多自由度系统的振动响应

1. 概述(5)
• 积分变换法
– 利用Fourier变换或Laplace变换将时间域微分 形式的运动方程变换为频域域或Laplace域的代 数方程进行求解。
– 一般与振型叠加法与试验模态分析方法相结合， 独立应用较少。
– 主要应用于线性系统。
主要内容
• 1. 概述 • 2. 振型叠加法 • 3. 直接积分法 • 4. 基于状态空间理论的matlab动力响应分
析
主要内容
• 1. 概述 • 2. 振型叠加法 • 3. 直接积分法 • 4. 基于状态空间理论的matlab动力响应分
析
1. 概述(1)
• 多自由度系统在外部激励作用下的响应分析称为动力响应分 析。
• 系统的动力响应与系统的固有振动特性、激励特性以及系统 的初始条件有关。
• 类型：
– 简谐激励响应 – 周期性激励响应 – 非周期激励响应 – 随机振动响应（第五章内容）
p 2 n p n2 p f (t)
p p1 p2
零输入响应(初值问题)
p1

e-ζnt
p0
cosdt

p 0
ζn d
p0

sin dt

p2
t 0
f ( )h(t )d
t 0
f
(
)
e-ζn t
应。
解： 建立系统微分方程
ml 2 0

0
ml 2
0 0
12


Kh 2
百度文库


mgl Kh 2
Kh2 2Kh2 mgl
0 Kh2

12


0 Pl

0
0
ml
2
3


0
Kh2
1 1 1
4 8 16
9 27 81
16

64
256

x2 x3 x4


2 3 4
(1)
1 0 0 0 x1 1
0 0 0
4 0 0
0 27 0
0

0
256

x2 x3 x4
Physical Coordinates = CHAOS
Modal Space = Simplicity
Rotor
Bearing
Bearing
Foundation
21
1 1
q1
021
22
2
1
q2
022
23
3
1
q3
023
方程(1)与方程(2)计算量差多 少？
1 2 3 4 x1 1
{x} [U]{p}
例题4.5 求图示系统在零初始条件下的响应
主要思路
1. 利用影响系数法、牛顿第二定律或Lagrange方 程列出系统的运动方程；
2. 利用频率方程法或特征值分解法计算系统的固有 频率与振型；
3. 利用振型矩阵计算模态质量矩阵、模态刚度矩阵 及模态力；
4. 利用Duhamel积分求解单自由度系统的动力响应； 5. 利用叠加原理和模态变换矩阵合成系统的物理响
析
2 振型叠加法(mode summation method)
• 主要思想：将线性定常系统振动微分方程组中的 物理坐标变换为模态坐标（主坐标），使方程解 耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立 方程，以便求出系统的动力响应。
• 主要依据：展开定理、模态正交性和线性叠加原 理。
=
+
+
++
Why Bother with Modal Models?
• 系统的动力响应分析可以从理论计算、数值模拟和试验测试 三个渠道进行，三者互相结合、促进，共同应用于实际的工 程分析。
1. 概述(2)
• 动力响应分析主要方法：
– 振型叠加法 – 逐步积分法 – 积分变换方法
1. 概述(3)
• 振型叠加法
– 基于线性叠加与振型正交性理论，将物理空间 耦合的振动模型转换为模态空间解耦的微分方 程；
– 主要特点：计算效率高，适用于线性系统
1. 概述(4)
• 逐步积分法（直接积分法）
– 是指在积分运动方程之前不进行方程形式的变 换，直接进行逐步数值积分。
– 主要方法：中心差分法，Newmark方法，精细 积分法
– 主要特点：计算量大，适用于线性系统、非线 性系统，可以求解所有确定激励下的响应问题。
Kh2 mgl 3 0
固有频率，主振型
Kh2 mgl ml 2 2
B
Kh2
0
Kh2
2Kh2 mgl ml 2 2
Kh2
0
Kh2
0
Kh2 mgl ml 2 2
解得 1
g l
2
g kh2 l ml 2
3
d

sin
d
t
d
零状态响应
Solution of a SDOF system
p 2 n p n2 p f (t)
d 1 2n
p0 [U~]T[M]x0
？？？？？
p0 [U~]T[M]x0
Summation of modal equation solutions


2 3 4
(2)
振型叠加法主要计算过程
1. 特征值分析：求解系统的固有频率和模态振型 2. 坐标变换：将运动方程转换到模态空间 3. Duhamel积分：求解一系列单自由度系统振动方程 4. 振型叠加：得到系统的物理响应
Solution of a SDOF system
g 3kh2 l ml 2
由 B(i )i 0 i 1,2,3......
解得
1

1 1
1
2


0

1
1
1
3 2
1
1 1 1
构成 1 2 3 1 0 2
机械振动(Mechanical Vibration)
第九课 多自由度系统的振动响应 交通与车辆工程学院 刚宪约
前课回顾
• 模态正交性的含义？
– [U]T[M][U]=[∧] – [U]T[K][U]=[∧]
• 展开定理？
– 振动系统的响应是n个振型的线性组合
主要内容
• 1. 概述 • 2. 振型叠加法 • 3. 直接积分法 • 4. 基于状态空间理论的matlab动力响应分
1 1 1
3 0 0 主质量矩阵 M P M ml 2 0 2 0