大学物理_角动量_转动惯量分解

e1 A B A1 B1
B B1e1 B2e2 B3e3 A Ae 1 1 A 2e2 A 3e3 A B 大小： A B A B sin ( A,B ) (以 A 和 B 为边的平行四边形面积) 方向：与 A 和 B 都垂直， 且成由 A 转到 B 的右手螺旋关系 性质： A B ( B A)
转动：刚体中所有点同时都绕同一直线做圆周运动。 转动又分定轴转动、非定轴转动（绕定点转动或绕瞬心 转动）。
刚体的平面运动：
例：曲柄连杆机构中连杆AB的运动。
A点作圆周运动，B
点作直线运动，因此，
AB 杆的运动既不是平动
也不是定轴转动，而是
平面运动。
刚体的一般运动： 质心的平动 质心 ：刚体的质量分布的中心
力臂:
r
是作用点P相对于固定点O的位矢。
d r sin θ
(力与力臂的乘积)
方向：右手螺旋定则判定
M r 和F
单位：N∙m （注意：不能写作功的单位J ）
在直角坐标系中，力矩可表示为：
M r F x Fx
i
j y
k z
其中：
F y Fz M xi M y j M zk

大小： M 方向：
垂直纸面向里
(l a) g sin( / 2)(0l / L0 )dl 0 ( g0 / L0 cos )( L3 / 3 aL2 / 2)

L

0
F 对转轴 Z 的力矩 M r F M Fr sin Fd
2、对转轴的力矩 刚体绕 O z 轴旋转，力 F 作用在刚体上点 P (P点在转动 平面内), r为力的作用点 P 到 转轴的径矢。
例：一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为 的水平桌面上转动，求：摩擦力的力矩 M阻。 解：杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦 阻力矩不同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质 元受阻力矩大， m 细杆的质量密度： l x dm l 质元质量： dm dx o m dx x 质元受阻力矩：
sin 0. 例：匀速率圆周运动；地球绕日转动
2）有心力问题 如果质点在运动中受到的力始终指向某个固定 的中心，这种力叫做有心力，该固定中心称为力心。 有心力相对于力心的力矩恒为零。所以，在有心力 作用下质点对力心的角动量都是守恒的。
例如，行星在绕太阳的运动中，对太阳的角动 量守恒；人造地球卫星绕地球运行时，它对地心的 角动量守恒；电子绕原子核运动时，电子对原子核 的角动量守恒。
基本要求
一．理解角动量概念，掌握角动量定理、角动量守 恒及其应用； 二．理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量 与线量的关系；
三．理解力矩和转动惯量概念，计算转动惯量，掌 握刚体绕定轴转动的转动定律；
四．理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚 体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒 定律。 能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单 系统的力学问题。
dM阻 dm g x
细杆受的阻力矩：
l 0
m l
1 1 2 M 阻 dM 阻 gxdx gl mgl 2 2
练习：如图一圆盘面密度为σ，半径为R，与桌面 的摩擦系数为μ，求：圆盘绕过圆心且和盘面垂直 的轴转动时，圆盘所受的摩擦力矩。
解：取一小环为面元， 则：dm 2 r dr
特别，对刚体
i
M r dF ( r )
例：如图，长为L 的细棒的质量密 L gdm 度分布为 (l ) 0l / L0 , 其中l 为距左端的长度，求其 a 所受重力对O点的力矩。 O L 解：M r dF r gdm (l a)er g (l )dl
a F /m
v a (t )dt
0 t
L r p r mv
t 0
W F (t ) dr (t ) F (t ) v (t )dt Ek (t ) Ek (0) I F (t )dt mv (t ) mv0
0 t
2、质点的角动量定理
质点角动量定理的微分形式： dL Mdt
dL M dt

t2
t1
Mdt L2 L1
冲量矩

t2
t1
M dt
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受到 的冲量矩等于质点角动量的增量。
注意： 定理中的力矩和角动量都必须是相对于同一 参考点而言的。 说明: (1) 冲量矩是质点角动量变化的原因。 (2) 质点角动量的变化是力矩对时间的积累的结果。
方向：
都垂直纸面向里
例2：有一个质量为 m = 1 kg 的物体, 在力 F 12t 2i 6tj 2k (SI单位制) 的作用下运动。 当 t = 0 时，r0 0, v0 0. 求: t = 1s时对原点 M ? L ? 此1s内，力所做的功？对物体冲量？
M r F
冲量、动量、动量定理。
冲量矩、动量矩(角动量)、 角动量定理。
预备知识：二矢量的矢积（叉乘）
A B ( Ae 1 1A 2e2 A 3e3 ) ( B 1e 1 B2e2 B3e3 )
A1B2e1 e2 A2 B1e2 e1 +A2 B3e2 e3 A3B2e3 e2 +A3 B1e3 e1 A1B3e1 e3
L
p
L rmv mr 2
o
r
m
质点作匀速率圆周运动时，角动量是恒量。
3) 在直角坐标系中，角动量的表达式为：
Lr p x y z p x p y pz Lx i Ly j Lz k
i Lr p x px j y py
e2 A2 B2 e3 A3 B3
(A1B2 A2 B1 )e3 +(A2 B3 A3B2 )e1 +(A3B1 A1B3 )e2
定义： M r F
为作用在质点上的力 F 对参考点O的力矩。
一、力矩 1、对参考点的力矩
M
O
r
F
d
p
θ
大小： M r F r si nθF Fd
例４：质量为Ｍ的圆锥摆摆球，以速率 v 运动时，对 参考点Ｏ的角动量是否守恒？对参考点Ｃ的角动量是 否守恒？
z
F F F z
z k Fz F NhomakorabeaO
r
F
M z rF sinθ
M M1 M2 M3
2）合力矩等于各分力矩的矢量和。
注意：合力矩与合力的矩是不同的概念，不要混淆。
3） 刚体内部，作 用力和反作用力对 同一点（或转轴） 的力矩互相抵消。
二、质点的角动量定理 1、质点的角动量[旧称动量矩] (Angular Momentum) 在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 r，质点相对于原 点的角动量定义为
质量为 m 的质点以速度 v
L
x
z
r
o
m y
v
L r p r mv 大小： L rmv sin
M ij
O
M rF sin θ Fd
Mij M ji
力矩的计算：
M ji
d
ri
F ji iF
ij
rj
j
计算变力对某一转轴的力矩则应当采取分小段的 办法，将每一小段的力视为恒力，再按照恒力矩的计 算方法进行计算，最后求和。
计算对定轴的力矩时，可用正负号来反映力矩方向。
刚体（rigid body） ：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体。（或：任意两质点间距离保持不变 的特殊质点系）。 刚体的运动形式： 平动(translation)、 转动(rotation)。 平动： 刚体内任意两点间连线 的空间方向总保持不变
特点：各点位移、速度、 加速度均相同。 刚体平动 质点运动
方向：服从右手螺旋定则。
L
L
O
v

r
mυ
m
L r 和p
单位： kg ∙ m2/s
r
θ
说明：
1）角动量是描述转动状态的物理量； 2）角动量与位矢有关，说到角动量时必须指明是对 哪一参照点而言； [例] 作圆周运动的质点的角动量。
质点以角速度 作半径 为 r 的圆周运动，相对圆心 的角动量大小为：
df dm g 2 gr dr
df
dM r df 2 2 gr dr
R
r O
2 3 M 2 gr dr gR 3 0

R
dr
2
问题： 若圆盘以ω0 的初角速度转动，圆盘转多少圈静止? (解答需要转动情况下的动能定理)
例1: 一质点m，速度为 v ，如图所示，A、B、C 分别为三个参考点，此时m 相对三个点的距离分 别为d1 、d2 、 d3 ，试分别求此时刻质点对三个参 考点的角动量。
解： L r p 大小： A d1 d2 B m v d3 C
LA d 1mv LB d 1mv
LC 0
M x yFz zFy M y zFx xFz M xF yF y x z
注意：同一个力对于不同的参考点(转轴)的力矩 不同，因此说“力矩”时必须指明是相对 于哪一点（或哪一个转轴) 而言的。
质点系所受的总力矩（对同一参考点）：
M ri Fi
M
M
O
z
r
F
*
d
P