初等数论：数的整除性

《初等数论》 第一章 整数的可除性
第一章 整除理论
整除性理论是初等数论的基础。 本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数， 最小公倍数，算术基本定理以及它们的一些应用。
1
《初等数论》 第一章 整数的可除性
第一节 1 数的整除性
定义 1.
设 a，b 是整数，b 0，如果存在整数 q， 使得 a = bq 成立，则称 a 被 b 整除， a 是 b 的倍数，b 是 a 的约数（因数或除数）， 并且使用记号 ba；
a2，a3 为偶数，则存在整数 A1，A2，A3，使得
a2 1
=
8A1
1，a22
=
8A2
r，a32
=
8A3
s，
于是
a2 1
a2 2
解： 由以下三点理由可以证得结论：
(ⅰ) A 和 B 的元素个数相同；
(ⅱ)
若
diA，即
din，则
n di
|
n，反之亦然；
nn
(ⅲ) 若 di dj，则 di d j 。
11
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
例 3. 以 d(n)表示 n 的正约数的个数， 例如：d(1) = 1，d(2) = 2，d(3) = 2，d(4) = 3， 。
《初等数论》 第一章 整数的可除性
所以在 d(1), d(2), , d(1997)中恰有 44 个奇数，
故 d(1) d(2) d(1997)是偶数。
13
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
例 4. 设凸 2n 边形 M 的顶点是 A1, A2, , A2n，点 O 在 M 的内部，用 1, 2, , 2n 将 M 的 2n 条边分别编号，又将 OA1, OA2, , OA2n 也同样进行编号，若把这些编号作为相
若 n 2s，由上式知 n 22， 因为 n 2 > 2，这是不可能的，所以 n 2 | s。
10
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
例 2. 设 A = { d1, d2, , dk }是 n 的所有约数的集合，
则B
={dn1
,
n d2
,,
n dk
}也是
n
的所有约数的集合。
定理 2. 任何大于 1 的整数 a 都至少有一个素约数。 证明：若 a 是素数，则定理是显然的。
若 a 不是素数ห้องสมุดไป่ตู้那么它有两个以上的正的非平凡约数， 设它们是 d1, d2, , dk 。
不妨设 d1 是其中最小的。 若 d1 不是素数，则存在 e1 > 1，e2 > 1，使得 d1 = e1e2， 因此，e1 和 e2 也是 a 的正的非平凡约数。 这与 d1 的最小性矛盾。所以 d1 是素数。证毕。
8
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
推论. 任何大于 1 的合数 a 必有一个不超过 a 的素约数。
证明：使用定理 2 中的记号，有 a = d1d2，
其中 d1 > 1 是最小的素约数，
所以
d2 1
a。证毕。
9
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
例 1. 设 r 是正奇数，证明：对任意的正整数 n，有
应的线段的长度，
证明：无论怎么编号，都不能使得三角形 OA1A2, OA2A3, , OA2nA1 的周长都相等。 解： 假设这些三角形的周长都相等，记为 s。
14
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
则 2ns = 3(1 2 2n) = 3n(2n 1)， 即 2s = 3(2n 1)， 因此 23(2n 1)，这是不可能的，
24
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
例 9. 若 n 是奇数，则 8n2 1。 解：设 n = 2k 1，则
n2 1= (2k 1)2 1 = 4k(k 1)。 在 k 和 k 1 中有一个是偶数，所以 8n2 1。
例 9 的结论虽然简单，却是很有用的。 例如，使用例 3 中的记号，我们可以提出下面的问题：
问题 d(1)2 d(2)2 d(1997)2 被 4 除的余数是
多少？
25
第一节 1 数的整除性
例 10. 证明：方程
a2 1
a2 2
a2 3
=
1999
《初等数论》 第一章 整数的可除性
(1) 无整数解。
解： 若 a1，a2，a3 都是奇数，则存在整数 A1，A2，A3，使得
a2 1
=
8A1
19
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
(ⅲ) 再删去 3 后面的被 3 整除的数，剩下的 3 后面的 第一个数是 5，5 是素数；
(ⅳ) 再删去 5 后面的被 5 整除的数，剩下的 5 后面的 第一个数是 7，7 是素数；
照以上步骤可以依次得到素数 2, 3, 5, 7, 11, 。
ba1x1 a2x2 akxk，
4
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
此处 xi（i = 1, 2, , k）是任意的整数； 证明：因为 bai，（i = 1, 2, , k ），所以
ai=bqi, aixi=bqixi（i = 1, 2, , k ） 故 a1x1 a2x2 akxk=b(q1x1 q2x2 qkxk) 因此 ba1x1 a2x2 akxk， 此处 xi（i = 1, 2, , k）是任意的整数 (ⅳ) ba bcac，此处 c 是任意的非零整数；
由定理 2 推论可知，不超过 100 的合数必有一个不超过 10 的素约数，因此在删去 7 后面被 7 整除的数以后，就得到 了不超过 100 的全部素数。
20
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
在例 6 中所使用的寻找素数的方法，称为幼拉托斯展纳 筛法（Eratosthenes 筛法）。
这个矛盾说明这些三角形的周长不可能全都相等。
15
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
例 5. 设整数 k 1，证明：
(ⅰ)
若 2k
n
<
2k
1
，1
a
n，a
2k，则 2k | a；
(ⅱ) 若 3k 2n 1 < 3k + 1，1 b n，2b 1 3k，
则 3k | 2b 1。
如果不存在整数 q 使得 a = bq 成立，则称 a 不被 b 整除， 记为 b |a。
2
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
显然每个非零整数 a 都有约数 1，a， 称这四个数为 a 的平凡约数， a 的另外的约数称为非平凡约数。
被 2 整除的整数称为偶数， 不被 2 整除的整数称为奇数。
它可以用来求出不超过任何固定整数的所有素数。 在理论上这是可行的； 但在实际应用中，这种列出素数的方法需要大量的计算
时间，是不可取的。
21
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
例 7. 证明：存在无穷多个正整数 a，使得 n4 a（n = 1, 2, 3, ）都是合数。
解： 取 a = 4k4，对于任意的 nN，有 n4 4k4 = (n2 2k2)2 4n2k2 = (n2 2k2 2nk)(n2 2k2 2nk)。
18
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 按以下步骤进行： (ⅰ) 删去 1，剩下的后面的第一个数是 2，2 是素数； (ⅱ) 删去 2 后面的被 2 整除的数，剩下的 2 后面的第 一个数是 3，3 是素数；
5
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
证明：因 ba ，故 a = bq，即 ac=bcq,则 bcac， 此处 c 是任意的非零整数。
(ⅴ) ba，a 0 |b| |a|； 证明：因 ba，故 a = bq，即|a|=|b||q|，又因 a 0，
则 q 0，故|q|1，故 |b|≤|a|； (ⅵ) ba 且|a|<|b| a = 0。 证明：因 ba，故 a = bq，由(ⅴ)可知，若 a 0，
n
2
|
r
1
r
2
n
r
。
解： 对于任意的正整数 a，b 以及正奇数 k，有
ak
bk
=
(a
b)(ak 1
ak 2b
ak b3 2
bk
1
)
= (a b)q，其中 q 是整数。 记 s = 1r 2 r n r，
则 2s = 2 (2 r n r) (3 r (n 1)r) (n r 2 r) = 2 (n 2)Q，其中 Q 是整数。
1，
a2 2
=
8A2
1，
a2 3
=
8A3
1，
于是
a2 1
a2 2
a2 3
=
8(A1
A2
A3)
3。
由于 1999 被 8 除的余数是 7，
所以 a1，a2，a3 不可能都是奇数。
由式(1)，a1，a2，a3 中只能有一个奇数，设 a1 为奇数，
26
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
此时 2b-1=
k
0，3 ，或
2
3k
，这都是不可能的，
所以
k
3
|
2b
1。
17
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
例 6. 写出不超过 100 的所有的素数。 解： 将不超过 100 的正整数排列如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
问：d(1) d(2) d(1997)是否为偶数？
n
解： 对于 n 的每个约数 d，都有 n = d d ，因此，n 的正
n
n
约数
d
与
d
是成对地出现的。只有当
d
=
d
，即
n
=
d
2
时，
n
d 和 d 才是同一个数。
故当且仅当 n 是完全平方数时，d(n)是奇数。
12
第一节 1 数的整除性
2
2
因为 44 < 1997 < 45 ，
则|b||a|，与|a|<|b|矛盾，故 a = 0。
6
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
定义 2. 若整数 a 0，1，并且只有约数 1 和 a， 则称 a 是素数（或质数）；否则称 a 为合数。
以后在本书中若无特别说明，素数总是指正素数。
7
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
因为 n2 2k2 2nk = (n k)2 k2 k2， 所以，对于任意的 k = 2, 3, 以及任意的 nN，
n4 a 是合数。
22
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
例 8. 设 a1, a2, , an 是整数，且 a1 a2 an = 0，a1a2an = n， 则 4n。 解： 如果 2 | n，则 n, a1, a2, , an 都是奇数。 于是 a1 a2 an 是奇数个奇数之和，不可能等于零， 这与题设矛盾，所以 2n，即在 a1, a2, , an 中至少有一
个偶数。
如果只有一个偶数，不妨设为 a1，那么 2 | ai（2 i n）。
23
第一节 1 数的整除性
此时有等式
《初等数论》 第一章 整数的可除性
a2 an = a1，
在上式中，左端是(n 1)个奇数之和，右端是偶数，这是
不可能的，
因此，在 a1, a2, , an 中至少有两个偶数，即 4n。
3
第一节 1 数的整除性
定理 1. 下面的结论成立：
《初等数论》 第一章 整数的可除性
(ⅰ) ab ab；
证明：因为 ab，故 b = aq，即b = aq，故ab。
(ⅱ) ab，bc ac；（传递性）
证明：因 ab，bc，故 b = aq1，c=bq2，
则 c=aq1q2，故 ac。
(ⅲ) bai，（i = 1, 2, , k ）
解：
(ⅰ) 若 2k|a，则存在整数 q，使得 a= q2k。
显然 q 只可能是 0 或 1。 此时 a= 0 或 2k ，这都是不可能的，所以 2k | a；
16
第一节 1 数的整除性
《初等数论》 第一章 整数的可除性
(ⅱ)
若
k
3 |2b-1，则存在整数
q，使得
2b-1=
q3k，
显然 q 只可能是 0，1, 或 2。