x, y R 为向量，而其分量 xi , yi (i 1, , n) 为实数，故有
逼
近
x y max 1in
xi yi
max 1 i n
xi yi
max 1 i n
xi
max 1 i n
yi
x y
范数的等价性
几点说明
如果 Rn 中两个范数 和 ，存在实数 m, M 0，
函
使得对任意 n 维向量 x ，都有
数
逼
m x xM x
近
则称这两个范数是等价的。
范数的等价性
几点说明
不难证明1-范数，2-范数和 -范数是等价的。
例
x max 1in
xi
x12 x22
xn2
x 2
范
设
x
xj
max 1 i n
xi
数
则
x xj
x12 x22 n
函数逼近原理
定理1
函
设 f ( x) C[a, b], 则对任何 0,
数
总存在多项式 p( x),使得：
逼
p( x) f ( x)
近
在[a, b]上一致成立。
函数逼近概念
范数与赋范空间
设S为 线 性 空 间 ， • 为S 上 的 范 数 ，
则 ｛S, • ｝ 称 为 赋 范 线 性 空 间 。
(u, v) 2 (u, u)(v, v)
数即 逼
( x1 y1 x2 y2 , ..., xn yn )2
近 ( x12 x22 , ..., xn2 ) y12 y22 , ..., yn2
特别地：
( x1 y1 x2 y2 )2 x12 x22 y12 y22
定理3 设X为一内积空间
数 （2） x x , R（或 C），
（3） x y x y （三角不等式），
则称 N ( x)是 Rn 上的一个向量范数（或模）。
向量的范数概念
1.
向量的 范数（最大范数）： x
max 1 i n
xi
n
函
2. 向量的 1 范数 :
x x
1
i 1
i
数 逼
3. 向量的 2 范数 :
(u1, u1 ) (u1, u2 ) ... (u1, un )
G (u2 , u1)
(u2 , u2 )
...
(
u2
,
un
)
(un , u1 ) (un , u2 )
(un , un )
G非奇异 u1, u2 , ...un 线性无关。
格拉姆 Gram矩阵
范数在计算方法中的作用
x { x1, x2 ,...}
x { x1, x2 , ...}
函 数
思考 范数在数值分析中的作用
逼
近
如何判断向量 x~ 的精确程度呢?
怎样衡量向量 x x~ 的大小呢?
范数的概念
向量的范数定义
设 Rn为 n 维实向量集，向量的范数 N ( x) x 是定义在 Rn
上的实值函数，对于x Rn 满足：
范
（1） x 0 （ x 0 当且仅当 x 0）（正定条件），
近
x 500500, x 1000, x 18271.1
1
2
Sqrt[Sum[n^2,{n,1,1000}]]//N
18271.1
矩阵的范数
数 （1）(u, v) (v, u)
逼
(2)( u, v) (u, v)
近
(3) (u v, w) (u, w) (v, w)
u, v, w X , K
(4) (u, v) 0,当且仅当u 0时，(u, u)＝0
则 称(u, v )为X上 的 内 积 。
函数逼近概念
内积空间常用的范数为：u (u, u)
C[a, b]上 的 内 积 定 义 为 ：
函 数
b
( f ( x), g( x))a ( x) f ( x)g( x)dx
逼 近
范数定义为：
f (x)
(
b
f
1
2( x)dx)2
2
a
内积空间的重要结论
定理2 （ Cauchy-Schwarz 不等式）
设X为一内积空间， u, v, X , 有：
函