热传导方程抛物型偏微分方程和基本知识
热传导方程抛物型偏微分方程和基本知识
热传导⽅程抛物型偏微分⽅程和基本知识1. 热传导的基本概念1.1温度场⼀物体或系统内部，只要各点存在温度差，热就可以从⾼温点向低温点传导，即产⽣热流。
因此物体或系统内的温度分布情况决定着由热传导⽅式引起的传热速率（导热速率）。
温度场：在任⼀瞬间，物体或系统内各点的温度分布总和。
因此，温度场内任⼀点的温度为该点位置和时间的函数。
〖说明〗若温度场内各点的温度随时间变化，此温度场为⾮稳态温度场，对应于⾮稳态的导热状态。
若温度场内各点的温度不随时间变化，此温度场为稳态温度场，对应于稳态的导热状态。
若物体内的温度仅沿⼀个坐标⽅向发⽣变化，且不随时间变化，此温度场为⼀维稳态温度场。
1.2 等温⾯在同⼀时刻，具有相同温度的各点组成的⾯称为等温⾯。
因为在空间同⼀点不可能同时有两个不同的温度，所以温度不同的等温⾯不会相交。
1.3 温度梯度从任⼀点起沿等温⾯移动，温度⽆变化，故⽆热量传递；⽽沿和等温⾯相交的任⼀⽅向移动，温度发⽣变化，即有热量传递。
温度随距离的变化程度沿法向最⼤。
温度梯度：相邻两等温⾯间温差△t与其距离△n之⽐的极限。
〖说明〗温度梯度为向量，其正⽅向为温度增加的⽅向，与传热⽅向相反。
稳定的⼀维温度场，温度梯度可表⽰为：grad t = dt/dx2. 热传导的基本定律——傅⽴叶定律物体或系统内导热速率的产⽣，是由于存在温度梯度的结果，且热流⽅向和温度降低的⽅向⼀致，即与负的温度梯度⽅向⼀致，后者称为温度降度。
傅⽴叶定律是⽤以确定在物体各点存在温度差时，因热传导⽽产⽣的导热速率⼤⼩的定律。
定义：通过等温⾯导热速率，与其等温⾯的⾯积及温度梯度成正⽐：q = dQ/ds = -λ·dT/dX式中：q 是热通量（热流密度），W/m2dQ是导热速率，WdS是等温表⾯的⾯积，m2λ是⽐例系数，称为导热系数，W/m·℃dT / dX 为垂直与等温⾯⽅向的温度梯度“－”表⽰热流⽅向与温度梯度⽅向相反3. 导热系数将傅⽴叶定律整理，得导热系数定义式：λ= q/(dT/dX)物理意义：导热系数在数值上等于单位温度梯度下的热通量。
偏微分方程重点知识点总结
偏微分方程重点知识点总结一、偏微分方程的基本概念1. 偏导数偏微分方程是指含有多个自变量的函数的偏导数的方程。
在一元函数中，我们只需要考虑函数关于一个自变量的变化率，而在多元函数中，我们需要考虑函数关于每一个自变量的变化率，这就是偏导数的概念。
假设有一个函数f(x, y)，它对x的偏导数记作∂f/∂x，对y的偏导数记作∂f/∂y。
分别表示函数f关于x和y的变化率。
2. 偏微分方程的定义偏微分方程是一类包含多个自变量的偏导数的方程。
它通常表示物理、化学或工程问题中的一些基本规律。
偏微分方程通常可以用数学语言描述为F(x, y, u, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2,…) = 0其中u是未知函数，x和y是自变量，F是已知函数。
二、偏微分方程的分类1. 齐次偏微分方程和非齐次偏微分方程齐次偏微分方程是指方程中不含有常数项或只含有未知函数及其偏导数项的方程，非齐次偏微分方程是指方程中含有常数项或者其他函数的项的方程。
2. 线性偏微分方程和非线性偏微分方程线性偏微分方程是指偏微分方程中未知函数及其各阶偏导数只含一次且不含未知函数的乘积的方程，非线性偏微分方程是指未知函数及其各阶偏导数含有未知函数的乘积的方程。
3. 定解问题定解问题是指在偏微分方程中，给出一些附加条件，使得可以从整个解的集合中找到符合这些条件的特定解。
定解问题通常包括边界条件和初始条件。
三、偏微分方程的解法1. 分离变量法分离变量法是对于一些特定形式的偏微分方程，可以通过假设解具有特定的形式来进行求解。
例如，对于一些可以分离变量的方程，我们可以假设解为u(x, y) = X(x)Y(y)，然后将方程进行变形，从而可以将偏微分方程化简为两个常微分方程，然后对这两个常微分方程分别求解。
2. 特征线法对于二阶线性偏微分方程，可以通过引入特征线的方法进行求解。
特征线方法可以将二阶偏微分方程化为两个一阶偏微分方程，然后对这两个一阶偏微分方程进行分别求解。
高等数学中的偏微分方程
高等数学中的偏微分方程在高等数学领域中，偏微分方程是一个重要的研究对象。
它是通过对函数的偏导数进行求解得到的方程，常常被用来描述自然界中的一些现象和非线性动态系统。
本文将介绍偏微分方程的基本概念、分类、解的方法以及在实际应用中的一些例子。
一、基本概念偏微分方程是包含多个未知函数的方程，其中函数的偏导数是方程的基本构成部分。
偏微分方程通常用来描述物理、生物、经济等领域中的问题，在不同的领域中有着不同的应用。
二、分类根据方程中出现的未知函数的个数和偏导数的阶数，偏微分方程可以分为几个主要类型：椭圆型偏微分方程、双曲型偏微分方程和抛物型偏微分方程。
具体的分类方法可以根据方程的形式和性质进行。
1. 椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程的特点是方程中出现的未知函数的二阶偏导数的系数均不为零，通常用来描述稳态问题和静电场分布等现象。
2. 双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程的特点是方程中出现的未知函数的二阶偏导数的系数满足双曲性条件，通常用来描述波动、传播等动态问题。
3. 抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程的特点是方程中出现的未知函数的二阶偏导数的系数满足抛物性条件，通常用来描述热传导和扩散等问题。
三、解的方法求解偏微分方程通常是一个复杂的问题，不同类型的方程需要采用不同的方法进行求解。
下面介绍几种常用的解的方法。
1. 分离变量法分离变量法适用于一些特殊的偏微分方程，可以将多元函数的偏导数分离为几个单变量函数的常微分方程，通过求解这些常微分方程得到原方程的解。
2. 特征线法特征线法适用于一些双曲型偏微分方程，可以通过选取合适的坐标系和变换将方程化为常微分方程，进而求解得到解的形式。
3. 变换方法变换方法是一种常用的解偏微分方程的技巧，可以通过适当的变量代换将原方程转化为更简单的形式，然后进一步求解。
四、实际应用偏微分方程在实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 热传导方程热传导方程是抛物型偏微分方程的一种，在描述热传导过程中起着重要的作用。
大学数学易考知识点偏微分方程的基本理论和解法
大学数学易考知识点偏微分方程的基本理论和解法大学数学易考知识点：偏微分方程的基本理论和解法一、引言数学作为一门基础学科，广泛应用于各行各业。
在大学数学课程中，偏微分方程是一个重要的知识点。
本文将介绍偏微分方程的基本理论和解法，帮助大家更好地掌握这一知识点。
二、偏微分方程的基本概念1. 偏微分方程的定义偏微分方程是含有未知函数及其偏导数的方程。
它与常微分方程不同之处在于，偏微分方程中的未知函数不仅依赖于自变量，还依赖于各个自变量的偏导数。
2. 偏微分方程的分类偏微分方程根据方程中出现的未知函数的偏导数的阶数和个数，可以分为常系数偏微分方程和变系数偏微分方程；根据方程类型，可以分为椭圆型、双曲型和抛物型等不同类型的方程。
三、偏微分方程的基本理论1. 解的存在性和唯一性对于线性偏微分方程，满足一定的初值条件和边值条件时，解的存在性和唯一性可以得到保证。
这一结论对于求解实际问题具有重要的意义。
2. 偏微分方程的解的性质偏微分方程解的性质包括可微性、连续性以及一定的物理意义。
解的性质可以通过数学推导和物理分析得到。
四、偏微分方程的解法1. 常系数偏微分方程的解法常系数偏微分方程包括常系数线性偏微分方程和常系数非线性偏微分方程。
对于常系数线性偏微分方程，可以使用特征线法、分离变量法等方法求解；对于常系数非线性偏微分方程，可以使用变量分离法等方法求解。
2. 变系数偏微分方程的解法对于变系数偏微分方程，一般的解法是利用变换法将其转化为常系数偏微分方程。
常用的变换方法包括相似变量法、积分因子法等。
五、应用实例1. 热传导方程的求解热传导方程是一个典型的偏微分方程，描述了物体内部温度随时间和空间的变化规律。
采用分离变量法或者变量分离法可以求解该方程，从而得到物体内部的温度分布。
2. 波动方程的求解波动方程描述了波动现象的传播规律。
通过变量分离法或者特征线法可以求解波动方程，得到波动的传播速度和波形。
六、总结通过对偏微分方程的基本理论和解法的介绍，我们可以看到偏微分方程是数学中一个重要且广泛应用的知识点。
数学的偏微分方程基础
数学的偏微分方程基础偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是描述物理、工程和数学问题中变量与它们的偏导数之间关系的方程。
偏微分方程在科学研究和工程实践中具有广泛应用，涉及物理学、生物学、工程学等诸多领域。
本文将介绍偏微分方程的基础知识、分类和解法。
一、基础知识1. 偏导数在介绍偏微分方程之前，我们首先需要了解偏导数的概念。
偏导数衡量了一个函数在某一变量上的变化率，但只考虑其他变量固定。
对于函数f(x, y)，其关于x的偏导数表示为∂f/∂x，关于y的偏导数表示为∂f/∂y。
2. 偏微分方程偏微分方程是包含未知函数的偏导数的方程。
通常用u表示未知函数，其中u的自变量可以是多个变量，如u(x, y) 或 u(x, y, t)。
常见的偏微分方程类型有椭圆型、双曲型和抛物型。
二、分类1. 椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程中，二阶导数的符号一致。
典型的椭圆型方程是拉普拉斯方程（Laplace's Equation），它描述了平衡状态下的物理系统。
2. 双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程中，相对于时间t的一阶和二阶导数的符号相反。
经典的双曲型方程是波动方程（Wave Equation），它描述了波的传播和反射现象。
3. 抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程中，时间t的一阶导数与空间变量的二阶导数具有相同的符号。
常见的抛物型方程是热传导方程（Heat Equation），它描述了物质的热传导现象。
三、解法1. 分离变量法分离变量法是求解偏微分方程的一种常用方法。
该方法基于假设解可以分解为多个单独变量的乘积形式，然后通过将方程两边分离各个变量并进行积分来求解。
2. 特征线法特征线法适用于双曲型偏微分方程。
通过寻找曲线（称为特征线），使得偏微分方程在沿特征线的方向上退化为常微分方程，从而简化求解过程。
3. 变换方法变换方法将原始的偏微分方程转换为另一个更容易求解的形式。
偏微分方程的基本概念与分类
偏微分方程的基本概念与分类偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是描述自然现象中变量之间关系的数学方程。
与常微分方程（Ordinary Differential Equation，简称ODE）不同，PDE中的未知函数包括多个自变量。
偏微分方程在物理、工程、经济学等科学领域中起着重要的作用。
本文将介绍偏微分方程的基本概念与分类。
一、基本概念1. 偏导数（Partial Derivative）：偏导数是指一个多元函数对其中某一个自变量的导数。
对于函数f(x1, x2, ..., xn)，它的第i个自变量xi的偏导数表示为∂f/∂xi。
2. 偏微分方程（Partial Differential Equation）：偏微分方程是包含偏导数的方程，它的解是由未知函数和它的偏导数组成。
一般形式为F(x1, x2, ..., xn, u, ∂u/∂x1, ∂u/∂x2, ..., ∂u/∂xn) = 0，其中u表示未知函数，∂u/∂xi表示偏导数。
3. 解的阶数（Order of Solution）：偏微分方程解的阶数是指解中包含的最高阶导数的阶数。
阶数决定了方程解的光滑程度。
二、分类偏微分方程按照数学形式、物理意义、解的性质等多种方式进行分类。
以下是常见的几种分类方式：1. 分类一：线性与非线性线性偏微分方程满足叠加原理，其解的线性组合仍然是方程的解。
常见的线性偏微分方程有波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程等。
非线性偏微分方程则不满足叠加原理，其解的性质更加复杂。
2. 分类二：齐次与非齐次齐次偏微分方程中，方程的右侧项为零。
齐次方程的解中，只包含满足方程的线性组合。
非齐次方程则包含了右侧项对应的特解。
非齐次方程的解是齐次解与特解的和。
3. 分类三：椭圆型、双曲型和抛物型椭圆型偏微分方程的典型代表是拉普拉斯方程，它描述了稳态情况下的物理问题。
双曲型方程的典型代表是波动方程，描述了弦上的振动等动态问题。
偏微分方程原理
偏微分方程原理一、偏微分方程的基本概念偏微分方程是数学中研究函数和其偏导数之间关系的方程。
这些方程在许多科学领域，如物理学、工程学、经济学等都有广泛的应用。
偏微分方程通常包含未知函数及其偏导数，通过这些偏导数来描述未知函数的行为。
二、偏微分方程的分类根据方程的形式和性质，偏微分方程可以分为以下几类：1.椭圆型方程：如拉普拉斯方程和泊松方程，这类方程在物理和工程中经常出现。
2.双曲型方程：如热传导方程和波动方程，这类方程在研究自然现象中变化过程的动态特性时常用。
3.抛物型方程：如热方程，这类方程描述的是随时间变化的过程。
4.线性偏微分方程：如常微分方程，这类方程在许多领域都有应用。
三、偏微分方程的解法偏微分方程的解法通常包括分离变量法、有限差分法、有限元法等。
这些方法可以根据问题的具体情况选择合适的解法。
四、偏微分方程的应用偏微分方程在许多领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。
例如，在物理学中，偏微分方程可以用来描述物体的运动规律；在工程学中，偏微分方程可以用来描述流体的运动规律；在经济学中，偏微分方程可以用来描述市场的动态变化。
五、偏微分方程的数值解法由于偏微分方程的求解通常涉及到复杂的数学运算和物理现象，因此在实际应用中，我们通常使用数值方法来求解偏微分方程。
这些数值方法包括有限差分法、有限元法、谱方法等。
这些方法可以将偏微分方程转化为计算机可以处理的数值问题，从而得到近似解。
六、偏微分方程的稳定性稳定性是偏微分方程的一个重要性质，它描述了当时间或空间参数发生变化时，解的变化情况。
如果解随时间或空间的变化而稳定，那么我们可以认为该解是稳定的。
如果解随时间或空间的变化而发散或产生振荡，那么我们可以认为该解是不稳定的。
稳定性问题在偏微分方程的研究和应用中具有重要意义。
七、偏微分方程的对称性和守恒律对称性和守恒律是偏微分方程的另一个重要性质。
对称性描述了偏微分方程在某种变换下的不变性；守恒律描述了偏微分方程在时间或空间上的总量保持不变的性质。
pde 方程
pde 方程抛物型偏微分方程及其应用引言：偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是数学中的一个重要分支，它描述了自然界中的许多现象和规律。
本文将重点介绍一类常见的PDE方程——抛物型偏微分方程，以及它在物理、工程等领域中的应用。
一、抛物型偏微分方程的定义和特点抛物型偏微分方程是指具有一阶时间导数和二阶或更高阶空间导数的偏微分方程。
其一般形式可以表示为：∂u/∂t = a∂²u/∂x² + bu + c其中，u代表未知函数，t和x分别表示时间和空间变量，a、b和c 为常数。
抛物型偏微分方程具有以下特点：1. 方程中包含时间导数，因此描述的是随时间变化的系统或现象。
2. 方程中包含二阶或更高阶空间导数，因此描述的是具有扩散、传导等特性的系统或现象。
3. 方程中的系数a、b和c可以是常数，也可以是与时间和空间变量有关的函数。
二、抛物型偏微分方程的应用抛物型偏微分方程在物理、工程等领域中具有广泛的应用。
以下是其中几个典型的应用：1. 热传导方程热传导方程是抛物型偏微分方程的一个重要应用。
它描述了物体内部的温度分布随时间的变化规律。
热传导方程在热学、材料科学等领域中有广泛的应用，如研究材料的热稳定性、热传导性能等。
2. 扩散方程扩散方程也是抛物型偏微分方程的一种应用。
它描述了物质在空间中的扩散过程，如溶质在溶液中的扩散、气体的扩散等。
扩散方程在化学反应、生物学、环境工程等领域中有重要的应用价值。
3. 粘弹性流体方程粘弹性流体方程是一类描述粘弹性流体流动行为的抛物型偏微分方程。
它在流体力学、工程领域中有广泛的应用，如石油工程中的油藏模拟、地下水流动模拟等。
4. 扩散反应方程扩散反应方程是描述物质在扩散和反应过程中的变化规律的抛物型偏微分方程。
它在化学动力学、生物学等领域中有重要的应用，如描述化学反应速率、生物体内物质传输等。
三、抛物型偏微分方程的数值解法由于抛物型偏微分方程的解析解往往难以求得，因此需要采用数值方法进行求解。
微分方程基本分类
微分方程基本分类微分方程是数学中重要的一门分支，广泛应用于自然科学、工程技术和社会科学等领域。
微分方程可以描述变量之间的关系，通过研究微分方程的分类和求解方法，我们能够深入理解各种自然现象和工程问题，为实际应用提供有力的支撑。
本文将介绍微分方程的基本分类，包括常微分方程和偏微分方程两大类。
一、常微分方程常微分方程是指只涉及一个独立变量和其导数的微分方程。
常微分方程常用于描述一维系统的动力学行为。
根据方程中的变量类型和阶数，常微分方程又可分为以下几类。
1. 一阶常微分方程一阶常微分方程是指方程中的最高阶导数为一阶的微分方程。
常见的一阶常微分方程有线性微分方程、分离变量型微分方程和恰当微分方程等。
线性微分方程可以表示为dy/dx+f(x)y=g(x)，其中f(x)和g(x)是已知函数。
分离变量型微分方程可以表示为dy/dx=f(x)g(y)，通过将dy/g(y)=f(x)dx两边积分来求解。
恰当微分方程可以化为M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的形式，并通过判断M(x,y)和N(x,y)的偏导数是否相等来确定是否是恰当微分方程。
2. 二阶常微分方程二阶常微分方程是指方程中的最高阶导数为二阶的微分方程。
常见的二阶常微分方程有线性齐次微分方程、线性非齐次微分方程和常系数高阶线性微分方程等。
线性齐次微分方程可以表示为d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=0，其中p(x)和q(x)是已知函数。
线性齐次微分方程的求解可以通过特征方程和特解的叠加原理来实现。
线性非齐次微分方程是在线性齐次微分方程的基础上添加了一个非齐次项，求解时需要先求出齐次解，再找到一个特解来满足方程。
常系数高阶线性微分方程是指方程中的系数是常数，可以通过特征方程的根的性质来求解。
二、偏微分方程偏微分方程是指涉及多个独立变量和它们的偏导数的微分方程。
偏微分方程常用于描述多维系统的动力学行为，应用广泛且复杂。
根据方程中的变量类型和方程性质，偏微分方程可分为以下几类。
数学中的偏微分方程
数学中的偏微分方程数学是一门抽象而又深刻的学科，它在自然科学、工程学和社会科学等领域中发挥着重要的作用。
数学中的偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是研究数学模型中变量与它们的偏导数之间关系的方程。
它们在物理学、生物学、经济学等各个领域中都有广泛的应用。
1. 偏微分方程的基本概念和分类偏微分方程是描述多个变量之间相互依赖关系的数学方程。
它包含了未知函数及其偏导数，不同类型的偏微分方程有不同的特点和求解方法。
根据方程中未知函数的偏导数的阶数，偏微分方程可分为一阶、二阶、三阶等不同阶数的方程。
根据方程中未知函数出现的变量的个数，偏微分方程可分为单变量偏微分方程和多变量偏微分方程。
2. 常见的偏微分方程及其应用领域偏微分方程在各个领域中都有重要的应用。
以下是一些常见的偏微分方程及其应用领域的简要介绍：(1) 抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程是描述热传导、扩散等问题的方程。
它在物理学中有广泛的应用，比如热传导方程、扩散方程等。
它们描述了物质的温度、浓度等在空间和时间上的变化。
(2) 椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程是描述平衡态下的稳定性分布和最优化问题的方程。
它们在物理学、力学、电磁学等领域中有广泛的应用，比如拉普拉斯方程、泊松方程等。
(3) 双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程是描述波动、振动等问题的方程。
它们在物理学、电磁学、声学等领域中有广泛的应用，比如波动方程、运输方程等。
(4) 广义的偏微分方程广义的偏微分方程是包含多个未知函数及其偏导数的方程。
它们在控制理论、经济学、生物学等领域中有重要的应用，比如哈密尔顿-雅可比方程、富里埃方程等。
3. 偏微分方程的数学理论与求解方法偏微分方程的求解是数学的重要问题之一。
根据偏微分方程的类型和性质，可以采用不同的求解方法。
常见的求解方法包括分离变量法、变量替换法、特征线法、变分法和数值方法等。
数值方法是解决大规模偏微分方程的常用方法之一，它基于离散化的思想，将偏微分方程转化为代数方程组，然后使用计算机进行求解。
抛物型偏微分方程
抛物型偏微分方程
抛物型偏微分方程（Parabolic Partial Differential Equations，PDEs）是用抛物型方程来描述对一定问题的变化情况，是应用在偏微分方程中的一种重要类型。
它主要用于分析多变量运动、热传导、电磁学、流体动力学以及拓扑和分析联系的数学领域。
抛物型偏微分方程的特点是具有拐点结构，能够描述变量的静态分布形状。
抛物型PDEs的主要形式包括了2维抛物型方程、抛物型系统、常微分方程和无限维抛物型方程等。
由于抛物型方程有自身特定的形式，因此，它能够提供运动流体以及物理传播环境中变量以及流体扰动的完整物理解释。
抛物型偏微分方程具有清晰的语义，能够实现更精确、更准确地处理分析问题。
其中抛物型PDEs的主要实现方式包括有限差分、动力学定义以及自然边界限制等。
这些方法允许抛物型偏微分方程的轻松现实，使得结果更加精确准确。
此外，抛物型偏微分方程还可以有效解决多变量流体动力学和热传导这类
PDEs中非线性性质及问题的复杂性。
抛物型PDEs可以提供用精确的计算方法，
对外动性、内热、变形以及扰动变量的运动特性发挥重要作用。
综上所述，抛物型偏微分方程是处理多变量运动和热传导这类复杂情景的有效分析方法之一。
它拥有清晰的语义，有效减少了模型的复杂性，能够有效的实现不线性、多变量动力学运动和热传导问题的分析。
偏微分方程期末复习笔记
《偏微分方程》期末考试复习一、颠簸方程（双曲型方程） u tt a 2u xxf ( x, t)（一）初值问题（柯西问题）utta 2u xx f ( x, t)1、一维情况 u t 0(x)u t t 0( x)（ 1）解法（流传波法） ：由叠加原理 ，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，u tta 2u xx 0u tta 2u xx f (x,t )（ I ） u t 0( x)（Ⅱ） u t0 ut t 0( x)ut t 0此中，问题（ I ）的解由 达朗贝尔公式 给出：( x at )( x at )1u( x,t )22au( x, t)t由齐次化原理 ，问题（Ⅱ）的解为：W ( x, t; )dWtta 2W xx此中， W ( x, y, z,t ; ) 是下述初值问题的解：W t 0，W t tf ( x, )x at ( )dx at利用达朗贝尔公式得W ( x, t; )1x a (t ) f ( , )d2a进而问题（Ⅱ）的解为：x a ( t)1t x a (t )u( x, t)f ( , )d d 2a 0 x a( t)综上所述，原初值问题的解为：( x at )(x at )1x at 1u( x, t)2a( )d2x at2at x a(t ) f ( , )d d0 x a (t)（ 2）依靠区间、决定地区、影响地区、特点线：①依靠区间：点 (x , t)的依靠区间为： [x-at , x+at ];②决定地区：区间 [ x 1 , x 2 ] 的决定地区为： {( x,t)| x 1 at x x 2 at }③影响地区：区间[ x1 , x2 ] 的影响地区为：{( x,t)| x1at xx2at④特点线：x x0at（ 3）解的考证：见课本P10, P14u tt a 2 (u xx u yy u zz ) f (x, y, z, t)2、三维情况u t0( x, y, z)u t t0( x, y, z)（1）解法（球面均匀法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，utt a2 (u xx u yy u zz) 0utt a2 (u xx u yy（ I）u t 0( x, y, z)（Ⅱ） u t00ut t 0(x, y, z)ut t 00此中，问题（I）的解由泊松公式给出：u( x, y, z, t)1dS1t 4 a2t S M 4 a2 t S Mat att由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：u( x, y, z,t)W ( x, y, z,t ; )dW tt a2 (W xx W yy W zz )此中， W ( x, y, z,t ; ) 是下述初值问题的解：W t0W t t f (x, y, z, )利用泊松公式得1 f ( , ,, )W ( x, y, z, t; )rdS4 a S M r a (t )a ( t )进而问题（Ⅱ）的解为：}u zz ) f (x, y, z, t)dS，1f ( , ,,t r )u( x, y, z, t)a dV4a2r at r综上所述，原初值问题的解为：111f ( ,, ,t r )u( x, y, z, t )dS dS adV224 a2r t 4 a t S M 4 a t S M r atat at（ 2）依靠区间、决定地区、影响地区、特点锥、惠更斯原理（无后效现象）：①依靠地区（球面）：点 ( x0 , y0 , z0 ,t ) 的依靠地区为( x x)2( y y)2( z z )2a2t2 ；0000②决定地区（锥体）：球面 ( x x0 )2( y y0 )2(z z0 ) 2a2 t02决定地区为：(x x0 ) 2( y y0 ) 2( z z0 )2a2 (t0t) 2(t t0 ) ；③影响地区（锥面）：点 ( x0 , y0 , z0 ,0)的影响地区为：(x x0 ) 2( y y0 ) 2(z z0 )2a2t 2(t0)④特点锥： ( x x0 )2( y y0 )2( z z0 )2a2 (t0t )2惠更斯原理（无后效现象）见课本P35（ 3）解的考证：见课本P29, P32u tt a2 (u xx u yy ) f ( x, y, t)3、二维情况u t 0(x, y)u t t 0( x, y)（1）解法（降维法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，u tt a2 (u xx u yy ) 0（ I）u t0( x, y)u t t0(x, y)u tt a2 (u xx u yy ) f ( x, y,t )（Ⅱ） u t00u t t00此中，问题（I）的解由二维泊松公式给出：1(,)d du( x, y, t)222 a t at (at)(x)(y)2M Mu( x, y,t)t由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：W ( x, y,t ;W tt a2 (W xx W yy )此中， W ( x, y,t;) 是下述初值问题的解：W t0Wt t f (x, y, )( , )d d (at) 2(x) 2(y)2)d，1 利用泊松公式得 W ( x, y, t; )2 a进而问题（Ⅱ）的解为：f ( , , tr )ad dr r 2(x)2 (y)2Mr a (t)1atu( x, y, t )22 aM rf ( , ,tr )ad dr 2 (x) 2 (y) 2r a( t)综上所述，原初值问题的解为：u( x, y,t )1( ,)d d2 atM 2(x)22at( at )(y) 1atf (, ,t r )ad d2 a2 02 22M r(x)(y)rr a (t )（ 2）依靠区间、决定地区、影响地区、特点锥、后效现象：①依靠地区（圆饼） ：点 ( x 0 , y 0 , t) 的依靠地区为( , )d d22at (at )x) 2M( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 a 2 t 02 ；②决定地区（锥体） ：圆饼 ( xx 0 )2 ( y y 0 )2 a 2t 02 决定地区为： (xx 0 ) 2 ( yy 0 )2 a 2 (t t 0 ) 2 (t t 0 ) ；③影响地区（锥体） ：点 ( x 0 , y 0 ,0) 的影响地区为：(x x 0 ) 2 ( y y 0 )2 a 2t 2 (t 0)④特点锥： ( xx 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 a 2 (t 0 t )2后效现象见课本 P35、 36（ 3）解的考证：课本没有，有兴趣的童鞋自己着手饱食暖衣。
抛物型偏微分方程
抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程（Parabolic Partial Differential Equation）是数学分析中重要的一个分支，研究对象主要是关于时间和空间变量的二阶偏微分方程。
在物理、工程和经济等领域中，抛物型偏微分方程有着广泛的应用，比如热传导方程、扩散方程和波动方程等。
1. 定义和形式抛物型偏微分方程是指对于函数 u(x, t) 存在连续二阶偏导数，并满足形式如下的方程：∂u/∂t = a∇²u + bu + f(x, t)其中，a 是常数，∇²u 是 u 关于空间变量 x 的拉普拉斯算子，b 是各项异性系数，f(x, t) 是给定的源项函数。
该方程描述了函数 u 关于时间t 的演化过程，与空间变量 x 的变化有关，反映了物理现象在时间和空间上的动态发展。
2. 物理意义和应用抛物型偏微分方程在物理学领域中有着重要的应用。
其中，热传导方程是抛物型偏微分方程的典型例子，描述了物质内部温度分布随时间变化的规律。
热传导方程在热力学、材料科学和地球物理学等领域中具有广泛的应用，例如预测地球内部热流、分析塑料注塑过程中温度分布等。
此外，扩散方程也是抛物型偏微分方程的重要应用之一。
扩散过程描述了物质在空间中传播的方式，常用于研究化学反应、人口扩散和金融市场中的价格传播等问题。
波动方程则描述了波在空间中传播的规律，例如声波、电磁波和水波等。
3. 解法和数值模拟抛物型偏微分方程的解法可以通过变量分离、变换等方法获得解析解。
然而，在实际问题中，解析解往往难以求得，需要借助数值方法进行近似计算。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
有限差分法将方程离散化为差分格式，通过迭代求解差分方程组得到数值解。
有限元法则将求解区域划分为有限单元，通过构建矩阵方程来求解问题的数值解。
此外，谱方法基于傅里叶级数展开，通过选择适当的基函数将方程转化为代数方程组求解。
谱方法在高精度计算和边界层问题的处理上有一定优势。
数学物理方程复习
数学物理方程复习一．三类方程及定解问题（一）方程1.波动方程（双曲型）Utt = a2Uxx+f; 0<x<l,t>0U(0,t)= Φ1（t）;U(l,t)= Φ2（t）;U(x,0)= Ψ1（x）;Ut (x,0)=Ψ2（x）。
2.热传导方程（抛物型）Ut = a2Uxx+f; 0<x<l,t>0U(0,t)= Φ1（t）;U(l,t)= Φ2（t）;U(x,0)= Ψ1（x）.3.稳态方程（椭圆型）Uxx +Uyy=f; 0<x<a;0<y<b;t>0.U(0,x)= Φ1（x）;U(b,x)= Φ2（x）;U(y,0)= Ψ1（y）;Ut (y,a)=Ψ2（y）。
（二）解题的步骤1.建立数学模型，写出方程及定解条件2.解方程3.解的实定性问题（检验）（三）写方程的定解条件1.微元法：物理定理2.定解条件：初始条件及边界条件（四）解方程的方法1.分离变量法（有界区域内）2.行波法（针对波动方程，无界区域内）3.积分变换法（Fourier变换Laplace变换）Fourier变换:针对整个空间奇：正弦变换偶：余弦变换Laplace变换：针对半空间4.Green函数及基本解法5.Bessel函数及Legendre函数法例一：在弦的横震动问题中，若弦受到一与速度成正比的阻尼，试导出弦阻尼振动方程。
解：建立如图所示的直角坐标系，设位移函数为U（x,t）,取任意一小段△x进行受力分析，由题设，单位弦所受阻力为b U t（b为常数），在振动过程中有△x所受纵向力为：（T2COSa2-T1COSa1）横向力为：（T2SINa2-T1SINa1-b U t(x+n△x））(0<n<1). T2,T1为△x弦两端所受的张力，又因为弦做横振动而无纵振动，由牛顿定律有T2COSa2-T1COSa1=0，T2SINa2-T1SINa1-b(x+n△x)U t=p U tt(x+n△x)△x在小的振动下SINa1≈TANa1=Ux(x,t), SINa2≈TANa2=Ux(x+△x,t),COSa2≈COSa1≈1,T=T1=T2.(ρ是密度)即(T/ρ)[ Ux (x+△x,t)- Ux(x,t)]/ △x-(b/ρ) U t(x+n△x，t)即令△x→0时有：U tt+ aU t=a2U xx例二：设扩散物质的源强（即单位时间内单位体积所产生的扩散物质）为F （x,y,z,t），试导出扩散方程。
偏微分方程知识点总结
偏微分方程知识点总结1. 什么是偏微分方程？偏微分方程是描述多个自变量和它们的偏导数之间关系的方程。
它在数学和物理学中起着重要的作用，并被广泛应用于各个领域。
2. 偏微分方程的分类偏微分方程可以分为几个主要的类型，包括：- 椭圆型方程：以拉普拉斯方程为代表，通常用于描述稳定的分布或调和情况。
- 抛物型方程：以热方程和扩散方程为代表，通常用于描述物质传导或扩散过程。
- 双曲型方程：以波动方程为代表，通常用于描述波动或振动的传播过程。
3. 常见的偏微分方程以下是几个常见的偏微分方程：- 热方程（Heat Equation）：用于描述温度在空间和时间中的传导过程。
- 波动方程（Wave Equation）：用于描述波动的传播过程，如声波、光波等。
- 扩散方程（Diffusion Equation）：用于描述物质在空间中的扩散过程。
- 广义拉普拉斯方程（Generalized Laplace Equation）：用于描述稳定的分布情况，例如电势分布。
4. 解偏微分方程的方法解偏微分方程的方法有多种，常见的方法包括：- 分离变量法：将方程中的未知函数表示为多个独立变量的乘积形式，从而将偏微分方程转化为一组常微分方程。
- 特征线法：根据偏微分方程的特征曲线，将方程转化为常微分方程，并通过求解常微分方程得到解析解。
- 有限差分法：将偏微分方程中的偏导数用差商近似表示，将区域离散化为一个个小区域，利用差分方程逐步逼近解析解。
- 有限元法：将区域划分为有限个子区域，通过对子区域进行逼近，得到整个区域的近似解。
5. 偏微分方程在实际应用中的重要性偏微分方程在各个领域中都有着广泛的应用，如：- 物理学：用于描述波动、传热、扩散等物理现象。
- 工程学：用于解决结构强度、热传导、流体力学等工程问题。
- 经济学：用于建立经济模型，描述经济增长、分配等问题。
- 生物学：用于研究生物传输、生物过程等生命科学问题。
以上是我对偏微分方程的知识点进行的简要总结，请您参考。
偏微分方程基础知识
偏微分方程基础知识偏微分方程是数学中重要的分支，涉及到数学物理、工程学和应用数学等领域。
本文将介绍偏微分方程的基础知识，包括定义、分类、解的求解方法以及一些经典的例子。
一、定义偏微分方程是包含未知函数及其各个偏导数的方程，其一般形式可以表示为：F(x, u, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2, ...) = 0其中，u表示未知函数，x和y表示自变量，∂u/∂x和∂u/∂y表示偏导数。
偏微分方程可以是一阶的或高阶的，可以是线性的或非线性的。
二、分类根据方程的性质和特点，偏微分方程可以分为几个主要的分类：1. 抛物型方程：抛物型方程具有热传导、扩散等性质，常见的抛物型方程包括热传导方程和扩散方程。
2. 双曲型方程：双曲型方程具有波动、传播等性质，常见的双曲型方程包括波动方程和二维亥姆霍兹方程。
3. 椭圆型方程：椭圆型方程具有稳定、静态等性质，常见的椭圆型方程包括拉普拉斯方程和泊松方程。
三、解的求解方法解决偏微分方程的具体方法取决于方程的类型、边界条件和初值条件等因素。
以下是几种常见的解法：1. 分离变量法：适用于可分离变量的线性偏微分方程。
通过假设解为一系列函数的乘积形式，将偏微分方程化简为一系列常微分方程。
2. 特征线法：适用于一些特定的偏微分方程，如一阶线性偏微分方程和一些可变系数的二阶偏微分方程。
通过选取适当的特征线，将偏微分方程转化为常微分方程。
3. 变换法：通过引入适当的变量变换和新的坐标系，将原偏微分方程转化为更简单或标准形的方程，从而求解。
4. 数值方法：对于复杂的偏微分方程，常常需要使用数值方法进行求解，如有限差分法、有限元法和谱方法等。
四、经典的例子1. 热传导方程：描述热传导现象，一维热传导方程可以表示为∂u/∂t = α∂^2u/∂x^2，其中α为热扩散系数。
2. 波动方程：描述波动现象，一维波动方程可以表示为∂^2u/∂t^2 = c^2∂^2u/∂x^2，其中c为波速。
数学中的抛物型方程
数学中的抛物型方程抛物型方程（parabolic equation）是数学中一类重要的偏微分方程，它在物理学、工程学和社会科学等领域中具有广泛的应用。
本文将从抛物型方程的定义、特征和解法等方面进行论述，以帮助读者更好地理解和应用抛物型方程。
一、抛物型方程的定义在数学中，抛物型方程是一类二维或三维偏微分方程，其形式可以表示为：∂u/∂t = a∇²u + bu + c其中，∂u/∂t 表示函数 u 对时间 t 的偏导数，∇²u 表示函数 u 对空间坐标的拉普拉斯算子，a、b、c 是常数。
抛物型方程通常描述了某一物理现象随时间变化的规律，比如热传导、扩散等。
通过解抛物型方程，我们可以预测和分析这些物理现象。
二、抛物型方程的特征1. 热传导方程抛物型方程在热传导方程中的应用是最常见的。
热传导方程描述了物体内部温度随时间和空间的变化情况。
在一维情况下，热传导方程具有以下形式：∂u/∂t = α∂²u/∂x²其中，u(x, t) 表示在时刻 t 位置为 x 的温度，α 是热扩散系数。
2. 扩散方程抛物型方程在扩散方程中的应用也是非常重要的。
扩散方程描述了物质在浓度梯度驱动下的扩散过程。
在一维情况下，扩散方程具有以下形式：∂u/∂t = D∂²u/∂x²其中，u(x, t) 表示在时刻 t 位置为 x 的物质浓度，D 是扩散系数。
三、抛物型方程的解法对于抛物型方程，我们通常采用偏微分方程的求解方法，如分离变量法、格林函数法等。
1. 分离变量法分离变量法是一种常用的求解抛物型方程的方法。
它的基本思想是将多元函数分解为几个一元函数的乘积，并利用分离后的一元函数满足各自的方程来求解。
以热传导方程为例，我们可以将其分离变量为时间部分和空间部分：u(x, t) = X(x)T(t)代入原方程，得到两个方程：X''(x)T(t)/X(x) = T'(t)/T(t) = -λ²其中，λ² 是常数。
数学中的偏微分方程基础
数学中的偏微分方程基础偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是处理一些高阶函数的工具，它是基本的数学分支之一。
应用领域广泛，包括物理学、工程学、经济学、生命科学等领域。
它的重要性在于，当系统涉及许多变量时，PDE提供了一种处理复杂事物的方式。
本文将讨论PDE的基础知识，包括常见的方程类型和解法方法。
PDE 基础偏微分方程可以被视为不同变量之间的关系式。
例如，一元方程涉及一个变量和它的导数，而多元方程则涉及两个或两个以上的变量和它们的偏导数。
因此，PDE中的未知函数是多元函数（多元函数是指一个函数有多个自变量），而不是单元函数。
PDE 可分为两个基本类型：椭圆型、双曲型和抛物型。
其中，椭圆型PDE通常用于描述不均匀性的稳态问题，例如电势，而双曲型PDE用于描述对时间的响应。
抛物线型PDE则用于描述具有时间和空间关系的变化过程。
这些分类可以帮助研究人员从大量的PDE中找到所需的类型。
常见 PDE 类型常见的 PDE 类型包括：1. 泊松方程（Poisson Equation）泊松方程涉及一个未知函数及它的二阶偏导数。
它通常用于描述稳态场的分布，例如电子的数量或者热的分布。
泊松方程的一般形式为：△u = f(x,y)其中△是拉普拉斯算子，表示二阶偏导数之和。
2. 热传导方程（Heat Equation）热传导方程涉及一个未知函数及它的一阶偏导数。
它通常用于描述固体物体在时间上的温度变化。
热传导方程的一般形式为：∂u/∂t = k∇²u其中u是温度场，k是物体的热扩散常数。
3. 汉密尔顿-雅可比方程（Hamilton-Jacobi Equation）汉密尔顿-雅可比方程涉及多个未知函数和它们的偏导数。
它通常用于描述物体的运动和轨迹。
汉密尔顿-雅可比方程的一般形式为：∂S/∂t + H(x,∇S) = 0其中S是哈密顿主函数，H是哈密顿量，x是自变量，t是时间。
偏微分方程中的抛物方程与热传导
偏微分方程中的抛物方程与热传导偏微分方程是数学中重要的一个研究领域，其中抛物方程是其中的一类常见方程。
在物理学和工程学中，热传导是一个广泛研究的课题。
本文将探讨偏微分方程中的抛物方程以及其在热传导中的应用。
一、抛物方程的概念与特点抛物方程是偏微分方程的一类，其数学表达形式为：∂u/∂t = ∇ · (k∇u) + f其中，u 表示待求解的函数，t 为时间，k 表示热导率，f 表示源项。
抛物方程具有以下特点：1. 含有一阶时间偏导数。
在抛物方程中，时间 t 是关键变量，代表了系统的演化。
2. 包含二阶空间偏导数。
抛物方程中的∇²u 表示了物理系统内部的扩散过程。
3. 存在源项 f。
这一项代表了外部作用力对系统的影响。
二、热传导与一维热方程热传导是热量在物体中的传递过程。
一维热方程是描述热传导的经典抛物方程，其数学表达形式为：∂u/∂t = α∂²u/∂x²其中，u 表示温度分布，t 表示时间，x 表示空间坐标，α 表示热扩散系数。
一维热方程的解决了理想导体中的热传导问题，研究热量如何随时间和空间的变化而分布。
三、热传导的数值模拟与偏微分方程在实际工程中，热传导过程通常涉及复杂的几何形状和边界条件。
数值模拟成为研究热传导的重要工具之一。
使用有限差分法、有限元法等数值方法，可以将热传导问题转化为离散的偏微分方程。
通过求解这些方程，可以获得系统的温度分布和热传导过程的变化。
四、抛物方程在热传导中的应用抛物方程在热传导中的应用广泛，例如：1. 热传导问题的模拟与优化。
通过求解偏微分方程，可以模拟复杂热传导过程，为工程设计提供指导。
2. 材料热性能评估。
通过分析抛物方程的解，可以评估材料的热导率、热容等热学特性。
3. 温度分布预测。
借助偏微分方程的求解，可以预测系统在不同条件下的温度分布，为温度控制和调节提供支持。
五、总结抛物方程是偏微分方程中的一类重要方程，在热传导中有着广泛的应用。
偏微分方程中的抛物方程与热传导
偏微分方程中的抛物方程与热传导偏微分方程是研究物理学、工程学和数学等领域中的重要工具，通过描述变量之间的关系，可以帮助我们理解和解决各种实际问题。
在偏微分方程的分类中，抛物方程是其中一类重要的方程，常被用于描述热传导现象。
热传导是物体内部或跨越物体表面的热量传递过程。
在自然界中，温度会从高温区域传导到低温区域，直到趋于热平衡。
热传导的速率与物体的传热性质和温度梯度有关。
抛物方程是一种描述物体中热传导现象的偏微分方程。
它通常在时间和空间两个变量方向上描述热传导过程。
抛物方程的一般形式是：∂u/∂t = α∇²u其中，u是物体的温度分布函数，t是时间，∇²是拉普拉斯算子，α是热扩散系数。
这个方程可以解释为物体的温度分布随时间的变化率等于热扩散系数与温度分布函数的二阶空间导数的乘积。
抛物方程的解决方法依赖于初始条件和边界条件。
初始条件是指在初始时刻，物体内部各点的温度分布情况。
边界条件是指物体表面或与其他物体接触的边界上，温度的设定情况。
求解抛物方程，需要考虑这些条件，并采用适当的数学方法。
常用的求解抛物方程的方法有有限差分法、有限元法和格林函数法等。
这些方法通过离散化连续物理问题，将连续的偏微分方程转化为离散的代数问题，然后通过计算求得数值解。
在实际应用中，抛物方程广泛用于描述热传导现象。
比如，当我们需要研究热传导对工程材料的影响时，可以利用抛物方程求解热传导方程，得到物体中温度的分布情况。
通过分析温度分布，我们可以评估材料的热传导性能，并根据需求进行优化设计。
此外，抛物方程还可以通过数值模拟来研究材料熔融、金属退火等相关问题。
通过计算求解抛物方程，可以模拟这些热传导过程中温度的变化，为工程实践提供参考和指导。
总之，抛物方程是偏微分方程的重要分类之一，用于描述热传导现象。
通过合理的初始条件和边界条件，以及适当的数值方法，我们可以求解抛物方程，求得物体中温度的分布情况，从而为相关工程问题的研究和解决提供帮助。
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1. 热传导的基本概念1.1温度场一物体或系统内部，只要各点存在温度差，热就可以从高温点向低温点传导，即产生热流。
因此物体或系统内的温度分布情况决定着由热传导方式引起的传热速率（导热速率）。
温度场：在任一瞬间，物体或系统内各点的温度分布总和。
因此，温度场内任一点的温度为该点位置和时间的函数。
〖说明〗若温度场内各点的温度随时间变化，此温度场为非稳态温度场，对应于非稳态的导热状态。
若温度场内各点的温度不随时间变化，此温度场为稳态温度场，对应于稳态的导热状态。
若物体内的温度仅沿一个坐标方向发生变化，且不随时间变化，此温度场为一维稳态温度场。
1.2 等温面在同一时刻，具有相同温度的各点组成的面称为等温面。
因为在空间同一点不可能同时有两个不同的温度，所以温度不同的等温面不会相交。
1.3 温度梯度从任一点起沿等温面移动，温度无变化，故无热量传递；而沿和等温面相交的任一方向移动，温度发生变化，即有热量传递。
温度随距离的变化程度沿法向最大。
温度梯度：相邻两等温面间温差△t与其距离△n之比的极限。
〖说明〗温度梯度为向量，其正方向为温度增加的方向，与传热方向相反。
稳定的一维温度场，温度梯度可表示为：grad t = dt/dx2. 热传导的基本定律——傅立叶定律物体或系统内导热速率的产生，是由于存在温度梯度的结果，且热流方向和温度降低的方向一致，即与负的温度梯度方向一致，后者称为温度降度。
傅立叶定律是用以确定在物体各点存在温度差时，因热传导而产生的导热速率大小的定律。
定义：通过等温面导热速率，与其等温面的面积及温度梯度成正比：q = dQ/ds = -λ·dT/dX式中：q 是热通量（热流密度），W/m2dQ是导热速率，WdS是等温表面的面积，m2λ是比例系数，称为导热系数，W/m·℃dT / dX 为垂直与等温面方向的温度梯度“－”表示热流方向与温度梯度方向相反3. 导热系数将傅立叶定律整理，得导热系数定义式：λ= q/(dT/dX)物理意义：导热系数在数值上等于单位温度梯度下的热通量。
因此，导热系数表征物体导热能力的大小，是物质的物性常数之一。
其大小取决于物质的组成结构、状态、温度和压强等。
导热系数大小由实验测定，其数值随状态变化很大。
3.1 固体的导热系数金属：35～420W/(m·℃)，非金属：0.2～3.0W/ (m·℃)〖说明〗固体中，金属是最好的导热体。
纯金属：t↗，λ↘；金属：纯度↗，λ↗非金属：ρ，t↗，λ↗。
对大多数固体，λ值与温度大致成线性关系：λ=λ0（1+βt）式中：λ是固体在温度为 t℃时的导热系数，W/(m·℃)λ0是固体在温度为0℃时的导热系数，W/(m·℃)β是温度系数，大多数金属：β<0，大多数非金属：β>03.2 液体的导热系数液体导热系数：0.07～0.7W/(m·℃)t↗，λ↘（水、甘油除外）★金属液体：其λ比一般液体高，其中纯Na最高★非金属液体：纯液体的λ比其溶液的大3.3 气体的导热系数气体的导热系数：0.006～0.67W/(m·℃)温度的影响：t↗，λ↗P的影响：★一般压强范围内，λ随压强变化很小，可忽略★过高（>2×105kPa）、过低（<3kPa）时，P↗，λ↗气体的导热系数小，对导热不利，但有利于保温、绝热3.4 影响导热系数的因素不同的物体有不同的λ，λ金属> λ固> λ液> λ气（与分子距离有关）；同种物体的化学组成愈纯、λ越大；如纯铜λ=330[千卡/米·时·℃]，如纯铜中含有微量的砷时λ=122[千卡/米·时·℃]；内部结构愈紧密、λ值愈大；如聚异氰酸酯塑料λ=0.18[千卡/米·时·℃],而聚异氰酸酯泡沫塑料（低温保冷材料）的λ=0.015～0.023[千卡/米·时·℃]；物理状态：λ冰=1.93[千卡/米·时·℃]，λ水=0.49[千卡/米·时·℃]，λ水蒸气=0.0139[千卡/米·时·℃]；湿度：湿材料的导热系数比同样组成的材料要高。
因为湿材料含水多，而干材料有空气。
（λ水>λ气）；温度：气体，蒸汽，建筑材料和绝热材料的λ值，随温度升高而增大。
大部分液体（水与甘油除外）和大部分金属的λ值随温度升高而降低；压强：因为液体可视为不可以压缩，因此压强影响可以忽略。
压强对气体的影响（高于2×105[kPa]或低于3[Kpa]）下，才考虑压强的影响，此时导热系数随压强增高而变大。
导热本质是分子振动传热，它取决于物质（分子排列）的疏松程度和温度（分子振动的速度）。
矛盾的主要方面决定事物的性质，所以气体，蒸汽，建筑材料和绝热材料的λ值，随温度升高而增大；大部分液体（水与甘油除外）和大部分金属的λ值随温度升高而降低。
在工程计算时，温度的变化在不大的范围内，对大部分材料来说，可以认为导热系数随温度是线性关系的，即：λ = λo(1+b t )式中：t 为温度λo为温度为0℃时的导热系数b是由实验测定的常数。
在实际计算时，一般可以取其平均温度时的导热系数的数值，在计算中作为常数处理。
按照国家标准（GB4272-92）的规定，凡平均温度不高于350℃，导热系数的数值不大于0.12W/M·K材料称为绝热保温材料（隔热材料或热绝缘材料）。
特点：是内部有很多细小的空隙，其中充满气体，因而并非为密实固体。
但由于其空隙细小，气体在其内部可视为静止的，主要以导热的方式传热，高温时还伴有辐射方式。
气体导热系数小，最终使得整个隔热材料的导热系数（也称表观导热系数）的数值非常小，达到隔热保温的作用。
影响因素：对绝热保温材料，除了要考虑温度的影响以外，还必须注意到湿度的影响。
在使用这类绝热保温材料的场合，必须要注意防潮。
热传导方程--抛物型偏微分方程简称抛物型方程，一类重要的偏微分方程。
热传导方程是最简单的一种抛物型方程。
热传导方程 研究热传导过程的一个简单数学模型。
根据热量守恒定律和傅里叶热传导实验定律导致热传导方程[507-01](1)式中是温度;[kg2]是拉普拉斯算符;是导温系数;[507-00]；[kg2]是热传导系数；[kg2]分别是比热和密度；[507-03]；是外加热源密度自然界还有很多现象同样可以用方程(1)来描述,例如分子在介质中的扩散过程等，因此方程(1)通常亦称为扩散方程。
定解问题 为了确定一个具体的热传导过程，除了列出方程(1)以外,还必须知道物体的初始温度（初始条件）和在它的边界上所受到的外界的影响(边界条件)。
初始条件：[507-04] (2) 边界条件，最通常的形式有三类。
第一边界条件（或称狄利克雷条件）：[507-05] (3)即表面温度为已知函数。
第二边界条件（或称诺伊曼条件）：[507-06] (4)式中是的外法向，即通过表面的热量已知。
第三边界条件（或称罗宾条件）：[508-01](5)式中≥0；即物体表面给定热交换条件。
除了以上三类边界条件外还可以在边界[kg1]上给定其他形式的边界条件，如斜微商条件、混合边界条件等。
方程(1)连同初始条件(2)以及边界条件(3)、(4)、(5)中的任意一个一起构成了一个定解问题,根据边界条件的不同形式，分别称为第一、二、三边值问题，统称为热传导方程的初边值问题或混合问题。
若≡,[kg2]则由方程(1)和初始条件(2)构成的定解问题称为热传导方程的初值问题或柯西问题。
基本解与格林函数 基本解是点热源的影响函数。
如果在=0时刻在(,,)处给定单位点热源,即(,，,0)=(,,)（是狄克函数），则当>0时由它引起的在全空间的温度分布(即热传导方程(1)的解)称为热传导方程的基本解。
通过傅里叶变换可以得到它的表达式。
当>0时[508-02][508-03]热传导方程初值问题(1)、(2)的解可通过叠加的步骤由基本解生成[508-04][508-05][508-06]。
对于一个有界区域,若边界温度为零,在初始时刻在(,,)处给定一个单位点热源(,,,0)=(，，),当>0时由它引起在内的温度分布（即热传导方程的解）称为热传导方程第一边值问题的格林函数，记作(-,-,-,)。
根据格林公式[508-07][508-08]，式中是的共轭算子，[508-09]任意第一边值问题(1)(2)、(3)的解都可通过格林函数表为[508-10][508-11][508-12]；格林函数可以通过基本解来表示：[508-13][508-14]这里[508-15]时是一个定义在×[0,∞)上的充分光滑函数。
对于一维问题或为立方体等特殊区域，格林函数可以通过分离变量法或镜像法去求得。
极值原理 一个内部有热源的热传导过程（即在方程(1)中≥0）,它的最低温度一定在边界上或初始时刻达到，这就是所谓的极值原理。
事实上，还可以有更强的结论：①如果在=[kg1][kg1]时在内部某一点达到了最低温度，那么在这个时刻以前(即<时)整个物体的温度等于常数，这就是所谓的强极值原理；②如果这个最低温度只在[kg1]=[kg1][kg1]时刻的某一边界点[kg1][kg1]达到，那么在这一点上[508-16](是的外法向)，此即所谓的边界点引理。
极值原理与边界点引理在热传导方程的研究中有很多应用，它的一个最直接的推论就是导出了热传导方程初边值问题解的惟一性和稳定性。
至于初值问题(1)(2)的解的惟一性,它与解在无穷远点的性态有关。
如果对于初值问题(1)(2),附加上无穷远点增长阶的限制[508-17]，这里，是任意给定正常数,那么由极值原理可以证明初值问题(1)、(2)的解必惟一。
解的正则性（光滑性） 若≡0，则由初值问题解的表达式可看出,若(,,)有界连续,则初值问题(1)、(2)的解(,,,)当>0时都是无穷次连续可微的,而且关于空间变量，，是解析的，关于时间变量属于谢弗莱二类函数，即在｜｜<内满足[508-18]当0时,热传导方程解的可微性质与[kg1]的性质有关,例如为了得到热传导方程的古典解，除了需要假定(,，,)连续以外,还要求对，，或对是赫尔德连续的。
解的渐近性如果边界上的温度以及热源密度与时间无关(即[508-19])，则热传导过程将趋于稳定状态，也就是当→∞时,不管什么初始条件，物体内部温度总趋于同一个极限（稳定态的温度分布(,,)），它是椭圆边值问题：[508-23][508-24]的解。
解的半群性质 热传导是一个单向的不可逆过程，热总是由高温流向低温。