含参不等式的解法举例

含参不等式专题（淮阳中学）

编写：孙宜俊

当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。

解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下四种情况：

（1）二次项的系数；（2）判别式；（3）不等号方向（ 4）根的大小。

一、含参数的一元二次不等式的解法：1．二

次项系数为常数（能分解因式先分解因式，

不能得先考虑0 ）

例 1、解关于x 的不等式x2（a 1）x a 0 。

解：（x2 a）（ x 1） 0

令（x a）（x 1）0 x a, x 1为方程的两个根

（因为 a 与 1 的大小关系不知，所以要分类讨论）

（1）当 a 1时，不等式的解集为{ x | x 1 或 x a}

（2）当 a 1时，不等式的解集为{ x | x a或x 1}

（3）当 a 1时，不等式的解集为{ x | x 1}

综上所述：

（1）当 a 1时，不等式的解集为{ x | x 1或x a}

（2）当 a 1时，不等式的解集为{ x | x a或x 1}

（3）当 a 1时，不等式的解集为{ x | x 1}

解不等式x2 (a 1)x a 0 ；

变题 1、

2、解不等式x2 (a2 a)x a30 。

小结：讨论两个根的大小关系，尤其是变题2中2个根都有参数的要加强讨论。

例2、解关于x的不等式2x1 2 kx k 0

分析此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.

解k2 8k k(k 8)

(1) 当0,既k 8或k 0时,方程2x2 kx k 0有两个不相等的实根。

所以不等式2x2kx k 0的解集是：

k Jk(k 8) k Jk(k 8)

x----- ------ x -------- -------

4 4

(2) 当0即k 8或k 0时,方程2x2 kx k 0有两个相等的实根，

所以不等式2x2 kx k 0的解集是-，即2 ,{0}；

4

⑶当0,即8 k 0时,方程2x2 kx k 0无实根

所以不等式2x2 kx k 0的解集为。

说明：一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要注意数形结合研究问题。

小结：讨论，即讨论方程根的情况。

2.二次项系数含参数(先对二次项系数讨论，分大于、等于或小于 0,然后能分解因式先分解因式，不能得先考虑0)

例3、解关于x的不等式：2 ax (

a

1)x 1 0.

解：若a 0，原不等式x 1 0 x 1.

若a 0，原不等式(x 1

-)(x

a

1) 0 x

丄或x 1

a

若a 0，原不等式(x $(x 1) 0. ()

a

1

其解的情况应由丄与1的大小关系决定，故

a

（1） 当a 1时，式（）的解集为;

1

（2） 当 a 1 时，式（）—x 1;

a

（3） 当 0 a 1 时，式（）1 x -.

a

综上所述，当a 0时，解集为｛xx 丄或x 1｝;

a

当a 0时，解集为｛ xx 1｝; 当0 a 1时，解集为｛ x1 x 丄｝;

a

1

当a 1时，解集为；当a 1时，解集为｛x - x 1｝.

a

例4、解关于x 的不等式： ax 2

ax 1

0.

解：ax 2 ax 1 0. ()

（1）a 0时， () 1 0 x R.

（2）a 0时， 则

a 2

4a 0 a 0 或 a

4， 此时两根为

a ■■■.

4a

a

，X 2

a 2 4a 2a

2a

②当4 a 0时，

0，() x R ；

③当a

4时，

0， ()x

R 且x

2

④当a

4时，

0， ()x

a a 2

4a 卡

或x

a a 2 4a

2a

2a

当4 a 0时，解集为R ;

①当a 0时， 0,（）

a 、 a 2 4a

x

2a

a a 2 4a

2a ；

综上，可知当a 0时，解集为（

a 2 4a 2a

旦」); 2a

1 1 当a 4时，解集为（，丄）（丄，）;

2 2

当a 4时’解集为(’^^)力

例5、解关于的x 不等式(m 1)x 2 4x 1

0(m R)

分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1 1时，还需 对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论： ⑴当m< —1时，/ =4 (3-m) >0,图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不 等式的解集取两边。⑵当一10,图象开口向上，与 x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。⑶当 m=3时，/ =4 (3— m) =0，图 象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程 4x 2 4x 1 0的根。 ⑷当m>3时，/ =4 (3— m) <0,图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集 为。

解：当m

1时，原不等式的解集为 x | x —

4

当 m 1 时,(m 1)x 2

4x 1 0 的判别式=4(3— m);

当m =3时，原不等式的解集为

x|x 1

；

当m>3时，原不等式的解集为

。

小结：⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解， 若不易分解, 也可对判别式分类讨论。⑵利用函数图象必须明确：①图象开口方向， ②判别式 确定解的存在范围，③两根大小。⑶二次项的取值(如取 0、取正值、取负值) 对不等式实际解的影响。

牛刀小试：解关于x 的不等式ax 2 2(a 1)x 4 0, (a 0)

思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集 具体解答请同学们自己完成。

二、含参数的分式不等式的解法： 例1：解关于x 的不等式a 1

x x 2

分析：解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对 ax-1中的a 进行

分类讨论求解，还需用到序轴标根法。

解：原不等式等价于(ax 1)(x 2)(x 1) 0 当a =0时，原不等式等价于(x 2)(x 1)

则当m 1时，原不等式的解集为 当

1 m 3时，原不等式的解集为

2 吋

3 m 卡 2 <3 m

x | x 或 x

m 1 m 1 ,2 3 m 2 3m x | x

m 1 m 1