含参不等式的解法举例
解答含参不等式问题常用的几种方法
考点透视含参不等式问题较为复杂，常与导数、函数、方程等知识相结合.这类问题侧重于考查不等式的性质、简单基本函数的图象和性质、导数的性质等，对同学们的运算和分析能力有较高的要求.下面举例说明解答含参不等式问题的几种常用方法.一、判别式法判别式法主要适用于求解含参二次不等式问题.解答这类问题主要有三个步骤：第一步，根据二次不等式构造一元二次方程；第二步，运用二次方程的判别式，建立关于参数的新不等式；第三步，解新不等式，求得问题的答案.例1.若ax2-2ax+1≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：当a=0时，1≥0，不等式ax2-2ax+1≥0成立；当a≠0时，{a>0，Δ≤0，解得0<a≤1；综上所述，实数a的取值范围为0≤a≤1.该二次不等式的二次项和一次项中含有参数，需分a=0和a≠0两种情况进行讨论.运用判别式法求解含参一元二次不等式问题，需先根据不等式构造一元二次函数和一元二次方程；然后根据一元二次方程的根的分布情况，建立关于判别式、根与系数、对称轴的不等式，从而求得参数的取值范围.二、分离参数法分离参数法适用于求解变量和参数可分离的不等式问题.解题时，需先判断出参数系数的正负；然后根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端含有参数、另一端含有变量的不等式；再求出含变量一边的式子的最值；最后求出参数的取值范围.例2.当x∈()1,+∞时，(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：因为x∈()1,+∞，则x-1>0，由(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2，可得e x-1-1x-1⋅ln xx-1≥a，即e x-1-1x-1⋅1x-1ln x≥a，则e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x≥a，令f()x=e x-1x()x>0，则f′()x=()x-1e x+1x2，令g()x=()x-1e x+1，则g′()x=xe x>0，所以g()x在()0,+∞上单调递增，则g()x>g()0=0，即f′()x>0，所以f()x在()0,+∞上单调递增，则f()x>0，令h()x=ln x-x+1，则h′()x=1-xx<0，则h()x在()1,+∞上单调递减，则h()x<h()1=0，即ln x-x+1<0，则x-1>ln x，所以f()x-1>f()ln x>0，即e x-1-1x-1>eln x-1ln x>0，可得e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x>1，则a≤1，解答本题，要先将不等式进行整理，使参数和变量分离；再构造出函数f()x=e x-1x()x>0，将问题转化为函数最值问题.对其求导，判断其单调性，即可求得参数的取值范围.三、函数性质法若含参不等式中含有简单基本函数，则可直接将不等式进行变形，将其构造成函数，把问题转化为f(x,a)≥0、f(x,a)<0、f(x,a)≥g(x,a)、f(x,a)<g(x,a)等函数不等式问题.再根据简单基本函数的单调性，以及导数与函数单调性之间的关系，判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性，求得函数的最值，顺利求出问题的答案.例3.若不等式sin x-ln()x+1+e x≥1+x+ax2-13x3恒成立，则a的取值范围为_____.解：由x>-1得，sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3≥0，设f(x)=sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3，则g(x)=f′(x)=cos x-1x+1+e x-1-2ax+x2，则h(x)=g′(x)=-sin x+1(x+1)2+e x-2a+2x，则z(x)=h′(x)=-cos x-2(x+1)3+e x+2，z′(x)=sin x+6(x+1)4+e x，当x>-1时，z′(x)>0，则h(x)单调递增，又当x∈(-1,0)时，z(x)<0，则h(x)单调递减，当x∈(0,+∞)时，z(x)>0，则h(x)单调递增，又h(0)=2-2a，①当2-2a≥0，即1≥a时，h(0)≥0，则当x∈(-1,+∞)孙小芳35考点透视时，h (x )≥0，此时g (x )单调递增，又g (0)=0，故当x ∈(-1,0)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，当x ∈(0,+∞)时，g (x )>0时，f (x )单调递增，所以f (x )min =f (0)，又f (0)=0，故f (x )≥0恒成立，满足题意；②当2-2a <0，即a >1时，h (0)<0，x →+∞，h (x )→+∞，故存在x 0>0，且h (x 0)=0，则当x ∈(-1,x 0)时，h (x )<0，则g (x )单调递减，当x ∈(x 0,+∞)时，h (x )>0，所以g (x )单调递增，又g (0)=0，故g (x 0)<0，x →+∞，g (x )→+∞，故存在x 1>x 0，且g (x 1)=0，所以当x ∈(-1,x 1)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，又因为f (0)=0，所以f (x )<f (0)=0，与f (x )≥0恒成立不相符；综上所述，a ≤1.根据不等式构造函数f (x )=sin x -ln(x +1)+e x -x -1-ax 2+13x 3，通过多次求导，判断出导函数的符号，进而判断出函数的单调性，求得函数最值.求得使f (x )min ≥0成立时a 的取值范围，即可解题.四、主参换位法主参换位法，也叫反客为主法，适用于解答已知参数的范围求自变量取值范围的不等式问题.解答这类问题一般分三个步骤：第一步，将原不等式转化成关于参数的不等式；第二步，以参数为自变量，构造函数式，将问题转化为函数问题；第三步，根据函数的性质、图象讨论不等式成立的情形，建立关系即可解题.例4.已知函数f ()x =ax 2+bx -6，不等式f ()x ≤0的解集为[]-3,2.若当0≤m ≤4时，不等式mf ()x +6m <x +1恒成立，求实数x 的取值范围．解：由题意知：-3,2是方程ax 2+bx -6=0的根，且a >0，∴ìíîïï-b a=-3+2，-6a=(-3)×2，解得a =1，b =1．∴f ()x =x 2+x -6，∴mf ()x +6m <x +1可变形为()x 2+x m -x -1<0，令g ()m =()x 2+x m -x -1，∴{g (0)<0，g (4)<0，即{-x -1<0，4x 2+3x -1<0，解得ìíîx >-1，-1<x <14，-1<x <14．解答本题主要采用了主参换位法.因为已知参数m 的取值范围，故把m 当成自变量，通过主参换位，将问题转化为g ()m =()x 2+x m -x -1对任意0≤m ≤4恒成立，根据一次函数的性质，列出不等式组，即可解题．五、数形结合法当把不等式两边的式子看成两个函数式时，可根据其几何意义画出两个函数的图象，分析两个曲线间的位置，确保不等式恒成立，即可通过数形结合，求得参数的取值范围.例5.若关于x 的不等式||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1恒成立，则k 的取值范围是_____.解：由题意可得4-x 2≥0，得-2≤x ≤2，则||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1可转化为：||kx -4-x 23，设直线l :kx -y -3=0，上半圆C :x 2+y 2=4()y >0，即y =4-x 2，半径为r =2，||kx -4-x 2≤3表示圆C 小于或等于3，如图，设圆心（原点O ）到直线l 的距离为d ，由于圆C 上半部分上的点到直线l 的最大距离为d +r =d +2，所以d +2≤3，即d ≤1，即||0-0-3k 2+1≤1，解得k ≤-22或k ≥22，所以k 的取值范围为(]-∞,-22⋃[)22,+∞.解答本题，需挖掘代数式的几何意义，采用数形结合法，将原问题转化为使圆C 上半部分上的任意一点到直线l 的距离小于或等于3时参数的取值范围.分析直线与圆的位置关系，便可建立新不等式.由此可见，求解含参不等式问题的方法多样.但由于不等式与函数的关系紧密，且利用函数的单调性和图象容易建立不等关系式，因此函数思想是破解含参不等式问题的主要思想.（作者单位：江苏省南京市大厂高级中学）36。
含参二元一次不等式的解法
含参二元一次不等式的解法引言含参二元一次不等式是数学中常见的问题之一。
解决这类不等式可以帮助我们找到变量的取值范围，从而更准确地描述问题的解空间。
本文将介绍含参二元一次不等式的解法。
解法概述解决含参二元一次不等式的方法可以分为以下几步：1. 将不等式转化为标准形式；2. 求解不等式中的参数；3. 根据参数的取值范围，确定不等式的解集。
步骤详解步骤一：将不等式转化为标准形式例如，将含参二元一次不等式 $ax + by > c$ 转化为标准形式，可通过以下方式：1. 将参数 $a$ 和 $b$ 提取出来，即将不等式变为$a(x+b\frac{c}{b}) + by > c$；2. 化简不等式，得到 $ax + ab\frac{c}{b} + by > c$；3. 将不等于符号 $>$ 改为等于符号 $=$，得到 $ax +ab\frac{c}{b} + by = c$。
步骤二：求解不等式中的参数在标准形式的基础上，解不等式中的参数有助于确定解集的取值范围。
通过对参数进行分析和运算，可以得到参数的取值范围，进而确定不等式的解集。
步骤三：确定不等式的解集根据参数的取值范围，可以确定不等式的解集。
根据参数的限制条件，可以得到不等式的解集是一个或多个区间，或者是特定的取值。
结论含参二元一次不等式的解法可以通过将不等式转化为标准形式并求解参数的方法来实现。
这种解法能够帮助我们更准确地描述变量的取值范围，从而更好地分析问题的解空间。
注意：本文所提供的解法仅适用于简单的含参二元一次不等式，对于涉及复杂的法律问题的不等式，需要进行更深入的研究和分析。
请在使用本文提供的解法时，根据具体情况谨慎使用，并确保所引用的内容经过确认。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。
例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。
当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。
当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。
所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。
例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。
解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。
含参数不等式的解法
含参数不等式的解法含参数的不等式是指在不等式中存在一个或多个参数，通过改变参数的取值，使不等式成立或不成立。
解这类不等式通常需要用到代数方法。
一、一元不等式的参数解法对于只含有一个未知数的一元不等式，可以使用参数解法。
首先，我们假设未知数为一个参数，然后求解这个参数的取值范围，使得不等式成立。
举例说明：解不等式，x+2，<1，其中x是实数。
我们将未知数x设为参数t，即x=t。
则原不等式可以改写为，t+2，<1、要使不等式成立，必须有-1<t+2<1，即-3<t<-1所以，参数t的取值范围为-3<t<-1二、含有二元或多元不等式的参数解法对于含有二元或多元的不等式，也可以采用参数解法来求解。
举例说明：解不等式(ax+b)/(cx+d)>0，其中a，b，c，d为实数，且ac≠0。
可以将未知数x设为参数t，即x=t。
则原不等式可以改写为(at+b)/(ct+d)>0。
我们设函数f(t)=(at+b)/(ct+d)，其中t为参数。
要使不等式(at+b)/(ct+d)>0成立，需要满足两个条件：1.f(t)不等于0；2.f(t)为正数。
将f(t)=(at+b)/(ct+d)令为0，得到(at+b)/(ct+d)=0，解得t=-b/a。
由于ac≠0，所以c≠0。
将f(t)=(at+b)/(ct+d)分成两种情况讨论：情况1：若c>0，则当t<-d/c或t>-b/a时，f(t)同号，即f(t)>0或f(t)<0。
情况2：若c<0，则当t>-d/c且t<-b/a时，f(t)同号，即f(t)>0或f(t)<0。
综合情况1和情况2，可以得到解不等式(ax+b)/(cx+d)>0的参数t的取值范围。
三、举一反三除了以上例子，还有许多不等式可以采用参数解法来求解。
例如解不等式(sin x-1)/(sin x+1)<0，其中x为实数。
破解含参不等式恒成立的5种常用方法
破解含参不等式恒成立的5种常用方法含参数不等式恒成立问题越来越受高考命题者的青睐，且由于对导数应用的加强，这些不等式恒成立问题往往与导数问题交织在一起，在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势。
对含有参数的不等式 恒成立问题，破解的方法有：分离参数法、数形结合法、单调性分析法、最值定位法、构造函数法等。
一 分离参数法分离参数法是解决含问题的基本思想之一。
对于含参不等式的问题，在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等 式的性质将参数分离出来 ，得到一个一端是参数、另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的性式就可以解决问题。
例1 已知函数a x f x x 421)(++=在（－∞，1］上有意义，试求的取值范围。
分析 ：函数)(x f 在（－∞，1］上有意义，等价于0421≥++a x x 在区间（－∞，1］上恒成立，这里参数的系数04>x ，故可以分离参数。
解析：函数)(x f 在（－∞，1］上有意义，等价于0421≥++a x x 在区间（－∞，1］上恒成立，即⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥x x a 2141，∈x （－∞，1］恒成立，记)(x g a ≥，∈x （－∞，1］，因此问题又等价于)(x g a ≥在)(x g a ≥上恒成立，)(x g 在（－∞，1］上是增函数，因此)(x g 的最大值为)1(g 。
)(x g a ≥在（－∞，1］上恒成等价于43)1()(max -==≥g x g a 。
于是工的取值范围为43-≥a 。
【点评】)(x f a ≥恒成立等价于max )(x f a ≥；)(x f a ≤恒成立等价于min )(x f a ≤。
如果函数)(x f 不存在最值，上面的最大值就替换为函数值域的右端点，最小值就替换为函数值域的左端点。
解这类问题时一定要注意区间的端点值。
二 数形结合法数形到结合法是一种重要的数学思想方法，其要点是“见数想形，以形助数”，从而达到解决问题的目的，数形结合法是破解含参数不等式恒成立问题的又一个主要方案。
含参不等式的例题
含参不等式的例题含参不等式是指在不等式中包含了参数的不等式。
在数学中，含参不等式是一个非常重要的概念，可以用于解决许多实际问题。
下面是一些例题和拓展:1. 求解含参不等式给定不等式:a x +b y +c z +d w +e > 0其中，a、b、c、d、e 是实数常数，x、y、z、w 是实数变量。
求出所有满足不等式的实数常数 a、b、c、d、e 和实数变量 x、y、z、w。
解:首先对不等式进行化简，得到:(a x + b y + c z + d w + e) / (x + y + z + w) > 0然后，将不等式两边同时乘以 (x + y + z + w),得到:a (x + y + z + w) +b (x + y + z) +c (x + z) +d (w + x) +e (x + y) > 0继续化简，得到:a (x + y + z + w) +b (x + y + z) +c (x + z) +d (w + x) +e (x + y) > a (x + y + z + w) + b (x + y + z) + c (x + z) + d (w + x) + e (x)将不等式再次化简，得到:(a + b + c + d + e) (x + y + z + w) > a + b + c + d + e x根据题意，我们要求解所有满足不等式的实数常数 a、b、c、d、e 和实数变量 x。
我们可以通过枚举所有可能的实数常数 a、b、c、d、e 和实数变量 x，然后检查不等式是否成立。
具体而言，我们可以使用如下的递归函数:def solve_neq(A, B, C, D, E, X):if X == 0:return A + B + C + D + E == 0else:return solve_neq(A, B, C, D, E, -X)其中，A、B、C、D、E 和 X 分别为不等式中的常数和变量。
一元一次含参不等式的解法
一元一次含参不等式的解法一元一次含参不等式是指不等式中含有一个未知数和一个或多个常数参数的不等式。
其解法主要分为如下几种：1. 移项法移项法是一种常见的解一元一次含参不等式的方法。
其基本思想是将含有未知数的项移到一边，将常数项移到另一边，最终得到未知数的取值范围。
例如，对于不等式 $ax+b>c$，我们可以将常数项 $c$ 移到左侧，得到$ax+b-c>0$，然后将$ax$ 移到右侧，得到$x>\frac{c-b}{a}$。
因此，该不等式的解为 $x>\frac{c-b}{a}$。
2. 分段讨论法分段讨论法是一种常用的解一元一次含参不等式的方法。
其基本思想是根据参数的取值范围，将不等式分成若干个子区间，然后在每个子区间内求解不等式。
例如，对于不等式$ax^2+bx+c>0$，我们可以分别讨论$a>0$ 和$a<0$ 两种情况。
当$a>0$ 时，该不等式的解为$x<\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 或$x>\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；当 $a<0$ 时，该不等式的解为 $\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}<x<\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
因此，该不等式的解为$a>0$ 时$x<\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 或$x>\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$a<0$ 时$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}<x<\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
3. 辅助函数法辅助函数法是一种常用的解一元一次含参不等式的方法。
其基本思想是构造一个辅助函数，使得该函数的取值范围与未知数的取值范围相同，然后根据函数的性质求解不等式。
一元一次不等式含参问题解法
一元一次不等式含参问题解法
一元一次不等式含参问题的解法，可以按照以下步骤进行：
1.根据题意，设出不等式的一般形式，即 Ax + B > 0 或 Ax + B < 0
2.根据题目中的已知条件，列出方程或不等式，得到关于未知数 x 的方程或不等式
3.解方程或不等式，得到未知数 x 的取值范围
举一个例子：
假设我们要解一个一元一次不等式：2x - 1 > 3，其中参数 a = 2， b = -1，c = 3
4.根据题意，设出不等式的一般形式，即 2x -1 3
5.根据题目中的已知条件，列出方程或不等式，得到关于未知数 x 的方程或不等式
2x -1 3 => 2x > 3
6.解方程或不等式，得到未知数 x 的取值范围
2x > 3
=> x > (3/2)
所以，这个一元一次不等式的解为：x > (3/2)。
含参的一元二次不等式
• 类型一：讨论开口方向 • 解关于x的不等式： • ax2+2ax-3a>0
• 类型二：讨论判别式 解关于x的不等式： • 2x2+ax＋2>0
• 类型三：讨论方程根的大小 • 解关于x的不等式： • x2+(2a-2)x+2a-3>0
2
的解集。
1 2 3.已知关于x的不等式 x + qx + p > 0的解集为 p （2，4），求：p,q的值。
含参的一元二次不等式
例：解关于x的不等式 mx + (m − 2) x − 2 > 0
2
含参不等式： 分类讨论） 含参不等式： （分类讨论） 一要考虑参数总的取值范围； 一要考虑参数总的取值范围； 二要对参数进行合理而又周密的分类； 二要对参数进行合理而又周密的分类； 三要使得分类后，不等式的解集是确定的。 三要使得分类后，不等式的解集是确定的。
• 类型四：综合题 • 解关于x的不等式： • ax2+(2a2+1)x+2a>0
• 应用： • 1 .不等式x2<ax+1.5 的解集为(c,4)， 求：a,c的值。
2.已知关于x的不等式ax + bx + c > 0的解集为
2
（α，β），其中β > α > 0, 求：cx + bx + a < 0
含参不等式的例题
含参不等式的例题含参不等式是指在不等式中包含了参数的不等式。
在数学中，含参不等式是一个重要的分支，可以用来解决许多实际问题。
下面是一些例题和相应的拓展。
1. 不等式：|x - 2| > 3 中的参数 x解：这是一个典型的含参不等式，其中 x 是不等式中的参数。
我们可以使用不等式化简的方法求解 x 的值。
首先，我们将不等式化简为:|x - 2| > 3x - 2 > 3 或 x - 2 < -3相加得到:x > 5 或 x < -2因此，当 x > 5 时，不等式成立。
当 x < -2 时，不等式不成立。
拓展：我们还可以使用参数积分的方法求解 x 的值。
具体来说，我们可以使用参数积分的方法来求解如下的含参不等式: ∫(x - 2) > 3解：我们可以将不等式化简为:x - 2 > 3这样，我们就将不等式化简成了一个简单的不等式，可以直接求解 x 的值。
拓展：另一个重要的含参不等式是均值不等式，它可以用来求解两个数的和大于第三个数的问题。
具体来说，我们可以使用均值不等式来求解如下的含参不等式:(x + y) / 2 > z解：我们可以将不等式化简为:x + y > 2z因此，我们可以使用均值不等式来求解 x 和 y 的取值，使得不等式成立。
具体来说，我们可以将 x 和 y 的和取模，即x + y = (x + y) / 2 * |x + y|因此，我们可以得到:(x + y) / 2 > zx + y > 2z因此，我们可以得到:x + y > 4z因此，我们可以得到:x > 2z 或 y > 2z因此，当 x > 2z 时，不等式成立。
当 y > 2z 时，不等式不成立。
总结起来，含参不等式是数学中一个重要的分支，可以用来解决许多实际问题。
在求解含参不等式时，我们需要先化简不等式，然后选择合适的方法求解 x 的值。
含参不等式恒成立问题的解法
bx2≤1
bx2-1≤ ax ≤1+bx2
bx
-
1 x
≤
a
≤
1 x
+bx
∵ x ∈(0,1]， b>1
∴
bx+
1 x
≥2
b
(x= 1 b
时取等号 )
又
bx
-
1 x
在(0,1]上递增
∴
(
bx-
1 x
)max=b-1
(x=1时取得 )
故 x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为:
-1≤ax-
b-1≤a≤2 b
取值范围是 —-—2—— 2 —<—k—<—2—2— 。
②解：原不等式可化为： x2+2>kx
设 y1= x2+2 ( x [-3,3])
y2= kx
y
11
y=x2+2
y=2 2 x
y=kx
在同一坐标系下作它们的 图
象如右图: 由图易得:
-2
2
<k<22
2
-３ - 2 0 2 ３
x
y= - 2 2 x
y2= logax
在同一坐标系下作它们
y=x2 1
的图象如右图:
4
x
由图易得:
0
1 2
1 y=log1 x
16
1 16
≤a ＜1
例2、①若不等式x2 <logax对x（0,12 ）恒成立，则实数a的取
值范围是 ————————————。
②若不等式x2-kx+2>0,对x [-3,3]恒成立，则实数k的
问题获解。
含参数的不等式的解法
含参数的不等式的解法在高中数学的学习中，不等式的解法贯穿始终，在各章中均有体现，是重点也是难点，而含参数的不等式的解法，又是不等式解法的难点，下面就对含参数的不等式的解法进行简单的举例分析。
例1．解关于x 的不等式：014)1(2≤+-+x x m )(R m ∈分析：当1+m =0时，它是一个关于x 的一元一次不等式，当1+m ≠0时，还需对1+m ＞0及1+m ＜0来讨论，并结合判别式及图像的开口方向进行分类讨论。
解：当1+m =0,，即m =-1时，原不等式的解集为}41{≥x x ； 当1+m ≠0，即m ≠-1时，∆=16-4（1+m ）则当m ＜-1时，图像开口向下，原不等式的解集为≥x x {132+--m m 或≤x 132+-+m m ｝ 当-1＜m ＜3时，原不等式的解集为{x {132+--m m ≤≤x 132+-+m m } 当m =3时，原不等式的解集为{21=x x } 当m ＞3时，原不等式的解集为∅。
小结： （1）解含参数的不等式一般先分解因式再分类讨论，若不易分解，也可对判别式进行分类讨论；（2）利用函数的图像必须说明①开口方向、②判别式确定解的存在范围、③两根大小、④二次项的取值（如取0取正取负等）对不等式实际解的影响。
练习1： 不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为{x|α＜x ＜β}其中β＞α＞0，求不等式cx 2+bx+a ＜0的解集。
例2．解关于x 的不等式：212---x x ax ＞0 分析：解此分式不等式先要等价转换为整式不等式，再对1-ax 中的a 进行讨论求解，还需用到序轴标根法。
解：原不等式等价于)1(-ax )1(+x )2(-x ＞0(1) 当a =0时，原不等式等价于)1(+x )2(-x ＜0解集为1{-x ＜x ＜2｝(2)当a ＞0时，原不等式等价于)2)(1)(1(-+-x x ax ＞0 ① 因a 1＞-1所以当a 1＜2即a ＞21时，解集为1{-x ＜x ＜2｝ ② 当a 1=2，即a =21时，2)2)(1(-+x x ＞0解集为x x {＜2且}2≠x ③ 当a 1＞2，即0＜a ＜21时，解集为x x {＜-1或a1＜x ＜2｝ （3） 当a ＜0时，原不等式等价于)1(ax -)1(+x )2(-x ＜0 ①a 1＜-1，即-1＜a ＜0时，解集为x x { ＜a1，或-1＜x ＜2｝ ②a1=-1，即a =-1时，解集为2{<x x 且}1-≠x ③-1＜a 1＜0，即a ＜-1时，解集为1{-<x x 或a1＜x ＜2｝ 小结：（1）本题分类讨论中容易忽视a =0的情况以及对a1、-1、2这三根的大小比较；（2）解含参数的不等式时，一定要用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏；（3）对任何分式不等式都是通过移项、通分等手段把不等式一边化为0，再转化为乘积不等式来解决。
含参不等式的例题
含参不等式的例题
含参不等式是指在不等式中含有未知数的参数的不等式。
解这类不等式的关键是根据参数的取值范围，找到使不等式成立的条件。
下面我来举两个含参不等式的例题，以帮助大家更好理解和掌握解决这类问题的方法。
例题一：已知不等式 2x + p > 0，其中 p 是参数。
求使不等式成立的 x 的取值范围。
解析：对于不等式 2x + p > 0，要使其成立，需要满足 2x > -p，即 x > -p/2。
所以 x 的取值范围为 x > -p/2。
例题二：已知不等式 (a + b)x + c > 0，其中 a、b、c 是参数。
求使不等式成立的 x 的取值范围。
解析：对于不等式 (a + b)x + c > 0，要使其成立，需要满足 (a + b)x > -c，即 x > -c/(a + b)。
所以 x 的取值范围为 x > -c/(a + b)。
通过以上两个例题，我们可以看出解含参不等式关键是根据参数的取值范围，找到使不等式成立的条件。
在实际问题中，我们可以根据具
体的参数值进行分析和求解。
掌握解含参不等式的方法可以帮助我们更好地理解和解决数学和实际问题。
含参不等式的解法
含参不等式的解法2019-06-12参数对不等式的影响，我们常通过分类讨论的思想来加以控制，⽽这个分类的基本原则正是⼤家难以把握的⼀个要素.下⾯通过⼏个例⼦体会⼀下参数的分类⽅法.1. 含参⽅程在指定区间有解的问题例1 若⽅程[log2(ax2-2x+2)=2]在[[12]，2]内有解，求[a].解析由题意知，[ax2-2x+2=4]在[[12,2]]上有值使[a=2x2+2x]成⽴.即[a=2x+2x2=21x+122-12].⼜由[12x2]可得，[32a12].点拨本题涉及到含参数的对数式，转化成参数⽅程后讨论其在指定区间上的解的问题，通常分离变量与参数后，借助于函数在指定区间的值来讨论参数范围.2. 含参不等式对于分式不等式，通常先将其转化为同解的整式不等式，然后分离参数求解.例2 若[axx-1分析关于此类分式不等式，先化简整理成同解的整式不等式后，再分离参数.解由题意得，[ax-x+1x-1]＜0，即[1-ax-1x-1]＞0.所以由不等式的解集(-∞,1)[⋂](2,+∞)可得，[11-a=2]，即[a=12.]点拨含参的分式不等式的⼀般解法：移项――通分――分式化整式――解集对应.例3 若关于[x]的不等式[ax2-x+1+2a分析先利⽤等价转换将原命题转换为[∀x∈R]都有[ax2-x+1+2a0]，再分离参数[a]进⾏讨论.解由题意知，[∀x∈R]，都有[ax2-x+1+2a0.]即[ax+1x2+2].令[f(x)=x+1x2+2]，则[af(x)max].令[t=x+1]，则[f(x)=g(t)=tt2-2t+3].（1）[t=0]时，[g(0)=0].（2）[t>0]时，[g(t)=tt2-2t+3=tt2-2t+3=1t+3t-2]，此时[g(t)max=g(3)=3+14].（3）[t综上知，[f(x)max=g(t)max=3+14]，[a3+14]，即参数[a∈3+14,+∞].点拨本题涉及到含参的绝对值不等式，解决此类问题要注意：（1）绝对值的⼏何意义；（2）分离参数与函数,转化成讨论函数在指定区间上的最值问题.例4 若不等式[3x2-logax分析本题实质上可看作两个数的⼤⼩⽐较问题，⽽且两个函数的图象很好取得. 对这类问题我们常采⽤数形结合，通过观察图象的交点并结合数据分析.解不等式可变形为[3x2[12108642][-2-4][5 10 15]由题意知,当[x∈(0,13)]时,[g(x)=logax]位于[f(x)=3x2]的上⽅.结合图象可知，[0综合得，[a∈127,1].点拨此类函数模型较明显，涉及⼏种形式的初等函数问题，通常，我们分解基本函数后，再借助函数图象数形结合，从⽽使得范围问题迎刃⽽解.3. 含参的⼀元⼆次函数例5 已知[a]是实数，函数[f(x)=2ax2+2x-3][-a]，如果函数[y=f(x)]在区间[-1,1]上有零点，求[a]的取值范围.分析含参的⼀元⼆次函数在指定区间有解，当⼆次项系数含参数时，通常以⼆次项系数作为分类标准，分别讨论[a=0]和[a≠0]的情况，在[a≠0]时分离参数，转化成借助已知量的范围求参数的取值范围问题.解由题意得，（1）当[a=0]时，[f(x)=2x-3]在[-1，1]上⽆零点，故[a=0]（舍）.（2）当[a≠0]时，[Δ=4+8a(3+ a)0]，即[a-3+72]或[a-3-72]时，整理[2ax2+2x-3-a=0]得，[a=3-2x2x2-1]（[-1x1]）*.令[3-2x=t]，则[x=3-t2]（1≤t≤5）代⼊*得，[a=2t+7t-6.]⼜[1t5]时，[27t+7t8]，则[27-6t+7t-62].①[27-6t+7t-6[a227-6]，即[a-7+32].②[0综合①②得[a-3+72]或[a1].点拨本题属于函数与不等式的综合，解决此类问题应注意：（1）⼆次项含有参数的分类思想；（2）[y=t+1t]在指定区间上的取值问题；（3）注意分式、分母的零点分段.若不等式[x+ax2+4x+3]≥0的解集为(-3,-1)∪(2,+∞), 求[a]的值.[a=-2]注：本⽂为⽹友上传，不代表本站观点，与本站⽴场⽆关。
一类含参不等式的解法
⑵如果当 x ∈( −∞,1] 时有意义,求 a 的取
值范围.
解 ⑵ 由已知可得 x ∈( −∞,1] ,时
1+ 2x + 4x a > 0 恒成立. 3
∴ −4 ≤ f (x) ≤ 4 .
∴ 由 结 论 (II) 可 得 a 的 取 值 范 围 是 a < −4 .
说 明 例 1 还可用分类讨论法、数形结合
法等进行求解,但显然均比此法复杂.
例 2 (1999 年全国联赛)已知当 x∈ [0,1]
时,不等式 x2 cosθ − x(1− x) + (1− x)2 sinθ > 0
小值. 转化后就变为求函数 f (x) 值域的问题
了.下面略举数例: 例 1 x −1 − x +3 > a 恒成立, 求 a 的取
值范围. 解 令 f (x) = x − 1 − x + 3 ,则原不等式
变为 a < f (x) 恒成立.
∵ x −1 − x + 3 ≤ (x −1) − (x + 3) = 4 ,
法是比较简便的一种.
例 3 在锐角三角形△ ABC 中, ∠ACB =
2∠ABC ,点 D 是 BC 边上一点,使得 2∠BAD
= ∠ABC ,求证: 1 = 1 + 1 . BD AB AC
·25·
说 明 此题是转化思想的应用,通过结论 (I),构造函数,将不等式与函数联系起来,利用 函数的单调性解题,使解题更为简捷.
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含参不等式专题（淮阳中学）
编写：孙宜俊
当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。
我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。
解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。
下面举例说明，以供同学们学习。
解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下四种情况：
（1）二次项的系数；（2）判别式；（3）不等号方向（ 4）根的大小。
一、含参数的一元二次不等式的解法：1．二
次项系数为常数（能分解因式先分解因式，
不能得先考虑0 ）
例 1、解关于x 的不等式x2（a 1）x a 0 。
解：（x2 a）（ x 1） 0
令（x a）（x 1）0 x a, x 1为方程的两个根
（因为 a 与 1 的大小关系不知，所以要分类讨论）
（1）当 a 1时，不等式的解集为{ x | x 1 或 x a}
（2）当 a 1时，不等式的解集为{ x | x a或x 1}
（3）当 a 1时，不等式的解集为{ x | x 1}
综上所述：
（1）当 a 1时，不等式的解集为{ x | x 1或x a}
（2）当 a 1时，不等式的解集为{ x | x a或x 1}
（3）当 a 1时，不等式的解集为{ x | x 1}
解不等式x2 (a 1)x a 0 ；
变题 1、
2、解不等式x2 (a2 a)x a30 。
小结：讨论两个根的大小关系，尤其是变题2中2个根都有参数的要加强讨论。
例2、解关于x的不等式2x1 2 kx k 0
分析此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.
解k2 8k k(k 8)
(1) 当0,既k 8或k 0时,方程2x2 kx k 0有两个不相等的实根。
所以不等式2x2kx k 0的解集是：
k Jk(k 8) k Jk(k 8)
x----- ------ x -------- -------
4 4
(2) 当0即k 8或k 0时,方程2x2 kx k 0有两个相等的实根，
所以不等式2x2 kx k 0的解集是-，即2 ,{0}；
4
⑶当0,即8 k 0时,方程2x2 kx k 0无实根
所以不等式2x2 kx k 0的解集为。
说明：一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要注意数形结合研究问题。
小结：讨论，即讨论方程根的情况。
2.二次项系数含参数(先对二次项系数讨论，分大于、等于或小于 0,然后能分解因式先分解因式，不能得先考虑0)
例3、解关于x的不等式：2 ax (
a
1)x 1 0.
解：若a 0，原不等式x 1 0 x 1.
若a 0，原不等式(x 1
-)(x
a
1) 0 x
丄或x 1
a
若a 0，原不等式(x $(x 1) 0. ()
a
1
其解的情况应由丄与1的大小关系决定，故
a
（1） 当a 1时，式（）的解集为;
1
（2） 当 a 1 时，式（）—x 1;
a
（3） 当 0 a 1 时，式（）1 x -.
a
综上所述，当a 0时，解集为｛xx 丄或x 1｝;
a
当a 0时，解集为｛ xx 1｝; 当0 a 1时，解集为｛ x1 x 丄｝;
a
1
当a 1时，解集为；当a 1时，解集为｛x - x 1｝.
a
例4、解关于x 的不等式： ax 2
ax 1
0.
解：ax 2 ax 1 0. ()
（1）a 0时， () 1 0 x R.
（2）a 0时， 则
a 2
4a 0 a 0 或 a
4， 此时两根为
a ■■■.
4a
a
，X 2
a 2 4a 2a
2a
②当4 a 0时，
0，() x R ；
③当a
4时，
0， ()x
R 且x
2
④当a
4时，
0， ()x
a a 2
4a 卡
或x
a a 2 4a
2a
2a
当4 a 0时，解集为R ;
①当a 0时， 0,（）
a 、 a 2 4a
x
2a
a a 2 4a
2a ；
综上，可知当a 0时，解集为（
a 2 4a 2a
旦」); 2a
1 1 当a 4时，解集为（，丄）（丄，）;
2 2
当a 4时’解集为(’^^)力
例5、解关于的x 不等式(m 1)x 2 4x 1
0(m R)
分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1 1时，还需 对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论： ⑴当m< —1时，/ =4 (3-m) >0,图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不 等式的解集取两边。
⑵当一1<m<3时，/ =4 (3— m) >0,图象开口向上，与 x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。
⑶当 m=3时，/ =4 (3— m) =0，图 象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程 4x 2 4x 1 0的根。
⑷当m>3时，/ =4 (3— m) <0,图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集 为。
解：当m
1时，原不等式的解集为 x | x —
4
当 m 1 时,(m 1)x 2
4x 1 0 的判别式=4(3— m);
当m =3时，原不等式的解集为
x|x 1
；
当m>3时，原不等式的解集为。
小结：⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解， 若不易分解, 也可对判别式分类讨论。
⑵利用函数图象必须明确：①图象开口方向， ②判别式 确定解的存在范围，③两根大小。
⑶二次项的取值(如取 0、取正值、取负值) 对不等式实际解的影响。
牛刀小试：解关于x 的不等式ax 2 2(a 1)x 4 0, (a 0)
思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集 具体解答请同学们自己完成。
二、含参数的分式不等式的解法： 例1：解关于x 的不等式a 1
x x 2
分析：解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对 ax-1中的a 进行
分类讨论求解，还需用到序轴标根法。
解：原不等式等价于(ax 1)(x 2)(x 1) 0 当a =0时，原不等式等价于(x 2)(x 1)
则当m 1时，原不等式的解集为 当
1 m 3时，原不等式的解集为
2 吋
3 m 卡 2 <3 m
x | x 或 x
m 1 m 1 ,2 3 m 2 3m x | x
m 1 m 1
解得1 x 2，此时原不等式得解集为{x| 1 x 2}; 1
当a >0时，原不等式等价于(x -)(x 2)(x 1)
0,
a 贝当a 1时原不等式的解集为x |x
1且x 2 ;
2 ，
当0<a 1时,原不等式的解集为x|x 丄或1 x 2 ；
2
1
a
当a 丄时原不等式的解集为x | 1 x 丄或x 2 ;
2
a
1
当a <0时,原不等式等价于(x -)(x 2)(x 1)
0， a
则当a 1时，原不等式的解集为x | x 2且x 1 ;
当1 a 0时，原不等式的解集为x|x -或1 x 2 ；
a
当a 1时，原不等式的解集为x|x 1或丄x 2 ；
a
小结：⑴本题在分类讨论中容易忽略 a =0的情况以及对1
，- 1和2的大小
a
进行比较再结合系轴标根法写出各种情况下的解集。
⑵解含参数不等式时，一要 考虑参数总的取值范围，二要用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏， 三要 使划分后的不等式的解集的表达式是确定的。
⑶对任何分式不等式都是通过移 项、通分等一系列手段，把不等号一边化为 0,再转化为乘积不等式来解决。
牛刀小试：解关于x 的不等式总11- 1,(a 1)
x 2
思路点拨：将此不等式转化为整式不等式后需对参数 a 分两级讨论：先按a >1 和a <1分为两类，再在a <1的情况下，又要按两根-一3
与2的大小关系分为
a 1
a 0,a 0和0 a 1三种情况。
有很多同学找不到分类的依据，缺乏分类讨论的 意识，通
过练习可能会有所启示。
具体解答请同学们自己完成。
3 解关于x 的不等式：x 2 (a 2)x a 0.
上述两题分别代表一元二次不等式中多项式可否直接进行因式分解，其共同点是二次项系数含参数，故需对二次项系数的符号进行讨论.
练习：1.解关于x的不等式(x 2)(ax 2) 0。