正方形的性质与判定PPT精品课件
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正方形的性质课件ppt
角判定法
总结词
若四边形所有角都是直角，则该四边形是正方形。
详细描写
正方形的一个基本性质是其所有角都是直角，因此，如果一个四边形的所有角都 是直角，那么它就是正方形。
对角线判定法
总结词
若四边形的对角线互相垂直且相等，则该四边形是正方形。
详细描写
正方形的对角线不仅相等，而且还互相垂直，因此，如果一 个四边形的对角线互相垂直且相等，那么它就是正方形。
正方形的性质课件
汇报人： 202X-12-30
目录
• 正方形的定义与特性 • 正方形的性质 • 正方形的判定 • 正方形的面积与周长 • 正方形的应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
正方形的定义与特性
定义
正方形是四边相等且四个角都 是直角的四边形。
正方形的所有边长相等，所有 内角都是直角，即90度。
正方形的对角线相等且互相平 分，对角线将正方形分成两个 全等的等腰直角三角形。
正方形瓷砖在地面铺设中应用广 泛，其规整、简洁的特性使得地
面整洁美观。
墙面装潢
正方形瓷砖也常用于墙面装潢，特 别是厨房、卫生间等空间的墙面， 既美观又易清洁。
家居摆设
正方形形状的家居摆设如相框、画 框等也十分常见，符合人们的审美 习惯。
THANKS
感谢观看
04
正方形的面积与周长
面积计算公式
面积计算公式
正方形的面积等于边长的平方，即边 长乘以边长。
举例说明
如果正方形的边长为5厘米，则其面 积为5厘米 x 5厘米 = 25平方厘米。
周长计算公式
周长计算公式
正方形的周长等于四倍的边长，即4倍的边长。
举例说明
如果正方形的边长为5厘米，则其周长为5厘米 x 4 = 20厘米。
正方形的性质与判定ppt课件
A
D
P
B
C
巩固训练
3. 如图，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓 库P和Q分别位于AD和DC上，且PD= QC．证明两条直路BP=AQ且 BP⊥AQ．
巩固训练
4.在一个正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小 路将花坛分成大小、形状完全相同的四部分（不考虑道路的宽 度）．你有几种方法？（至少说出三种）
如图所示即为所求（答案不唯一）.
BD 相交于点 O.
求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
A
D
O
B
C
任务二
正方形的性质
定理 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
韦恩图：
四边形 平行四边形
菱形 正方形 矩形
巩固训练
根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”.
性质\图形
平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等 边
四边相等
√
√√ √
√√
角
四个角都是直角
对角线相互平分
√
对 角
对角线相互垂直
线
对角线相等
每条对角线平分一组对角
√
√
√√ √
√√
√
√
√√
巩固训练
例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 边延长线 上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.
A
D
E
B
CF
小结
正方形 的性质
定义 性质
3.正方形的性质与判定第1课时正方形的性质PPT课件(北师大版)
第一章
特殊平行四边形 3．正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
第1课时 正方形的性质
1 …知…识…回…顾…. 2 …新…知…导…航…. 3 …轻…松…过…招….
第1课时 正方形的性质
知识回顾
正方是轴对称图形，它有 4 条对称轴，即经 过对边中点的直线或两对角线所在直线：正方形又 是中心对称图形，两对角线交点是它的对称中心 （也是对边中点的直线的交点）。 .
第1课时 正方形的性质
新知导航
变式训练
1.已知正方形ABCD的对角线相交于点O. （1）若周长为8，则对角线长为 2 2 ， 面积为 4 ； （2）图中共有 8 个等腰直角三角形．
第1课时 正方形的性质
新知导航
2.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A，C 作l的垂线，垂足分别为E，F，若 AE＝1，CF＝3.求AB的长．
第1课时 正方形的性质
轻松过招
3．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为 BC延长线上一点，且CE＝CF. （1）求证：△BCE≌△DCF；
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°
CE＝CF
在△BCE和△DCF中， ∠BCE＝∠DCF ，
∴△BCE≌△DCF.
解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBF＋∠FBA＝90°，AB＝BC， ∵CF⊥BE，∴∠CBF＋∠BCF＝90°， ∴∠BCF＝∠ABE， ∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC， ∴△ABE≌△BCF(AAS)，∴AE＝BF＝1，BE＝CF＝3， ∴AB＝ AE2＋BE2 ＝ 1＋9 ＝ 10 .
第1课ห้องสมุดไป่ตู้ 正方形的性质
轻松过招
正方形的性质与判定ppt课件
①有一组邻边相等的矩形是正方形 ②对角线互相垂直的矩形是正方形 ③有一个角是直角的菱形是正方形 ④对角线互相垂直的矩形是正方形
归纳总结
2. 四边形的中点四边形与原四边形的对角线有关
(1)当对角线不相等不垂直时，中点四边形是平行四边形 (2)当对角线相等时，中点四边形是菱形 (3)当对角线垂直时，中点四边形是矩形 (4)当对角线垂直且相等时，中点四边形是正方形
D
结论1 有一组邻边相等的矩形是正方形
几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AB四=B边C形ABCD是正方形
O
B
C
结论2 对角线互相垂直的矩形是正方形
几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形，AC⊥BD ∴ 四边形ABCD是正方形
探究一：正方形的判定
D
问题2：满足怎样条件的菱形是正方形？ A
结论3 有一个角是直角的菱形是正方形
第一章 特殊平行四边形
1.3.2 正方形的性质与判定 第二课时
温故知新
菱形
平行四边形
① 有一组邻边相等 ②对角线互相垂直
矩形
①有一个角是直角 ②对角线相等
探索新知
如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开， 怎样剪才能剪出一个正方形？
探究一：正方形的判定
A
问题1：满足怎样条件的矩形是正方形？
B
E
C
基础练习
3. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是
A(－2，0)，B(0，－2)，C(2，0)，D(0，2).
求证：四边形ABCD是正方形.
y D(0，2)
A(－2，0)
C(2，0) x
B(0，－2)
能力提升
1. 在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是 正方形，还需添加一组条件. 下面给出了五组条件： ①AB=AD，且AC=BD；②AB⊥AD，且AC⊥BD； ③AB⊥AD，且AB=AD；④AB=BD，且AB⊥BD； ⑤OB=OC，且OB⊥OC. 其中符合条件的有
正方形的性质经典课件
相等。
判定方法：除 了四个角都是 直角外，还可 以通过邻边相 等的平行四边 形是正方形来
判定。
与菱形的区别： 虽然菱形的四 个边都相等， 但是菱形的角 度不一定是直 角，因此菱形 不一定是正方
形。
04
正方形的面积与周长
正方形的面积计算公式
定义：正方形面积是边长的平 方
公式：S=a²
举例：如果边长为3，则面积为 9
正方形的相关推论
正方形的对角线性质：相等且互 相平分
正方形的面积性质：等于边长的 平方
添加标题
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正方形的边长性质：相等
添加标题
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正方形的内角性质：每个内角都 是90度
感谢观看
汇报人：PPT
05
正方形的特殊性质
正方形的对角线长度相等且互相平分
对角线性质：对角线长度相 等且互相平分
证明方法：利用勾股定理或 相似三角形性质
定义：正方形四条边相等， 四个角都是直角
应用：在几何学、物理学等 领域有广泛应用
正方形的两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形
定义：正方形的两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形 性质：每个三角形的两边长度相等，且两个锐角都是45度 证明：通过正方形的性质和三角形的性质，可以证明这个结论 应用：这个性质在几何学中有广泛的应用，例如在解决几何问题、设计图案等方面
判定方法：对角 线相等的平行四 边形是正方形， 它的对角线互相 垂直平分
应用：在几何学 中，正方形是一 种重要的图形， 具有许多独特的 性质和判定方法， 可以应用于许多 领域
四个角都是直角的平行四边形是正方形
定义：如果一 个平行四边形 的四个角都是 直角，则它是 一个正方形。
判定方法：除 了四个角都是 直角外，还可 以通过邻边相 等的平行四边 形是正方形来
判定。
与菱形的区别： 虽然菱形的四 个边都相等， 但是菱形的角 度不一定是直 角，因此菱形 不一定是正方
形。
04
正方形的面积与周长
正方形的面积计算公式
定义：正方形面积是边长的平 方
公式：S=a²
举例：如果边长为3，则面积为 9
正方形的相关推论
正方形的对角线性质：相等且互 相平分
正方形的面积性质：等于边长的 平方
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正方形的边长性质：相等
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正方形的内角性质：每个内角都 是90度
感谢观看
汇报人：PPT
05
正方形的特殊性质
正方形的对角线长度相等且互相平分
对角线性质：对角线长度相 等且互相平分
证明方法：利用勾股定理或 相似三角形性质
定义：正方形四条边相等， 四个角都是直角
应用：在几何学、物理学等 领域有广泛应用
正方形的两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形
定义：正方形的两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形 性质：每个三角形的两边长度相等，且两个锐角都是45度 证明：通过正方形的性质和三角形的性质，可以证明这个结论 应用：这个性质在几何学中有广泛的应用，例如在解决几何问题、设计图案等方面
判定方法：对角 线相等的平行四 边形是正方形， 它的对角线互相 垂直平分
应用：在几何学 中，正方形是一 种重要的图形， 具有许多独特的 性质和判定方法， 可以应用于许多 领域
四个角都是直角的平行四边形是正方形
定义：如果一 个平行四边形 的四个角都是 直角，则它是 一个正方形。
正方形的判定ppt课件
2. 选做题： 课本25页习题1.8第4题.
3.放飞题： 画一张思维导图，呈现本章节知识点
第一章《特殊的平行四边形》
1.3.2 正方形的判定
温故知新
1.菱形、矩形的判定
菱形
平行四边形
矩形
温故知新
2.正方形的定义及性质
正方形 有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做
一个角是直角 平行四边形 且一组邻边相等
正方形
正方形的性质
边
正方形的对边平行且相等
角 正方形的四个角都是直角
正方形的两条对角线互相垂直平分且相等,
正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间的关系：
(1)
平行四边形
矩 形
正 方 形
菱 形
(3)
有一组邻边相等且有一个角是直角
(4)
(2)
如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.
证明：∵BF∥CE，CF∥BE ∴四边形BECF是平行四边形
通过本节课的学习，你觉得正方形主要有哪些判定途径呢？
判定正方形的两条主要途径：
(1)
+
一组邻边相等
或对角线互相垂
直
先判定矩形
菱形条件
正方形
(2)
+ 一个直角 或对角线相等
先判定菱形
矩形条件
正方形
【佳作欣赏】
【佳作欣赏】
【佳作欣赏】
【学习巩固】
1. 必做题： 课本25页习题1.8第1、2、3题.
问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？
菱形
一个角是直角 正方 或对角线相等 形
正方形的判定方法：
3.放飞题： 画一张思维导图，呈现本章节知识点
第一章《特殊的平行四边形》
1.3.2 正方形的判定
温故知新
1.菱形、矩形的判定
菱形
平行四边形
矩形
温故知新
2.正方形的定义及性质
正方形 有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做
一个角是直角 平行四边形 且一组邻边相等
正方形
正方形的性质
边
正方形的对边平行且相等
角 正方形的四个角都是直角
正方形的两条对角线互相垂直平分且相等,
正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间的关系：
(1)
平行四边形
矩 形
正 方 形
菱 形
(3)
有一组邻边相等且有一个角是直角
(4)
(2)
如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.
证明：∵BF∥CE，CF∥BE ∴四边形BECF是平行四边形
通过本节课的学习，你觉得正方形主要有哪些判定途径呢？
判定正方形的两条主要途径：
(1)
+
一组邻边相等
或对角线互相垂
直
先判定矩形
菱形条件
正方形
(2)
+ 一个直角 或对角线相等
先判定菱形
矩形条件
正方形
【佳作欣赏】
【佳作欣赏】
【佳作欣赏】
【学习巩固】
1. 必做题： 课本25页习题1.8第1、2、3题.
问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？
菱形
一个角是直角 正方 或对角线相等 形
正方形的判定方法：
3.正方形的性质与判定第2课时 正方形的判定PPT课件(北师大版)
证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90° ∴∠CFD＝∠DEC＝∠FCE＝90° ∴四边形CFDE是矩形 又∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DE⊥BC ∴DF＝DE，∴矩形CFD松过招
第二招
3．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，D、E、F分 别是BC、AB、AC边上的中点． 求证：四边形AEDF是正方形．
第2课时 正方形的判定
新知导航
知识点3：四边相等且有1个角是直角 【例3】已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是∠ACB 的平分线，CD的垂直平分线分别交AC，CD，BC于点E，O，F. 求证：四边形CEDF是正方形．
证明：∵CD的垂直平分线分别交AC，CD， BC于点E，O，F，∴EC＝ED，FC＝FD， ∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°，又CD⊥EF ∴△CEF为等腰直角三角形，∴CE＝CF ∴ED＝EC＝CF＝FD，∴四边形CEDF为菱形， ∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF为正方形．
证明：如图，过点D作DN⊥AB于点N， ∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠C＝∠DEC＝∠DFC＝90°，∴四边形CFDE是矩形， ∵∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于 点F，DN⊥AB于点N， ∴DE＝DN，DN＝DF，∴DF＝DE， ∴矩形CFDE是正方形．
证明：∵D，E，F分别是BC，
AB，AC的中点．∴AE∥DF，DE∥AF
∵∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是矩形
∵D，E，F分别是BC，AB，AC的中点
∴DE＝12
AC，DF＝
1 2
AB
又AB＝AC，∴DE＝DF.∴矩形AEDF是正方形．
第2课时 正方形的判定
第二招
3．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，D、E、F分 别是BC、AB、AC边上的中点． 求证：四边形AEDF是正方形．
第2课时 正方形的判定
新知导航
知识点3：四边相等且有1个角是直角 【例3】已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是∠ACB 的平分线，CD的垂直平分线分别交AC，CD，BC于点E，O，F. 求证：四边形CEDF是正方形．
证明：∵CD的垂直平分线分别交AC，CD， BC于点E，O，F，∴EC＝ED，FC＝FD， ∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°，又CD⊥EF ∴△CEF为等腰直角三角形，∴CE＝CF ∴ED＝EC＝CF＝FD，∴四边形CEDF为菱形， ∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF为正方形．
证明：如图，过点D作DN⊥AB于点N， ∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠C＝∠DEC＝∠DFC＝90°，∴四边形CFDE是矩形， ∵∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于 点F，DN⊥AB于点N， ∴DE＝DN，DN＝DF，∴DF＝DE， ∴矩形CFDE是正方形．
证明：∵D，E，F分别是BC，
AB，AC的中点．∴AE∥DF，DE∥AF
∵∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是矩形
∵D，E，F分别是BC，AB，AC的中点
∴DE＝12
AC，DF＝
1 2
AB
又AB＝AC，∴DE＝DF.∴矩形AEDF是正方形．
第2课时 正方形的判定
《1.3正方形的性质和判定》ppt课件
倍 速 课 时 学 练
长见识
数一数图中正方形的个数，你发现了什么
倍 速 课 时 学 练
（ ）个（
）个
（
）个
（
）个
多
多
多
第n个图中正方形有
3n-1 个
3 正方形的性质和判定
平行四边形再认识
倍 速 课 时 学 练
平行四边形再认识
邻边相等 平行四边 形 菱形
定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
倍 速 课 时 学 练
平行四边形
一个角是直角
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
平行四边形 正 方 形
倍 速 课 时 学 练
倍 速 课 时 学 练
解：BE=DF,且BE⊥DF. 理由如下：
倍 速 课 时 学 练
（1）∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四 条边都相等，四个角都是直角）. ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°90°=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF.
速 课 时 学 练
AO=CO=BO=DO， ∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO
都是等腰直角三角形， 并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．
A
3.已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝2cm，则AC=
2 2 ,2
O
4 正方形的面积S=______.
B
2
C
A 4.已知：在正方形ABCD中，对角线AC、
A
7.5
cm。
D
E
倍 速 课 时 学 练
《正方形的性质》PPT课件
（6）有三个角是直角且有一组邻边相等的四
边形是正方形 √
（7）对角线互相垂直平分且相等的四边形是
正方形 √
细心练一练
2.如图,把一个长方形纸片对折两次,然后剪下
一个角.为得到一个正方形,裁剪线与折痕所
成的角α的度数应为( C )
A.60°
B.30°
C.45°
D.90°
3.如图，△ABC中, ∠ABC=90°，BD平分 ∠ABC,DE⊥BC， DF⊥AB ,垂足分别为E、F，
求证：四边形BEDF是正方形 A
F
D
B
E
C
总结
一组邻边相等
有一个角是直角
菱形
平行四边形
正方形 有一个角是直角 矩形 一组邻边相等
训练提高
1.已知正方形ABCD中,AC=10,P是AB上一点,PE⊥AC于E，PF⊥BD于F,则
5 PE+PF=______________.
A
D
E
A
D
P
O
E
F
B
C
B
C
B
又 ∵ 正方形的每个内角为90°
E F
G C
∴ ∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC
∴ ∠ADE＝∠CDG
∴ △ADE≌△CDG。(SAS)
∴ AE=CG
----下列说法对吗?
（1）四个角都相等的四边形是正方形 （2）四条边都相等的四边形是正方形 （3）对角线相等的菱形是正方形 （4）对角线互相垂直的矩形是正方形 （5）对角线垂直且相等的四边形是正方形 （6）四边相等，有一角是直角的四边形是正方形 (7) 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰 直角三角形 (8) 正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴
边形是正方形 √
（7）对角线互相垂直平分且相等的四边形是
正方形 √
细心练一练
2.如图,把一个长方形纸片对折两次,然后剪下
一个角.为得到一个正方形,裁剪线与折痕所
成的角α的度数应为( C )
A.60°
B.30°
C.45°
D.90°
3.如图，△ABC中, ∠ABC=90°，BD平分 ∠ABC,DE⊥BC， DF⊥AB ,垂足分别为E、F，
求证：四边形BEDF是正方形 A
F
D
B
E
C
总结
一组邻边相等
有一个角是直角
菱形
平行四边形
正方形 有一个角是直角 矩形 一组邻边相等
训练提高
1.已知正方形ABCD中,AC=10,P是AB上一点,PE⊥AC于E，PF⊥BD于F,则
5 PE+PF=______________.
A
D
E
A
D
P
O
E
F
B
C
B
C
B
又 ∵ 正方形的每个内角为90°
E F
G C
∴ ∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC
∴ ∠ADE＝∠CDG
∴ △ADE≌△CDG。(SAS)
∴ AE=CG
----下列说法对吗?
（1）四个角都相等的四边形是正方形 （2）四条边都相等的四边形是正方形 （3）对角线相等的菱形是正方形 （4）对角线互相垂直的矩形是正方形 （5）对角线垂直且相等的四边形是正方形 （6）四边相等，有一角是直角的四边形是正方形 (7) 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰 直角三角形 (8) 正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴
正方形的性质与判定-ppt课件
∵AF＝5，∴在 Rt△ABF 中，BF＝ AF2－AB2＝
52－42＝3.∵点 F 为 BC 的中点，∴BC＝2BF＝6.
∴在 Rt△BCE 中，CE＝ BC2＋BE2＝ 62＋22＝2 10.
感悟新知
(2)若AF=CE，求证：四边形ABCD 是正方形.
知3－练
证明：在 Rt△ABF 中，AF2＝AB2＋BF2，
∴四边形ACED 是正方形(正方形的定义).
感悟新知
知3－练
3-1. 如图， 在矩形ABCD 中，点E，F 分别是AB，BC 的
中点，连接AF，CE.
感悟新知
知3－练
(1)若AE=2，AF=5，求CE 的长；
解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B＝90°.
∵点 E 为 AB 的中点，AE＝2，∴AB＝4，BE＝2.
数学表达式
∵在ABCD 中，AB=BC(或
AB=AD 或BC=CD 或
AD=CD)，且∠ A=90°(或
∠ B=90°或∠ C=90°或
∠ D=90°)，∴ ABCD 是
正方形
感悟新知
知1－讲
2. 图解
感悟新知
知1－讲
3. 四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形间的关系
感悟新知
知1－讲
特别提醒
2
四边形A2 024B2 024C2 024D2 024 的面
3
积为______ ．
22 022
课堂小结
正方形的性质与判定
性质
正
方
形
正方形的面积公式
一组邻边相等
特殊的矩形
对角线互相垂直
一个角是直角
判定
特殊的菱形
对角线相等
∴四边形 ABCD 是正方形．
52－42＝3.∵点 F 为 BC 的中点，∴BC＝2BF＝6.
∴在 Rt△BCE 中，CE＝ BC2＋BE2＝ 62＋22＝2 10.
感悟新知
(2)若AF=CE，求证：四边形ABCD 是正方形.
知3－练
证明：在 Rt△ABF 中，AF2＝AB2＋BF2，
∴四边形ACED 是正方形(正方形的定义).
感悟新知
知3－练
3-1. 如图， 在矩形ABCD 中，点E，F 分别是AB，BC 的
中点，连接AF，CE.
感悟新知
知3－练
(1)若AE=2，AF=5，求CE 的长；
解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B＝90°.
∵点 E 为 AB 的中点，AE＝2，∴AB＝4，BE＝2.
数学表达式
∵在ABCD 中，AB=BC(或
AB=AD 或BC=CD 或
AD=CD)，且∠ A=90°(或
∠ B=90°或∠ C=90°或
∠ D=90°)，∴ ABCD 是
正方形
感悟新知
知1－讲
2. 图解
感悟新知
知1－讲
3. 四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形间的关系
感悟新知
知1－讲
特别提醒
2
四边形A2 024B2 024C2 024D2 024 的面
3
积为______ ．
22 022
课堂小结
正方形的性质与判定
性质
正
方
形
正方形的面积公式
一组邻边相等
特殊的矩形
对角线互相垂直
一个角是直角
判定
特殊的菱形
对角线相等
∴四边形 ABCD 是正方形．
正方形的性质经典课件
对角线相等的菱形是正方形
总结词
菱形如果对角线相等，则该菱形是正 方形。
详细描述
菱形的对角线互相垂直且平分对方， 如果菱形的对角线还相等，则这个菱 形的所有边都相等，因此它是一个正 方形。
对角线互相垂直的矩形是正方形
总结词
矩形如果对角线互相垂直，则该矩形是正方形。
详细描述
在矩形中，如果对角线互相垂直，则这个矩形的所有角都是直角，并且所有边都相等，因此它是一个正方形。
03
正方形的面积与周长
正方形的面积计算公式
总结词
正方形的面积计算公式是边长的平方。
详细描述
正方形的面积可以通过边长的平方来计算，即面积 = 边长^2。这个公式是正方形面积的标准计算方 法，适用于任何大小的正方形。
正方形的周长计算公式
总结词
正方形的周长计算公式是四倍的边长。
详细描述
正方形的周长是四个边的长度之和，即周长 = 4 × 边长。这个 公式是正方形周长的标准计算方法，适用于任何大小的正方形。
正方形的边长相等
总结词
正方形四条边的长度相等。
详细描述
正方形的一个基本性质是其四条边的长度相等。这意味着正方形的任意一边都 可以被等分，且等分点之间的线段也相等。这个性质是正方形与长方形、菱形 等其他平行四边形相区别的关键。
正方形的四个角都是直角
总结词
正方形每个角都是直角，即角度为90度。
详细描述
建筑美学的体现
空间利用与功能性
正方形在建筑设计中也有助于提高空 间利用率，特别是在有限的空间内， 通过合理的布局和规划，实现功能性 和美感的统一。
正方形在建筑设计中能够带来稳定、 平衡和和谐的美感，增强建筑的艺术 性和视觉效果。
正方形的性质与判定完整ppt课件
A B
D C
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
A
D
B
C
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
A
D
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
拓展讨论:
正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？
A
D
O
B
C
结论：
分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ； △AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
。
A
B
O
D
C
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
12.正已方知形正具方有形而的菱一形条不边一长定为具2c有m的,则性这质个是正（方形C）的
周长A为.对8角c线m,对互角相线垂长直为B.对2角,面线2积c互m为相平分. 4cm2
性质 图形 平行四
分类
边形
矩形 (所特有)
菱形 (所特有)
正方形
边 对边平行
且相等
四条边相等
对边平行且 四条边相等
角
对角相等
四个角都 是直角
四个角都 是直角
对角线互
对角线 相平分
对角线 相等
对角线互相 垂直，每条 对角线平分 一组对角
对角线相等且互 相垂直平分，每 条对角线平分一 组对角
D C
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
A
D
B
C
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
A
D
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
拓展讨论:
正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？
A
D
O
B
C
结论：
分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ； △AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
。
A
B
O
D
C
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
12.正已方知形正具方有形而的菱一形条不边一长定为具2c有m的,则性这质个是正（方形C）的
周长A为.对8角c线m,对互角相线垂长直为B.对2角,面线2积c互m为相平分. 4cm2
性质 图形 平行四
分类
边形
矩形 (所特有)
菱形 (所特有)
正方形
边 对边平行
且相等
四条边相等
对边平行且 四条边相等
角
对角相等
四个角都 是直角
四个角都 是直角
对角线互
对角线 相平分
对角线 相等
对角线互相 垂直，每条 对角线平分 一组对角
对角线相等且互 相垂直平分，每 条对角线平分一 组对角
正方形的性质与判定课件课件
度。 45
用
第12页，幻灯片共38页
例2、如图，正方形ABCD中，
正方形的面积为64平方厘米，则正方
形对角线AC=
8√2 cm。
A
B
O
D
C
第13页，幻灯片共38页
12.正已方知形正具方有形而的菱一形条不边一长定为具2c有m的,则性这质个是正（方形）的C
周长A为.对角8线c,对m互角相线垂长直为B.对角,面线2积互为相2c平m分.
A
D
1
E
2 3
G
F
B
C
第35页，幻灯片共38页
例题赏析
⒉在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分
∠BAC,试猜想AB、BE 、AC之间的大小关系，
并证明你的猜想．
A
D
B G
F
E
C
第36页，幻灯片共38页
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，
MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N， 求证：BM＝CN。
正
方形
对边平行，
四条边
都相等
四个角
都是直角
对角线互相垂直平分且
相等，每条对角线平分 轴对称图形、
一组对角
中心对称图形
第19页，幻灯片共38页
知识点二：
正方形的判定
第20页，幻灯片共38页
图形之间的变化关系
矩形
平行四边形
有一组邻边相等
有一个角是直角
正方形
菱形
第21页，幻灯片共38页
正方形的判定方法：
关于正方形的性质 与判定课件
第1页，幻灯片共38页
四边形
平行四边形
矩形 菱形
北师大九年级数学上册《正方形的判定与性质》课件(共14张PPT)
∵正方形ABCD, ∴AD=AB,∠DAF=∠BAF, 又∵AF=AF ∴△FAD≌△FAB.
议一议：
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有 么关系？你能用一个你喜欢的方式直观地 示它们之间的关系吗 ？与同伴交流.
这是老师的，你的呢？
请画出平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图
平行四边形
正
矩形 方 菱形
正方形的性质=
正 边 正方形的四条边相等
方
形 角 正方形的四个角都是直角形的 两条对角线互相垂直平分 且相等,每条对角线平分一组对角
想一想： 正方形有几条对称轴
解析： 正方形有4条对称轴. 经验层面：可通过折叠. 分析层面：正方形具有矩形、菱形的 所有性质，所以必然具有矩形过每组 对边中点的对称轴和菱形过对角线的 对称轴.
第一章 特殊平行四边形
第3节 正方形的性质与判定（一）
中学学科
正方形的定义： 有一组邻边相等并且有一个角是
直角的平行四边形叫做正方形.
议一议： （1）正方形是菱形吗?是矩形吗？ （2）你认为正方形有哪些性质？
正方形既是矩形又是菱形，它具有 矩形和菱形的所有性质.
于是我们得到了正方形的两条定理： 定理 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分
2：如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC 上一点，连接BF,DF。你能找出图中的全等 三角形吗？选择其中一对进行证明.
1：解：图中共有8个等腰三角形. 2：解：图中的全等三角形共有3对，
分别是△ADC与ABC, △FCD与FCB, △FAD与△FAB.
选择△FAD≌△FAB证明，过程如下：
性质应用
例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD 上一点，F为BC边延长线上一点，且 CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由.
议一议：
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有 么关系？你能用一个你喜欢的方式直观地 示它们之间的关系吗 ？与同伴交流.
这是老师的，你的呢？
请画出平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图
平行四边形
正
矩形 方 菱形
正方形的性质=
正 边 正方形的四条边相等
方
形 角 正方形的四个角都是直角形的 两条对角线互相垂直平分 且相等,每条对角线平分一组对角
想一想： 正方形有几条对称轴
解析： 正方形有4条对称轴. 经验层面：可通过折叠. 分析层面：正方形具有矩形、菱形的 所有性质，所以必然具有矩形过每组 对边中点的对称轴和菱形过对角线的 对称轴.
第一章 特殊平行四边形
第3节 正方形的性质与判定（一）
中学学科
正方形的定义： 有一组邻边相等并且有一个角是
直角的平行四边形叫做正方形.
议一议： （1）正方形是菱形吗?是矩形吗？ （2）你认为正方形有哪些性质？
正方形既是矩形又是菱形，它具有 矩形和菱形的所有性质.
于是我们得到了正方形的两条定理： 定理 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分
2：如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC 上一点，连接BF,DF。你能找出图中的全等 三角形吗？选择其中一对进行证明.
1：解：图中共有8个等腰三角形. 2：解：图中的全等三角形共有3对，
分别是△ADC与ABC, △FCD与FCB, △FAD与△FAB.
选择△FAD≌△FAB证明，过程如下：
性质应用
例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD 上一点，F为BC边延长线上一点，且 CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由.
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2021/3/1
25
猜想结论，分组验证
1.如图，在ΔABC中，
EF为ΔABC的中位线，
①若∠BEF=30°，
E
则∠A= 30°.
②若EF=8cm,
A
则AC= 16cm .
2021/3/1
B F C
26
猜想结论，分组验证
2.在AC的下方找一点D,
做CD和AD的中点G、H, E 问EF和GH有怎样的关
求证：四边形ABCD是正方形。
2021/3/1
22
正方形的判定方法：
5.对角线垂直的矩形是正方形。
已知：在矩形ABCD中，对角线 AC、BD相交 于点O，且AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是正方形。
2021/3/1
23
判断下列命题哪些是真命题、哪些是假命题？
①、对角线相等的菱形是正方形。
（ 真）
2、先说明它是矩形，再说明这个 矩形有一组邻边相等。（矩形法）
3、先说明它是菱形，再说明这个 菱形有一个角是直角。（菱形法）
2021/3/1
20
第十九章 四边
正方形的判定方法还形有哪些？
矩
平
形
行
四
边
形
菱
形
2021/3/1
正 方 形
21
正方形的判定方法：
4.对角线相等的菱形是正方形。 5已于.知点对：O角，在线且菱A垂形CA直=BBC的DD. 矩中，形对是角正线方A形C、。BD相交
2021/3/1
16
你觉得什么样的四边形是 正方形呢?( 判断一个四边形 是正方形有哪些方法矩形是正方形
矩形
特殊的矩形
平行四边形
特殊的 平行四边形 有一组邻边相等 且有一个角是直角 的平行四边形 叫做2021正/3/1 方形。
一组邻边相等 有一个直角
正方形
②、对角线互相垂直的矩形是正方形。 （ 真） ③、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（。假 ）
④ 四条边都相等的四边形是正方形。 （假 ）
⑤、四个角都相等的四边形是正方形。 （ 假 ）
⑥、四边相等，有一个角是直角的四
边形是正方形。
2021/3/1
（真 ）
24
已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分 ∠ ABC，CE平分∠ DCB，BF∥CE， CF ∥ BE. 求证:四边形BECF是正方形.
分别是△ADC与ABC, △FCD与FCB, △FAD与△FAB.
2021/3/1
14
选择△FAD≌△FAB证明，过程如下：
∵正方形ABCD, ∴AD=AB,∠DAF=∠BAF, 又∵AF=AF ∴△FAD≌△FAB.
2021/3/1
15
想一想
• 如果将一张长方形纸对折两次， 然后剪下一个角，打开，怎样 剪才能剪出一个正方形？
这是老师的，你的呢？
2021/3/1
12
练习提高
1：如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相 交于点O，图中有多少个等腰三角形？
2：如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC 上一点，连接BF,DF。你能找出图中的全等 三角形吗？选择其中一对进行证明.
2021/3/1
13
1：解：图中共有8个等腰三角形. 2：解：图中的全等三角形共有3对，
2021/3/1
7
想一想： 正方形有几条对称轴
解析： 正方形有4条对称轴. 经验层面：可通过折叠. 分析层面：正方形具有矩形、菱形的所 有性质，所以必然具有矩形过每组对边 中点的对称轴和菱形过对角线的对称轴.
2021/3/1
8
性质应用
例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD 上一点，F为BC边延长线上一点，且 CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由.
解：BE=DF,且BE⊥DF. 理由如下：
2021/3/1
9
（1）∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四 条边都相等，四个角都是直角）. ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°90°=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF.
3
看我们收获了什么？
图形 第二类 数据
角
四个角都相等都是90°
边
数量关系 四条边都相等
线
位置关系 两组对边分别平行
对角线 数量关系 相等且互相平分
位置关系 垂直
对称性 有
2021/3/1
4
合作学习
第二类图形就是正方形，我们给出定义： 有一组邻边相等的矩形叫做正方形. 议一议： （1）正方形是菱形吗? （2）你认为正方形有哪些性质？
菱形
特殊的菱形
有一个角为直角的菱形是正方1形8
正方形的判定方法：
(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）
一组邻边相等
1、 平行四边形
一内角是直角
正方形 定义法
2、 菱形
一内角是直角
正方形 菱形法
3、 矩形
2021/3/1
一组邻边相等
正方形 矩形法
19
1、先说明它是平行四边形，再说明 有一组邻边相等，有一个角是直角。 (定义法）
九年级数学(上)第一章 特殊平行四边形
1.3 正方形的性质与判定
2021/3/1
1
情境引入
2021/3/1
2
看我们收获了什么？
图形 第一类 数据
角
四个角都相等都是90°
边
数量关系 两组对边分别相等
线
位置关系 两组对边分别平行
对角线 数量关系 相等且互相平分
位置关系 相交
对称性 有
2021/3/1
系？EH和FG呢？
3 . 四 边 形 EFGH 的 形 状A
有什么特征？
H
B
F
C G D
2021/3/1
27
猜想结论，分组验证
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边 形EFGH会有怎样的变化呢？
原四边形可以是：
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
2021/3/1
直角梯形
梯形
28
猜想结论，分组验证
2021/3/1
10
(2)延长BE交DE于点M，（如图1-19）. ∵△BCE≌△DCF. ∴∠CBE=∠CDF. ∵∠DCF=90°. ∴∠CDF+∠F=90°. ∴∠CBE+∠F=90°. ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF.
2021/3/1
11
议一议：
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有 么关系？你能用一个你喜欢的方式直观地 示它们之间的关系吗 ？与同伴交流.
2021/3/1
5
从我们得到数据分析：正方形既是矩形 又是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质.
请同学们参照下表或独立整理矩形菱形的性质.
矩形 边 角 对角线
性质
菱形 性质
边 角 对角线
2021/3/1
6
于是我们得到了正方形的两条定理： 定理 正方形的四个角都是直角，四条边都 相等 定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分