苏教版数学高二- 选修1-1试题 极大值与极小值
苏教版数学高二-数学苏教版选修1-1课时训练 最大值和最小值
3.3.3 最大值和最小值一、填空题1．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M 、m ，则M －m ＝________.2．函数f (x )＝sin 2x 在[－π4，0]上的最大值是________，最小值是________．3．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值是________，最小值是________．4．设y ＝|x |3，那么y 在区间[－3，－1]上的最小值是__________．5．函数f (x )＝3x 2＋4x ＋3x 2＋1的值域为________．6．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于________．7．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为________．8．函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________.9．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋32x 2，x ≤0x 2－2x ＋12，x >0，有下列命题：①过该函数图象上一点(－2，f (－2))的切线的斜率为6；②函数f (x )的最小值等于－12；③该方程f (x )＝0有四个不同的实数根；④函数f (x )在(－1,0)以及(1，＋∞)上都是减函数．其中正确的命题有________．二、解答题10．设23<a <1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62.求常数a ，b .11．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线l不过第四象限且斜率为3，坐标原点到切线l的距离为1010，若x＝23时，y＝f(x)有极值．(1)求a、b、c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．12．已知函数f(x)＝x3＋2x2＋x－4，g(x)＝ax2＋x－8.(1)求函数f(x)的极值；(2)若对任意的x∈[0，＋∞)都有f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围．答案1解析：f ′(x )＝3x 2－12＝0，解得x ＝±2.又f (3)＝－1，f (－3)＝17，f (2)＝－8，f (－2)＝24， 所以M ＝24，m ＝－8，所以M －m ＝32. 答案：322解析：∵x ∈[－π4，0]，∴sin x ∈[－22，0]．∴sin 2x ∈[0，12]．答案：123 解析：f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1(舍去)． 列出∴f (x )max ＝3，f (x )min ＝－17. 答案：3 －174 解析：只需研究函数y ＝x 3在[1,3]上的最小值即可，显然最小值等于1. 答案：15答案：[1,5]6 解析：∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1，当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′ (x )＝0得x ＝1a ，又a >12，∴0<1a <2.令f ′(x )>0，则x <1a ，∴函数f (x )在(0，1a)上递增；令f ′(x )<0，则x >1a，∴函数f (x )在(1a，2)上递减，∴f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a －a ·1a ＝－1，∴ln 1a＝0，得a ＝1.答案：17 解析：∵f (x )＝x －x 3，∴f ′(x )＝1－3x 2，由f ′(x )＝0得x ＝±33.因为f (0)＝0，f (1)＝0，f (33)＝33(1－13)＝239， 所以f (x )的最大值为239.答案：2398 解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x >0，即x ∈(0,1]时，f (x ) ＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x3，则g ′(x )＝31－2xx 4，所以g (x )在区间(0，12]上单调递增，在区间[12，1]上单调递减，因此g (x )max ＝g (12)＝4，从而a ≥4；当x <0，即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x3，g (x )＝3x 2－1x3在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上，a ＝4.答案：49 解析：当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2＋3x ，所以f ′(－2)＝6，故①正确；画出函数f (x )的大致图象，如图所示，可得②错误，③正确，④错误．答案：①③10解：令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0，得x 1＝0，x2＝a . x －1 (－1,0) 0 (0，a ) a (a,1) 1 f ′(x )＋－＋f (x )－1－32a＋bb－a 32＋b1－32a ＋b 从上表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值b ，而f (0)>f (a )，又f (1)>f (－1)，故需比较f (0)与f (1)的大小．因为f (0)－f (1)＝32a －1>0，所以f (x )的最大值为f (0)＝b ，所以b ＝1.又f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)<0，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－32a ，由－32a ＝－62，得a ＝63，所以a ＝63，b ＝1. 11 解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0.①当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′(23)＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0.②由①②解得a ＝2，b ＝－4.设在点x ＝1处的切线l 的方程为y ＝3x ＋m ，由坐标原点到切线l 的距离为1010，得|m |32＋1＝1010，解得m ＝±1.∵切线l 不过第四象限，∴m ＝1.由于切点的横坐标为1，∴f (1)＝4，即1＋a ＋b ＋c ＝4，∴c ＝5.(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝13；在x ＝3处取得极小值f (3)＝27，又f (－3)＝8，f (1)＝4.∴y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.12 解：(1)f ′(x )＝3x 2＋4x ＋1，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝－13.∴当x ＝－1时，f (x )取得极大值为－4；当x ＝－13时，f (x )取得极小值为－11227.(2)设F (x )＝f (x )－g (x )＝x 3＋(2－a )x 2＋4，F (x )≥0，在[0，＋∞)上恒成立⇔F (x )min ≥0，x ∈[0，＋∞)． 若2－a ≥0，即a ≤2，显然F (x )min ＝4>0；若2－a <0，即a >2，f ′(x )＝3x 2＋(4－2a )x,令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝2a －43.当0<x <2a －43时，f ′(x )<0；当x >2a －43时 ，f ′(x )>0.所以，当x ∈(0，＋∞)时，F (x )min ＝F (2a －43)≥0，即(2a －43)3＋(2－a )(2a －43)2＋4≥0.解不等式得a ≤5，∴2<a ≤5.当x ＝0时，F (x )＝4满足题意． 综上所述，a 的取值范围为(－∞，5]．。
【精品】高中数学苏教版选修1-1课件：3.3.2极大值与极小值课件(17张)2
1 1 3 例 2 . 求 函 数 y =x 4 x + 的 极 值 . 3 3
1 3 2 y ' ( x 4 x 4 ) ' x 4 ( x2 ) ( x 2 ) 解： 3
令y′=0，解得x1=－2，x2=2 当x变化时，y′，y的变化情况如下表
课堂小结
实现了导数应用一次延伸
——从单调性到极值 渗透了一种数学思想 ——数形结合 实践了一种题型 ——列表法求极值
谢谢！再见！
-4 -3 -2 -1 O 1 2
y4 3 2 1
x
谢谢观看！
例4：已知y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处
有极值，求a、b的值
∴
练习:找出下图中的极值点
y
x1
x2
x3 O
x4
x5 x6
x
说明:
(1)极值点是取得极值的自变量(x)的值，极值指 的是函数值(y).（极值点不是点）
(2)极值是一个局部概念,极值只是某个点的函数 值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不 意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. (3)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间 上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.
1.3.2函数的极大值与极小值(1)
问题情境：
问题1:函数f(x)=x3-9x的减区间为_____;
问 题 2 : 已 知 函 数 f ( x ) = x 9 a x 在 ( -3 ,3 ) 上 单 调 递 减 ， 则 实 数 a 的 范 围 为 _ _ _ _ _ _ _ _ ;
3
问题3:能否画出函数f(x)=x3-9x的草图?
学生活动：
2017-2018学年高中数学(苏教版)选修1-1课时跟踪训练(二十)极大值与极小值
2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1课时跟踪训练（二十）极大值与极小值学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．关于函数的极值，有下列说法：①导数为零的点一定是函数的极值点，②函数的极小值一定小于它的极大值，③()f x 在定义域内最多只能有一个极大值或一个极小值，④若()f x 在()a b ，内有极值，那么()f x 在()a b ，内不是单调函数．其中错误的是________．(把你认为错误的序号都写出来)2．已知函数()f x 的定义域为()a b ，，导函数()f x '在区间()a b ，上的图像如图所示，则函数()y f x =在()a b ，上极大值点的个数为________．3．设函数()f x 的定义域为R ，()000x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是________．①x ∀∈R ，()()0f x f x ≤；②0x -是()f x -的极小值点；③0x -是()f x -的极小值点；④0x -是()f x --的极小值点．4．已知函数f(x)=13x 3+12x 2−2x +m 的图象不经过第四象限，则实数m 的最小值是 .二、双空题5．函数()3f x ax bx =+在1x ＝处有极值－2，则a b ，的值分别为a =________，b =________.三、解答题6．求函数()312f x x x =-的极值． 7．已知4x =是函数()2ln 1211f x a x x x =+-+的一个极值点． (1)求a 的值；(2)求函数()f x 的单调区间．8．设函数432()2(,,)f x x ax x b x R a b R =+++∈∈（1）当103a =-时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围参考答案1．①②③【解析】由导数与极值的关系及极值定义可知：对于①，使得导函数为零的，且左右两边导函数符号相异x 的值是极值，所以①错，对于②，函数的极小值不一定小于它的极大值，所以②错，对于③，()f x 在定义域内最多可以有无数个极大值及无数个极小值，③错误，对于④，左右两边导函数符号相异，单调性也相异，所以④正确，故答案为①②③.2．3【解析】极大值点在使得导数()0'0f x =的0x 处，且满足0x 左侧为导函数值正，右侧导函数值为负，由图象知有3个，故答案为3.3．④【解析】①不妨设函数()3f x x x =-，则x x =为()f x 的极大值点，但()3,3f f ⎛>-∴ ⎝⎭排除①；②取()()21f x x =--，则1x =是()f x 极大值点，但1-不是()f x -的极小值点，∴排除②；③()()21,1f x x -=--，不是()f x -极大值点，∴排除③；④()f x --的图象与()f x 的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得0x -应为()f x --的，极小值点，∴④正确，故答案为④.【 方法点睛】本题主要考查函数的极值、排除法作判断题，属于难题.排除法做判断题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）抽象函数性质的判断，可以抽象函数具体化作出判断.4．76【解析】试题分析：f′（x ）=x 2+x −2=0解得x=-2或1，易知当x=1取极小值f （1）=m −76，由图象知m −76≥0，即答案为m ≥76，故最小值为76.考点：函数的图象．5．1 3-【解析】()2'3f x ax b =+，又当1x =时有极值2-，()'130f a b =+=，①2a b +=-，② 联立①②，解得13a b =⎧⎨=-⎩，故答案为1,3-. 6．极大值()216f -=，极小值()216f =-【解析】试题分析：先求出函数的导数，令导函数为零，解方程，列表，判断出方程根左右两边导函数值的符号，可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，代入函数式可得函数()312f x x x =-的极值.试题解析：函数f (x )的定义域为R.f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2,当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表： 增 减 增从表中可以看出，当x ＝－2时，函数有极大值，且f (－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16. 当x ＝2时，函数有极小值，且f (2)＝23－12×2＝－16.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值.7．（1）16；（2）增区间为()0,2和()4,+∞，减区间为()2,4【解析】试题分析：（1）求导函数，利用4x =是函数()2ln 1211f x a x x x =+-+的一个极值点，可得()'40f =，从而可求a 的值；（2）求出()'f x ， ()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间.试题解析：(1)f ′(x )＝＋2x －12，∵x ＝4是函数f (x )的一个极值点，∴f ′(4)＝＋2×4－12＝0，a ＝16.(2)由(1)知f (x )＝16ln x ＋x 2－12x ＋11(x >0)，f ′(x )＝＋2x －12＝＝，由>0，得x <2或x >4，又x >0，∴当x ∈(0,2)或x ∈(4，＋∞)时，f (x )单调递增，由<0得2<x <4，∴当x ∈(2,4)时，f (x )单调递减，故f (x )的单调递增区间是(0,2)和(4，＋∞)，单调递减区间是(2,4)．8．（1）1(,0),(,2)2-∞1(0,),(2,)2+∞（2）88[,]33- 【解析】试题分析：（1）先对函数f （x ）进行求导，然后将a 的值代入，根据导函数大于0时原函数单调增，导函数小于0时原函数单调减，可判断函数的单调性；（2）根据（1）中的导函数，可判断x=0不是方程24340x ax ++=的根，进而得到函数由极值的充要条件，求出a 的范围试题解析：（1）322'()434(434)f x x ax x x x ax =++=++当103a =-时，'()2(2)(21)f x x x x =-- ()f x ∴在1(,0),(,2)2-∞在1(0,),(2,)2+∞（2）令2()434x x ax ϕ=++，29640a ∆=-≤ 88[,]33a ∴∈- 考点：利用导数研究函数的极值与单调区间。
苏教版数学高二- 选修1-1试题 极大值与极小值
3.3.2 极大值与极小值一、填空题1．已知函数y ＝f(x)的图象如图3－3－6所示，则函数的极值点共有________个，极大值点为________，极小值点为________．图3－3－6【解析】 根据极值的定义判断即可． 【答案】 4 x 2，x 5 x 3，x 62．函数y ＝x 3＋x 2－x ＋1在x ＝________处取极大值． 【解析】 y′＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1)． 当－1<x<13时，y′<0；当x>13或x<－1时，y′>0.∴函数在x ＝－1处取极大值． 【答案】 －13．函数y ＝2x 3－6x 2－18x ＋7的极大值是________，极小值是________． 【解析】 y′＝6x 2－12x －18，令f′(x)＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3. 列表： x (－∞，－1) －1 (－1，3)3 (3，＋∞) f′(x)＋0 －0 ＋f(x)极大值f(－1)极小值f(3)当x ＝3时，f(x)有极小值f(3)＝－47. 【答案】 17 －474．已知函数y ＝ax 3－15x 2＋36x －24在x ＝3处有极值，则函数的递减区间为________． 【解析】 y′＝3ax 2－30x ＋36. ∵x ＝3是极值点，∴y′|x ＝3＝0，即27a －90＋36＝0， ∴a ＝2，∴y′＝6x 2－30x ＋36.令y′<0，即6x 2－30x ＋36<0，即x 2－5x ＋6<0， ∴2<x<3，∴函数的单调递减区间为(2，3)． 【答案】 (2，3)5．若函数f(x)＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________．【解析】 ∵f′(x)＝(x 2＋ax ＋1)′＝（x 2＋a ）′（x ＋1）－（x 2＋a ）（x ＋1）′（x ＋1）2＝x 2＋2x －a （x ＋1）2. 又∵x ＝1为函数的极值点，∴有f′(1)＝0. ∴1＋2×1－a ＝0，即a ＝3. 【答案】 36．已知函数f(x)＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．【解析】 f′(x)＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)． 令f′(x)＝0，则x 2＋2ax ＋a ＋2＝0.∵f(x)既有极大值又有极小值，∴f′(x)＝0有两个不相同的实数解，∴Δ＝4a 2－4a －8＞0，解得a ＜－1或a ＞2.【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞)7．三次函数当x ＝1时有极大值4，当x ＝3时有极小值0，则此函数的解析式是________． 【解析】 设f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a≠0)， 则f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意得f′(1)＝f ′(3)＝0，f(1)＝4，f(3)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝0，27a ＋6b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＋d ＝4，27a ＋9b ＋3c ＋d ＝0，解得：a ＝1，b ＝－6，c ＝9，d ＝0. 【答案】 y ＝x 3－6x 2＋9x8．若a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________．【解析】 f′(x)＝12x 2－2ax －2b ，∵f(x)在x ＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a －2b ＝0，∴a ＋b ＝6. 又a ＞0，b ＞0，∴a ＋b≥2ab ，∴2ab ≤6， ∴ab≤9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立， ∴ab 的最大值为9. 【答案】 9二、解答题9．设a 为实数，函数f(x)＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .求f(x)的单调区间与极值． 【解】 由f(x)＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f′(x)＝e x －2，x ∈R .令f′(x)＝0，得x ＝ln 2.于是当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞) f′(x) －＋f(x)2(1－ln 2＋a)故ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a)．10．已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋2x 在x ＝－1处取得极值，且在点(1，f(1))处的切线的斜率为2.(1)求a ，b 的值；(2)求函数y ＝f(x)的单调区间和极值． 【解】(1)f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f′（－1）＝0f′（1）＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －2b ＋2＝03a ＋2b ＋2＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－13b ＝12，经检验，符合题意，故a ＝－13，b ＝12.(2)由(1)得f′(x)＝－x 2＋x ＋2＝－(x ＋1)(x －2)，令f′(x)＝0，得x ＝－1或x ＝2.当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表；x (－∞，－1) －1 (－1，2) 2 (2，＋∞) f′(x) －0 ＋0 －f(x)极小值极大值数f(x)的极大值为f(2)＝103，极小值为f(－1)＝－76.11．设函数f(x)＝x 3－3ax ＋b(a≠0)．(1)若曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值点． 【解】 (1)f′(x)＝3x 2－3a.因为曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f′（2）＝0，f （2）＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧3（4－a ）＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24. (2)f′(x)＝3(x 2－a)(a≠0)．当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)； 此时函数f(x)没有极值点． 当a>0时，由f′(x)＝0得x ＝±a. 当x ∈(－∞，－a)时，f′(x)>0； 当x ∈(－a ，a)时，f′(x)<0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f′(x)>0.函数的单调递增区间为(－∞，－a)，(a ，＋∞)，递减区间为(－a ，a)． 此时x ＝－a 是f(x)的极大值点，x ＝a 是f(x)的极小值点．。
极大值与极小值 学业分层测评 2017-2018学年高中数学选修1-1苏教版
学业分层测评(十八) 极大值与极小值(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.函数y ＝2－x 2－x 3的极大值为________；极小值为________.【解析】 ∵y ′＝－2x －3x 2＝－x (3x ＋2)，由y ′＝0得x ＝0或x ＝－23.函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23，(0，＋∞)上都递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0上递增，所以函数的极大值为f (0)＝2，极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝5027.【答案】 250272.(2016·浏阳高二检测)函数f (x )＝2x＋ln x (x ＞0)的极小值为________.【解析】 ∵f (x )＝2x ＋ln x (x ＞0)，∴f ′(x )＝－2x 2＋1x.由f ′(x )＝0解得x ＝2.当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数.∴x ＝2为f (x )的极小值点，所以函数f (x )＝2x＋ln x 的极小值为f (2)＝1＋ln 2.【答案】 1＋ln 23.(2016·宿迁高二检测)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.【导学号：24830086】【解析】 f ′(x )＝x 2＋2x －ax ＋12(x ≠－1)，又y ＝f (x )在x ＝1处取得极值，则f ′(1)＝0，解得a ＝3.【答案】 34.(2016·浙江瑞安月考)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图336所示，则x 21＋x 22等于________.图336【解析】 由图象可知f (x )的图象过点(1,0)与(2,0)，x 1，x 2是函数f (x )的极值点，因此1＋b ＋c ＝0,8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.x 1，x 2是方程f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0的两根，因此x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83.【答案】 835.函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2＜x ＜2)的极大值为______.【解析】 y ′＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)，令y ′＝0，得x ＝－1或x ＝3.当－2＜x ＜－1时，y ′＞0；当－1＜x ＜2时，y ′＜0.所以当x ＝－1时，函数有极大值，且极大值为5，无极小值.【答案】 56.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数图象如图337所示，则函数f (x )的极小值是________.图337【解析】 由函数导函数的图象可知，函数f (x )在(－∞，0)上递减，在(0,2)上递增，所以函数f (x )在x ＝0时取得极小值c .【答案】 c7.若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________. 【解析】 令f (x )＝0得a ＝3x －x 3，于是y ＝a 和y ＝3x －x 3有3个不同交点，画出y ＝3x －x 3的图象即可解决.结合下图，可知－2＜a ＜2.【答案】 －2＜a ＜28.(2016·南通高二检测)如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图338所示，给出下列判断：图338①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值.则上述判断中正确的是________(填序号).【解析】 从图象知，当x ∈(－3，－2)时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12时，f ′(x )＞0，所以函数y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －3，－12内不单调，同理，函数y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内也不单调，故①②均不正确；当x ∈(4,5)时，f ′(x )＞0，所以函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增，故③正确；由于f ′(2)＝0，且在x ＝2的左、右两侧的附近分别有f ′(x )＞0与f ′(x )＜0，所以当x ＝2时函数y ＝f (x )取得极大值，而在x ＝－12的左、右两侧的附近均有f ′(x )＞0，所以x ＝－12不是函数y ＝f (x )的极值点，即④⑤均不正确.故填③.【答案】 ③ 二、解答题 9.求函数f (x )＝2xx 2＋1－2的极值. 【解】 函数的定义域为R .f ′(x )＝2 x 2＋1 －4x 2x 2＋1 2＝－2 x －1 x ＋1x 2＋12，令f ′(x )＝0得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f (1)＝－1.10.已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时函数有极大值3.(1)求a ，b 的值； (2)求函数y 的极小值.【导学号：24830087】【解】 (1)y ′＝3ax 2＋2bx ，当x ＝1时，y ′＝3a ＋2b ＝0，又因为y ＝a ＋b ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0，a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9.(2)y ＝－6x 3＋9x 2，y ′＝－18x 2＋18x ，令y ′＝0，得x ＝0或x ＝1. ∴当x ＝0时，函数y 取得极小值0.能力提升]1.若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________.【解析】 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0.∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根， 即Δ＝4a 2－4a －8＞0，解得a ＞2或a ＜－1. 【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞)2.已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论：①f (0)f (1)＞0；②f (0)f (1)＜0；③f (0)f (3)＞0；④f (0)f (3)＜0.其中正确结论的序号是________.【解析】 ∵f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，∴f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝3.依题意，函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc 的图象与x 轴有三个不同的交点，故f (1)f (3)＜0，即(1－6＋9－abc )(33－6×32＋9×3－abc )＜0，∴0＜abc ＜4， ∴f (0)＝－abc ＜0，f (1)＝4－abc ＞0，f (3)＝－abc ＜0，故②③正确. 【答案】 ②③3.(2016·淮安高二检测)若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________.【解析】 f ′(x )＝2x －2b ＝2(x －b )，令f ′(x )＝0，解得x ＝b ，由于函数f (x )在区间(0,1)内有极小值，则有0＜b ＜1.当0＜x ＜b 时，f ′(x )＜0；当b ＜x ＜1时，f ′(x )＞0，符合题意.所以实数b 的取值范围是0＜b ＜1.【答案】 0＜b ＜14.设函数 f (x )＝ln x ＋mx，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)当m ≤0时，确定函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数.【解】 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex，则f ′(x )＝x －ex 2， ∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减， 当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增， ∴x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x ＞0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0).设φ(x )＝－13x 3＋x (x ＞0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0,1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0,1)上单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减. ∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点， ∴φ(x )的极大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，因为m ≤0，所以函数g (x )有且只有一个零点.。
苏教版数学高二-数学苏教版选修1-1课时训练 极大值和极小值
3.3.2 极大值和极小值一、填空题1．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值为________，极小值为________．2．三次函数，当x ＝1时有极大值4，当x ＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是________．3．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值等于13，则实数m 等于________．4．函数f (x )＝a ＋ln xx(a ∈R)的极大值等于________．5．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是________．6．已知函数f (x )＝13x 3＋12x 2－2x ＋m 的图象不经过第四象限，则实数m 的取值范围是________．7．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的是________．①当x ＝32时函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时函数取得极小值；④当x ＝1时函数取得极大值．8．若函数f (x )＝x 2ln x (x >0)的极值点是α，函数g (x )＝x ln x 2(x >0)的极值点是β，则有α、β的大小关系为________．9．f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列点中一定在x 轴上的是________．①(a ，b ) ②(a ，c ) ③(b ，c ) ④(a ＋b ，c ) 二、解答题10．设函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴交点为P ，且曲线在P 点处的切线方程为12x －y －4＝0.若函数在x ＝2处取得极值0，试确定函数的解析式．11．设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R. (1)若f (x )在x ＝3处取得极值，求常数a 的值；(2)若f (x )在(－∞，0)上为增函数，求a 的取值范围．12．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1. (1)设a ＝2，求f (x )的单调区间；(2)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围． 答案1 解析：∵f (x )与x 轴切于(1,0)点， f ′(x )＝3x 2－2px －q ， ∴f ′(1)＝3－2p －q ＝0. 又f (1)＝1－p －q ＝0， ∴p ＝2，q ＝－1.∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.由f ′(x )＝0得x 1＝13，x 2＝1.f (x )极大值＝f (13)＝427，f (x )极小值＝f (1)＝0.答案：4272 解析：三次函数过原点，可设f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ， f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，f ′(1)＝3＋2b ＋c ＝0， f ′(3)＝27＋6b ＋c ＝0，∴b ＝－6，c ＝9，∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x ，f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)， 当x ＝1时，f (x )极大值＝4；当x ＝3时，f (x )极小值＝0，满足条件．答案：y ＝x 3－6x 2＋9x3 解析：y ′＝－3x 2＋12x ，由y ′＝0，得x ＝0或x ＝4，容易得出当x ＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m ＝13，解得m ＝－19.答案：－194 解析：f ′(x )＝1－a ＋ln x x2，令f ′(x )＝0，得x ＝e 1－a ，当x <e 1－a时，f ′(x )>0；当x >e1－a时，f ′(x )<0，所以函数的极大值等于f (e1－a)＝1e1－a ＝e a －1. 答案：e a －15 解析：y ′＝3x 2－2a ，因为函数在(0,1)内有极小值，所以方程3x 2－2a ＝0较大的根在(0,1)内，所以2a ＝3x 2∈(0,3)，得a ∈(0，32)．答案：(0，32)6 解析：由于f ′(x )＝x 2＋x －2，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝1，当x <－2时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当－2<x <1时，f ′(x )<0，f (x )是减函数； 当x >1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，∴f (x )在x ＝－2时取得极大值，且f (－2)＝103＋m ；f (x )在x ＝1时取得极小值，且f (1)＝－76＋m ，因此要使函数f (x )的图象不经过第四象限，应使其极小值不小于零，即－76＋m ≥0，m ≥76，故m 的取值范围是m ≥76. 答案：m ≥767解析：从图象上可以看到：当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确．答案：①8解析：由于f ′(x )＝2x ln x ＋x ，令f ′(x )＝0，得x ＝e －12，容易验证x ＝e －12就是函数f (x )的极值点，故α＝e －12.又g ′(x )＝ln x 2＋2，令g ′(x )＝0，得x ＝e －1，容易验证x ＝e －1就是函数g (x )的极值点，故β＝e －1，因此有α>β.答案：α>β9 解析：f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知1，－1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，1－1＝－2b3a，b ＝0.答案：①10 解：∵P 点坐标为P (0，d )，又曲线在点P 处切线为12x －y －4＝0， ∴当x ＝0时，y ＝d ，即d ＝－4， ∵y ′|x ＝0＝c ，又切线斜率k ＝12，∴c ＝12. 又函数在x ＝2处取得极值0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ′|x ＝2＝0，f 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋4b ＋12＝0，8a ＋4b ＋20＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－9.∴函数解析式为y ＝2x 3－9x 2＋12x －4.11 解：(1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －a )(x －1)． 因f (x )在x ＝3处取得极值，所以f ′(3)＝6(3－a )(3－1)＝0，解得a ＝3. 经检验知当a ＝3时，x ＝3为f (x )的极值点．(2)令f ′(x )＝6(x －a )(x －1)＝0，得x 1＝a ，x 2＝1.当a <1时，若x ∈(－∞，a )∪(1，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，a )和(1，＋∞)上为增函数，故当0≤a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．当a ≥1时，若x ∈(－∞，1)∪(a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)和(a ，＋∞)上为增函数，从而f (x )在(－∞，0)上也为增函数．综上所述，当a ∈[0，＋∞)时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．12 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 3－6x 2＋3x ＋1， f ′(x )＝3(x －2＋3)(x －2－3)．当x ∈(－∞，2－3)时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，2－3)上单调增加； 当x ∈(2－3，2＋3)时，f ′(x )<0，f (x )在(2－3，2＋3)上单调减少； 当x ∈(2＋3，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(2＋3，＋∞)单调增加．综上，f (x )的单调增区间是(－∞，2－3)和(2＋3，＋∞)，f (x )的单调减区间是(2－3，2＋3)，(2)f ′(x )＝3[(x －a )2＋1－a 2]．当1－a 2≥0时，f ′(x )≥0，所以f (x )为增函数，故f (x )无极值点；当1－a 2<0时，f ′(x )＝0有两个根x 1＝a －a 2－1，x 2＝a ＋a 2－1由题意知，2<a －a 2－1<3，①或2<a ＋a 2－1<3.②式无解，②式的解为54<a <53因此，a 的取值范围是(54，53)．。
高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.2 极大值与极小值作业 苏教版选修1-1
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题3.3.2 极大值与极小值[基础达标]1．函数f (x )＝x 3－12x 的极大值与极小值之和为________．解析：函数的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2或x 2＝2.列∴当x ＝－2时，函数有极大值f (－2)＝16.当x ＝2时，函数有极小值f (2)＝－16. ∴极大值与极小值之和为f (2)＋f (－2)＝0. 答案：02．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则下列结论正确的是________．①x ＝12为f (x )的极大值点；②x ＝12为f (x )的极小值点；③x ＝2为f (x )的极大值点； ④x ＝2为f (x )的极小值点．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2x2＋1x ＝x －2x2，当x ＝2时，f ′(x )＝0时；当x >2时，f ′(x )>0时，函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，函数f (x )为减函数，所以x ＝2为f (x )的极小值点．答案：④3．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.解析：∵f ′(x )＝(x 2＋ax ＋1)′＝x 2＋a x ＋－x 2＋a x ＋x ＋2＝x 2＋2x －a x ＋2，又∵函数f (x )在x ＝1处取极值， ∴f ′(1)＝0.∴1＋2×1－a ＝0，∴a ＝3.验证知a ＝3符合题意．答案：34．若函数f (x )＝x 3＋mx 2－m 2x ＋1(m 为常数，且m >0)有极大值9，则m 的值是________．解析：由f ′(x )＝3x 2＋2mx －m 2＝(x ＋m )(3x －m )＝0，得x ＝－m 或x ＝13m ，↗ ↘ ↗从而可知，当x ＝－m 时，函数f (x )取得极大值9，即f (－m )＝－m 3＋m 3＋m 3＋1＝9， ∴m ＝2. 答案：25．函数f (x )的定义域为(a ，b )，其导函数y ＝f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在区间(a ，b )内极值点的个数是________．解析：函数在x ＝x 0处取得极值必须满足两个条件：①x 0为f ′(x )＝0的根；②导数值在x 0左右异号．所以，有3个极值点． 答案：36．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间(－3，－12)内单调递增；②函数y ＝f (x )在区间(－12，3)内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值；⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断正确的是________．(填序号) 解析：当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0， 所以f (x )在(－∞，－2)上为减函数， 同理f (x )在(2,4)上为减函数，在(－2,2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数， 所以可排除①和②，可选择③.由于函数在x ＝2的左侧递增，右侧递减， 所以当x ＝2时，函数有极大值；而在x ＝－12的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x ＝－12的左右两侧均为增函数，所以x ＝－12不是函数的极值点．排除④和⑤.答案：③7．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求实数a ，b ，c 的值；(2)试判断当x ＝1时函数取得极大值还是极小值，并说明理由．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由f ′(1)＝0，f ′(－1)＝0，f (1)＝－1解得a ＝12，b＝0，c ＝－32；(2)f (x )＝12x 3－32x ，f ′(x )＝32x 2－32，当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，当－1<x <1时，f ′(x )<0.函数在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数．所以，当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1；当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.8．设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点．解：(1)f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝0，f ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝0，8－6a ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；此时函数f (x )没有极值点．当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．[能力提升] 1．(2014·苏州检测)若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________．解析：由f ′(x )＝3x 2－6b ＝0，得x ＝±2b (b >0)， ∵f (x )在(0,1)内有极小值，∴0<2b <1，∴0<b <12.答案：0<b <122．设a ∈R ，若函数y ＝e ax＋3x (x ∈R )有大于零的极值点，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3＋a e ax ，函数在x ∈R 上有大于零的极值点，即f ′(x )＝3＋a e ax＝0有正根；当f ′(x )＝3＋a e ax＝0成立时，显然有a <0，此时x ＝1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a ；由x >0即1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a >0结合a <0解得参数a 的范围为a <－3.答案：a <－33．设a 为实数，函数f (x )＝－x 3＋3x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)是否存在实数a ，使得方程f (x )＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)令f ′(x )＝－3x 2＋3＝0，得x1＝－1，x2＝1.又因为当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.所以f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，f(x)的极大值为f(1)＝a＋2.(2)因为f(x)在(－∞，－1)上单调递减，且当x→－∞时，f(x)→＋∞；又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且当x→＋∞时，f(x)→－∞；而a＋2>a－2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰好有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＋2＝0，a＝－2，如图(1)．当极小值等于0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a－2＝0，a＝2.如图(2)．综上，当a＝2或a＝－2时方程恰好有两个实数根．4．(创新题)设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.解：(1)由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝e x－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．(2)证明：设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R.于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.即e x－x2＋2ax－1>0，故e x>x2－2ax＋1.。
3.3.2极大值与极小值 作业1 2017-2018学年高中数学选修1-1苏教版
3.3.2 极大值与极小值5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.若函数y=f(x)可导，则“f′(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案：A2.函数f(x)=x 3+ax 2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值，则a 等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 答案：D 解法一：（直接法）f′(x)=3x 2+2ax+3,则x=-3为方程3x 2+2ax+3=0的根，所以a=5.故选D. 解法二：（验证法）当a=2时，f′(x)=3x 2+4x+3=0.无解，排除A ； 当a=3时，f′(x)=3x 2+6x+3=0,x=-1，不满足条件，排除B ；当a=4时，f′(x)=3x 2+8x+3=0,其根不满足条件，排除C ，故选D. 3.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx 2+x 的两个极值点. 试确定常数a 和b 的值及函数f(x)的表达式. 解：f′(x)=xa+2bx+1， ∵f′(1)=f′(2)=0，∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.0142,012b a b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.61,32b a∴f(x)=-32lnx-61x 2+x. 10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.对于函数f(x)=x 3-3x 2,下列命题正确的有…（ ） (1)f(x)是增函数,无极值; (2)f(x)是减函数,无极值;(3)f(x)的递增区间为(-∞,0)和(2,+∞),递减区间为(0,2); (4)f(0)=0是极大值,f(2)=-4是极小值.A.1个B.2个C.3个D.4个 答案：B解析：对函数进行求导,利用导函数的性质. ∵f′(x)=3x 2-6x,∴当f′(x)=3x 2-6x ＞0时,解得x ＜0或x ＞2,故函数的递增区间为(-∞,0)和(2,+∞),同理递减区间为(0,2),∴f(0)=0是极大值,f(2)=-4是极小值.有2个正确.2.对函数y=22x x -,下列结论中正确的是……（ ）A.无极值B.极值点有两个,x=0与x=2C.极值点只有一个,x=1D.极值点有两个,x=1与x=2 答案：C解析：函数的定义域为0≤x≤2,由y′=221xx x -+-=0,得x=1且当0＜x ＜1时,y′＞0,1＜x ＜2时,y′＜0, ∴x=1为极值点.3.下列结论中,正确的是（ ） A.导数为零的点一定是极值点B.如果在x 0附近的左侧f′(x)＞0,右侧f′(x)＜0,那么f(x 0)是极大值C.如果在x 0附近的左侧f′(x)＞0,右侧f′(x)＜0,那么f(x 0)是极小值D.如果在x 0附近的左侧f′(x)＜0,右侧f′(x)＞0,那么f(x 0)是极大值 答案：B4.函数f(x)=x 3-3bx+3b 在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围是___________. 答案：0＜b ＜1解析：利用导数，由题设可得f′(x)=3x 2-3b ，若该函数在（0，1）内有极小值时，只需该二次函数的较大根在此区间内即可，即0＜b ＜1,从而有0＜b ＜1成立.5.函数f(x)=x 3-3a 2x+a(a ＞0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的范围是___________. 答案：a ＞22 解析:f′(x)=3x 2-3a 2=3(x-a)(x+a)(a ＞0), 令f′(x)=0，得x=±a,当-a ＜x ＜a 时，f′(x)＜0,函数递减； 当x ＞a 或x ＜-a 时，f′(x)＞0,函数递增. ∴f(-a)=-a 3+3a 3+a ＞0,f(a)=a 3-3a 3+a ＜0,解得a ＞22. 6.若f(x)=x 3+3ax 2+3(a+2)x+1有极大值和极小值，求a 的取值范围.解：f(x)为三次函数，f′(x)为二次函数，f′(x)=3x 2+6ax+3(a+2)，要使f(x)既有极大值又有极小值，需f′(x)=0有两个不相等的实数根，从而有Δ=(2a)2-4(a+2)＞0,解得a ＜-1或a ＞2. ∴a 的取值范围是（-∞,-1)∪(2,+∞)30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.已知函数f(x)=x 3-px 2-qx 的图象与x 轴切于（1，0）点，则f(x)的（ ）A.极大值为274，极小值为0 B.极大值为0，极小值为-274C.极小值为275-，极大值为0D.极小值为0，极大值为275答案：A解析：∵f(x)与x 轴切于（1，0）点，f′(x)=3x 2-2px-q ， ∴f′(1)=3-2p-q=0.又f(1)=1-p-q=0, ∴p=2,q=-1.∴f(x)=x 3-2x 2+x. ∴f(x)max =f(31)=274,f(x)min =f(1)=0. 2.三次函数当x=1时有极大值4，当x=3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ） A.y=x 3+6x 2+9x B.y=x 3-6x 2+9xC.y=x 3-6x 2-9xD.y=x 3+6x 2-9x 答案：B解析：三次函数过原点，可设f(x)=x 3+bx 2+cx,f′(x)=3x 2+2bx+c, 由题设知，f′(1)=3+2b+c=0,f′(3)=27+6b+c=0, ∴b=-6,c=9.∴f(x)=x 3-6x 2+9x;f′(x)=3x 2-12x+9=3(x-1)(x-3). 当x=1时，f(x)max =4;当x=3时，f(x)min =0，满足条件. 3.函数y=1+3x-x 3有（ ）A.极小值-2，极大值2B.极小值-2，极大值3C.极小值-1，极大值1D.极小值-1，极大值3 答案：D解析：y′=3-3x 2=3(1+x)(1-x).令y′=0得x 1=-1,x 2=1. 当x ＜-1时，y′＜0,函数y=1+3x-x 3是减函数； 当-1＜x ＜1时，y′＞0，函数y=1+3x-x 3是增函数； 当x ＞1时,y′＜0,函数y=1+3x-x 3是减函数. ∴当x=-1时,函数y=1+3x-x 3有极小值-1; 当x=1时，函数y=1+3x-x 3有极大值3. 4.下列函数存在极值的是（ ） A.y=x1B.y=x-e xC.y=2D.y=x 3 答案：B 解析：y=x1在定义域上不连续,且x ＞0时单调递减,x ＜0时也单调递减;y=x 3是单调函数. 5.f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值，则常数c 的值为___________. 答案：6解析：x=2是f(x)的极大值点,∵f(x)=x(x-c)2=x(x 2-2cx+c 2),∴f′(x)=x(2x -2c)+x 2-2cx+c 2=3x 2-4cx+c 2.∴f′(2)=c 2-8c+12=0.∴c=2或c=6. 当c=2时,不能取极大值.∴c=6.6.判断函数y=|ax-b|(a ＞0)在其定义域内是否存在极值. 解：在x=a b 附近有f(x)＞f(a b ),∴由极值的定义知,f(x)在x=a b 处取得极小值f(ab)=0. 7.已知f(x)=ax 3+bx 2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值，且f(1)=-1.(1)试求常数a 、b 、c 的值； （2）试判断x=±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由. 解：（1）由f′(-1)=f′(1)=0,得3a+2b+c=0,3a-2b+c=0. 又f(1)=-1,∴a+b+c=-1.∴a=21,b=0,c=-23. (2)f(x)=21x 3-23x,∴f′(x)=23x 2-23=23(x-1)(x+1);当x ＜-1或x ＞1时，f′(x)＞0;当-1＜x ＜1时，f′(x)＜0.∴函数f(x)在(-∞,-1)和（1，+∞）上为增函数，在（-1，1）上为减函数. ∴当x=-1时，函数取得极大值f(-1)=1;当x=1时，函数取得极小值f(1)=-1. 8.设a 为实数，函数f(x)=x 3-x 2-x+a. (1)求f(x)的极值；（2）当a 在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点. 解：（1）f′(x)=3x 2-2x-1. 若f′(x)=0,则x 1=-31,x 2=1所以f(x)的极大值是f(-3)=27+a,极小值是f(1)=a-1. (2)函数f(x)=x 3-x 2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1.由此可知x 取足够大的正数时，有f(x)＞0,x 取足够小的负数时,有f(x)＜0. 所以曲线y=f(x)与x 轴至少有一个交点. 结合f(x)的单调性可知. 当f(x)的极大值275+a ＜0,即a ∈(-∞,-275)时，它的极小值也小于0，因此曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点，它在（1，+∞）上.当f(x)的极小值a-1＞0,即a ∈(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点，它在（-∞，31-=)上. 所以当a ∈(-∞,-275)∪(1,+∞)时，曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点. 9.已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx 在点x 0处取得极大值5，其导函数y=f′(x)的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示.求：（1）x 0的值； （2）a 、b 、c 的值.答案：(1)解：由图象可知，在（-∞,1）上f′(x)＞0,在（1，2）上f′(x)＜0.在（2，+∞）上f′(x)＞0.故f(x)在（-∞,1）,(2,+∞)上递增，在（1，2）上递减. 因此f(x)在x=1处取得极大值，所以x 0=1. (2)解法一：f′(x)=3ax 2+2bx+c, 由f′(1)=0,f′(2)=0,f(1)=5,得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.5,0412,023c b a c b a c b a 解得a=2,b=-9,c=12.解法二：设f′(x)=m(x -1)(x-2)=mx 2-3mx+2m, 又f′(x)=3ax 2+2bx+c,所以a=3m ,b=-23m,c=2m, f(x)=3m x 3-23mx 2+2mx.由f(1)=5,即3m -23m+2m=5,得m=6,所以a=2,b=-9,c=12.。
苏教版数学高二 选修1-1测评 最大值与最小值
学业分层测评(十九) 最大值与最小值(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.已知函数f (x )＝x 3－3x ，|x |≤1，f (x )的最小值为________.【解析】 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0，所以f (x )在[－1,1]上是单调递减函数，f (x )的最小值为f (1)＝－2.【答案】 －22.(2016·徐州高二检测)函数y ＝xe x 在[0,2]上的最大值是________.【解析】 由f (x )＝xe x 得f ′(x )＝1－x e x ，当x ∈[0,1]时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(1,2]时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，∴当x ＝1时，函数取得最大值f (1)＝1e .【答案】 1e3.函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是________.【解析】 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′＞0，则函数y 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数， 所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π. 【答案】 π4.(2016·无锡高二检测)函数f (x )＝1x ＋1＋x (x ∈[1,3])的值域为________. 【解析】 f ′(x )＝－1(x ＋1)2＋1＝x 2＋2x (x ＋1)2，所以在[1,3]上f ′(x )＞0恒成立，即f (x )在[1,3]上单调递增，所以f (x )的最大值是f (3)＝134，最小值是f (1)＝32. 故函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，134.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1345.已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于________.【解析】 当a ≤－1时，最大值为4，不合题意，当－1＜a ＜2时，f (x )在[a,2]上是减函数，f (a )最大，－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去). 【答案】 －126.函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为________.【解析】 f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1; 令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.【答案】 12 7.下列结论：①在区间[a ，b ]上，函数的极大值就是最大值； ②在区间[a ，b ]上，函数的极小值就是最小值；③在区间[a ，b ]上，函数的最大值、最小值在x ＝a 和x ＝b 时达到； ④在区间[a ，b ]上的连续函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值和最小值. 其中正确的是________(填序号).【解析】 因为连续函数在闭区间上极大值不一定就是最大值，极小值也不一定就是最小值，最值不一定在区间端点取到，所以①②③都不正确，而连续函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值和最小值，所以④正确.【答案】 ④8.(2016·马鞍山高二检测)已知函数f(x)＝ax2＋2ln x，若当a＞0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________.【解析】由f(x)＝ax2＋2ln x得f′(x)＝2(x2－a)x3，又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a＞0，令f′(x)＝0，得x＝－a(舍去)或x＝a.当0＜x＜a时，f′(x)＜0；当x ＞a时，f′(x)＞0.故x＝a是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f(a)＝ln a＋1.要使f(x)≥2恒成立，需ln a＋1≥2恒成立，则a≥e.【答案】[e，＋∞)二、解答题9.求函数f(x)＝－x3＋3x，x∈[－3，3]的最大值和最小值.【解】f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可知：当x＝1时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f(1)＝2.当x＝－1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(－1)＝－2.10.已知函数f(x)＝1－xx＋k ln x，k≤0，求函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e，e上的最大值和最小值.【解】因f(x)＝1－xx＋k ln x，f′(x)＝－x－1＋xx2＋kx＝kx－1x2.①若k ＝0，则f ′(x )＝－1x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒有f ′(x )<0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减.∴f (x )min ＝f (e)＝1－e e ，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －1.②若k <0，f ′(x )＝kx －1x 2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2，则在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上恒有k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k x 2<0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递减，∴f (x )min ＝f (e)＝1－e e ＋k ln e ＝1e ＋k －1，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e －k －1. 综上，当k ＝0时，f (x )min ＝1－ee ，f (x )max ＝e －1； 当k <0时，f (x )min ＝1e ＋k －1，f (x )max ＝e －k －1.[能力提升]1.(2016·淄博高二检测)已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a ).若f ′(－1)＝0，函数f (x )在[－2,2]上的最大值为________，最小值为________.【解析】 由原式可得f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，f ′(x )＝3x 2－2ax －4.由f ′(－1)＝0得a ＝12，此时f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，f ′(x )＝3x 2－x －4.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝43.又f (－1)＝92，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43 ＝－5027，f (－2)＝f (2)＝0，所以函数f (x )在[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027. 【答案】 92 －50272.已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表，f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图3-3-9所示f(x)12 1.52 1图3-3-9下列关于函数f(x)的命题：①函数f(x)的值域为[1,2]；②函数f(x)在[0,2]上是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，函数f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y＝f(x)－a最多有4个零点.其中正确命题的序号是________.【解析】由导函数的图象可知，当－1＜x＜0或2＜x＜4时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，当0＜x＜2和4＜x＜5时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，当x＝0和x＝4时，函数f(x)取得极大值f(0)＝2，f(4)＝2，当x＝2时，函数f(x)取得极小值f(2)＝1.5，又f(－1)＝f(5)＝1，所以函数f(x)的最大值为2，最小值为1，值域为[1,2]，①正确，②正确；要使x∈[－1，t]时，函数f(x)的最大值是2，则0≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；因为函数f(x)的极小值为f(2)＝1.5，极大值为f(0)＝f(4)＝2.所以当1＜a＜2时，函数y＝f(x)－a最多有4个零点，所以④正确.【答案】①②④3.(2016·南京高二检测)设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为________.【解析】因为x∈(0,1]，所以f(x)≥0可化为a≥3x2－1x3.设g(x)＝3x2－1x3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4.令g ′(x )＝0，得x ＝12.当0＜x ＜12时，g ′(x )＞0；当12＜x ≤1时，g ′(x )＜0. 所以g (x )在(0,1]上有极大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，它也是最大值，故a ≥4.【答案】 [4，＋∞)4.已知函数f (x )＝e x ＋ax 2－e 2x ，若x >0时，总有f (x )>－e 2x ，求实数a 的取值范围.【解析】 由f (x )>－e 2x 得：a >－e x x 2，设g (x )＝－e x x 2，x >0，则g ′(x )＝e x(2－x )x 3，令g ′(x )＝0，得x ＝2.∴当x ∈(0,2)时，g ′(x )>0，g (x )在(0,2)上单调递增； 当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )在(2，＋∞)上单调递减. 当x ＝2时，y (x )取最大值为－e 24，∴g (x )≤g (2)＝－e 24，因此，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－e 24，＋∞.。
2019-2020学年苏教版选修1-1课时跟踪训练(二十) 极大值与极小值 作业
[对应课时跟踪训练(二十)]1．函数y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为________，极小值为________． 解析：因为y ′＝3x 2－6＝3(x ＋2)(x －2)， 由y ′＞0，得x ＞2或x ＜－2， 由y ′＜0，得－2＜x ＜2， 所以当x ＝－2时取极大值a ＋42， 当x ＝2时取极小值a －4 2. 答案：a ＋42 a －4 22．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，导函数f ′(x )在区间(a ，b )上的图象如图所示，则函数y ＝f (x )在(a ，b )上极大值点的个数为________．解析：极大值点在导函数f ′(x 0)＝0处，且满足x 0左侧为正，右侧为负，由图象知有3个．答案：33．已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值为0，则m ＋n ＝________.解析：因为f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝0，f ′(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m －n －1＝0，－6m ＋n ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝3.检验知当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3时，函数没有极值． 所以m ＋n ＝11. 答案：114．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点，则a 的范围是________． 解析：因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ， 令f ′(x )＝0，当Δ＝4a 2－84a ≤0， 即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立， 此时函数不存在极值点． 答案：[0,21]5．已知函数f (x )＝13x 3＋12x 2－2x ＋m 的图象不经过第四象限，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，令f ′(x )>0，得x <－2或x >1，f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上为增函数，在(－2,1)上为减函数． 若不经过第四象限，则f (1)≥0，得13＋12－2＋m ≥0，∴m ≥76.答案：⎣⎡⎭⎫76，＋∞6．求函数f (x )＝x 3－12x 的极值． 解：函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：且f (－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16.当x ＝2时，函数有极小值，且f (2)＝23－12×2＝－16. 7．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值． (1)讨论f (1)和f (－1)是函数f (x )的极大值还是极小值； (2)过点A (0,16)作曲线y ＝f (x )的切线，求此切线方程． 解：(1)因为f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意，f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b －3＝0，3a －2b －3＝0，解得a ＝1，b ＝0.所以f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3 ＝3(x ＋1)(x －1)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1. 若x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f ′(x )＞0， 故f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数；若x ∈(－1,1)，则f ′(x )＜0，故f (x )在(－1,1)上是减函数． 所以f (－1)＝2是极大值，f (1)＝－2是极小值． (2)曲线方程为y ＝x 3－3x ，点A (0,16)不在曲线上．设切点为M (x 0，y 0)，则点M 的坐标满足曲线方程，所以y 0＝x 30－3x 0.因为f ′(x 0)＝3(x 20－1)，故切线方程为y －y 0＝3(x 20－1)(x －x 0)， 因为点A (0,16)在切线上，有16－(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(0－x 0)，化简得x 30＝－8，解得x 0＝－2.所以切点为M (－2，－2)，切线方程为9x －y ＋16＝0. 8．设函数f (x )＝x 4＋ax 3＋2x 2＋b ，a ，b ∈R . (1)当a ＝－103时，讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )仅在x ＝0处有极值，试求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝4x 3＋3ax 2＋4x ＝x (4x 2＋3ax ＋4)， 当a ＝－103时，f ′(x )＝x (4x 2－10x ＋4)＝2x (2x －1)(x －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝12，x 3＝2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示：所以f (x )在⎝⎭⎫0，12和(2，＋∞)上是增函数， 在区间(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫12，2上是减函数． (2)f ′(x )＝x (4x 2＋3ax ＋4)，显然x ＝0不是方程4x 2＋3ax ＋4＝0的根． ∵f (x )仅在x ＝0处有极值，∴方程4x 2＋3ax ＋4＝0有两个相等的实根或无实根，Δ＝9a 2－4×16≤0，解得－83≤a ≤83，这时，f (0)＝b 是惟一极值，因此满足条件的a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－83，83.。
苏教版数学高二- 选修1-1试题 最大值与最小值
3.3.3 最大值与最小值一、填空题1．函数f(x)＝4x－x4在上的最大值是________．【解析】f′(x)＝4－4x3，令f′(x)＝0得x＝1，又当x>1时，f′(x)<0，x<1时，f′(x)>0.∴f(x)在x＝1取得最大值f(1)＝3.【答案】 32．函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在上的最大值和最小值的和是________．【解析】f′(x)＝6x2－6x－12，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝2.但x∈，∴x＝－1舍去，∴x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x 0 (0，2) 2 (2，3) 3f′(x)－0 ＋f(x) 5 －15 －4 由上表，知f(x)max＝5，f(x)min＝－15，所以f(x)max＋f(x)min＝－10.【答案】－103．函数y＝2x3－6x2－18x－7在上的最小值为________．【解析】y′＝6x2－12x－18＝6(x＋1)(x－3)，令y′＝0得x1＝－1(舍)，x2＝3.列表x 1 (1，3) 3 (3，4) 4y′－0 ＋y 极小∴y极小＝y|x＝3∴y最小＝－61.【答案】－614．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在上有最大值3，则m的值为________．【解析】f′(x)＝6x2－12x，由6x2－12x＝0x＝0或x＝2.当x>2或x<0时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0，∴当x＝0时，f(x)取得极大值；当x＝2时，f(x)取得极小值．又f(0)＝m，f(2)＝m－8，f(－2)＝m－40，∴f(x)的最大值为f(0)＝3，∴m ＝3. 【答案】 35．函数f(x)＝2x 3－6x 2＋a(a 为常数)在上的最大值为5，那么此函数在上的最小值为________．【解析】 f′(x)＝6x 2－12x ＝6x(x －2)， 令f′(x)＝0得x 1＝0，x 2＝2.列表x －2 (－2，0) 0 (0，2) 2 f′(x) ＋0 －f(x)极大∴f(x)极大max ∴f(－2)＝a －40＝－35，f(2)＝a －8＝－3. ∴f(x)min ＝－35. 【答案】 －356．设直线x ＝t 与函数f(x)＝x 2，g(x)＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN|达到最小时t 的值为________．【解析】 |MN|的最小值，即函数h(x)＝x 2－ln x 的最小值，h′(x)＝2x －1x ＝2x 2－1x ，显然x ＝22是函数h(x)在其定义域内惟一的极小值点，也是最小值点，故t ＝22. 【答案】227．在区间上，函数f(x)＝x 2＋px ＋q 与g(x)＝2x ＋1x 2在同一点取得相同的最小值，则f(x)在区间上的最大值是________．【解析】 依题意，得g′(x)＝2－2x 3.令g′(x)＝0，得x ＝1.∵g(1)＝2＋1＝3，g(12)＝5，g(2)＝174，∴当x ＝1时，g(x)取得最小值3. ∵1∈且1不是区间的端点，∴x ＝1是f(x)＝x 2＋px ＋q 的对称轴， ∴－p2＝1，4q －p 24＝3，解得p ＝－2，q ＝4.∴f(x)＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3. ∴x ＝2时，f(x)max ＝4. 【答案】 4 8．设函数f(x)＝x 3－x 22－2x ＋5，若对于任意x ∈都有f(x)＞m ，则实数m 的取值范围是________．【解析】 ∵f′(x)＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)， 令f′(x)＝0，得x ＝－23或x ＝1，又f(－1)＝－1－12＋2＋5＝112，f(1)＝1－12－2＋5＝72，∴f(x)min ＝72，∴m ＜72.【答案】 (－∞，72)二、解答题9．已知a 是实数，函数f(x)＝x 2(x －a)．(1)当f′(1)＝3时，求a 的值及曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求f(x)在区间上的最大值．【解】 (1)f′(x)＝3x 2－2ax.因为f′(1)＝3－2a ＝3，所以a ＝0. 当a ＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，所以曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x －y －2＝0. (2)令f′(x)＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a3.当2a3≤0，即a≤0时，f(x)在max ＝f(2)＝8－4a. 当2a3≥2，即a≥3时，f(x)在max ＝f(0)＝0. 当0＜2a3＜2，即0＜a ＜3时，f(x)在上是增加的，从而max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ， 0＜a≤2，0， 2＜a ＜3.综上所述，max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ， a≤2，0， a ＞2.10．已知函数f(x)＝ax 2＋1(a>0)，g(x)＝x 3＋bx.(1)若曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a ＝3，b ＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间上的最大值为28，求k 的取值范围． 【解】 (1)∵f(x)＝ax 2＋1，∴f′(x)＝2ax ，∴f′(1)＝2a.又f(1)＝c ＝a ＋1，∴f(x)在点(1，c)处的切线方程为y －c ＝2a(x －1)，即y －2ax ＋a －1＝0.∵g(x)＝x 3＋bx ，∴g′(x)＝3x 2＋b ，∴g′(1)＝3＋b. 又g(1)＝1＋b ＝c ，∴g(x)在点(1，c)处的切线方程为y －(1＋b)＝(3＋b)(x －1)，即y －(3＋b)x ＋2＝0. 依题意知3＋b ＝2a ，且a －1＝2，即a ＝3，b ＝3. (2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当a ＝3，b ＝－9时， h(x)＝x 3＋3x 2－9x ＋1， h′(x)＝3x 2＋6x －9.令h′(x)＝0，得x 1＝－3，x 2＝1.h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的变化情况如下： x (－∞，－3) －3 (－3，1) 1 (1，2) 2 h′(x) ＋0 －0 ＋h(x)28－43当k≤－3时，函数h(x)在区间上的最大值为h(－3)＝28； 当－3<k<2时，函数h(x)在区间上的最大值小于28. 因此，k 的取值范围是(－∞，－3]． 11．已知函数f(x)＝xln x. (1)求f(x)的最小值；(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax －1，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， f(x)的导数f′(x)＝1＋ln x. 令f′(x)>0，解得x>1e ；令f′(x)<0，解得0<x<1e.从而f(x)在(0，1e )上单调递减，在(1e ，＋∞)上单调递增．所以，当x ＝1e 时，f(x)取得最小值－1e.(2)依题意，得f(x)≥ax －1在[1，＋∞)上恒成立，即不等式a≤ln x ＋1x 对于x ∈[1，＋∞)恒成立，令g(x)＝ln x ＋1x ，则g′(x)＝1x －1x 2＝1x (1－1x )．当x>1时，因为g′(x)＝1x (1－1x)>0，故g(x)是(1，＋∞)上的增函数，所以g(x)的最小值是g(1)＝1， 所以实数a 的取值范围是(－∞，1]．。
高中数学极大值与极小值课件苏教版选修
(2)因为f′(x)=x2-2ax+(a2-1)
=[x-(a-1)][x-(a+1)],
所以方程f′(x)=0的两根为a-1和a+1,
显然，函数f(x)在x=a-1时取得极大值，在x=a+1时取得极
小值. 因为方程f(x)=0有三个不等实根，
所以ff((aa-+11))><00,,即
1 3 1
4.已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y=3x-x3的极大值 点坐标为(b,c),则ad=____. 【解析】∵y′=3-3x2,令y′=0得x=±1, 且当x>1时，y′<0,当-1≤x≤1时，y′≥0， 当x<-1时，y′<0,故x=1为y=3x-x3的极大值点， 即b=1, 又c=3b-b3=3×1-1=2,∴bc=2, 又∵a,b,c,d成等比数列， ∴ad=bc=2. 答案：2
3 2
,
y极大值=f(1)=32 .
பைடு நூலகம்
答案：3
3
2
2
3.(2010·北京高二检测)函数f(x)的定义域为开区间(a,b)， 导函数f′(x)在(a,b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区 间(a,b)内有极小值点____个.
【解题提示】极小值点是导数为0的点.且f(x)左减右增， 即f′(x)左负右正时f(x)取得极小值. 【解析】由图像看，在图像与x轴的交点处左侧f′(x)＜0，右 侧f′(x)＞0的点才满足题意，这样的点只有一个B点. 答案：1
(a+2)(a-1)2 (a-2)(a+1)2
>0, <0,
3
解得-2<a<2且a≠±1.
故a的取值范围是（-2，-1）∪(-1,1)∪(1,2).
2019-2020学年苏教版高中数学选修1-1同步课堂精练：3.3.2极大值与极小值Word版含答案
2019-2020学年苏教版数学精品资料1．设函数f(x)＝2x＋ln x，则下列说法正确的是__________．①12x为f(x)的极大值点②12x为f(x)的极小值点③x＝2为f(x)的极大值点④x＝2为f(x)的极小值点2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′（x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′（x)的图象可能是__________(填序号)．3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为__________．4．函数f(x)＝3x＋3ln x的极小值为__________．5．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为a＝________，b＝________.6．若函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则b的范围是__________．7．已知函数y＝ax3－15x2＋36x－24在x＝3处有极值，则函数的单调递减区间为__________．8．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是__________．9．设函数f(x)＝kx3－3x2＋1(k≥0)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的极小值大于0，求k的取值范围．10．设函数f(x)＝sin x－cos x＋x＋1,0＜x＜2π，求函数f(x)的单调区间与极值．参考答案1.答案：④解析：由22112()10f'x x x x x 可得x ＝2.当0＜x ＜2时，f ′ (x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞2时，f ′（x )＞0，f (x )单调递增.故x ＝2为f (x )的极小值点. 2.答案：③解析：由题意可得f ′(－2)＝0，而且当x ∈(－∞，－2)时，f ′（x )＜0，此时xf ′（x )＞0；当x ∈(－2，＋∞)时，f ′（x )＞0，此时若x ∈(－2,0)，xf ′（x )＜0，若x ∈(0，＋∞)，xf ′（x )＞0，所以函数y ＝xf ′（x )的图象可能是③.3.答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞) 解析：f ′（x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，根据题意知，Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)＞0，即a 2－3a －18＞0，解得a ＞6或a ＜－3.4.答案：3 解析：函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，22333(1)()x f'x x x x ，令f ′ (x )＝0得x ＝1.当x 变化时，f ′（x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1)1(1，＋∞)f ′（x )－0＋f (x )极小值3因此当x ＝1时，f (x )有极小值 3.5.答案：1 －3 解析：∵f ′（x )＝3ax 2＋b ，∴f ′(1)＝3a ＋b ＝0.①又当x ＝1时有极值－2，∴a ＋b ＝－2.②联立①②，解得113.a b 6.答案：0＜b ＜1 解析：f ′（x )＝3x 2－3b ，要使f (x )在(0,1)内有极小值，则(0)0,(1)0,f f 即30,330,bb 解得0＜b ＜1.7.答案：(2,3) 解析：y ′＝3ax 2－30x ＋36.∵函数在x ＝3处有极值，∴27a －90＋36＝0，∴a ＝2.∴y ′＝6x 2－30x ＋36.令y ′＜0，得6x 2－30x ＋36＜0，即x 2－5x ＋6＜0，∴2＜x ＜3，∴函数的单调递减区间为(2,3).8.答案：a ＜－1 解析：∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a .当a ≥0时，y 不可能有极值点，故a ＜0. 由e x ＋a ＝0得e x ＝－a ，∴x ＝ln(－a ).∴x ＝ln(－a )即为函数的极值点.∴ln(－a )＞0，即ln(－a )＞ln 1.∴a ＜－1.9.答案：解：(1)当k ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1，∴f (x )的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞). 当k ＞0时，f ′（x )＝3kx 2－6x ＝3kx 2x k，∴f (x )的单调增区间为(－∞，0)，2,k ，单调减区间为20,k .(2)当k ＝0时，函数f (x )不存在极小值；当k ＞0时，依题意22281210f k k k ，即k 2＞4，由条件k ＞0，得k 的取值范围为(2，＋∞).10.答案：解：由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π，知f ′（x )＝cos x ＋sin x ＋1，于是π()12sin 4f'x x .令f ′（x )＝0，从而π2sin 42x ，得x ＝π，或3π2x .当x 变化时，f ′（x )，f (x )的变化情况如下表：x(0，π)π3ππ,23π23π,2π2f ′（x )＋0－0＋f (x )π＋23π2因此，由上表知f(x)的单调递增区间是(0，π)和3π,2π2，单调递减区间是3ππ,2，极小值为3π3π22f，极大值为f (π)＝π＋2.。
532极大值与极小值(备作业)-高二数学(苏教版2019选择性必修第一册)原卷版
5.3.2极大值与极小值一、单选题1．已知函数()f x 的定义域为(,)a b ，导函数()f x '在区间(,)a b 上的图象如图所示，则函数()f x 在区间(,)a b 上的极大值点的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-处取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．“()00f x '=”是“函数()f x 在0x x =处有极值”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数()e x f x x =，则（ ） A ．1为()f x 的极大值点B ．1为()f x 的极小值点C ．－1为()f x 的极大值点D ．－1为()f x 的极小值点5．下列函数中，以0x =为极值点的函数是（ ）A ．3y x =-B ．2y xC ．()ln 1y x =+D ．1y x= 6．如图是函数()32f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +=（ ）A ．23B ．43C ．83D ．4二、多选题7．关于函数的极值，下列说法错误的是（ ）A ．导数为零的点一定是函数的极值点B ．函数的极小值一定小于它的极大值C ．一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值D ．若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数8．已知函数()f x 的导函数'()f x 的图象如图所示，则下列选项中错误．．的是（ ）A ．1x =是函数()f x 的极值点B ．函数()f x 在1x =-处取得极小值C ．()f x 在区间()2,3-上单调递减D ．()f x 的图象在0x =处的切线斜率大于零9．已知函数2()ln f x x x x =+，0x 是函数()f x 的极值点，以下几个结论中正确的是（ ）A ．010x e <<B ．01x e >C ．00()20f x x +<D ．00()20f x x +>三、填空题10．已知函数32()36f x ax x ax b =+-+在2x =处取得极值9，则a b +=________．11．若函数()()2ln 1f x a x x =++有两个极值点，则实数a 的取值范围是______.12．若函数2()(3)ln f x x a x x =+++在区间(1,2)上存在唯一的极值点，则实数a 的取值范围为________.四、解答题13．求函数322153627y x x x =-+-的极值点和单调区间，并画出这个函数的草图．14．在“①()f x 在1x =处取得极小值2，②()f x 在1x =-处取得极大值6，③()f x 的极大值为6，极小值为2”这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：已知函数()33f x x ax b =-+（0a >），且______，求()f x 的单调区间．。
最新高中数学 第三章 导数在研究函数中的应用 3.3.2 极大值与极小值学案 苏教版选修1-1练习试卷
3.3.2 极大值与极小值学习目标：1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．(难点) 2.掌握函数极值的判定及求法．(重点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数极值的定义解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值； (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是极小值．[基础自测]1．判断正误：(1)函数f (x )＝1x有极值．( )(2)函数的极大值一定大于极小值．( )(3)若f ′(x 0)＝0，则x 0一定是函数f (x )的极值点．( )【解析】 (1)×.f (x )＝1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，故无极值．(2)×.反例，如图所示的函数的极大值小于其极小值．(3)×.反例，f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2，且f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点． 【答案】 (1)× (2)× (3)× 2．函数y ＝x ＋1x的极大值为________．【解析】 y ′＝1－1x2，令y ′＝0得x 2＝1，x ＝±1.当x ∈(－∞，－1)时，y ′>0.当x ∈(－1,0)时，y ′<0.∴y ＝x ＋1x在x ＝－1处取得极大值y ＝－2.【答案】 －2[合 作 探 究·攻 重 难](1)y ＝2x 3＋6x 2－18x ＋3；(2)y ＝2x ＋8x.【导学号：95902226】[思路探究] f ′(x 0)＝0只是可导函数f (x )在x 0处有极值的必要条件，只有再加上x 0左右导数的符号相反，才能判定函数在x 0处取得极值．【自主解答】 (1)函数的定义域为R .y ′＝6x 2＋12x －18＝6(x ＋3)(x －1)， 令y ′＝0，得x ＝－3或x ＝1.当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：极大值当x ＝1时，函数取得极小值，且y 极小值＝－7.(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ′＝2－8x2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x ，令y ′＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x ＜－2时，y ′＞0；当－2＜x ＜0时，y ′＜0. 即x ＝－2时，y 取得极大值，且极大值为－8. 当0＜x ＜2时，y ′＜0；当x ＞2时，y ′＞0. 即x ＝2时，y 取得极小值，且极小值为8. [规律方法] 求函数极值的方法求f x ＝0在函数定义域内的所有根；用方程f x ＝0的根将定义域分成若干个小区间、列表； 由f x 在各小区间内的符号，判断fx ＝0的根处的极值情况.[跟踪训练]1．求函数y ＝x 4－4x 3＋5的极值． 【解】 y ′＝4x 3－12x 2＝4x 2(x －3)．令y ′＝4x 2(x －3)＝0，得x 1＝0，x 2＝3. 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：极小值 已知函数f (x )＝处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值； (2)求函数的极大值和极小值．[思路探究] 可导函数的极值点一定是使导函数值为零的点，因此f ′(1)＝0，f ′(－1)＝0，再由f (1)＝－1，得到三个关于a ，b ，c 的方程，联立可求得a ，b ，c 的值．【自主解答】 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由x ＝±1是极值点，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －2b ＋c ＝0，①3a ＋2b ＋c ＝0，②又f (1)＝－1，所以a ＋b ＋c ＝－1.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝－32，经验证a ，b ，c 的值符合题意．(2)由(1)得f (x )＝12x 3－32x ，所以f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0.所以，当x ＝－1时，f (x )有极大值f (－1)＝1；当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝－1. [规律方法] 已知函数极值，求参数的值时，应注意两点：常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解. 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.[跟踪训练]2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，求常数a 、b 的值.【导学号：95902227】【解】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧f＝10，f ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3，但由于当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3≥0， 故f (x )在R 上单调递增，不可能在x ＝1处取得极值，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3不符合题意，舍去；而当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11时，经检验知符合题意，故a ，b 的值分别为4，－11.[探究问题]1．已知三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，若f ′(x )＝0的两个根是x 1，x 2，且x 1＜x 2，分别写出当a ＞0和a ＜0时函数f (x )的单调区间．【提示】 由题意可知f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)，当a ＞0时，令f ′(x )＞0可得x ＜x 1或x ＞x 2，令f ′(x )＜0可得x 1＜x ＜x 2，所以当a ＞0时，函数f (x )的单增区间是(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)，单调减区间是(x 1，x 2)．同理当a ＜0时，函数f (x )的单增区间是(x 1，x 2)，单减区间是(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)． 2．当a ＞0时，分别判断当x →＋∞和x →－∞时探究1中的三次函数f (x )的变化趋势是怎样的？当a ＜0时呢？【提示】 当a ＞0时，若x →＋∞，则f (x )→＋∞，若x →－∞，则f (x )→－∞； 当a ＜0时，若x →＋∞，则f (x )→－∞，若x →－∞， 则f (x )→＋∞.3．设a ＞0，讨论探究1中的三次函数f (x )的图象和x 轴交点的个数？【提示】 因为a ＞0，所以函数f (x )的单调增区间是(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)，单减区间是(x 1，x 2)．所以f (x )的极大值为f (x 1)，极小值为f (x 2)，显然f (x 1)＞f (x 2)，所以当f (x 2)＞0或f (x 1)＜0时，函数f (x )的图象和x 轴只有1个交点；当f (x 1)＝0或f (x 2)＝0时，函数f (x )的图象和x 轴有2个交点； 当f (x 1)＞0且f (x 2)＜0时，函数f (x )的图象和x 轴有3个交点．已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．[思路探究] 解(1)需要对参数a 分类讨论．解决(2)可根据在x ＝－1处取得极值的条件，解出a 的值，进而求m 的取值范围．【自主解答】 (1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )，当a ＜0时，对x ∈R ，有f ′(x )＞0，所以当a ＜0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a ＞0时，由f ′(x )＞0，解得x ＜－a 或x ＞a ， 由f ′(x )＜0，解得－a ＜x ＜a ，所以当a ＞0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－a ]，[a ，＋∞)，f (x )的单调递减区间为(－a ，a )．(2)因为f (x )在x ＝－1处取得极值，所以f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0.所以a ＝1. 所以f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3.由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1. 由(1)知f (x )的单调性，可知f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1 ，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，又f (－3)＝－19＜－3，f (3)＝17＞1，结合f (x )的单调性和极值情况，它的图象大致如图所示，结合图象，可知m 的取值范围是( －3,1)．[规律方法] 应用导数求函数的极值，来确定函数图象的交点个数或方程的根的个数，是一种很有效的方法，它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x 轴的交点个数，从而判断方程根的个数.[跟踪训练]3．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋4.试分析方程a ＝f (x )的根的个数．【解】 ∵f (x )＝13x 3－4x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)．由f ′(x )＝0得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝－2时，函数取得极大值f (－2)＝283.当x ＝2时，函数取得极小值f (2)＝－43.且f (x )在(－∞，－2)上递增，在(－2,2)上递减，在(2，＋∞)上递增． 根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示．结合图象：①当a ＞283或a ＜－43时，方程a ＝f (x )有一个根．②当－43＜a ＜283时，方程a ＝f (x )有三个根．③当a ＝283或a ＝－43时，方程a ＝f (x )有两个根．[构建·体系][当 堂 达 标·固 双 基]1．下列四个函数中：①y ＝x 3；②y ＝x 2＋1；③y ＝x 2；④y ＝2x能在x ＝0处取得极值的函数是________(填序号)．【解析】 ①④均为单调函数，不存在极值，②③在x ＝0处取得极值． 【答案】 ②③ 2．下列结论：①导数为零的点一定是极值点；②如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值； ③如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极小值； ④如果在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是极大值． 其中正确的是________.【导学号：95902228】【解析】 根据函数极值的概念，依次判断各选项知，选项①，③，④均错，选项②正。
高中数学 3.3.3最大值与最小值同步练习(含解析)苏教版高二选修1-1数学试题
3.3.3 最大值与最小值课时目标 1.理解函数最值的概念.2.了解函数最值与极值的区别和联系.3.会用导数求在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．1．最大值：如果在函数定义域I 内存在x 0，使得对任意的x ∈I ，总有_____________，则称f (x 0)为函数在______________的最大值．2．一般地，如果在区间[a ，b ]上的函数的图象是一条连续不断的曲线，那么f (x )必有最大值和最小值．此性质包括两个条件：(1)给定函数的区间是闭区间；(2)函数图象在区间上的每一点必须连续不间断．函数的最值是比较整个定义域的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得到的．3．一般地，求f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求f (x )在(a ，b )上的________；(2)将(1)中求得的极值与f (a )，f (b )比较，得到f (x )在区间[a ，b ]上的最大值与最小值．一、填空题1．给出下列四个命题：①若函数f (x )在[a ，b ]上有最大值，则这个最大值一定是[a ，b ]上的极大值； ②若函数f (x )在[a ，b ]上有最小值，则这个最小值一定是[a ，b ]上的极小值； ③若函数f (x )在[a ，b ]上有最值，则最值一定在x ＝a 或x ＝b 处取得； ④若函数f (x )在(a ，b )内连续，则f (x )在(a ，b )内必有最大值与最小值． 其中真命题共有________个．2．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为______．3．已知函数f (x )＝ax 3＋c ，且f ′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c ＝________.4．若函数f (x )、g (x )在区间[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，f (a )＝g (a )，则在区间[a ，b ]上有f (x )与g (x )的大小关系为____________．5．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154，则a ＝________.6．函数f (x )＝ln x －x 在(0，e]上的最大值为________．7．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________．8．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M 、N ，则M －N 的值为________． 二、解答题9．求下列各函数的最值．(1)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]；(2)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]．10．已知f (x )＝x 3－x 2－x ＋3，x ∈[－1,2]，f (x )－m <0恒成立，某某数m 的取值X 围．能力提升11．设函数f (x )＝12x 2e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，某某数m 的取值X 围．12．若f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值是－29，求a 、b 的值．1．求闭区间上函数的最值也可直接求出端点函数值和导数为零时x对应的函数值，通过比较大小确定函数的最值．2．在求解与最值有关的函数综合问题时，要发挥导数的解题功能，同时也要注意对字母的分类讨论；而有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．3．可以利用导数的实际意义，建立函数模型，解决实际生活中的最大值最小值问题．3．3.3 最大值与最小值知识梳理1．f(x)≤f(x0) 定义域上3．(1)极值作业设计 1．0解析 因为函数的最值可以在区间[a ，b ]的两端取得，也可以在内部取得，当最值在端点处取得时，其最值就一定不是极值，故命题①与②不真．由于最值可以在区间内部取得，故命题③也不真．对于命题④，我们只要考虑在(a ，b )内的单调函数，它在(a ，b )内必定无最值(也无极值)，因此命题④也不真．综上所述，四个命题均不真． 2.239解析 ∵f (x )＝x －x 3，∴f ′(x )＝1－3x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝±33，∵f (0)＝0，f (1)＝0，f ⎝⎛⎭⎪⎫33＝239，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－239. ∴f (x )max ＝239.3．4解析 ∵f ′(x )＝3ax 2，∴f ′(1)＝3a ＝6，∴a ＝2.当x ∈[1,2]时，f ′(x )＝6x 2>0，即f (x )在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝2×23＋c ＝20，∴c ＝4. 4．f (x )≥g (x )解析 ∵f ′(x )>g ′(x )，∴f (x )－g (x )单调递增． ∵x ≥a ，∴f (x )－g (x )≥f (a )－g (a )， 即f (x )－g (x )≥0.5．－12解析 y ′＝－2x －2，令y ′＝0，得x ＝－1.当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意．当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上单调递减，最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．6．－1解析 f ′(x )＝1x －1＝1－xx，令f ′(x )>0得0<x <1，令f ′(x )<0得x <0或x >1，∴f (x )在(0,1]上是增函数，在(1，e]上是减函数． ∴当x ＝1时，f (x )有最大值f (1)＝－1.7. 211,22e π⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴f ′(x )＝e xcos x ≥0，∴f (0)≤f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2.即12≤f (x )≤122e π.8．20解析 f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0， 得x ＝1，(x ＝－1舍去)．∵f (0)＝－a ，f (1)＝－2－a ，f (3)＝18－a . ∴M ＝18－a ，N ＝－2－a .∴M －N ＝20.9．解 (1)f ′(x )＝12＋cos x .令f ′(x )＝0，又∵0≤x ≤2π，∴x ＝2π3或x ＝4π3.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝π3＋32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝2π3－32，又∵f (0)＝0，f (2π)＝π.∴当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0， 当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.(2)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3，∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0， ∴f (x )在[－1,1]上为增函数． 故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12； x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )在[－1,1]上的最小值为－12，最大值为2. 10．解 由f (x )－m <0，即m >f (x )恒成立， 知m >f (x )max ，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13或x ＝1.因为f (－13)＝8627，f (1)＝2，f (－1)＝2，f (2)＝5. 所以f (x )的最大值为5，故m 的取值X 围为(5，＋∞)．11．解 (1)f ′(x )＝x e x＋12x 2e x ＝e x2x (x ＋2)．由ex 2x (x ＋2)>0，解得x >0或x <－2， ∴(－∞，－2)，(0，＋∞)为f (x )的增区间， 由ex 2x (x ＋2)<0，得－2<x <0， ∴(－2,0)为f (x )的减区间．∴f (x )的单调增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)； 单调减区间为(－2,0)．(2)令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2，∵f (－2)＝2e 2，f (2)＝2e 2，f (0)＝0，∴f (x )∈[0,2e 2]，又∵f (x )>m 恒成立，∴m <0. 故m 的取值X 围为(－∞，0)．12．解 ∵f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，∴f ′(x )＝3ax 2－12ax .令f ′(x )＝0，解得x ＝0或4. ∵4D ∈/[－1,2]，故舍去，∴f (x )取最大值，最小值的点在x ＝－1、0、2上取得，f (－1)＝－7a ＋b ，f (0)＝b ， f (2)＝－16a ＋b .当a >0时，最大值为b ＝3， 最小值为－16a ＋b ＝－29，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，当a <0时，最大值为－16a ＋b ＝3，b ＝－29， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－29，综上所述：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－29.§3.4 导数在实际生活中的应用课时目标 通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，会利用导数解决简单的实际生活中的最值问题．1．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有惟一的极值，则它就是函数的最值． 2．解决优化问题的基本思路是：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模的过程．一、填空题1．随着人们生活水平的提高，汽车的拥有量越来越多，据有关统计数据显示，从上午6点到9点，车辆通过某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似表示为y ＝－18t 3－34t 2＋36t －6294.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是________． 2．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为________． 3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为________ cm.4．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1 200＋275x 3，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为________件． 5.如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x 与h 的比为________．6．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一件产品成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系式为R ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 0≤x ≤400，80 000 x >400.则总利润最大时，每年生产的产品件数是________．7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．8．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________． 二、解答题9．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y 万元． (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？10.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件． (1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？能力提升 11．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)12．已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q ，求产量q 为何值时，利润L 最大．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤．(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)写出答案．§3.4 导数在实际生活中的应用作业设计 1．8解析 由题意知，所求的量为当y 为最大值时的自变量t 的取值，y ′＝－38t 2－32t ＋36，令y ′＝0，得3t 2＋12t －36×8＝0， ∴t 1＝8，t 2＝－12(舍)．当t ∈(6,8)时．y ′>0，t ∈(8,9)时，y ′<0， 所以t ＝8时，y 有最大值．2.34V解析 设底面边长为a ，直三棱柱高为h .体积V ＝34a 2h ，所以h ＝4V3a 2， 表面积S ＝2·34a 2＋3a ·4V 3a2＝32a 2＋43Va ， S ′＝3a －43V a2，由S ′＝0，得a ＝34V . 当a ＝34V 时，表面积最小． 3.2033解析 设高为x cm ，则底面半径为202－x 2cm ，体积V ＝π3x ·(202－x 2) (0<x <20)，V ′＝π3(400－3x 2)，由V ′＝0，得x ＝2033或x ＝－2033(舍去)．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2033时，V ′>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2033，20时，V ′<0，所以当x ＝2033时，V 取最大值． 4．25解析 设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ，由题知k ＝250 000，则a 2x ＝250 000，所以a ＝500x.总利润y ＝500x －275x 3－1 200 (x >0)，y ′＝250x －225x 2，由y ′＝0，得x ＝25，x ∈(0,25)时，y ′>0，x ∈(25，＋∞)时，y ′<0，所以x ＝25时，y 取最大值． 5．1∶1解析 设窗户面积为S ，周长为L ，则S ＝π2x 2＋2hx ，h ＝S 2x －π4x ，所以窗户周长L ＝πx ＋2x ＋2h ＝π2x ＋2x ＋S x ，L ′＝π2＋2－Sx 2.由L ′＝0，得x ＝2S π＋4，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0， 2S π＋4时，L ′<0， x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2S π＋4，＋∞时，L ′>0， 所以当x ＝2Sπ＋4时，L 取最小值， 此时h x ＝2S －πx 24x 2＝2S 4x 2－π4＝π＋44－π4＝1. 6．300解析 设总成本为C ，则C ＝20 000＋100x ， 所以总利润 P ＝R －C ＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20 000 0≤x ≤400，60 000－100x x >400.P ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x0≤x ≤400，－100 x >400.令P ′＝0，得x ＝300，易知当x ＝300时，总利润最大． 7．5解析 依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，其中x 是仓库到车站的距离．于是由2＝k 110，得k 1＝20；由8＝10k 2，得k 2＝45.因此两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝－20x 2＋45＝0得x ＝5(x ＝－5舍去)，经验证，此点即为最小值点．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小． 8．3解析 设半径为r ，则高h ＝27ππr 2＝27r2.∴水桶的全面积S (r )＝πr 2＋2πr ·27r2＝πr 2＋54πr.S ′(r )＝2πr －54πr2，令S ′(r )＝0，得r ＝3.∴当r ＝3时，S (r )最小．9．解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx－1 (0<x <m )，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1＋mx (2＋x )x＝256m x＋m x ＋2m －256 (0<x <m )．(2)由 (1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12m 12x -＝m 2x 2(32x －512)．令f ′(x )＝0，得32x ＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数，所以f (x )在x ＝64处取得最小值，此时n ＝m x －1＝64064－1＝9. 故需新建9个桥墩才能使y 最小．10．解 (1)设商品降低x 元时，多卖出的商品件数为kx 2，若记商品在一个星期的销售利润为f (x )，则依题意有f (x )＝(30－x －9)·(432＋kx 2)＝(21－x )·(432＋kx 2)，又由已知条件24＝k ·22，于是有k ＝6，所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,30]．(2)根据(1)，有f ′(x )＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12)．当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：故x ＝12时，f (x )达到极大值．因为f (0)＝9 072，f (12)＝11 664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．11．解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N *)， f ′(x )＝48－10 800x2，令f ′(x )＝0得x ＝15. 当x >15时，f ′(x )>0；当0<x <15时，f ′(x )<0.因此，当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2 000.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．12．解 收入R ＝q ·p ＝q ⎝⎛⎭⎪⎫25－18q ＝25q －18q 2. 利润L ＝R －C ＝⎝⎛⎭⎪⎫25q －18q 2－(100＋4q ) ＝－18q 2＋21q －100 (0<q <200)， L ′＝－14q ＋21， 令L ′＝0，即－14q ＋21＝0，解得q ＝84. 因为当0<q <84时，L ′>0；当84<q <200时，L ′<0，所以当q ＝84时，L 取得最大值．所以产量q为84时，利润L最大．。
高二数学苏教版选修讲义：极大值与极小值含解析
1．3.2极大值与极小值[对应学生用书P16]已知y＝f(x)的图象(如图)．问题1：当x＝a时，函数值f(a)有何特点？提示：在x＝a的附近，f(a)最小，f(a)并不一定是y＝f(x)的最小值．问题2：当x＝b时，函数值f(b)有何特点？提示：在x＝b的附近，f(b)最大，f(b)并不一定是y＝f(x)的最大值．1．观察下图中的函数图象，发现函数图象在点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调递增变为单调递减)，这时在点P附近，点P的位置最高，亦即f(x1)比它附近点的函数值都要大，我们称f(x1)为函数f(x)的一个极大值．2．类似地，上图中f(x2)为函数的一个极小值．3．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．观察图(Ⅰ)．问题1：试分析在函数取得极大值的x1的附近左右两侧导数的符号有什么变化？提示：左侧导数大于0，右侧导数小于0.问题2：试分析在函数取得极小值的x2的附近左右两侧导数的符号有什么变化？提示：左侧导数小于0，右侧导数大于0.1．极大值与导数之间的关系如下表：增减2．极小值与导数之间的关系如下表：减增1．极值是一个局部概念，它只是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在整个定义域内是最大或最小．2．函数的极值并不惟一(如图所示)．3．极大值和极小值之间没有确定的大小关系，如图所示，f(x1)是极大值，f(x4)是极小值，而f(x4)>f(x1)．[对应学生用书P17][例1](1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝ln x x.[思路点拨]按求函数极值的步骤求解，要注意函数的定义域．[精解详析](1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：因此，函数f (x )的极大值为f (－1)＝10； 极小值为f (3)＝－22.(2)函数f (x )＝ln xx 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝e.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：因此函数f (x )的极大值为f (e)＝1e ，没有极小值．[一点通] (1)求可导函数极值的步骤： ①求导数f ′(x )； ②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )的值在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．(2)注意事项：①不要忽视函数的定义域；②要正确地列出表格，不要遗漏区间和分界点．1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有________个极小值．解析：由图可知，在区间(a ，x 1)，(x 2,0)，(0，x 3)内f ′(x )>0； 在区间(x 1，x 2)，(x 3，b )内f ′(x )<0. 即f (x )在(a ，x 1)内单调递增， 在(x 1，x 2)内单调递减， 在(x 2，x 3)内单调递增， 在(x 3，b )内单调递减．所以，函数f (x )在开区间(a ，b )内只有一个极小值， 极小值为f (x 2)．答案：12．关于函数f (x )＝x 3－3x 2有下列命题，其中正确命题的序号是________．①f (x )是增函数；②f (x )是减函数，无极值；③f (x )的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间为(0,2)；④f (0)＝0是极大值，f (2)＝－4是极小值．解析：f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝2. 易知当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0； 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间是(0,2)；极大值为f (0)，极小值为f (2)．答案：③④3．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)因f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，故f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因x 2＝－13不在定义域内，舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3.[例2] 已知f (x[思路点拨] 解答本题可先求f ′(x )，利用x ＝－1时有极值0这一条件建立关于a ，b 的方程组．解方程组可得a ，b 的值，最后将a ，b 代入原函数验证极值情况．[精解详析] ∵f (x )在x ＝－1时有极值0且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数．所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.[一点通] 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据取极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点取极值的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则ab ＝________. 解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意可知：⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋3＝0，a 2＋a ＋b ＋1＝10， 得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2，易知在x ＝1的左右两侧都有f ′(x )＞0， 即函数f (x )在R 上是单调递增的，因此f (x )在x ＝1处并不存在极值，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.ab ＝－44. 答案：－445．已知函数y ＝3x －x 3＋m 的极大值为10，则m 的值为________ . 解析：y ′＝3－3x 2＝3(1＋x )(1－x )， 令y ′＝0得x 1＝－1，x 2＝1，经判断知极大值为f (1)＝2＋m ＝10，m ＝8. 答案：86．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值．讨论f (1)和f (－1)是函数f (x )的极大值还是极小值．解：∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意，f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b －3＝0，3a －2b －3＝0.解得a ＝1，b ＝0，∴f (x )＝x 3－3x ， ∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 令f ′(x )＝0，得x ＝－1，x ＝1，所以f (－1)＝2是极大值，f (1)＝－2是极小值．[例3] 已知a (1)求函数f (x )的极值，并画出其图象(草图)； (2)当a 为何值时，方程f (x )＝0恰好有两个实数根？ [精解详析] (1)由f (x )＝－x 3＋3x ＋a ， 得f ′(x )＝－3x 2＋3，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0；当x ∈(－1,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.所以函数f (x )的极小值为f (－1)＝a －2； 极大值为f (1)＝a ＋2.由单调性、极值可画出函数f (x )的大致图象，如图所示．这里，极大值a ＋2大于极小值a －2.(2)结合图象，当极大值a ＋2＝0或极小值a －2＝0时，曲线f (x )与x 轴恰有两个交点，即方程f (x )＝0恰有两个实数根．综上，当a ＝±2时，方程恰有两个实数根．[一点通] 极值问题的综合应用主要涉及极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．7．在例3中当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x ) 与x 轴仅有一个交点？ 解：函数f (x )的大致图象如图所示：当函数f (x )的极大值a ＋2<0或极小值a －2>0时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，所以所求实数a 的范围是a <－2或a >2.8．已知x ＝3是函数f (x )＝a ln(1＋x )＋x 2－10x 的一个极值点． (1)求a ；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，求b 的取值范围． 解：(1)因为f ′(x )＝a 1＋x ＋2x －10，所以f ′(3)＝a4＋6－10＝0，因此a ＝16.(2)由(1)知，f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ，x ∈(－1，＋∞)． f ′(x )＝2(x 2－4x ＋3)1＋x ，当x ∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈(1,3)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调增区间是(－1,1)和(3，＋∞)，f (x )的单调减区间是(1,3)．(3)由(2)知，f (x )在(－1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，且当x ＝1或x ＝3时，f ′(x )＝0，所以f (x )的极大值为f (1)＝16ln 2－9， 极小值为f (3)＝32ln 2－21，所以要使直线y＝b与y＝f(x)的图象有3个交点，当且仅当f(3)<b<f(1)．因此b的取值范围为(32ln 2－21,16ln 2－9)．根据可导函数极值的定义、方法、步骤，要弄清以下几点：(1)极大(小)值未必是最大(小)值，可以有多个数值不同的极大(小)值；(2)极大(小)值是局部充分小的领域内的最大(小)值；(3)极大(小)值只能在区间的内点取得，常数函数没有极大值，也没有极小值；(4)f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0取得极值的必要条件，不是充分条件．[对应课时跟踪训练(七)]一、填空题1．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在区间(a，b)上的图象如图所示，则函数y＝f(x)在(a，b)上极大值点的个数为________．解析：极大值点在导函数f′(x0)＝0处，且满足x0左侧为正，右侧为负，由图象知有3个．答案：32．(新课标全国卷Ⅰ改编)函数f(x) 在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则p是q的________条件．解析：设f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故若p 则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题．故p是q的必要不充分条件．答案：必要不充分3．若函数f(x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0＝________.解析：f′(x)＝2x＋x·2x ln 2，令f′(x)＝0，得x＝－1ln 2.答案：－1ln 24．设a∈R，若函数y＝e ax＋3x，x∈R取极值的点大于0，则a的取值范围是________．解析：令x＝f(x)，则f′(x)＝a e ax＋3，函数f(x)取极值的点大于0，即f ′(x )＝a e ax ＋3＝0有正根．当f ′(x )＝a e ax ＋3＝0成立时，显然有a ＜0， 此时x ＝1a ln ⎝⎛⎭⎫－3a ， 由x ＞0可得a ＜－3. 答案：(－∞，－3)5．(福建高考改编)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是________．①∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)； ②－x 0是f (－x )的极小值点； ③－x 0是－f (x )的极小值点； ④－x 0是－f (－x )的极小值点． 解析：不妨取函数f (x )＝x 3－x ，则x ＝－33为f (x )的极大值点，但f (3)>f ⎝⎛⎭⎫－33，∴排除①；取函数f (x )＝－(x －1)2，则x ＝1是f (x )的极大值点，但－1不是f (－x )的极小值点，∴排除②；－f (x )＝(x －1)2，－1不是－f (x )的极小值点，∴排除③，∵－f (－x )的图象与f (x )的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得－x 0应为函数－f (－x )的极小值点，∴填④.答案：④ 二、解答题6．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋4，求函数的极值，并画出函数的大致图象．解：(1)f ′(x )＝x 2－4.解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：从上表看出，当x ＝－2时，函数有极大值，且极大值为f (－2)＝283；而当x ＝2时，函数有极小值，且极小值为f (2)＝－43.函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象如图所示．7．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．解：(1)∵f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，由f′(x)>0解得x<－a，或x>a，由f′(x)<0解得－a<x<a，∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0.∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1，由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的单调性可知m的取值范围是(－3,1)．8．(重庆高考)已知函数f(x)＝a e2x－b e－2x－cx(a，b，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c.(1)确定a，b的值；(2)若c＝3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围．解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝2a e2x＋2b e－2x－c，由f′(x)为偶函数，知f′(－x)＝f′(x)，即2(a －b )(e 2x －e －2x )＝0，所以a ＝b .又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，故a ＝1，b ＝1.(2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x －e－2x －3x ，那么f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －3≥22e 2x ·2e －2x －3＝1>0， 故f (x )在R 上为增函数．(3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x －c ， 而2e 2x ＋2e －2x ≥22e 2x ·2e －2x ＝4，当x ＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论．当c <4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －c >0，此时f (x )无极值；当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x －4>0，此时f (x )无极值； 当c >4时，令e 2x ＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1,2＝c ±c 2－164>0， 即f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1或x 2＝12ln t 2. 当x 1<x <x 2时f ′(x )<0；又当x >x 2时，f ′(x )>0，从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值． 综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．。
2017-2018学年高中数学 课时跟踪训练(二十)极大值与极小值 苏教版选修1-1
课时跟踪训练(二十) 极大值与极小值1．关于函数的极值，有下列说法：①导数为零的点一定是函数的极值点，②函数的极小值一定小于它的极大值，③f(x)在定义域内最多只能有一个极大值或一个极小值，④若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数．其中错误的是________．(把你认为错误的序号都写出来)2．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在区间(a，b)上的图像如图所示，则函数y＝f(x)在(a，b)上极大值点的个数为________．3．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为a＝________，b＝________.4．(福建高考改编)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是________．①∀x∈R，f(x)≤f(x0)；②－x0是f(－x)的极小值点；③－x0是－f(x)的极小值点；④－x0是－f(－x)的极小值点．5．已知函数f(x)＝13x3＋12x2－2x＋m的图像不经过第四象限，则实数m的取值范围是________．6．求函数f(x)＝x3－12x的极值．7．已知x＝4是函数f(x)＝a ln x＋x2－12x＋11的一个极值点．(1)求a的值；(2)求函数f (x )的单调区间．8．设函数f (x )＝x 4＋ax 3＋2x 2＋b ，a ，b ∈R . (1)当a ＝－103时，讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )仅在x ＝0处有极值，试求a 的取值范围．答 案课时跟踪训练(二十)1．解析：由导数与极值的关系及极值定义可知：①②③错误，④正确． 答案：①②③2．解析：极大值点在导函数f ′(x 0)＝0处，且满足x 0左侧为正，右侧为负，由图像知有3个．答案：33．解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，又当x ＝1时有极值－2， ∴f ′(1)＝3a ＋b ＝0，①a ＋b ＝－2.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.答案：1，－34．解析：不妨取函数f (x )＝x 3－x ，则x ＝－33为f (x )的极大值点，但f (3)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，∴排除①；取函数f (x )＝－(x －1)2，则x ＝1是f (x )的极大值点，但－1不是f (－x )的极小值点，∴排除②；－f (x )＝(x －1)2，－1不是－f (x )的极小值点，∴排除③，∵－f (－x )的图像与f (x )的图像关于原点对称，由函数图像的对称性可得－x 0应为函数－f (－x )的极小值点，∴填④.答案：④5．解析：f ′(x )＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，令f ′(x )>0，得x <－2或x >1，f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上为增函数，在(－2,1)上为减函数．若不经过第四象限，则f (1)≥0，得13＋12－2＋m ≥0， ∴m ≥76.答案：m ≥766．解：函数f (x )的定义域为R .f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：从表中可以看出，当x ＝－2时，函数有极大值， 且f (－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16.当x ＝2时，函数有极小值，且f (2)＝23－12×2＝－16.7．解：(1)f ′(x )＝a x＋2x －12. ∵x ＝4是函数f (x )的一个极值点， ∴f ′(4)＝a4＋2×4－12＝0，a ＝16.(2)由(1)知f (x )＝16ln x ＋x 2－12x ＋11(x >0)， f ′(x )＝16x＋2x －12＝x 2－6x ＋x＝x －x －x，由x －x －x>0，得x <2或x >4，又x >0，∴当x ∈(0,2)或x ∈(4，＋∞)时，f (x )单调递增． 由x －x －x<0得2<x <4.∴当x ∈(2,4)时，f (x )单调递减．故f (x )的单调递增区间是(0,2)和(4，＋∞)，单调递减区间是(2,4)． 8．解：(1)f ′(x )＝4x 3＋3ax 2＋4x ＝x (4x 2＋3ax ＋4)， 当a ＝－103时，f ′(x )＝x (4x 2－10x ＋4)＝2x (2x －1)(x －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝12，x 3＝2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表所示：所以f (x )在(0，12)和(2，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，0)和(12，2)上是减函数．(2)f ′(x )＝x (4x 2＋3ax ＋4)，显然x ＝0不是方程4x 2＋3ax ＋4＝0的根． ∵f (x )仅在x ＝0处有极值，∴方程4x 2＋3ax ＋4＝0有两个相等的实根或无实根，Δ＝9a 2－4×16≤0，解得－83≤a ≤83，这时，f (0)＝b 是唯一极值，因此满足条件的a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－83，83.。
苏教版高中数学高二选修1-1课件 最大值与最小值
23，f
43π＝23π－
3 2.
所以当x＝0时，f(x)有最小值 f(0)＝0； 当x＝2π时，f(x)有最大值 f(2π)＝π.
解答
反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内； (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值； (3)比较极值与端点函数值大小，确定最值.
12345
解析 答案
4.已知函数 y＝－x2－2x＋3 在区间[a,2]上的最大值为145，则 a＝－__12__. 解析 当a≤－1时，最大值为4，不符合题意. 当－1<a<2时，f(x)在[a,2]上是减函数， 所以f(x)max＝f(a)， 即－a2－2a＋3＝145，解得 a＝－12或 a＝－32(舍去).
12345
解析 答案
3.函数f(x)＝x3－x2－x＋t在区间[0,2]上的最小值为3，则函数在[0,2]上的 最大值为__6_. 解析 f′(x)＝3x2－2x－1，令 f′(x)＝0，解得 x＝－13或 x＝1. 因为在[0,1)上，f′(x)<0； 在(1,2]上，f′(x)>0，所以当x＝1时，函数f(x)取极小值，也是最小值， 则 f(1)＝1－1－1＋t＝3，所以t＝4， 又函数 f(x)在两端点处的函数值为f(0)＝4，f(2)＝8－4－2＋4＝6， 所以函数在[0,2]上的最大值为6.
[思考辨析 判断正误]
1.定义在闭区间[a，b]上的函数 f(x)一定有最大值和最小值.( × ) 2.函数 f(x)在[a，b]上的最大值是 f(b)，最小值是 f(a).( × ) 3.定义在开区间(a，b)上的函数 f(x)没有最值.( × ) 4.函数的所有极大值中最大的一个就是最大值.( × )
2021年高二苏教版数学选修1-1名师导学：第3章 第9课时 极大值与极小值(1)
第9课时极大值与微小值(1)教学过程一、问题情境观看给定函数图象在点P和Q两侧图象的单调性变化:(图1)P点处从左侧到右侧由上升变为下降(函数由单调递增变为单调递减),这时在点P四周,点P的位置最高.Q点处从左侧到右侧由下降变为上升(函数由单调递减变为单调递增),这时在点Q四周,点Q的位置最低.[1]二、数学建构问题1上述结论可以怎样用数学语言来描述?[2]解极大值点:已知函数f(x),设x1是定义域内一点,假如在x1四周的全部的x,都有f(x)<f(x1),就说函数f(x)在x1处取得极大值,把x1称为f(x)的一个极大值点.微小值点:已知函数f(x),设x2是定义域内一点,假如在x2四周的全部的x,都有f(x)>f(x2),就说函数f(x)在x2处取得微小值,把x2称为f(x)的一个微小值点.极大值:称f(x1)为函数f(x)的一个极大值.微小值:称f(x2)为函数f(x)的一个微小值.极大值与微小值统称为极值.问题2在定义域内,函数的极大值是唯一的吗?函数的极大值确定大于其微小值吗?函数的极值点可能在区间的端点产生吗?作图说明.[3]问题3极值点处导数有何特点?当f'(x0)=0时,能否确定函数f(x)在x0处取得极值?[4]问题4函数的极值与函数的导数有怎样的关系?[5]3.函数极值与导数关系:假如f'(x0)=0,且在x0的四周的左侧f'(x0)>0,右侧f'(x0)<0,那么f(x0)是极大值;假如f'(x0)=0,且在x0的四周的左侧f'(x0)<0,右侧f'(x0)>0,那么f(x0)是微小值.表1x x1左侧x1x1右侧f'(x)f'(x)>0f'(x)=0f'(x)<0f(x)增↗极大值f(x1)↘减表2x x2左侧x2x2右侧f'(x)f'(x)<0f'(x)=0f'(x)>0f(x)↘减微小值f(x1)增↗概念理解1.取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.2.极值是一个局部的概念,极值只是某个点的函数值与它四周点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.3.函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内极大值或微小值可以不止一个.4.极大值与微小值之间无确定的大小关系,一个函数的极大值未必大于微小值.5.函数的极值点确定毁灭在区间的内部,区间的端点不能成为极值点,而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.三、数学运用【例1】(教材第88页例1)求f(x)=x2-x-2的极值.(见同学用书P57)[规范板书]解f'(x)=2x-1,令f'(x)=0,解得x=.列表:x 左侧右侧f'(x)-0+f(x)↘微小值f↗因此,当x=时,f(x)有微小值f =-.[题后反思]求极值的具体步骤:(1)求导数f'(x).(2)求f'(x)=0的根.(3)列表,检查f'(x)在方程根左右的值的符号,假如左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;假如左负右正,那么f(x)在这个根处取得微小值,假如左右不转变符号,那么f(x)在这个根处无极值.【例2】(教材第89页例2)求f(x)=x3-4x+的极值.(见同学用书P58)[处理建议]让同学学会纵向看图,并体会在相应的区间上,导数的正负与函数增减的关系,体现数形结合思想.[规范板书]解f'(x)=x2-4,令f'(x)=0,解得x1=-2,x2=2.列表:x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值f(-2)↘微小值f(2)↗因此,当x=-2时,f(x)有极大值f(-2)=;当x=2时,f(x)有微小值f(2)=-5.思考:你能画出函数及其导数的图象吗?[6][题后反思]有效利用图形语言,对比在相同的区间上函数及其导函数的图象,体会导数与函数单调性的关系.【例3】已知函数f(x)=x3+ax2-(a-1)x+7有极大值和微小值,求a的取值范围.(见同学用书P58)[处理建议]先由同学思考,再沟通思路,数形结合,挂念同学理解.由函数f(x)有极大值和微小值可知f'(x)=0有两个不同的实数解.[规范板书]解f'(x)=3x2+2ax-a+1,函数f(x)=x3+ax2-(a-1)x+7有极大值和微小值,即f'(x)=0有两个不同的实。
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3.3.2 极大值与极小值
1.函数f(x)＝x 3－3x 的极小值为________．
解析：令f′(x)＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可求得f(x)的极小值为f(1)＝－2. 答案：－2
2.函数f(x)＝x 3－12x 的极大值与极小值之和为________．
解析：函数的定义域为R ，f′(x)＝3x 2－12，令f′(x)＝0，解得x 1＝－2或x 2＝2.列表： x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 －
0 ＋
f(x) ↗
极大值
16
↘
极小值
－16
↗
∴当x ＝－2时，函数有极大值f(－2)＝16.当x ＝2时，函数有极小值f(2)＝－16. ∴极大值与极小值之和为f(2)＋f(－2)＝0. 答案：0
3.已知命题甲：f′(x 0)＝0，命题乙：点x 0是可导函数f(x)的极值点，则甲是乙的________条件．(填充分不必要，必要不充分或充要)
解析：f ′(x 0)＝0不能得出点x 0是可导函数f(x)的极值点，即甲不是乙的充分条件；但点x 0是可导函数f(x)的极值点可得出f′(x 0)＝0，故甲是乙的必要条件．
答案：必要不充分
4.若函数f(x)＝x 3＋mx 2－m 2x ＋1(m 为常数，且m>0)有极大值9，则m 的值是________． 解析：由f′(x)＝3x 2＋2mx －m 2＝(x ＋m)(3x －m)＝0，得x ＝－m 或x ＝1
3m ，
当x 变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－m) －m ⎝
⎛⎭⎫－m ，13m
1
3m ⎝⎛⎭
⎫13m ，＋∞ f′(x)
＋
－
＋
f(x) ↗
极
大值
↘
极
小值
↗
从而可知，当x ＝－m 时，函数f(x)取得极大值9， 即f(－m)＝－m 3＋m 3＋m 3＋1＝9， ∴m ＝2. 答案：2
1.函数f(x)＝x 3－6x ＋a 的极大值为________，极小值为________． 解析：f′(x)＝3x 2－6＝3(x ＋2)(x －2)． 令f′(x)＝0得x 1＝－2，x 2＝
2.
当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0； 当x>2时，f′(x)>0.
∴f(x)极大值＝f(－2)＝42＋a. f(x)极小值＝f(2)＝－42＋a. 答案：42＋a －42＋a
2.函数f(x)的定义域为(a ，b)，其导函数y ＝f′(x)在(a ，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在区间(a ，b)内极值点的个数是________．
解析：函数在x ＝x 0处取得极值必须满足两个条件：(1)x 0为f′(x)＝0的根；(2)导数值在x 0左右异号．所以，有3个极值点．
答案：3
3.若函数f(x)＝x 2＋a
x ＋1
在x ＝1处取得极值，则a ＝________．
解析：f′(x)＝x 2＋2x －a
（x ＋1）2，由f′(1)＝0，得a ＝3.
答案：3
4.函数f(x)＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1时有极值10，则a 、b 的值为________． 解析：f′(x)＝3x 2－2ax －b ，因为在x ＝1处f(x)有极值，所以f′(1)＝0，∴3－2a －b ＝0.① 又∵f(x)极值＝10，
∴f(1)＝1－a －b ＋a 2＝10， 即a 2－a －b －9＝0.② 由①②得a 2＋a －12＝0. ∴a ＝3，或a ＝－4.
∴⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝11. 但当a ＝3，b ＝－3时，f′(x)＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，f(x)在R 上单调递增，不存在极值，舍去．故a ＝－4，b ＝11.
答案：－4，11
5.函数f(x)＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则a 的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，由题意，f′(x)＝0有两个不等的实根，即Δ>0，解得a>2或a<－1.
答案：a>2或a<－1
6.求函数f(x)＝2x 3＋6x 2－18x ＋3的极值．
解：f′(x)＝6x 2＋12x －18，令f′(x)＝0，解得x 1＝－3或x 2＝1.当x ∈(－3，1)时，f′(x)<0；当x ∈(－∞，－3)或x ∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以，当x ＝－3时，函数取得极大值f(－3)＝57；当x ＝1时，函数取得极小值f(1)＝－7.
7.已知f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx(a≠0)在x ＝1和x ＝－1处取得极值，且f(1)＝－1. (1)试求实数a ，b ，c 的值；
(2)试判断当x ＝1时函数取得极大值还是极小值，并说明理由．
解：(1)f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ，由f′(1)＝0，f′(－1)＝0，f(1)＝－1解得a ＝1
2，b ＝0，c ＝
－32
；
(2)f(x)＝12x 3－32x ，f′(x)＝32x 2－3
2，当x<－1或x>1时f′(x)>0，当－1<x<1时，f′(x)<0.函
数在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数．
所以，当x ＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x ＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
8.若函数f(x)＝x 3－6bx ＋3b 在(0，1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________． 解析：由f′(x)＝3x 2－6b ＝0，得x ＝±2b(b>0)， ∵f(x)在(0，1)内有极小值， ∴0<2b<1，∴0<b<1
2.
答案：0<b<1
2
9.设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x(x ∈R)有大于零的极值点，则a 的取值范围是________． 解析：f′(x)＝3＋ae ax ，函数在x ∈R 上有大于零的极值点，即f′(x)＝3＋ae ax ＝0有正根； 当f′(x)＝3＋ae ax ＝0成立时，显然有a<0，此时x ＝1a ln ⎝⎛⎭⎫－3a ；由x>0即1
a ln ⎝⎛⎭⎫－3a >0结合a<0解得参数a 的范围为a<－3.
答案：a<－3
10.设函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8， (1)若f(x)在x ＝3处取得极值，求实数a 的值；
(2)若f(x)在(－∞，0)上为增函数，求实数a 的取值范围．
解：(1)f′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ，f(x)在x ＝3处取得极值，则f′(3)＝0， 解得a ＝3，经检验知当a ＝3时，x ＝3为f(x)的极值点． (2)令f′(x)＝0，解得x 1＝a 或x 2＝1.
当a<1时，若x ∈(－∞，a)∪(1，＋∞)，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，a)和(1，＋∞)上为增函数，故当0≤a<1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．
当a≥1时，若x ∈(－∞，1)∪(a ，＋∞)，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，1)和(a ，＋∞)上为增函数，所以f(x)在(－∞，0)上也为增函数．
综上所述，当a ∈[0，＋∞)时，f(x)在(－∞，0)上为增函数． 11.(创新题)设a 为实数，函数f(x)＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ； (1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.
解：(1)由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝e x－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
单调递减↘单调递增↗
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，
f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝e ln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．(2)证明：设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R.
于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，
所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.
即e x－x2＋2ax－1>0，故e x>x2－2ax＋1.。