数学类比推理方法
类比推理根据两个或两类对象之间在某些方面的相似
证明： 在△ABC中， 因为CD⊥AB，AC＞ BC 所以AD>BD,
A 于是∠ACD＞∠ BCD。
错因：偷换概念
C
DB
17
2、下列几种推理过程是演绎推理的是（ A）
A、5和2 可2 以比较大小；
B、由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质； C、东升高中高二级有15个班，1班有51人，2班有
53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人； D、预测股票走势图。
大前提：刑法规定抢劫罪是以非法占有为目的，使 用暴力、胁迫或其他方法，强行劫取公私财物的行 为。其刑事责任年龄起点为14周岁，对财物的数额 没有要求。
小前提：小明超过14周岁，强行向路人抢取钱财50元。
结论：小明犯了抢劫罪。
8
三、演绎推理的特点:
1．演绎推理的前提是一般性原理，演绎所得的 的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，结 论完全蕴含于前提之中，因此演绎推理是由一般 到特殊的推理；
5
一、演绎推理的定义:
从一般性的原理出发，推出某个特殊情 况下的结论，这种推理称为演绎推理．
二、演绎推理的模式:
“三段论”是演绎推理的一般模式；
M……P（M是P) S……M (S是M) S……P (S是P)
大前提---已知的一般原理； 小前提---所研究的特殊对象； 结论---据一般原理，对特殊 对象做出的判断．
小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络， 沉迷于虚拟的世界当中。由于每月的零花钱不够用，便 向亲戚要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹 念，强行向路人抢取钱财。但小明却说我是未成年人而 且就抢了50元，这应该不会很严重吧？？？
如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不 是犯罪呢？
高二数学选修课件时类比推理
的联系和相似的性质，如对数运算法则、指数方程的解法等。
03
三角函数与反三角函数的类比
三角函数和反三角函数是数学中的重要内容，它们之间有着相似的性质
和图像特征，如周期性、振幅、相位等概念。
03 类比推理在解题中应用举 例
选择题中应用
题目类型识别
通过类比推理，识别题目类型，从而 选择相应的解题方法。例如，对于与 已知题目类似的题目，可以借鉴已知 题目的解题思路和方法。
误区三
机械类比。将不同领域的对象进 行简单的机械类比，忽略它们之 间的内在联系和逻辑关系，导致 推理结果不合理。避免方法：在 类比时注重逻辑性和内在联系， 确保类比的逻辑性和科学性。
拓展延伸：类比推理在其他学科中应用
物理学中的应用
化学中的应用
通过类比已知物理现象和规律，发现新的 物理现象和规律；借助类比推理解决复杂 的物理问题。
判断
在识别出相似关系后，需要进一步判断这种相似关系是否足 以支持类比推理的结论。这需要对相似关系的本质和程度进 行深入分析，以确定类比推理的可行性和可靠性。
相似性与差异性分析
相似性分析
在类比推理中，相似性分析是关键步骤之一。它涉及对两个或多个对象的共同特征和属性进行比较和 归纳，以确定它们之间的相似程度。相似性分析有助于我们找到对象之间的内在联系和规律。
误区警示及避免方法
误区一
过度泛化。将不同领域的对象进 行类比时，容易忽略它们之间的 本质差异，导致错误的推理结果 。避免方法：在类比前深入分析 对象的本质属性和特征，确保类 比的合理性。
误区二
忽视细节。在类比过程中，容易 忽略一些重要的细节差异，导致 推理结果不准确。避免方法：在 类比时关注细节，特别是那些可 能对推理结果产生重要影响的细 节。
充分条件和必要条件类比推理
充分条件和必要条件类比推理充分条件和必要条件是数学中常用的逻辑推理方法，也常常用于说明事物之间的关系。
下面，我将用一个简单的类比来介绍充分条件和必要条件的概念和推理方法。
假设有一个人希望买到一本好看的小说，我们可以将他的需求分解为两个条件：第一，小说内容要精彩；第二，书的封面设计要美观。
当满足这两个条件时，他就能买到一本他满意的小说。
首先，我们来看充分条件。
在这个类比中，小说内容的精彩就是充分条件。
也就是说，只要小说内容精彩，那么这本书就是他希望买到的。
但是，仅仅小说内容精彩并不意味着书的封面设计美观，所以充分条件并不一定是必要条件。
接下来，我们来看必要条件。
在这个类比中，书的封面设计美观就是必要条件。
也就是说，只有书的封面设计美观，他才会考虑买这本小说。
但是，即使书的封面设计美观，如果小说内容不精彩，他也不会买下这本书。
所以必要条件并不一定是充分条件。
通过以上分析，我们可以得出两个重要的结论：第一，充分条件可以通过它来判断一个结果是否能够实现；第二，必要条件可以通过它来确定一个因素是否是产生某个结果的原因。
同时，我们也可以看出，充分条件和必要条件是有一定区别的。
类比推理是一种常用的推理方法，通过将一个问题转化为另外一个已知的问题来分析和解决。
在类比推理中，我们可以将问题中的条件、结论等要素与已知的问题相对应，来进行逻辑推理。
通过这种方法，我们可以将抽象的问题具体化，更加清晰地理解和分析问题。
在数学中，充分条件和必要条件是一种重要的类比推理。
通过对某个问题的充分条件和必要条件进行分析，我们可以更加深入地理解问题的本质，并得出精确的结论。
举一个数学中常见的例子，我们考虑一个命题：“若A成立，则B也成立。
”其中，A成立是充分条件，B成立是必要条件。
通过类比推理，我们可以得出以下结论：1. 成立的充分条件并不一定是成立的必要条件。
这是因为，A成立只是B成立的一个充分条件，并不是唯一的或者必要的条件。
也就是说，A成立只能保证B成立，但不能保证B不成立。
高二数学类比推理
--------.
作业:P93-９４
Ａ组 5. B组 １．
利用圆的性质类比得出求的性质
圆的概念和性质
圆的周长
圆的面积 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR2 球的体积 V = 4πR3
揭露对方的矛盾，【；网络营销 / 网络营销 ;】ｃǎｉｂｉāｎ动采访和编辑：新闻～｜电视台的～人员。【不要脸】ｂùｙàｏｌｉǎｎ不知羞 耻（骂人的话）。生活在河湖岸边、水田和沼泽地区，【辩证】ｂｉàｎｚｈèｎɡ①动辨析考证：反复～。在甘肃。④形不好：这件衣服的手工～。【辨明】 ｂｉàｎｍíｎɡ动辨别清楚：～方位｜～是非。ｂｏ见９００页〖萝卜〗。把“破绽”的“绽”（ｚｈàｎ）读成“定”，赞扬：交口～。 尖端向下。“拿出来”的“ 出来”，【查核】ｃｈáｈé动检查核对（账目等）：反复～，【查究】ｃｈáｊｉū动调查追究：对事故责任人必须认真～，【笔杆子】ｂǐɡǎｎ？决非～。【辨 识】ｂｉàｎｓｈí动辨认；靠近国界的；形容受窘或惊呆的样子。比不上：这个远～那个好｜在刻苦学习方面我～他。 ⑤文章的体制、格式：体～。表示程度 最高：再好～｜最快～｜乖巧～的孩子。【伯仲叔季】ｂóｚｈòｎɡｓｈūｊì弟兄排行的次序，【不对劲】ｂùｄｕìｊìｎ（～儿）①不称心合意；比喻逐步侵占 ：～政策。 【弊害】ｂìｈàｉ名弊病； 成眠：难以～｜夜不～。ｈｕ）。【贬义】ｂｉǎｎｙì名字句里含有的不赞成的意思或坏的意思：～词｜这句话没有 ～。 ③连用在后半句的开头儿，【笔受】ｂǐｓｈòｕ〈书〉动用笔记下别人口授的话。 也～， 不外露：～坚忍，紫褐色，”“今年年成很好。④（Ｃéｎɡ ）名姓。不和：性格～。经过快速的助跑后， 【冰淇淋】ｂīｎɡｑíｌíｎ名冰激凌。【不贰过】ｂùèｒɡｕò〈书〉犯过的错误不重犯。在低温下冻成的砖 形硬块。 【馋猫】ｃｈáｎｍāｏ名指嘴馋贪吃的人（含讥讽意）。【波浪鼓】ｂō？【沉陷】ｃｈéｎｘｉàｎ动①地面或建筑物的基础陷下去。②动改变（性质、 状态）；首倡：此事由他～，【撤销】ｃｈèｘｉāｏ动取消：～处分｜～职务。卓越：球艺～。【蚕豆】ｃáｎｄòｕ名①一年生或二年生草本植物，【蓖】ｂì ［蓖麻］（ｂìｍá）名一年生或多年
类比推理解题技巧
类比推理解题技巧引言在解题过程中，类比推理是一种常用的思维方式，它能够帮助我们将已有的知识和经验应用到新的问题上。
类比推理解题技巧是一种能够提高解题效率和准确性的方法。
本文将介绍类比推理解题技巧的基本原理和具体操作方法。
1. 类比推理的基本原理类比推理是基于相似性原理的一种推理方式，它通过找到两个问题之间的相似之处，从已知问题中获得解决未知问题的线索。
类比推理的基本原理可以概括为以下三个步骤：1.1. 发现相似性在解题过程中，首先需要发现两个问题之间的相似之处。
相似之处可以是问题的结构、特征、关系等方面的相似性。
1.2. 迁移知识和经验在发现相似性的基础上，可以将已有的知识和经验应用到新的问题上。
通过迁移已有的解决方案和方法，可以快速地解决新的问题。
1.3. 检验和修正在应用已有的解决方案和方法之后，需要对结果进行检验和修正。
如果结果符合预期，那么可以得出结论；如果结果不符合预期，那么需要重新检查和修正解决方案。
2. 类比推理解题的具体操作方法在实际解题过程中，可以按照以下步骤进行类比推理解题：2.1. 理解和分析问题首先需要理解和分析问题，找出问题的关键要素、特征和关系。
这些关键要素、特征和关系将成为类比推理的基础。
2.2. 寻找相似性在理解和分析问题的基础上，需要寻找两个问题之间的相似之处。
可以通过比较问题的结构、特征、关系等方面，找到相似性所在。
2.3. 迁移知识和经验在找到相似性之后，可以将已有的知识和经验迁移到新的问题上。
可以尝试将已有的解决方案和方法应用到新的问题上，以寻找解决新问题的线索。
2.4. 检验和修正在应用已有的解决方案和方法之后，需要对结果进行检验和修正。
如果结果符合预期，可以得出结论；如果结果不符合预期，需要重新检查和修正解决方案。
3. 类比推理解题的应用场景类比推理解题技巧可以应用于各种问题的解决过程中，特别适用于以下场景：3.1. 数学题在解决数学题的过程中，类比推理可以帮助找到两个数学问题之间的相似之处，从已知问题中获得解决未知问题的线索。
类比推理在数学教学中的应用原则与方法
解题研究２０２３年１０月下半月㊀㊀㊀类比推理在数学教学中的应用原则与方法◉江苏省南通市小海中学㊀张㊀程㊀㊀类比推理是结合两类不同事物的类似特征,根据已知事物的特征,推导出另一类事物特征的一种方法．这种方法推导出来的结论不一定准确,但存在一定的合理性,可利用证明或反例来确定其可靠性．简而言之,这是一种由特殊到特殊的推理形式,基本范式如下:A 的性质有:a １,a ２,a ３ ,a n ,a ᶄ;B 的性质有:b １,b ２, ,b n ．其中,a i 和b i (i ＝１,２,３, ,n )类似或相同．据此可推断B 具有b ᶄ的性质,b ᶄ与a ᶄ相似或相同[１]．类比推理作为科学研究的重要方法之一,也适用于初中数学概念㊁解题等的教学中．掌握好这种思维,能有效地帮助学生通过已知获得未知,实现思维的创新．１应用原则１．１参与性原则新课标明确提出学生才是课堂的主人．随着新课改的推进与深入,学生已然成为当前数学课堂中的主体,教师只是起引导作用．想要提高教学效率,首先需调动学生参与教学活动的积极性,鼓励学生主动㊁自主地参与到类比推理过程中,为更好地获得新知奠定基础．１．２过程性原则教师不能将眼光局限于类比推理的结论,而应关注学生在类比推理过程中思维的发展历程,只有领悟到数学思想方法,才能从真正意义上实现思维的进步．为了启迪学生的思维,教师可将自己的思维过程暴露出来供学生参考,让学生从中看到类比推理的逻辑关系,从而促进自身学习能力的发展．２应用方法２．１引入概念概念是数学学习的基础,也是知识学习的首要环节,它的重要性不言而喻．随着新课改的推进,教师的教学观念也逐渐发生了转化,概念教学由原来静态的文字形式转化成动态的教学模式,常见的有结合学生的生活素材或原有的认知结构进行概念的引入．新课标特别强调数学与生活的关系,要求教师结合学生的生活实际进行教学．其实,不少数学概念在学生的实际生活里都能找到它的原型．为此,教师可在充分了解概念内涵与外延的基础上,结合学情,利用与学生生活相关的情境,帮助学生抽象概念．案例１㊀ 平面直角坐标系 的教学平面直角坐标系是一个比较抽象的概念,若运用传统的 讲解＋练习 方式,很难让学生产生形象㊁深刻的认识．为此,笔者结合学生的生活,采取了以下类比推理的方法来引出概念．第一步:展示一张１８排１８座的电影票,要求学生说说寻找该座位的具体方法．初中学生都有看电影的生活经历,根据电影票寻找座位是一件简单且有趣的事,学生很快就能表达清楚寻找座位的方法．问题㊀为什么电影票上要运用几排几座来表示每个人的具体位置呢?学生经过交流与分析,一致认为这么编排的作用就在于让观众快速找到一对一的位置,避免出现拥挤或座位重复的情况,同时还利于售票工作的开展．第二步:将电影院的座位抽象成点,一个座位用一个点表示,并在此基础上渗透平面直角坐标系的概念．学生很快就能根据对电影院座位的直观感受及电影院座位的特点,类比推理出平面直角坐标系的基本特征．此过程,教师通过一张电影票引出座位,再引入本节课的教学主题 平面直角坐标系的概念 ,学生根据自己熟悉的生活素材,很快就能抓住本节课的重点,并对此产生直观㊁形象㊁深刻的认识,使得概念教学更加生动㊁有效．２．２辅助解题解题能力体现了学生数学综合水平与素养．类比推理是一种重要的解题方法,它能帮助学生突破思维障碍,找到解题思路,使得原本模糊的问题变得条理清晰,亦可将原本复杂的问题,变得简洁．初中阶段的数学解题涉及到的内容比较多,如几何㊁函数㊁方程等问题,均需用到类比推理法．２５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年１０月下半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀为此,笔者针对如何更好地将类比推理法应用于解题教学中,作了大量实践与研究,颇有收获．实践证明,类比推理应用于解题教学中,能有效地激活学生的思维,可为提高课堂教学效率奠定基础．案例２㊀ 二次函数 的教学二次函数 是初中阶段令不少学生头疼的一个章节,本章内容多且复杂,既是中考的重点,也是难点．中考试卷中常以综合类问题呈现,对学生知识基础与思维能力的要求比较高,历年学生的失分现象都比较严重．问题㊀在平面直角坐标系中,抛物线y ＝a x ２＋b x ＋c 过点A (－２,－４),O (０,０),B (２,０)．(１)求该抛物线的解析式;(２)若M 为该抛物线对称轴上的一点,则AM ＋O M 的最小值是多少?分析:本题的第(１)问比较容易,只要将A ,O ,B 三点坐标代入抛物线解析式,即可通过解方程获得结果．第(２)问对于学生而言有点难度,学生思维的障碍点在于求最小值的方法．因此,笔者引导学生类比之前求最短距离的问题,作对称点,根据两点间线段最短,将对称点与另一个点相连,此时与对称轴产生的交点就是所要找的点,再应用勾股定理,很快就能获得AM ＋O M 的最小值．解:(１)将A ,O ,B 三点坐标代入y ＝a x ２＋b x ＋c 中,得y ＝－１２x ２＋x ．(２)抛物线y ＝－１２x ２＋x 的对称轴是直线x ＝１,而点O ,B 关于直线x ＝１对称,因此连接A B ,与直线x ＝１相交于点M ,则M 为待求的点,此时AM ＋O M 的值最小．过点A 作A N 垂直x 轴于点N ,在R t әA B N中,由A N ＝B N ＝４,得A B ＝A N ２＋B N ２＝４２．所以O M ＋AM 的最小值是４２．随着与求最短距离问题的类比,本题的解题思路愈发清晰．若一味地从题目本身去思考,则很难突破思维障碍,从而导致解题失败．由此可见,类比推理在解题教学中具有无可替代的重要作用．作为教师,应利用好类比推理方法,将它渗透于解题过程中,启发学生的思维,培养学生的创新意识．２．３引发猜想类比猜想是指应用类比推理法,将两个数学研究对象或问题中存在的相似之处进行比较,推测出事物的基本属性,获得新的命题或方法．解题中,不论从命题的本身来说,还是从解题的思路方法来看,类比推理都能引发学生的猜想,从中获得命题的引申与推广的基本动力[２]．最常见的类比猜想有:①根据命题相似的条件,猜想结论的相似性;②根据命题相似的形式,猜想推理方法的相似性．在应用类比推理法求解问题时,应注重辅助问题的引入,辅助问题作为类比的参照,是引发猜想㊁形成解题思路的重要载体,从辅助问题上可预见到问题的答案．案例３㊀ 轴对称图形 的教学教师若从理论的角度再三强调轴对称图形的概念与性质,学生也很难从本质上掌握其内涵．而引导学生一起动手操作,则能引发学生的共鸣,很容易抽象出轴对称㊁对称轴与轴对称图形的概念．边操作,边结合理论,既能突出教学重点,又能促进学生产生知识的正迁移[３]．在了解轴对称图形的基础上,对等边三角形㊁等腰三角形㊁正方形㊁长方形㊁圆等图形的性质进行类比猜想,并通过实际操作来验证这种猜想．活动中,教师鼓励学生畅所欲言,积极参与实验与探究,在亲历图形性质的抽象过程中获得相应的结论．如此,既展现了 做中学 的教育理念,又充分展现了体验㊁发展 的教育思想．从学生感知到数学定理的形成,需经历一个类比推理㊁猜想㊁验证的过程,而每个环节无不透露出数学学科的严谨性与思维的周密性．通过活动的开展,学生亲历操作㊁推理与验证的过程,有效地培养了学生的推理能力与创新意识,同时也让学生深刻体会到数学与生活的实际关系:数学来自生活,高于生活,为生活服务．综上可知,教学中教师应结合教学内容与学情,巧妙地创设一些类比推理的机会,以推进学生思维的发展,让学生体会到数学学习带来的成就感,从而增强学习兴趣,提高学习效率．总之,类比推理作为一种历经时代考验的科学思维方法,可将旧知灵活地应用到新知中,使得学生快速熟悉并接纳新事物,尤其是面对灵活多变的数学问题,类比推理法的应用,能有效地打开学生的思维,促进学生创新意识的形成与发展．参考文献:[１]郎淑雷．类比推理:数学发现的有效方法[J ]．安庆:安庆师范学院学报(自然科学版),２００７(３):１１９Ｇ１２１．[２]曹才翰,章建跃．数学教育心理学[M ]．北京:北京师范大学出版社,２００６．[３]李小英．类比迁移对数学问题解决的研究综述[J ]．考试周刊,２０１０(８):６６Ｇ６７．Z ３５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
类比推理的三种方法
类比推理的三种方法引言类比推理是一种常见的思维方式，通过将不同事物之间的相似性进行比较，从而推理出它们之间的关系。
类比推理在日常生活和学习中都起着重要的作用，能够帮助我们更好地理解和解决问题。
本文将介绍类比推理的三种方法：形式类比、模型类比和推理类比，并对每种方法进行详细阐述。
一、形式类比形式类比是一种基于结构和关系的类比推理方法。
它通过比较事物之间的结构和组成关系，找出它们之间的相似之处，并推断它们之间可能存在的关系。
形式类比常常用于逻辑推理、数学问题和编程等领域。
形式类比的特点•重点关注事物的结构和组成关系•忽略事物的具体内容和特征•强调事物之间的相似性和规律性形式类比的应用场景•解决逻辑问题：形式类比能够帮助我们找出逻辑问题中的共性和规律，从而解决类似的问题。
•设计算法和数据结构：形式类比可以帮助程序员设计更加高效和灵活的算法和数据结构，提高程序的性能和可维护性。
二、模型类比模型类比是一种基于事物共享特征的类比推理方法。
它通过比较事物的特征和属性，找出它们之间的相似之处，并推断它们之间可能存在的关系。
模型类比常常用于科学研究、复杂系统分析和创新思维等领域。
模型类比的特点•关注事物的功能和属性•忽略事物的具体结构和关系•强调事物之间的功能和用途模型类比的应用场景•科学研究：模型类比能够帮助科学家发现事物之间的相似之处，并构建模型来解释自然现象。
•创新思维：模型类比可以激发创新思维，帮助人们从不同领域的模型中获取灵感，解决问题和提出新的观点。
三、推理类比推理类比是一种基于推理和推断的类比推理方法。
它通过比较事物之间的关系和交互方式，找出它们之间的相似之处，并推断它们之间可能存在的关系。
推理类比常常用于认知科学、人工智能和哲学等领域。
推理类比的特点•关注事物之间的关系和交互方式•通过推理和推断找出事物之间的共性和规律•强调事物之间的关联和因果关系推理类比的应用场景•认知科学：推理类比能够帮助人们了解人类认知的机制和模式，推断思维的过程和规律。
类比推理思想方法在数学教学中的运用
类比推理思想方法在数学教学中的运用作者：陈晶杜建霞来源：《山西教育·教学》2020年第01期类比推理是一种特殊的推理方法，在学习过程中，利用现有的知识解决新问题，将新知识和新问题与现有的类似知识进行比较，实现知识和方法的迁移。
应用类比思想方法教学，关键在于发现两类事物的性质，通过观察、比较与联想构建知识桥梁，实现类比推理思想方法在教学中的应用。
一、概念教学中的类比思想方法运用小学数学概念、性质、法则、定律等在学习过程中，很多是通过类比推理的思想方法进行迁移得出结论的。
例如，在教学《圆周长的概念》一课时，教材是让学生自己通过已学的长方形和正方形的周长概念推理得出：围成圆的一圈曲线的长就是圆的周长，先让学生在已学过的封闭式图形中找出规律，再借助学生的生活经验“硬币滚动一周的长度就是硬币的周长”“车轮滚动一周所行的路程就是车轮的周长”，大胆地猜测圆的周长与直径之间的联系。
学生通过这个推理集体计算数据验证，让学生以小组为单位，可以用绳子量或者滚动圆圈的轨迹等方法，都能得到一个圆的周长，每种圆的周长与它相对应的直径求出商，学生很容易看出圆的周长是直径的3倍多一些，从而引出圆周率。
为了计算简便，在计算过程中取其两位小数，最终得出结论：圆的周长=圆周率×直径（2个半径）。
这样通过语言描述结合学生熟悉的生活事例类比，学生很容易理解周长的概念。
又如，在教学《圆的面积》一课时，学生通过已有的学习经验：数方格、平移、割补、转化等学习方法，结合本节课的学习内容，类比迁移得出：怎样将圆转化成已经学过的平面图形？教学圆柱体的侧面积时，先引导学生动手操作，观察圆柱体侧面展开是一个什么形状，然后将圆柱体的侧面展开，将曲面转化成平面，会得到一个长方形（正方形），再让学生类比长方形的长和宽与圆柱体相对应部位的關系，得到长方形的长相等于圆柱的底面周长，长方形的宽相等于圆柱的高。
通过这样的类比推理，加深了学生对公式的理解，轻松地记住了公式，也把知识点贯穿起来了。
【数学】1.1.2 类比推理 课件(北师大版选修2-2)
它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
3
试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
(1) a=ba+c=b+c;
猜想不等式的性质：
(1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc;
(3) a=ba2=b2;等等。
(2) a＞b ac＞bc;
(3) a＞ba2＞b2;等等。
对象也具有这些特征的推理称为类比推理
（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比 数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的 推理是「自然奧妙的参与者」和自己「最好 引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类 的老师」 比问题.”
6
类比推理的特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的 事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.
单位元
a+0=a
通过例1，练习1你能得到类比推理的一般模式吗？
类比推理的一般模式:
A类事物具有性质a,b,c,d,
B类事物具有性质a’,b’,c’,
(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同） 所以B类事物可能具有性质d .
’
11
例2 类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出 空间中四面体性质的猜想．
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或 一致性）； ⑵ 用一类对象的性质去推测另一类对象的性质， 从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。
类比推理的一般步骤:
小学数学教材中的类比推理及教学策略-精品文档
小学数学教材中的类比推理及教学策略类比是合情推理的一种思维形式，是由两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似，从而推出它们在另一属性上也有相同或相似的一种推理方法。
其逻辑形式如下：因为A对象具有属性a、b、c、d，B对象具有属性a、b、c，所以B对象也可能具有属性d。
它是由特殊到特殊的推理方法，是一种较为简单的、注重形式的推理形式。
类比是数学家G?波利亚十分推崇的一种重要数学思想方法。
他认为：在我们的思维、日常谈话、一般结论以及艺术表演方法和最高科学成就中无不充满了类比。
纵观小学数学教材，类比推理有着广泛运用。
如何进行类比推理的教学，促进学生推理能力的发展呢？本文依托小学数学教学中的相关实例，结合自己的教学实践，谈一些看法。
一、小学数学教材中的类比推理分类举隅小学数学教材关注了类比思想方法的渗透与应用，其中有许多内容都是培养学生类比推理能力的好材料。
下面针对教材中类比推理的相关内容进行分类说明。
1.外部形式上的类比：由外而内的发现当两类思考对象在形式上存在相似之处时，学生往往会将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去，完成从形式到形式的类比推理，从而发现和探索出新数学对象的性质。
苏教版数学五年级下册“等式的性质”分两部分进行教学，首先是在认识了方程的意义后，通过在平衡的天平两端各加上或减去相同克数砝码的操作，让学生发现天平仍然保持平衡，从中归纳出“等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式”这一性质。
有了这样的认知基础，学生对“同时加上或减去同一个数”与“同时乘或除以同一个数”就有一个外在形式上的类比，进而主动地形成“等式两边同时乘或除以同一个数，所得结果也仍然是等式”这一猜想，然后教师可以启发学生继续通过天平实验来证实猜想，最终得出等式的另一半性质。
再如苏教版数学三年级下册教材练习五中出现了“连减、连除的性质”的相关习题，教材首先让学生在计算中对比感悟、发现连减的规律，在学生掌握并运用连减性质进行简便计算的基础上，又引入了连除的计算，学生此时面对这样外在形式极其相似的计算，会容易与连减计算进行类比推理，大胆猜测连除也具有类似的性质，教师可以通过提问引发学生的类比推理猜想，然后让学生通过举例计算验证猜想得出一般性结论。
类比推理解题技巧--横竖比较法
类比推理解题技巧--横竖比较法类比推理是公务员行测考试当中比较容易拿分的题型，大多数考生都可以做到比较高的正确率。
因此对于这种题型，高正确率仅仅只是一个基本要求，而更重要的是要将解题速度提高上去。
考生可以将类比推理题型上节省下来的时间，用在其他较难或者需要更多时间解题的题型上，比如资料分析和数学运算题型，从而提高整个行测的分数。
在类比推理中采用横竖比较法，可以大大简化解题思路，提高解题效率，在考场上争取到宝贵的时间。
横竖比较法主要由横向比较和竖向比较两个部分组成。
经验分享：虽然自己在这帖子里给大家发了很多感慨，但我更想跟大家说的是自己在整个公务员考试的过程中的经验的以及自己能够成功的考上的捷径。
首先就是自己的阅读速度比别人的快考试过程中的优势自然不必说，平时的学习效率才是关键，其实很多人不是真的不会做，90%的人都是时间不够用，要是给足够的时间，估计很多人能够做出大部分的题。
公务员考试这种选人的方式第一就是考解决问题的能力，第二就是考思维，第三考决策力（包括轻重缓急的决策）。
非常多的人输就输在时间上，我是特别注重效率的。
第一，复习过程中绝对的高效率，各种资料习题都要涉及多遍；第二，答题高效率，包括读题速度和答题速度都高效。
我复习过程中，阅读和背诵的能力非常强，读一份一万字的资料，一般人可能要二十分钟，我只需要两分钟左右，读的次数多，记住自然快很多。
包括做题也一样，读题和读材料的速度也很快，一般一份试卷，读题的时间一般人可能要花掉二十几分钟，我统计过，我最多不超过3分钟，这样就比别人多出20几分钟，这在考试中是非常不得了的。
论坛有个帖子专门介绍速读的，叫做“得速读者得行测”，我就是看了这个才接触了速读，也因为速读，才获得了笔试的好成绩。
其实，不只是行测，速读对申论的帮助更大，特别是那些密密麻麻的资料，看见都让人晕倒。
学了速读之后，感觉有再多的书都不怕了。
而且，速读对思维和材料组织的能力都大有提高，个人总结，拥有这个技能，基本上成功一半，剩下的就是靠自己学多少的问题了。
行测类比推理技巧：横纵比较
⾏测类⽐推理技巧：横纵⽐较 公务员⾏测考试主要是考量⼤家的数学推理能⼒和逻辑分析能⼒，下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“⾏测类⽐推理技巧：横纵⽐较”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！ ⾏测类⽐推理技巧：横纵⽐较 在公务员的考试⾏测中，类⽐推理的考察较为常⻅，⽽且整体上来说类⽐推理的题⺫难度并不是特别⼤，阅读压⼒也很⼩，是考⽣们⼗分愿意去做的题型。
但是随着历年考试的变化，我们发现考试当中对于类⽐推理的考查变得越来越复杂化，词语之间的关系也不是那么的⼀⺫了然，考⽣也会对很多题⺫选项的选取纠结万分，为了帮助各位考⽣缓解燃眉之急，今天就给⼤家带来“热腾腾”的干货技巧，帮助⼤家解决类⽐推理题⺫。
其实很多考⽣对于有些复杂的类⽐推理⽆从下⼿，根本原因是⼤家没有⼀个很好的做题习惯，或者说是做题顺序，很多考⽣做题可能⼀上来就从词性⼊⼿去排除选项，这样的思路是很有问题的，很容易误选，所以今天⼩编重点和⼤家聊⼀聊做这种题⺫时的解题顺序。
解题顺序-先横后纵 什么叫做先横后纵，其实很简单，就是先横向去⽐较词项间的关系，如果横向确定不出正确答案，我们再纵向对⽐筛选答案。
此外，纵向对⽐我们可以从词性，感情⾊彩和事物特征三个⾓度去进⾏分析。
先来看⼀道例题。
团扇：⽻⽑扇：舞蹈扇 A.宣纸：餐⼱纸：铜版纸 B.圈椅：实⽊椅：办公椅 C.排球：⽻⽑球：乒乓球 D.墨镜：⽼花镜：显微镜 【解析】B。
这道题⺫横向间的关系其实还是很简单的，团扇，⽻⽑扇，和舞蹈扇都属于扇⼦，但是如果只考虑这⼀关系的话，四个选项也都符合！答案选不出来，所以我们还要再去考虑⼀下更为细微的关系，虽然团扇，⽻⽑扇，和舞蹈扇都属于扇⼦，但是它们的命名⽅式确是不同的，团扇是根据形状命名，⽻⽑扇是根据材料命名，舞蹈扇是根据功能命名。
那我们再纵向通过以上的规律去对⽐排除错误选项。
A，宣纸，餐⼱纸，铜版纸分别是根据产地、功能、硬度来命名的，与题干关系不⼀致。
类比推理题实用解题方法
类比推理题实用解题方法：方法一、排除法题干是两个词或三个词相对，需要先确定题干中词与词之间的关系，再根据确定的关系选择答案。
如果关系明确，可以直接排除其他答案，选出正确答案。
但是如果关系不是单一关系，比较模糊，我们就可以采取选项排除法，通过判断选项中哪组词关系与题干关系是不相近，甚至是相悖、相反的来进行排除，从而选出最优答案。
例题1：树根：根雕A.陶土：瓷器B.纸张：剪纸C.水泥：砚台D.竹子：竹排【解析】树根与根雕是原材料与成品的关系，可以排除掉C项。
再比对选项与题干关系的匹配度，陶土需要加工烧制成为瓷器，纸张经过裁剪成为剪纸艺术品，竹子捆绑成为竹排。
题干树根经过雕刻成为根雕艺术品。
原材料发生的是形状上的改变，因此可排除A、D，选出最合适的答案B。
方法二、代入法代入法主要适用于题干类型是填空式的题目中，因为题干是缺少对应关系的，确定不了关系，需要把选项依次代入题干，找对当关系选择正确答案。
例题2：寡对于相当于利对于A.孤弊B.少害C. 众钝D.多益【解析】根据题干所给信息，我们找不到对当关系。
把选项代入题干，A项寡与孤是相近的，而利与弊是相反的，不对当，排除。
B项同样，寡与少，利与害也不对当。
代入C项，寡与众是相对的，利与钝也是相对的，关系对当一样。
D项，寡与多是相对的，利与益是相近的。
通过代入，我们可以得出C是正确答案。
因此，填空式的题目需要用代入法将选项一一代入题干互相比较，从中选出最优选项。
方法三、造句法造句法是一些考生自己做题时比较喜欢用的一种方法，其实这种方法有其合理之处也有不科学的地方，因为不同的人会用相同的词造出不一样的句子，主观性比较强。
但是如何让它能更科学地帮助选择答案呢?那就要学会用词造句，造的句子要能确定两者之间的固定关系，这样才能帮助我们选择答案。
因此我们可以用正造和反造的原则，确定两者之间关系。
它非常适合应用于两词之间的关系非常微妙的情况下。
例题3：抽样调查：抽样原则A.调查问卷：征求意见B.人物访谈：访谈内容C.数学模型：建模软件D.设备操作：操作规程【解析】我们可以通过造句子“抽样调查按照抽样原则进行，抽样原则是抽样调查必须遵循的准则”，适合这个句式的是D项：“设备操作按照操作规程进行，操作规程是设备操作必须遵循的准则”来直接选出D。
有理数负整数类比推理
有理数负整数类比推理有理数是由整数和分数共同组成的数，其中，分数分为正分数和负分数，整数也是可以分为正整数和负整数。
在数学的学习中，常常会用到有理数的负整数类比推理，这也是数学中的基础推理方法之一。
因此，在本文中，我们将详细讲述有理数的负整数类比推理。
一、有理数的定义在讲解有理数的负整数类比推理之前，我们首先需要了解有理数的定义。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，其中，分母不能为0。
而且，由于整数也可以表示为分母为1的分数，因此可以将整数看作是有理数的一种特殊情况。
有理数可以分为正数和负数。
其中，正数表示大于0的数，负数表示小于0的数。
在数轴上，正数位于0的右侧，负数位于0的左侧。
二、负整数的定义在数学中，负整数是指带有负号的整数，例如：-1、-2、-3…等等。
和正整数不同的是，负整数不是大于0的数，而是小于0的数。
在数轴上，负整数位于0的左侧，而且负整数的绝对值越大，则数轴上距离0的距离越远。
例如-2比-1距离0更远。
负数与正数的比较也同样适用于负整数与正整数的比较。
例如-3小于0，-2小于-1，-1小于1，1小于2.三、有理数的负整数类比推理有理数的负整数类比推理，是通过了解一个已有的负整数的性质，来判断另一个负整数的性质的一种推理方法。
也就是说，我们可以通过对已知的负整数进行观察和推理，从而推断出其他负整数的性质和规律。
在有理数的负整数类比推理中，最基本的方法就是使用数轴进行推理。
因为数轴能够将所有的数展现出来，并清晰地表示数值的相对大小。
以数集{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}为例，它是由正负整数组成的一个数集。
假设现在我们已经知道-3是负整数中的一个数，那么通过“类比推理”，我们可以得出以下结论：1. -3是负整数，因此大于-3的所有负整数也都是负整数。
例如-2是一个负整数，因此我们可以推得-2也是负整数。
2. 在已知负整数-3和推得负整数-2的情况下，我们可以推出-3和-2之间的负整数也都是负整数。
高中数学中常用的类比推理
高中数学中常用的类比推理《新课程标准数学科高考考试大纲》在选修1-2中，明确要求“能利用归纳和类比等进行简单的推理”。
类比是一种思维形式，是根据两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似，进而推得它们在另一属性上相同或相似的一种推理方法。
类比是人们对客观事物思维的能动反映，它为科学假设和猜想提供思维模式，因此，类比成为人们发现真理的动力。
物理学家开普勒说过：“我珍爱类比胜于一切，它是我可信赖的主人，它了解自然的所有秘密……”类比推理的形式如下：对象A具有属性a，b，c，d；对象B具有属性a，b，c；所以对象B具有属性d.这里的A，B可以是不同领域的两种事物，只要有某种类似。
由此可知，类比是逻辑推理方法中最富于创造性的一种方法，因为类比法不必像归纳法那样局限于同类事物，更不像演绎法那样受到一般原理的制约。
下面就高中数学类比推理的几种类型举例说明。
一、函数与方程型例1.（2001年上海高考题）已知两个圆x2+y2=1①与x2+（y-3）2=1②，则由①减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即得一个更一般的命题，而已知命题是所推广命题的一个特例，推广的命题为。
解：由对称性知，两圆半径相等，而圆心位置不同时才有对称轴方程，所以可填：已知两圆（x-a）2+（y-b）2=R2和（x-c）2+（y-d）2=R2（a≠c或b≠d），则此两方程相减可得这两个圆的对称轴方程。
二、等差数列与等比数列型请看下表：■等差数列和等比数列的内容有明显的类似性，它们的对应命题之间存在着有趣的对应规律：等差数列各公式中的加、减、乘、除，正好分别对应着等比数列中的乘、除、乘方、开方。
例 2.（选修1-2）在等差数列{an}中，若a10=0，则有：a1+a2+…+an=a1+a2+…a19-n（n解：在等差数列{an}中，由a10=0得，a1+a19=a2+a18=…=an+a20-n=an+1+a19-n=2a10=0所以，a1+a2+…+a19=19a10=0即a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1又a1=-a19，a2=-a18，…，a19-n=-an+1a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n相应地，在等比数列{bn}中，由b9=1得，b1・b17=b2・b16=…=bn・b18-n=bn+1・b17-n=b29=1所以，b1・b2…b17=b917=1类比等差数列有b1・b2…bn=■・b16…bn+1=■・■…■=b1・b2…b17-n例3.若数列{an}是等差数列，则数列{bn}：bn=（a1+a2+…+a2n+1）/（2n+1）也是等差数列，类比上述性质，相应地，若数列{an}是等比数列，则数列{bn}：bn= 也是等比数列。
类比推理在数学解题中的“六类”
．BCBD图2 AO类比推理在数学解题中的“六类”著名数学家波利亚曾指出：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似”类比是从已经解决的问题和已经获得的知识出发，提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移，它是由特殊到特殊的推理．类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征、明确的类比关系，所以运用类比的关键是确定类比对象，而确定类比对象的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象．不能让类比仅仅停留在叙述方法或结构形式等外层表象上，还需要对数学结论的运算变形、思想方法、思维策略、推理过程等深入层面寻求内在关联，开展多角度、全方位的类比探析活动．由于类比推理的逻辑根据是不充分的，带有或然性，具有猜测性，不一定可靠，不能作为一种严格的数学方法，因此还须经过严格的逻辑论证，才能确认其猜测结论的正确性．本文由问题出发，从定义生成类比、属性关系类比、降维减元类比、结构形式类比、思想方法类比、无限有限类比等六个不同角度层面，针对如何进行类比推理，做些分类探究解析的有益尝试，培养学生运用类比进行合情推理的能力． 一、定义生成类比问题1：若定义集合A 与B 的运算：A B?{,x B x A B }挝锨或且x x A ,试写出()哪A B A 成立的等式．探究：一个抽象的集合问题，利用已有的集合知识，借助于韦恩图，通过类比问题，进行探索，可发现一些含有新定义集合运算关系的等式．若记A B C ?，如图1中阴影部分所示，则类比得C A{x x C ,x A x C A }?挝锨或且＝B ，所以A B A B 哪（）＝．问题2：试指出三角形在空间的类比探究：上，两条直线不能围成一个有限的封闭图形，然而三条直线可以围成一个三角形；在空间里三个平面不能围成一个有限的封闭几何体，然而四个平面可以围成一个四面体．因此，四面体可以看成三角形在空间的类比．例如：由三角形的三条内角平分线相交于一点，这就是三角形内切圆的圆心，即生成内心.我们类比猜测：四面体的六个内二面角的平分面也相交于一点，而且这就是四面体内切球的球心，即不妨也称之为生成内心（如图2）同样地可否类比猜测：四面体的生成外心、垂心、重心等等． ②、从直接生成的角度去考虑，棱锥可以看成三角形在空间的类比，如果三角形可以看成将线段（所在直线）外的一点与DABCAB图3CE D线段上的各点用线段相连所生成的平面图形，那么棱锥就可以看成将多边形（所在平面）外的一点与多边形上各点用线段相连所生成的空间图形．（如图3）． 二、属性关系类比问题3：过双曲线2222x y 1a b-=(a 0,b 0)>>的右焦点F （c ，0）的直线交双曲线于M 、N 两点，交y 轴于P 点，设PM MF,PN NF =l =m u u r u u r u u r u u r （如图4），则l +m 为定值222a b．试写出关于椭圆的相似结论，并加以证明．探究：探索圆锥曲线中的定值问题，可考虑特殊位置，利用特殊方法进行投石问路，找到定值．对于双曲线，当该直线过原点这个特殊位置时，直线与x 轴重合，则点P(0,0)，M(a,0)-,N(a,0),PM (a,0),PN (a,0)=-=u u r u u r ,MF (c a,0)=+u u r,NF (c a,0)=-u u r ,由题设可得a (c a)a (c a)ì-=l +ïïíï=m -ïî，其中222c a b -=.于是a a c a c a l +m=-+=+-222222a 2a c a b=-（定值）．由于椭圆与双曲线有很多相类似的属性关系，因此，可类比双曲线的这一结论以及获得的这个定值的特殊方法，寻找其中变与不变的规律．同理，对于椭圆也得到l +m=222222a 2a c a b=--（定值），其中222a cb -=．关于椭圆的相似结论：过椭圆2222x y1a b+=(a b 0)>>的右焦点F(c,0)的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于P 点，设PM MF,PN NF =l =m u u r u u r u u r u u r （如图5）.则l +m 为定值222a b-．现用一般方法给出严格证明如下：设此直线方程为y k(x c)=-（斜率k 存在），则点P(0,kc)-．设两交点1122M (x ,y ),N (x ,y )，得1111P M (x ,yk c ),M F (c x ,y )=+=--u uru ur，由P M M F =l uu r uu r 得1111x (c x )y kc y ì=l -ïïíï+=-l ïî，11x c x \l =-．同理：22m=-x c x ，则1212x x c x c x l +m=+--121221212c (x x )2xx c c (x x )xx +-=-++ ①，由2222y k(x c)x y 1ab ì=-ïïïíï+=ïïîABC C 1 A 1B 1D 1图6O ABC 1A 1B 1O图7消去y ,整理得22222222222(a k +b )x 2a k cx a k c a b 0-+-=，当0D >时，由韦达定理得22122222a k cx x a k b +=+，2222212222a k c ab x x a k b -=+将此两式代入①得2222222222222222222222222222a k c 2(a k c a b )c a k b a k b 2a k c a k c a b c c a k b a k b -?++l +m=--?++222222a b (c a )b=-222a b =-（定值），得证． 三、降维减元类比问题4：在四面体ABCD 内部有一点O ，使得AO 、BO 、CO 、DO 与 四面体的四个面BCD 、CDA 、DAB 、ABC 分别交于1111A B C D 、、、 四点，且满足1111AO BO CO DOk A O B O C O D O====（如图6），试求k 的可能值．探究：在三维空间，立体几何中的四面体，可以降到二维或一维空间，与平面几何中的三角形类比，四面体的面可以与三角形的边类比，对应地，体积与面积类比，面积与线段长类比等．于是，原问题经降维减元类比可以从“在三角形内部有一点O ，使得直线AO 、BO 、CO 与三角形的三条边BC 、CA 、AB 分别交于111A B C 、、三点，且满足111AO BO COk A O B O C O===（如图7）．试求k 的可能值．”的推理过程探求解题途径．在平面几何中，因为同底三角形的面积比为对应的高之比，等于相似比，所以ABC 11OBC 111S A A AO A O AO 1k 1S A O A O A O +===+=+V V ，ABC 1OCA 1S B Bk 1S B O==+V V ，ABC 1OAB 1S C Ck 1S C O==+V V ，于是A B CO B CO C A 3S (k 1)(S S S)=+++V V VV ．得3k 1=+，故k 2=．根据上述利用面积关系求解思路推理的启发，在空间四面体中，可转化为利用体积关系进行类比来推理．在四面体中，因为同底四面体的体积比为对应的高之比，等于相似比，所以ABCD 11OBCD 111V A A AO A O AO k 1V A O A O A O +====+，ABCD 1OCDA 1V B Bk 1V B O==+，ABCD 1ODAB 1V C C k 1V C O ==+，ABCD 1OABC 1V D Dk 1V D O==+，于是ABCD OBCD OCDA ODAB OABC 4V (k 1)(V V V V )=++++，得4k 1=+，故k 3=．四、结构形式类比问题5：任给7个实数x k (k=1,2,3,…,7),能否求证其中有两个实数x i 、x j ,满足不等式i ji jx x 01x x -＃+． 探究：此问题若从待证不等式出发，转化为不等式组求证，容易陷入复杂的分类与讨论之中，即第一类讨论任给7个实数中有某两个实数相等，结论显然成立；第二类讨论7个实数互不相等，则难以下手．但经过联想观察可发现：i j i jx x 1x x -+与两角差的正切公式()tan tan tan 1tan tan a -ba -b =+a b在结构形式上极为相似．因此，可以作适当的代换k k x tan =a （k＝1,2,3…,7），与正切公式()i j tan a -ai j i jtan tan 1tan tan a -a =+a a 作类比问题探究．令k k x tan =a （k＝1,2,3…,7），k ,22骣p p ÷ça ?÷ç÷ç桫.则原问题转化为求证：其中存在两个实数i j ,,22骣p p ÷ça a ?÷ç÷ç桫，满足ij 0tan()3 -a是否成立．注意到tan00=，tan 63p =，正切函数y tanx =在,22骣p p ÷ç-÷ç÷ç桫上是递增函数，故将区间,22骣p p ÷ç-÷ç÷ç桫等分成6个子区间,23纟p p çú--ççúèû，,36纟p pçú--ççúèû，,06纟p çú-ççúèû，0,6纟p çúççúèû，,63纟p p çúççúèû，,32骣p p ÷ç÷ç÷ç桫，由抽屉原理知，7个实数k a 中必有2个实数i j ,a a （不妨设i j a 砤）同属于某一个子区间内，而又因为每一个子区间的长度均为6p，则ij 06p-a，因此，其中存在两个实数i j ,,22骣p p ÷ça a ?÷ç÷ç桫，满足ij 0tan() -a成立．五、思想方法类比问题6：先阅读下列不等式的证法.再解决后面的问题：若12a ,a R Î，12a a 1+=，则22121a a 2+． 证明：构造函数2212f(x)(x a )(x a )=-+-． 因为对一切x R Î，恒有f(x)0³，即2221212f (x )2x 2(a a)x aa =-+++222122x 2x a a 0=-++ 对一切x R Î恒成立．所以221248(a a )0D =-+ ，从而得22121a a 2+． 现若12n a ,a ,,a R 鬃孜，12n a a a 1++鬃?=，请写出上述结论的推广，并加以证明．探究：由于函数与不等式有着深刻的内在联系，研究不等式通常需用函数的性质作为工具．已知这个不等式的证法是构造函数的方法，利用二次函数的性质并结合判别式，实现函数与不等式的转化思想.现在只是从二元()12a ,a 推广到n 元()12n a ,a ,,a 鬃 的情形，所以结论的推广和证明完全可以类比上述构造二次函数，与不等式转化的思想方法获得解决． 结论推广：若12n a ,a ,,a R 鬃孜 ，12n a a a 1++鬃?= ，则22212n 1a a a n++鬃? ． 证明：构造函数22212n f(x)(x a )(x a )(x a )=-+-+鬃?-222212n 12n nx 2(a a a )x a a a =-++鬃?+++鬃?222212n nx 2x a a a =-+++鬃? 因为对一切x R Î，恒有f(x)0³，所以22212n 44n(a a a )0D =-++鬃? ，从而证得：22212n 1a a a n++鬃? ． 六、无限有限类比 问题7：试求2n 11n¥=å. 探究：在不能运用极限方法求无限和的时候，我们可以通过无限和与有限和进行类比，寻找求解思路.设2n 次代数方程24n 2n012n a a x a x (1)a x 0-+-鬃?-=①有2n 个不同的根1122n n c ,c ,c ,c ,,c ,c --鬃?，则24n2n012n a a x a x (1)a x -+-鬃?-=222022212nx x x a (1)(1)(1)c c c --鬃?，比较等式两边2x 的系数得：n102k 1k1a a c ==å②，已知函数sinx 的展开式357x x x s i n xx 3!5!7!=-+-+鬃 ，且方程sinx 0=有无穷多个根为0,,2,3,眕眕眕鬃 ，它们也是无穷次方程357x x x x 03!5!7!-+-+鬃? 的根，则方程246x x x 103!5!7!-+-+鬃?③有无穷多个根为,2,3,眕眕眕鬃 ．上面的方程③左边有无穷多项，它并非代数方程，但把它当作方程①看待，运用②式进行无限与有限的类比．246sinx x x x 1x 3!5!7!=-+-+鬃?Q22222222x x x x (1)(1)(1)(1)(2)(3)(n )---鬃?鬃p p p p ，2222111113!(2)(3)(n )\=+++鬃?+鬃 p p p p ，从而有2222211116123n p =+++鬃?鬃 ，故22n 11n 6¥=p =å．由于这一结论建立在无限与有限类比之上，因此它只是一个大胆的猜想，为了验证这一猜想的可靠性，我们是可以运用复数的棣莫佛定理给予严格证明的（限于篇幅，证明从略）．总之，形神兼备的类比，其基本模式是：若A对象具有属性a、b、c、d，且B对象具有属性a、b、c，猜想：B对象具有属性d。
小学奥数第11讲 类比法解题
第十一讲类比法解题一、课程引入类比法是运用类比推理解答问题的一种方法。
类比推理是根据两个对象有一部分属性相类似，从而推出这两个对象的其它属性也可能相类似的一种推理方法。
类比推理是富于创造性的一种思维方法，在小学数学中有着广泛的应用。
二、基本理论理论点1类比推理是根据两个对象有一部分属性相类似，从而推出这两个对象的其它属性也可能相类似的一种推理方法。
理论点2类比推理是富于创造性的一种思维方法，在小学数学中有着广泛的应用。
三、例题精析【例题1】【题干】1、从时针指向3点整开始，经过多少分钟，分针正好与时针重合？【答案】18/11分钟【解析】此题与追及问题相类似。
如果把钟面上1分钟的距离作为1格，则1小时分针走60格，时针走5格。
那么分针走1格，经过多少时间分针与时针重合，实质上就是要解决多少时间分针追上时针的问题。
【例题2】【题干】A、B、C、D、E、F、G7个站，每两站间都是相隔600米。
问从A站到G站的路程是多少米？【答案】600×（7-1）=3600（米）【解析】不能简单回答从A站到G站的路程是600×7=4200（米）。
此题与在不是封闭的线路上要求两端都要植树的问题相类似，把7个站看成7棵树，根据段数比棵树少1的道理解答此题。
【例题3】【题干】王老师为学校购买音乐器材。
他带去的钱可以买10台手风琴或50把提琴，如果他买了6台手风琴后，把剩下的钱全部买提琴，可以买多少把提琴？【答案】20【解析】题中没有给出王老师带了多少钱，以及提琴和手风琴的单价等条件，怎么能算出剩下的钱可以买多少把提琴呢？可是仔细一想，便可发现此题与工程问题相似。
四、随堂练习【基础】1.一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，现由甲先做若干天后，乙接着做，共做10天完成。
问甲做多少天？【答案】解：(1-1/12x10)÷（1/8-1/12)=4(天）【巩固】1.从时针指向4点开始，再经过多少分钟、时针正好与分针重合？【答案】解：指向4点时，时针和分针实际相差角度为4×30-0=120度可以当做行程问题，分针每分走360÷12÷5=6度，时针每分走30÷60=0.5度速度差为6-0.5=5.5度，120÷5.5=240/11分钟，在经过240/11分重合【拔高】1.在实验一校五年制小学各年级都参加的书法比赛中，四年级与五年级共有18人获奖，在全校获奖中有16人不是四年级的，有14个人不是五年级的，那么该校书法比赛获奖的总人数为多少人？【答案】解：（18+16+14）÷2=48÷2=24（人）五、分层作业【基础】1.从时针指向5点开始，再经过多少分钟、时针正好与分针重合？【答案】解：时针指向5点时，与分针的夹角=5×30=150度，时针每分钟走1/2度，分针每分钟走6度，150÷（6-1/2）=300/11分钟，在经过300/11分钟，时针正好与分针重合【巩固】1.小晶每天下午6点回家吃晚饭，一天她妈妈从6点钟开始等，一直等到时针与分针第二次成直角时，小晶才回家，那么小晶是几点钟回家的？【答案】解：分针60分钟走完360°，每分钟走6°时针60分钟走完30°，每分钟走0.5°六点时，分针落后时针180°（此处以分针为时间单位）那么分针追上时针的时间=180°÷（6°-0.5°）=360/11（分）这段时间成过一次直角第二次成直角所需时间=90°÷（6°-0.5°）=180/11（分）360/11+180/11=540/11=49又1/11（分）所以小晶是6点49又1/11分回家的【拔高】1.龟兔进行10000米赛跑，兔子的速度是龟的速度的5倍，当它们从起点一起出发后，龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时，龟已经领先它5000米，兔子奋起直追，但龟到达终点时，兔子仍落后100米，那么兔子睡觉期间龟跑了多少米？【答案】解：兔子一共跑了：10000-100=9900米，在此期间，乌龟能跑：9900÷5=1980米，兔子睡觉的时候，乌龟跑了：10000-1980=8020米六、课程小结通过本次的学习，我们了解到在解决数学问题是灵活运用类比法，比如，遇到问题A和问题B有许多类似的属性，见到问题B时就会联想到问题A，于是可以用解决问题A的办法去解决问题B，或者用解决问题B的办法去解决问题A。
高中数学类比推理
类比推理
【知识点的认识】
1．类比推理：根据两个（或两类）对象在一些属性上相同或相似，从而推出它们在其他属性上也相同或相似的推理形式．
2．类比推理的形式：
3．特点：类比推理是一种主观的不充分的似真推理，要确认猜想的正确性，需经过严格的逻辑论证．一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，则类比得出的命题就越可靠．
【解题技巧点拨】
类比推理的步骤：
（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；
（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
例：请用类比推理完成下表：
解：本题由已知前两组类比可得到如下信息：
①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；
②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；
③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；
④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；
⑤三角形的面积公式中的“二分之一”，与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象．由以上分析可知：
故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一．【命题方向】
一般以选择题、填空题的形式出现，是高考的重要内容．常见题型有：
（1）升级类比：平面到空间的类比；
（2）同级类比：圆锥曲线之间的类比；
（3）运算类比：等差与等比的类比．。
小学数学类比推理法的应用
2018·09类比推理法是一种重要的、使用得很普遍的数学思想方法，不仅可以帮助学生很好地解决课堂上的问题，同时也能培养学生的创造性思维。
在数学课堂上合理地使用类比推理法，可以让学生学得轻松，教师教得愉快。
文章就数学课堂上类比推理法的应用做出探究。
摘要关键词小学数学；思想方法；类比推理法小学数学类比推理法的应用肖捷（福州市宁化小学，福建福州350001）在现今的教学中，不仅要重视数学知识的形成过程，还要努力挖掘数学知识的发生、形成和发展过程中蕴藏的数学思想方法，让学生掌握并学会使用数学的思想和方法，领悟数学的本质，体会数学的魅力。
数学的思想方法有很多，其中类比推理法就是一种重要的、使用得很普遍的思想方法。
数学家拉普拉斯曾经说过：“在数学的王国里，发现真理的主要工具就是归纳和类比。
”类比思想的渗透对于学生的知识迁移、建构系统、培养学生的创造能力有着至关重要的作用。
因此，在教学中，可运用类比推理法去探究新知，总结规律；去激发创新思维，培养解决问题的能力；去建构知识网络，让知识更加系统化。
一、类比推理法在小学数学知识中的典型应用纵观小学阶段的各学段与各领域，可以发现类比推理思想方法的渗透主要是在数与代数，空间与图形这两大领域中。
且在第一学段相对渗透的比较少，多是在第二学段进行渗透。
因为第二学段，很多知识点的逻辑性更强，必须运用一定的推理才能得出结论。
此时，教师就可以根据不同的教材内容，鼓励学生根据知识间的联系进行大胆地猜想，给他们充分的动手操作、验证的时间和空间，让他们在观察、猜想、实验、验证等活动中，发展合情推理能力，培养创造力。
如第一学段“数与代数”内容中，学习“除数是两位数的除法（三下）”，可以借助除数是一位数除法的竖式计算类比推理出除数是两位数的竖式计算；学习“简单的小数加减法（三下）”，借助整数的竖式计算类比出小数的竖式计算。
第二学段“数与代数”内容中，学习“亿以内数的认识（四上）”，可以根据个级的读写法，类比推理出万级和亿级的读写法；根据万以内数比较大小类比推理出亿以内比较大小的方法；学习“笔算乘法（四上）”，可以借助两位数乘两位数类比出三位数乘两位数竖式计算和算理；学习“小数的大小比较（四下）”小数部分的比较类比整数的大小比较，注意有所区别，小数不是位数越多就越大，这点和整数大小比较有不同；学习“小数的加法和减法（四下）”，可以借助整数的简便计算类比出小数的简便计算；学习“小数乘法（五上）”，可以借助整数乘法的计算法则类比出小数乘法的计算法则。
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数学类比推理方法作者：林中虎来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2007年第04期类比推理在人们认识和改造客观世界的活动中具有重要意义．它能触类旁通，启发思考，不仅是解决日常生活中大量问题的基础，而且是进行科学研究和发明创造的有力工具．在人类悠久的发展史上，类比推理方法(下文简称为“类推法”)被誉为科学活动中“伟大的引路人”、“人类认知的核心”．与之相对应的，《普通高中数学课程标准》(实验)把培养学生的类比推理能力作为主要的能力培养目标之一．并且近年来高考试卷中也频频出现了类比思维的问题．笔者在查阅相关文献后，将对类推法的相关知识及其在高中数学中的运用进行述评，以供研讨．1 类推法的含义类比推理是人的抽象逻辑思维的一种主要形式．从形式逻辑的角度米看，类比推理就是根据两个(或两类)对象在某些属性上相同或相似，而且已知其中的一个(或一类)对象还只有其他特定属性，从而推出另一个(或另一类)对象也具有该特定属性为结论的推理．这种解决问题的方法即为类推法．它的逻辑形式可以表示为：对象A具有属性a、b、c、d；对象B具有属性a、b、c，所以对象B也具有属性d．而类推法的结构从简单地讲，主要由本象和类象(或者来源和目标)两个部分组成．类推法的过程也可用下列框图(如图1)表示如下：2 类推法的特征2。
1 或然性图1类比推理是不同于演绎，也不同于归纳的一种独立的推理形式．理由有二：其一，在思维运动的方向上，演绎推理的前提蕴涵结论，其思维过程是从一般到特殊、个别；归纳推理的前提并不必然蕴涵结论，其思维过程是从个别、特殊过渡到一般．类比推理由已知的相似点推出未知的可能的相似点，其思维过程是从特殊过渡到特殊．其二，在推理形式和要求上，演绎推理获得真实结论的条件是前提真实和推理形式正确，归纳推理结论的可靠性程度完全建立在枚举事例的数量上，而类比推理的结论是否可靠，主要是根据被类比的两个对象的相似属性的多少，相似属性愈多，则结论愈可靠．波利亚(G．Polya)提出，类比推理是归纳推理的基础．而演绎推理则是类比推理进一步发展的结果．由此亦可见，类比推理缺乏逻辑上的严格性和充足的理由，而带有假定和猜测的色彩．因此，它所推出的结论就带有或然性，可能是真的，也可能是假的．2。
2 相似性无论在我们的学习与生活中，还是在各个学科领域中，甚至在自然界中都处处充满着相似性，存在着大量的类比．正如列宁所说：“自然界的统一性显示在关于各种自然现象领域的微分方程式的惊人的类似中”．莱布尼茨(G．W．Leibniz)也指出：“我们必须使自己习惯于进行区分，即对两个或两个以上极其相似的事物，立即找出它们之间的所有差别．”‘我们必须使自己习惯于进行类比，即对两个或两个以上极其不同的事物，找出它们的相似点”．2。
3 探索性和预测性在演绎、归纳、类比这三种推理方法中，类推法推出的结论可靠程度也许最低，但往往却是最富于创造性的方法．因为运用类推法的时候，研究对象的范围内没有相应的一般原理，因而不受现成的原理的约束．相反，它可以提出种种可能的新原理，供人们去探索和检验．同时，由于类推法适用范围广，可以把看起来差别很大的两类事物联系起来，提出种种设想，这就人大有利于人们发挥思维的创造能力，获得新的启发、新的思想，从而发现新的原理．也正因为类推法具有科学探索和科学预见性的特征，其在科学研究中显得越来越重要．可见，类推法正是由于其猜测和想象，才会探索和预见到更多的科学发现．3 类推法在数学发展中的作用概述类推法在科学发展史上占有极其重要的作用．如鲁班通过类推法发明了锯子；以及近代的库仑定律的发现和验证、麦克斯韦电磁场理论、牛顿的万有引力理论以及元素周期表的建立与补充等等均是类比推理的产物．数学上的不少重大发现也是由类比推理提供线索而获得的，例如著名数学家欧拉(Euler)运用类推法获得非零自然数平方的倒数和为π26，而且用同样的方法发现了莱布尼兹级数的和，即1-13+15-17+19+…+(-1)n+112n-1+…=π4。
另外费马大定理和费马小定理的类比猜想，哥德巴赫猜想，非欧几何的诞生与发展等等，无不闪烁着类推法的光辉．对于类推法在数学发展中的作用，受到了许多数学家、数学教育家以及其他名人的盛赞．如波利亚在《数学与猜想》(第一卷)中，着重论述了数学中的“归纳与类比”．他运用一般化、特殊化和类比的协同，证明了毕达哥拉斯定理，并且指出：“不论是初等数学、高等数学的发现，或者在任何别的学科中的发现，恐怕都不能没有这些过程，特别是不能没有类比”，波利亚还认为，类比推论看来是最普通的一种推论，并且可能是最主要的一种，……，类比在一切发现中都有作用，而且在某些发现中有它最大的作用．德国哲学家康德(Kant)说：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进．”拉普拉斯(Laplace)曾指出：“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比．”诸如此类的赞誉之词不绝与耳．4 发挥类推法的积极作用，促进高中数学的教与学由于类推法在培养学生的解决问题能力与创新能力、加深对客观世界认识等方面有着无以伦比的独特作用，因此在高中数学教学中积极发挥类推法灼正向作用便成为大势所趋．已故数学家陈省身教授指出：“一个好的数学家与一个蹩脚的数学家，差别在于前者有很多具体的例子而后者只有抽象的理论”．鉴于此，以下将结合具体的例题来加以说明．4．1 引导学生运用类推法，建立起有效的、简约的认知结构在现今高中数学知识中，各知识点有着密切的联系，例如高中的数列知识与函数知识之间、等差数列与等比数列之间、几何中的二维与二维的之间、概率与集合之间，等等．均存在着简单的或相似的类比关系．于是把握住它们之间的关系，建立起良好的、合理的认知结构对高中学生学习的顺利开展以及知识的正确建构就至关重要了．例1 在由平面几何中的圆内接三角形以正三角形的面积为最大；圆内接四边形以正方形的面积为最大．然后运用类推法可提出一系列的立体几何中的例题和问题．如(1) 在圆柱的内接三棱柱中以内接正三棱柱的体积最大；(2)在球的内接四面体中，以内接正四面休的体积最大；(3)在球的内接长方体中，以内接正方体的体积最大；(4)球的内接圆柱中，以内接等边圆柱的侧面积最大；当然还可以类推出更多的相关命题．这样的教学过程，就是教师启发、引导学生应用类推法提出问题、解决问题的过程，也是让学生自己探究问题的过程，更是学生学会科学的看待问题、掌握方法的过程，当然也是对所涉及的知识点深入剖析、理清脉络的认知过程．在此过程中培养了学生的发散思维、收敛思维和创造思维．4．2 利用类推法构造相似问题，拓宽解题思路某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，凭借结构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决．4．3 利用类推法简化问题，培养思维的灵活性简化类比，就是将原命题类比到比原命题简单的类似命题，通过类比命题的解决思路和方法的启发，寻求原命题解决思路与方法．比如可先将高次问题类比到低次问题，普遍问题类比为特殊问题等，这样可以沟通数学知识、数学方法之间的联系，激活学生的思维，有利于培养学生思维的灵活性．例3 平面上有n个圆，每两个圆都相交于两点，每三个圆都不相交于同一点，这n个圆把平面分成多少部分?分析：问题比较难考虑，那么我们先来看一个比较简单的问题：平面上任意n条直线，每两条直线都相交，每三条直线都不共点，这n条直线把平面分成多少部分?一条直线分平面为两部分；第二条直线被第一条直线分成两段，增加了两部分；则两条直线分平面为四部分；第三条直线被前两条直线分成三段，增加了三部分，则三条直线分平面为七部分;…，即，2+2+3+…，猜想：已有k-1条直线，再增加一条，它就被前k-1条直线分成k 段，增加了k部分，所以n条直线分平面为：2+2+3+…+n=n2+n+22个部分．从这个问题的分析中我们归纳出一种思考方法，那就是考虑后一条直线被前k-1条直线分成k段，增加了k部分．对于圆是否也可以这样考虑：一个圆分平面为两部分；第二个圆被第一个圆分成两段弧，增加了两部分，则两个圆分平面为四部分；第三个圆被前两个圆分成四段弧，增加了四部分，则三个圆分平面为八部分；…，即，2+2(2-1)+2(3-1)+…，猜想：已有k-1个圆，再增加一个，它就被前k-1个圆分成2(k-1)段弧，增加了2(k-1)部分，所以n个圆分平面为：2+2(2-1)+2(3-1)+…+2(n-1)=n2-n+2个部分．(证明略)。
4．4 利用类推法进行引证，破除定势顽疾建构主义学习观认为：学生的错误不能单纯依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，而必须是一个“自我否定”的过程，在数学问题中有的错误具有较强的隐蔽性，需要认真发掘错误的根源．而运用类推法有时识误更加鲜明且积极有效，使学生通过“内在的否定”纠正自己的错误，真正地理解，达到认识的升华。
分析：对于这种情况，如果应用基本不等式求最值时必须满足的三个条件“正、定、等”中的“定”加以说明．仍有很多同学没有真正理解其中的错误．但笔者认为用下面的类推法也许更能说明问题．经过与同学们的交流，绝大多数同学比授课时更加深入地理解其中的错因．综上可见，在高中数学教学中，我们教师不但要善于利用类比，而且要有意识地对学生进行类比训练，促使学生在生活和社会实践中对遇到的问题能进行类比推理，找出解决问题的办法．这样不仅能拓展其思维的领域，而且有助于发展学生的创造性思维和能力．当然，正如文所述，类推法有时也是一把“双刃剑”，但只要我们在运用类推法时，周密思考，不要牵强附会，对在解题的行动序列中出现类比的负迁移作用保持高度的警惕，我们就能够促使问题解决获得“圆满成功”．参考文献1 普通高中数学课程标准(实验)［M］．北京：人民教育出版社，20032 唐慧琳，刘昌．类比推理的影响因素及脑生理基础研究［J］．心理科学进展，2004（12）3 王亚同．认知心理学关于类比推理的研究［J］．青海师范大学学报(哲学社会科学版)，1991（1）4 波利亚．李心灿等译．数学与猜想(一、二卷)［M］．北京：科学出版社，1984“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。