方程整数解问题
二元一次方程组的整数解问题、无解问题(解析版)
二元一次方程组的整数解问题、无解问题一、二元一次方程组的整数解问题1、若关于x，y的方程组26x ymx y-=⎧⎨+=⎩有非负整数解，则正整数m为（）．A. 0，1B. 1，3，7C. 0，1，3D. 1，3答案：D解答：26x ymx y-=⎧⎨+=⎩①②，①+②得，（m+1）x=8，∴x=81 m+，8的因数1、2、4、8，∵m为正整数，∴m+1≥2，情况1，m+1=2，x=4，y=2，情况2，m+1=4，x=2，y=0，情况3，m+1=8，x=1，y=-1（舍），∴m=1或3．选D.2、已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组210320mx yx y+=⎧⎨-=⎩有整数解，则m2的值为（）．A. 4B. 4，49C. 1，4，49D. 无法确定答案：A解答：()()2101 3202 mx yx y⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，（1）+（2）得，（3+m）x=10，所以x=103m +，将x=103m+代入（2）得y=153m+，当方程组有整数解时，3+m是10和15的公约数，所以3+m=±1或3+m=±5，即m=-2或m=-4或m=2或m=-8，又∵m是正整数，∴m=2，则m2=4．选A.3、当正整数a=______时，关于x、y的方程组()112x a yx y⎧+-=⎨-+=⎩的解是整数．答案：1或3解答：y=3a，a=1或3．4、422ax yx y+=⎧⎨-=⎩（a为正整数），方程组的正整数解为x=______，y=______．答案：2；2解答：整理方程组得：（a+2）x=6，x=62a+，此时a+2=3或6才为正整数，a=1或4．当a=1时，x=2，代入解得y=2，方程组的正整数解为22 xy=⎧⎨=⎩；当a=4时，x=1，代入解得y=0，舍弃．5、当整数m=______时，方程组21148x myx y+=⎧⎨+=⎩的解是正整数．答案：3解答：消去x可得y=58 m--，∴m=7或3，又∵m=7时x=-12与题设矛盾，故舍去，综上，m=3．6、正整数a取______时，方程组52x yax y+=⎧⎨-=⎩的解是正整数．答案：6解答：()()5122x yax y⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，（1）+（2），得：（a+1）x=7，解得：x=71a+，由于解为正整数，故（a+1）必为7的正约数，故a+1=1或7，解得a=0或6，由于a为正整数，故a=6，此时14 xy=⎧⎨=⎩．7、请回答下列问题：（1）当方程组2520x ayx y+=⎧⎨-=⎩的解是正整数时，整数a的值为______．（2）m为正整数，已知二元一次方程组210320mx yx y+=⎧⎨-=⎩有整数解，则m2=______．答案：（1）-3或1（2）4解答：（1）解方程得：10454xaya⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴a+4=1，2，5，10；a+4=1，5，∴a=-3或1．（2）解方程得：103153xmym⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴m+3=5，10；m+3=5，15．得m=2，m2=4．8、关于x，y的方程组25342x y ax y a+=-⎧⎨-=⎩的解都是正整数，求非负整数a的值．答案：a=1．解答：解关于x，y的方程组25342x y ax y a+=-⎧⎨-=⎩①②，由①×3-②得：10y=15-5a，∴y =32a-， 把y =32a -代入到①得：x =2，∵x ，y 是正整数，且a 是非负整数， ∴只有a =1时，y =1符合题意． ∴a =1．9、当关于x 、y 的方程组21230x my x y +=⎧⎨-=⎩的解为正整数时，求整数m 的值．答案：m =-5或-4或-3或-2或0或6．解答：由21230x my x y +=⎧⎨-=⎩解得：366126x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∵解为正整数，∴ m ≥-5，又∵x 、y 均为正整数，36、12的公约数为：1、2、3、4、6、12， ∴m =-5或-4或-3或-2或0或6． 10、已知方程组2420x my x y +=⎧⎨-=⎩，当方程组的解是正整数时，求整数m 的值，并求出方程的所有正整数解． 答案：m =-3，-2，0，84x y =⎧⎨=⎩，42x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩解答：2x +my =4①，x -2y =0②， ①-②*2得my +4y =4， ∴y =()44m +，x =()84m +∵x ，y 为正整数，m 为整数， 所以m =-3，-2，0，84x y =⎧⎨=⎩，42x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩11、若m 为正整数，且已知关于x 、y 的二元一次方程组220520mx y x y +=⎧⎨-=⎩的解为一组整数，求m 2的值． 答案：25．解答：（m +5）x =20， ∵m 为正整数， ∴m +5＞5， ∴0＜x ＜4， ①x =1，m =15，y =52（舍）； ②x =2，m =5，y =5； ∴m =5，m 2=25． ③当x =3时，m =53，不为正整数，故舍去． 12、m 取什么整数值时，方程组2420x my x y +=⎧⎨-=⎩的解是正整数？并求它的所有正整数解．答案：m =0或-2或-3；84x y =⎧⎨=⎩或42x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩．解答：目测x 系数不含参数，故消掉x 瞬间得到： （m +4）y =4当m ≠-4时，即y =44m + 故m +4所有可能取值为1，2，4， ∴m =0或-2或-3 因为y =44m +，所以y =4或2或1 ∴x =8，y =4或x =4，y =2或x =2，y =1； ∴84x y =⎧⎨=⎩或42x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩．二、二元一次方程组的无解问题关于x 、y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩，a 1、a 2、b 1、b 2、c 1、c 2均为实数，则解的情况有以下三种：①当12a a ≠12b b 时，方程组有唯一的解； ②当12a a =12b b =12c c 时，方程组有无数多解； ③当12a a =12b b ≠12cc 时，方程组无解． 即：①当x 与y 的系数不成比例，常数取任意值时，有唯一解； ②当、x 、y 与常数的系数都成比例时，有无数个解； ③当x 与y 的系数成比例，常数不成比例时，无解．13、方程组423634x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩的解的情况是（ ）．A. 有唯一解B. 无解C. 有两解D. 有无数解答案：D解答：第一个方程两边同时乘以3得：6x +3y =4，与第二个方程相同，故方程组有无数解． 选D.14、与二元一次方程5x -y =2组成的方程组有无数多个解的方程是（ ）． A. 10x +2y =4 B. 4x -y =7C. 20x -4y =3D. 15x -3y =6答案：D解答：15x -3y =6化简得：5x -y =2，则15x -3y =6与二元一次方程5x -y =2组成的方程组有无数多个解． 选D. 15、若方程组2354x y x my n+=⎧⎨+=⎩有无数解，则下列说法正确的是（ ）．A. m =6，n ≠10B. m ≠6，n ≠10C. m =6，n =10D. 无法确定答案：C解答：根据题意，消去x 得，（m -6）y =n -10，∴当m =6，n =10时，原方程组无数解． 16、若方程组()1332k x y k x y ⎧--=⎨-=⎩有无数个解，则k 的值为（ ）．A. 1B. 2C. 3D. 不存在这样的值答案：B 解答：11k -=33--=2k∴k =2．17、若关于x 、y 的方程组3921ax y x y +=⎧⎨-=⎩无解，则a 的值为（ ）．A. -6B. 6C. 9D. 30答案：A解答：∵3921ax y x y +=⎧⎨-=⎩.无解∴2a =31-≠91∴a =-618、方程组373921x y x y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是______答案：方程组有无穷多解 解答：373921x y x y +=⎧⎨+=⎩∵13=39=721， ∴方程组有无穷多解. 19、若二元一次方程组2354x y x my n+=⎧⎨+=⎩有无数组解，则m =______；n =______．答案：6；10 解答：2354x y x my n +=⎧⎨+=⎩①②，②-①×2得：（m -6）y =n -10．故答案为6，10．20、关于x ，y 的二元一次方程组232145ax y k x y +=-⎧⎨+=⎩有无数组解，求a +k =______．答案：14解答：()()23211452ax y k x y ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩由（1）-3×（2）可得（2a -12）x =2k -16，故2a -12=0，2k -16=0可得a =6，k =8， 进而a +k =14．21、关于x 、y 的方程组4410841x ky y x ++=⎧⎨-=⎩有无穷多组解，则k 的值为______．答案：-2 解答：整理得441481x ky x y +=-⎧⎨-+=⎩，所以44-=48k =11-，∴k =-2．22、当m 、n 为何值时，关于x 、y 的方程组()214mx y nm x y -=-⎧⎨--=-⎩．（1）无解． （2）唯一解． （3）有无数多解． 答案：（1）m =1，n ≠4． （2）m ≠1，n 取任意值． （3）m =1，n =4． 解答：（1）()214mx y n m x y -=-⎧⎪⎨--=-⎪⎩①②由②-①，得：（m -1）x =n -4，当m -1=0，n -4≠0，即m =1，n ≠4时，无解． （2）当m -1≠0，即m ≠1，n 取任意值，有唯一解． （3）当m -1=0，n -4=0时，即m =1，n =4时，有无数多解．23、关于x ,y 的二元一次方程组8328ax y k x y k +=-⎧⎨--=-⎩有无数组解，求参数a ,k 满足的条件；若方程组有唯一解，则参数a ,k 又需要满足什么条件？答案：当a =4，k =7时，有无数组解；当a ≠4时，方程组有唯一解．解答：当1a -=82-=38k k --时，方程组有无数组解， 解得a =4，k =7． 当1a -≠82-时，方程组有唯一解， 所以a ≠4时，方程组有唯一解．24、求k ，a 为何值时，关于x 、y 的方程组()4222kx y ak x y -=⎧⎨+-=-⎩的解满足：（1）有唯一一组解． （2）无解． （3）有无数组解．答案：（1）k ≠-1，a 取任意值． （2）k =-1，a ≠-1． （3）k =-1，a =-1． 解答：（1）唯一解：42k k +≠12--，即k ≠-1，a 取任意值． （2）无解：42k k +=12--≠2a-，即k =-1，a ≠-1． （3）无数解：42k k +=12--=2a-，即k =-1，a =-1．25、已知关于x ，y 的方程组1ax y ax y -=⎧⎨-=⎩．（1）当a ≠1时，解这个方程组． （2）若a =1，方程组的解的情况怎样？ （3）若a =1，方程组2ax y ax y -=⎧⎨-=⎩的解的情况怎样？答案：（1）10x y =⎧⎨=⎩．（2）方程组有无数多个解． （3）原方程组无解．解答：（1）两式相减，整理得（a-1）x=a-1，∵a≠1，∴x=1，y=0．∴方程组的解为10 xy=⎧⎨=⎩．（2）当a=1时，方程（a-1）x=a-1的解是一切实数，方程组有无数多个解．（3）方程组整理得（a-1）x=a-2，当a=1时，0≠-1，∴原方程组无解．。
一元二次方程的整数整数解(含答案)
竞赛辅导 一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k )，通过穷举，逼近求解；从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．【例题求解】【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有个．思路点拨用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么ba ab +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、c 的值．【例3】试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根．思路点拨由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0≠r 时，由根与系数关系得到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．【例4】当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．思路点拨整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性．注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值． 思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．学历训练1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有．2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝．3．给出四个命题：①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是．4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ，则21x x -=．5．设rn 为整数，且4<m<40，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根6．已知方程015132)83(222=+-+--a a x a a ax (a ≠0)至少有一个整数根，求a 的值．7．求使关于x 的方程01)1(2=-+++k x k kx 的根都是整数的k 值．8．当n 为正整数时，关于x 的方程0763*******=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，试解此方程．9．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k 的值．10．试求所有这样的正整数a ，使得方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数解．11．已知p 为质数，使二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数，求出p 的所有可能值．12．已知方程02=++c bx x 及02=++b cx x 分别各有两个整数根1x 、2x 及1x '、2x '，且1x 2x >0，1x '2x ' >0． (1)求证：1x <0,2x <0，1x '<0,2x '< 0；(2)求证：11+≤≤-b c b ；(3)求b 、c 所有可能的值．13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程0122=+--m x mx 的根(m 为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．参考答案。
含参方程整数解问题
含参方程整数解问题含参方程整数解问题是指对于一个含有参数的方程，求出所有满足该方程的整数解。
这种问题在数学中有着广泛的应用，例如在代数、数论、几何等领域。
一般来说，含参方程整数解问题需要通过代数方法或数论方法来求解。
下面分别介绍这两种方法：1. 代数方法代数方法主要是通过对方程进行变形和化简，得到能够直接求解的形式。
例如，对于如下含参方程：ax + by = c其中a、b、c为常量，x、y为未知整数，我们可以通过以下步骤来求解：（1）如果a和b不互质，则该方程无整数解。
（2）如果a和b互质，则可以使用扩展欧几里得算法求出ax + by =gcd(a,b)的一组特殊解(x0,y0)。
（3）由于a和b互质，因此ax + by = c的任意一组整数解都可以表示成(x0 + kb, y0 - ka)，其中k为任意整数。
（4）将上述通式中的x、y带入原方程得到：a(x0 + kb) + b(y0 - ka) = c。
（5）根据上述式子可得：k = (c - ax0)/b 或 k = (c - by0)/a。
（6）如果k为整数，则(x0 + kb, y0 - ka)为原方程的一组整数解。
2. 数论方法数论方法主要是通过对方程中的参数进行分析，得到解的性质和范围。
例如，对于如下含参方程：x^2 + y^2 = n其中n为正整数，我们可以通过以下步骤来求解：（1）根据勾股定理可知，当n是完全平方数时，该方程有无穷多组正整数解。
（2）当n不是完全平方数时，我们可以使用费马平方和定理判断是否存在正整数解。
该定理表明：当且仅当n的素因子分解式中每个形如4k+3的素因子出现偶数次时，才存在正整数解。
（3）如果满足费马平方和定理，则可以使用勒让德符号和高斯算法求出该方程的一组正整数解。
综上所述，含参方程整数解问题需要根据具体情况采用不同的方法进行求解。
在实际应用中，还需要注意对参数范围进行限制和排除无效解等问题。
整数解方程练习题20道
整数解方程练习题20道1. 解方程：5x - 3 = 2x + 7。
解：将含有x的项移到一边，常数项移到另一边，得到：5x - 2x = 7 + 3。
化简得：3x = 10，解得：x = 10/3。
2. 解方程：2(x - 5) = 3(x + 1) - 4。
解：将左右两边的括号展开，得到：2x - 10 = 3x + 3 - 4。
化简得：2x - 10 = 3x - 1，将含有x的项移到一边，得到：2x - 3x = 10 - 1。
化简得：-x = 9，解得：x = -9。
3. 解方程：3(x + 4) - 5(3 - 2x) = 2(x - 5) + 7。
解：将左右两边的括号展开，得到：3x + 12 - 15 + 10x = 2x - 10 + 7。
化简得：13x - 3 = 2x - 3，将含有x的项移到一边，得到：13x - 2x = 3 - (-3)。
化简得：11x = 6，解得：x = 6/11。
4. 解方程：4(x + 2) = 3x - 2(x + 5)。
解：将左右两边的括号展开，得到：4x + 8 = 3x - 2x - 10。
化简得：4x + 8 = x - 10，将含有x的项移到一边，得到：4x - x =-10 - 8。
化简得：3x = -18，解得：x = -18/3。
5. 解方程：2x + 3(x - 2) = 5 - 2(x + 1)。
解：将左右两边的括号展开，得到：2x + 3x - 6 = 5 - 2x - 2。
化简得：5x - 6 = 3 - 2x，将含有x的项移到一边，得到：5x + 2x = 3 + 6。
化简得：7x = 9，解得：x = 9/7。
6. 解方程：2(3x - 5) - 3(2x + 4) = 5 - (x - 1)。
解：将左右两边的括号展开，得到：6x - 10 - 6x - 12 = 5 - x + 1。
化简得：-22 = 6 - x，将含有x的项移到一边，得到：x = -22 + 6。
方程整数解
以x为主元，将方程整理为 3x2 (3y 7)x (3y2 7y) 0 分析：
， 7) 4 3(3y2 7y) 0 因x是整数，则 Δ (3y ，
2
解得 21 14 3 y 21 14 3 所以整数y=0，1，2，3，4，5.
9 9
3.选取主元法
n 1
m 4 n 2
m 1 n 3
进一步求得 x 245 x 80 x 5 y 2 0 y 5 y 45
二、含参数的二次方程的 整数解
这类问题涵盖了一元二次方程的相关 理论，整数的性质，融合了丰富的数学思 想方法，备受命题者的青睐。
x 1 1 y 1 7
(x 1)(y 1) 7
x 1 7 y 1 1
x 4 -8 y 4 -2
故原方程的整数解由下列方程组确定：
， ，
x 1 7 y 1 1
x 1 1 y 1 7
xy 3 的所有整数解。 例3.求方程 2 2 7 x xy y
以x为主元，将方程整理为 3x2 (3y 7)x (3y2 7y) 0 分析：
， 7) 4 3(3y2 7y) 0 因x是整数，则 Δ (3y ，
2
3.选取主元法
xy 3 的所有整数解。 例3.求方程 2 2 7 x xy y
3.选取主元法
xy 3 的所有整数解。 例3.求方程 2 2 7 x xy y
3.选取主元法
xy 3 的所有整数解。 例3.求方程 2 2 7 x xy y
以x为主元，将方程整理为 3x2 (3y 7)x (3y2 7y) 0 分析：
方程整数解问题
方程整数解问题 姓名 学号1. 因式分解法例1.求方程6=++y x xy 的整数解例2.求方程86822=-y x 的正整数解练习1.求方程x y xy -=-452的正整数解2. 变量分离法 引例1.若代数式14-a 是整数，则整数a 的取值为 若代数式14-a 是正整数，则整数a 的取值为 例3.求方程7)(2+=+xy y x 的正整数解练习2.已知方程7753+=-y x xy ，y x ，为整数，则满足条件得所有对（x ，y ）的组数为3. 选取主元法（△法）例4. 已知015132)83(2222=+-+--a a x a a x a （其中a 为非负整数）至少有一整数根，则a =変题1.若两个实根都是整数，则a =変题2.若a 是整数，则a =例5. 设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，求满足条件的所有整数k 的值。
変题1.若改整数k 为实数，则k 的值又如何。
例6. 设m 为整数，且404<<m ，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的整数根。
例7.已知方程0)3(22=++-k x k x 的根都是整数，求整数k 的值及方程的根。
例8. 当x 为何有理数时，代数式22392-+x x 的值恰为两个连续的正偶数的乘积。
例8. 求方程03042222=---+x xy y x 的有理数解的个数 变题1.若改有理数解为正整数解，则解的个数有几个。
练习3.求3534322=+-y xy x 的正整数解练习4.已知k 为正整数，关于x 的一元二次方程)1(102-=++k k x x 有一个正整数根，求这个正整数根及k 的值练习5.一直角三角形的两条直角边长为整数，且满足关于x 的方程04)2(2=++-m x m x ，试求m 的值及此直角三角形的三边的长。
一元一次方程的整数解问题(解析版)
一元一次方程的整数解问题专题练习一、选择题1、若关于x的方程|2|x-3|-1|=a有三个整数解，则a的值为（）．A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B解答：|2|x-3|-1|=a，2|x-3|-1=±a，2|x-3|=±a+1，当a=0时，2|x-3|=1，x不为整数，当a=1时，2|x-3|=±1+1，可得①2|x-3|=2，x=4，2．②2|x-3|=0，x=3，此时有3个整数解，当a=2，3时，同a=0时，x不符合题意．2、若关于x的方程（k-2019）x-2017=6-2019（x+1）的解是整数，则整数k的取值个数是（）．A. 5B. 3C. 6D. 2答案：C解答：（k-2019）x-2017=6-2019（x+1）（k-2019）x=6-2019x-2019+2017（k-2019）x+2019x=4kx=4x=4k，∵方程的解是整数，∴4k为整数，∴k=1，-1，2，-2，4，-4．共有6个．选C.二、填空题3、若k为自然数，关于x的方程kx-4=x+3的解是整数，则k=______．答案：0，2，8解答：kx-4=x+3，kx-x=7，（k-1）x=7，x=71 k-，∵x是整数，k是自然数，∴k-1=±1，7，∴k=0，2，8．4、关于x的方程ax+4=4x+1的解为正整数，则整数a的值为______．答案：1或3解答：ax+4=4x+1（a-4）x=-3x=34 a--x=3 4a -∵方程的解为正整数∴4-a=1或4-a=3∴a=1或3．5、若方程9x-3=kx+14有正整数解，则k的整数值为______．答案：8或-8解答：解方程，得x=17 9k -∵方程得解为正整数，k为整数，∴9-k=1或17∴k=8或-8．6、k为整数，关于x的方程kx+5=3x的解为整数，k的值为______．答案：2，4，8，-2解答：由原方程得x=53k--，∵k、x为整数，∴k-3=±1，±5，∴k=2，4，8，-2．7、关于x的一元一次方程（m-1）x-3=0的解为整数，则m的整数值为______．答案：0，2，-2，4解答：由题意得x =31m -，∵方程的解为正整数，且m 为整数， ∴m -1=±1或m -1=±3，∴ m 的值为0，2，-2，4．8、若关于x 的方程9x -17=kx 的解为正整数，则整数k 的值为______．答案：±8解答：由题意得x =179k-，∵方程的解为正整数，且k 为整数， ∴9-k =1或9-k =17，解得k =±8． 9、当x 满足______时，关于k 的方程k -2k x -=2-33k +的解是正数． 答案：x ＜2解答：解方程得，k =635x -， ∵解为正数， ∴635x -＞0， ∴x ＜2．10、回答下面问题（1）若关于x 的一元一次方程kx -6=0的解为整数，则整数k 的值为______．（2）若关于x 的一元一次方程（k -1）x -2k +1=0的解为正整数，则整数k 的值为______． 答案：（1）±1，±2，±3，±6（2）2或0解答：（1）解方程x =6k（k ≠0）， ∵一元一次方程的解为整数，∴整数k 的值为±1，±2，±3，±6．（2）解方程得：x =211k k --=()1211k k -+-=2+11k -， ∵关于x 的一元一次方程（k -1）x -2k +1=0的解为正整数，∴k -1≠0且k -1=±1，∴k =2或0．11、k 为整数，关于x 的方程kx +5=3x +2k 的解为整数，k 的值为______答案：2，4解答：由原方程得x=253kk--=2+13k-，∵k、x为整数，∴k-3=±1，∴k=2，4．12、若关于x的方程ax+3=4x+1的解为整数，则整数a的值为______．答案：2，3，5，6解答：ax+3=4x+1，（a-4）x=-2，x=24a -．∵方程的解是整数，∴4-a=±1，±2，∴a=3，5，2，6．13、在等式（a+1）x=2+3x中，若x是负整数，则整数a的取值是______．答案：0或1解答：∵（a+1）x=2+3x，∴（a+1）x-3x=2．∴（a-2）x=2．当a-2=0，即a=2时，0·x=2有0=2不成立，舍．当a-2≠0，即a≠2时，x=22 a-．∵x是负整数，∴a-2=-1或-2．∴a=1或0．14、已知关于x的方程3x=3kx-的解是正整数，且k为整数，则k的值=______．答案：-2或6解答：3x=3kx-，3（3-x）=kx，9-3x=kx，-3x-kx=-9，（-3-k）x=-9，x=93k---，x=93k +，∵方程的解为正整数，k为整数，∴3+k可取的值为1，3，9，∴k可取的值为-2，0，6，又∵x≠0且x≠3，∴3+k≠3，∴k≠0，∴k可取-2，6，∴k的值为-2或6．三、解答题15、已知关于x的方程3（x-1）=ax有整数解，求正整数a的值．答案：a=2或6或4．解答：原方程整理得3x-3=ax，3x-ax=3，（3-a）x=3，x=33a -，∵a为正整数，x为整数，则3-a=±1，±3，a=2或6或4．16、若关于x的一元一次方程（m-1）x-3=0的解是正整数，求整数m的值．答案：m=2或4．解答：（m-1）x-3=0，将：x=31 m-，∵解是正整数，∴m-1=1或3，解得：m=2或4．故整数m的值为2或4．17、已知关于x的方程16ax+32=526x-的解是正整数，求正整数a的值，并求出此时方程的解．答案：a=4，方程的解为x=11．解答：16ax+32=526x-ax+9=5x-2 ax-5x=-2-9（a-5）x=-11x=115a -．∵方程的解是正整数，∴5-a=1或11，∴a=4或-6，∵a为正整数，∴a=4，∴方程的解为x=1154-=11．18、关于x的方程（m-2）x||=n-5=0是一元一次方程．（1）则m、n应满足的条件为：m______，n______．（2）若此方程的解为整数，求整数m的值．答案：（1）≠2；=1（2）7，-3，3，1解答：（1）≠2，=1（2）由（1）知：（m-2）x=5，∴x=52m-，若x为整数，则25252121 mmmm-=⎧⎪-=-⎪⎨-=⎪⎪-=-⎩，解得，7331mmmm=⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩．19、已知a为正整数，关于x的方程52x-a=85x+142的解为整数，求a的最小值．答案：a的最小值为2．解答：方法一：x=1014209a+=7 915799 a a+⨯++=a+157+79a+，由于a为正整数，x为整数，故a的最小值为2．方法二：解方程52x-a=85x+142，解得x=1420109a+=()101429a+，即当142+a可以被9整除时满足题意，则a的最小值为2．20、已知关于x的方程14ax+52=734x-的解是正整数，求正整数a的值．答案：a=6．解答：去分母，得：ax+10=7x-3，移项、合并同类项，得：（a-7）x=-13，系数化成1得：x=-137a-，∵x是正整数，∴a-7=-1或-13，∴a=6或-6，又∵a是正整数，∴a=6．21、设m为整数，且关于x的一元一次方程（m-5）x-3=0．（1）当m=2时，求方程的解．（2）若该方程有整数解，求m的值．答案：（1）x =-1．（2）m =6，8，4，2．解答：（1）当m =2时，方程即为-3x -3=0，解得x =-1，∴原方程的解为x =-1．（2）∵方程有整数解，∴m ≠5，∴x =35m -， 由题知m -5为3的因数，∴m -5=1，3，-1，-3，∴m =6，8，4，2．22、已知x =2m 是方程54x -x +m -7=27836x x m --+-的解． （1）求m 的值．（2）关于y 的方程ay -m =y -4有正整数解，请求出所有符合题意的整数a 的值．（3）若ab =10m ，求代数式1a a ++1b b +的值． 答案：（1）m =10．（2）a =2，3，4，7．（3）1．解答：（1）将x =2m 代入54x -x +m -7=27836x x m --+-， 则104m -2m +m -7=47836m m -+-， 52m -m -7=47836m m -+-， 同乘6，15m -6m -42=2（4m -7）-（m +8），9m -42=8m -14-m -8，9m -7m =42-22，2m =20，m =10．（2）m =10代入ay -m =y -4得：ay -10=y -4，（a -1）y =6，y =61a -，∵y 有正整数解，∴a -1=1，2，3，6，∴a =2，3，4，7．（3）ab =1代入1a a ++1b b +=a a ab ++1b b +， =()1a a b ++1b b +， =11b b ++， =1．。
解方程练习题带答案整数
解方程练习题带答案整数在数学中，解方程是一种常见的问题求解方法。
解方程的过程涉及到将一个等式中的未知数解出来，以便找到使等式成立的值。
下面是一些解方程的练习题，带有答案，并且限定在整数范围内。
1. 问题：解方程 3x + 5 = 14解析：我们需要找到一个整数 x，使得等式左侧的表达式 3x + 5 等于右侧的值 14。
我们可以通过逐步计算的方式解出 x 的值。
解答：3x + 5 = 143x = 14 - 53x = 9x = 9 ÷ 3x = 3答案：x = 32. 问题：解方程 4y - 8 = 20解析：我们需要找到一个整数 y，使得等式左侧的表达式 4y - 8 等于右侧的值 20。
同样，我们可以通过逐步计算的方式解出 y 的值。
解答：4y - 8 = 204y = 20 + 84y = 28y = 7答案：y = 73. 问题：解方程 2z + 3 = 5z - 4解析：我们需要找到一个整数 z，使得等式左侧的表达式 2z + 3等于右侧的表达式 5z - 4。
我们可以通过逐步计算的方式解出 z 的值。
解答：2z + 3 = 5z - 42z - 5z = -4 - 3-3z = -7z = -7 ÷ -3z = 7 ÷ 3 （注意：整除时取整数部分）z = 2答案：z = 24. 问题：解方程 6k - 10 = 14 - 2k解析：我们需要找到一个整数 k，使得等式左侧的表达式 6k - 10等于右侧的表达式14 - 2k。
我们可以通过逐步计算的方式解出k 的值。
解答：6k - 10 = 14 - 2k6k + 2k = 14 + 108k = 24k = 3答案：k = 35. 问题：解方程 5m + 6 = 2m + 19解析：我们需要找到一个整数 m，使得等式左侧的表达式 5m + 6等于右侧的表达式 2m + 19。
我们可以通过逐步计算的方式解出 m 的值。
一元二次方程的整数解问题是初中数学竞赛中的一个重要知识点
一元二次方程的整数解问题是初中数学竞赛中的一个重要知识点，也是近几个全国初中数学竞赛考试的一个热点。
对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解。
实际上，经常要用到根的判别式、完全平方数的特征和数整除性的性质，以及这几种方法的结合来解题。
下面举几个常见的例子：例1，当 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根。
解法1：首先，m2-1≠0，m≠±1。
Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3。
用求根公式可得由于x1，x2是正整数，所以m-1=1，2，3，6；m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2。
这时x1=6，x2=4。
解法2 ：首先，m2-1≠0，m≠±1。
设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5。
经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根。
归纳：解法1先把方程的根求出来，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题；解法2利用韦达定理，得到两个整数，再利用整数的整除性质求解。
例2，已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值。
分析：“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根。
我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来。
解：因为a≠0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5。
例3，设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值。
五年级数学解方程训练整数类
五年级数学解方程训练（整数类）
二、列方程解文字题
1. 一个数的 5 倍是 320，这个数是多少？
2. 一个数与 8 的和的 9 倍是 117，求这个数
3. X 的5倍与X 的2倍的和是630,求X 一、解方程
1. 6+3X=21 7X-4=24
X 8+4X=52 2. 5.1+2X=7.7 18+15X=63 5X-2
X 7=26 3. X+5=19-X 24-X=2X+18 X+3=9-X
4. 27-X=7+3X 45-X=23+X 5+3X=33-X
5. 2X+18=42-X 26-X=5+6X 8X=72-4X
6. 2X+6=21-3X 5X+8=2X+14 7X
-9=2X+6
4. 一个数的3 倍是81，求这个数
5. 一个数与7的和的2 倍是36,求这个数
6. 一个数的3 倍减去5 等于22,求这个数
7. X 的5 倍减去它的2 倍等于39,求X
8. 18 比X 的3 倍多6,求X
9. 一个数的2 倍除以7,商是6,求这个数
三、挑战题
1. 一个长方形,长增加2 厘米,宽增加5 厘米,那么面积增加60 平方厘米,这是恰好成为一个正方形。
原来长方形的面积是多少平方厘米？
2. 火车每分钟行1050 米,从车头与一个路标并列到车尾离开这个路标3 分钟后, 一辆摩托车以每分1200 米的速度从这个路标出发,摩托车出发25 分钟后,与火车的车头正好并列。
求这列火车的长。
分式方程中参数问题的四种考法(解析版)(人教版)
1】．关于
x
的方程
3x x3
2
3
m
x
的解不小于1，则
m
的取值范围为
．
【答案】 m 7 且 m ¹ - 9
【分析】先解分式方程可得 x 6 m ，由题意得 6 m 1，再由 x 3，得 6 m 3 ，求
出 m 的取值范围即可．
【详解】解：
3x x3
2
3
m
x
，
3x 2 x 3 m ，
专题 09 分式方程中参数问题的四种考法
类型一、整数解问题求参数
x m 1
例．若关于
x
的不Hale Waihona Puke 式组x21
x 4
1
有解且至多有
5
个整数解，且关于
y
的方程
y
1
1
3
my 1 y
的解为整数，则符合条件的整数
m
的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
x m 1
【分析】先解出不等式组的解集，然后根据不等式组
解不等式 y 3 2 y a 得： y<2a 3，
∴10 y 2a 3
∵不等式组至多有 3 个整数解，
∴ 2a 3 13 ，
∴a 8．
方程
x
1
3
x 3
a x
1
，
1 x a x 3 ，解得： x a 4 2
∵分式方程有非负整数解，
∴ x 0 （x 为非负整数）且 x 3，
情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即 x=2 或 x=6， ①当 x=2 时，代入 (m 1)x 6 0 ，得： 2m 8 0
组合数不定方程整数解问题
组合数不定方程整数解问题
在数学中，组合数不定方程整数解问题是一个经典的问题，它
涉及到在给定条件下寻找满足特定要求的整数解。
这类问题通常涉
及到组合数的性质和整数方程的解法，需要运用数论和组合数学的
知识来解决。
一个经典的例子是“费马大定理”，它表述了当n大于2时，
不可能找到满足a^n + b^n = c^n的整数解。
这个问题横扫了数学
界数百年，最终由安德鲁·怀尔斯在1994年证明，成为了一个著名
的数学成果。
除了这个著名的问题，组合数不定方程整数解问题还涉及到一
些更加复杂的情况，比如在给定条件下寻找满足特定性质的整数解
的个数，或者寻找满足一定条件的整数解的范围等等。
解决这类问题通常需要灵活运用数论的知识，比如模运算、质
因数分解等，同时也需要掌握组合数学的方法，比如排列组合、递
推关系等。
数学家们通过精巧的证明和推理，不断地攻克这些难题，为数学研究和发展做出了重要贡献。
总之，组合数不定方程整数解问题是数学中一个充满挑战性和魅力的领域，它不仅涉及到数论和组合数学的知识，也需要解决者具备丰富的想象力和逻辑思维能力。
解决这类问题不仅能够深化对数学的理解，也有助于培养解决实际问题的能力。
希望更多的人能够对这类问题感兴趣，并为其解决贡献自己的智慧。
含参数的一元二次方程的整数解问题
含参数的一元二次方程的整数解问题数学思维的教育第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问题数学思维的教育对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a^O) 的实根情况，可以用判别式A =b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质•本讲结合例题来讲解一些主要的方法.例1 m是什么整数时，方程(m2-l) x2-6 (3m-l) x+72=0有两个不相等的正整数根.解法1 首先，H M HO,皿工 + 1. A =36 (m-3)2 >0,所以m^3.用求根公式可得12m +1由于Xi, X2是正整数，所以m-l=l, 2, 3, 6, m+l=l, 2, 3, 4, 6, 12,解得m=2・这时Xi=6, X2=4・解法2首先，朋-1工0, m^± 1 •设两个不相等的正整数根为X1 , X2,则由根与系数的关系知72所以m-仁2, 3，4，6，8，9，12，18，24, 36，72，即卩m= 3, 4，5，7，9，10，13，19，25，37，73,只有m=4, 9, 25才有可能，即m=± 2, ±3,± 5.经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根.说明一般来说，可以先把方程的根求出来（如果比较容易求的话），然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的.有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法.例2已知关于x的方程2 2 2 2a x -(3a -8a)x + 2a -13a + 15=0 (其中a 是非负整数)至少有一个整数根，求 a的值.分析“至少有一个整数根”应分两种情况： 一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根， 一个不是整数根.我们也可以像上题一样，把它 的两个根解出来.解因为a z 0,所以- 3a) i3a )a-4?(2a a -13a + 15)-宓-8a) i (a a + 2a) = 2?所以所以只要a 是3或5的约数即可，即a=1, 3,5.例3设m 是不为零的整数，关于x 的二次 方程2mx-(m-1)x + 1 = 0有有理根，求m 的值.肿■ fl为'r 和一 Qd 十 2il) ” t2?="I解一个整系数的一元二次方程有有理根, 那么它的判别式一定是完全平方数•令2 2△ =(m-1) -4m= n ,其中n是非负整数，于是2 2m-6m+1= n,所以(m-3)2 - n2=8,(m-3 + n)(m-3-n) = 8.由于m-3 + n A m-3-n,并且(m-3 + n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶数，所以m-3+ n与m-3-n同奇偶，所以Jzu - 3+n = 4?zn - 3+n=- -2?［：n - 3-n = 2 s (t n ・ 3 - n = .L所以= D这时说明一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决.例4关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a -2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值.解当a=0时，原方程变成-6x-2=0,无整数解.当a工0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式2△ = 4(a-3) -4a(a-2) = 4(9-4a)为完全平方数，从而9-4a是完全平方数.令9-4a=n2，则n是正奇数，冃详3(否I服=0).折加=啤.由求龍外弍舒编-9 ±h 3 + n所臥也亠_[ + - I +要使X1为整数，而n为正奇数，只能n=1, 从而a=2.要使X2为整数，即n-3 | 4, n可取1, 5, 7,从而a=2，-4, -10.综上所述，a的值为2, -4, -10.说明本题是前面两种方法的“综合"•既要用判别式是平方数，又要用直接求根.有时候, 往往是几种方法一同使用.例5已知关于x的方程2x + (a -6)x + a=0的两根都是整数，求a的值.解设两个根为X1> X2，由韦达定理得从上面两式中消去a得X1X2+X1+X2 = 6,所以(X 1 + 1)(X 2+1)=7 ,臥以所以a=x i X2=0 或16.说明利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于X i, X2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的.例6求所有有理数r，使得方程2rx +(r+1)x + (r -1)=0的所有根是整数.分析首先对r=0和r半0进行讨论.r=0时, 是关于x的一次方程；r工0时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效•可用韦达定理，先把这个有理数r消去.解当r=0时，原方程为x-仁0,所以x=1.当r工0时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为X i，X2，且X i>X2，则综匕祈述，当「= J ・队闻，方秽箭所有眾鄆杲琴敎例7已知a 是正整数，且使得关于 元二次方程2ax + 2(2a -1)X + 4(a -3)=0至少有一个整数根，求a 的值. 解将原方程变形为(X + 2)2a= 2(X + 6).显然x + 2工0,于是2(x * 6)由于a 是正整数，所以a > 1,即消去r 得X i X 2-x i -X 2 = 2,X 的一 所以（X 1-1）（X 2-Vi £ 一九祈以型十勺〔“卽所以X2+2X-8W 0,(x + 4)(x -2) < 0,所以-4W X< 2(X 丰-2).当X=-4, -3, -1, 0, 1, 2时，得a的值为1, 6, 10, 3, 14—.1-所以湖值为I, X 10.说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4, 2;当a=3, 6, 10时，方程只有一个整数根.有时候，在关于X的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解.例8已知方程x2+bx+c=0与x2+cx + b=0各有两个整数根X1 , X21古》0* xjxj>0,(0 求iiL 冷弋比^3<u. n；Wg, Ej<o((2) 求证：b-1< c< b+ 1;(3) 求b, c的所有可能的值.解(1)由X1X2>0知，X1与X2同号.若X1>0, 则X2 > 0,这时b = Hi-丽丸吒0・A睫JS，所叽0,同舞可证)；K山(2)由⑴知，X i V0, X2v0,所以x i<-1, -1 .由韦达定理c-(b-1)=x 1X2 + X i + X2 + 1=(x1 + 1)(x2+1) >0, 所以c > b-1.同理有b -〔点-1) = + 1=(W1 +0 g；知)> D.所以c < b+1,所以b -1< c< b+1.⑶由⑵ 可知，b与c的关系有如下三种情况:(i)c=b + 1.由韦达定理知X1X2=-(X 1 + X2)+ 1 ,所以(x 1 + 1)(x 2 + 1)=2 ,‘野十1 二-I, K| + 1 =解得X1 + X2=-5, XX=6,所以b=5, c=6.(ii)c=b •由韦达定理知X i X2=-(X i + X2),所以(X i + 1)(X 2+ 1)=1 ,所以X i=X2=-2,从而b=4, c=4.(iii)c=b-1.由韦达定理知-R； - Mj) -Xt • xi - It所以G；i L GJ解得狀；+衍=5 中；=&所以b",综上所述，共有三组解：(b , c)=(5 , 6), (4，4)，(6，5).。
方程整数解问题的求解思路
方程整数解问题的求解思路作者：沈文选来源：《数学金刊·初中版》2009年第11期在各级各类数学中,方程整数解的问题备受关注,它将古老的整数理论与传统的初中数学知识相综合,涉及面宽、范围广,往往需要灵活地运用相关概念、性质、方法和技巧.一般地,在不定方程的求解中,不定方程有无数组解. 但是,若加上限制条件如整数解等,就可以求出确定的解. 由于含参数的方程的整数解多能转化为不定方程求解,所以下面就介绍几种常用的不定方程整数解求解法.例1方程■+■=■的正整数解的组数为()A. 0B. 1C. 2D. 3解答选D. 理由:由题设得xy=7(x+y),即(x-7)(y-7)=49.又由于49=1×49=49×1=7×7=(-7)×(-7)=(-1)×(-49)=(-49)×(-1).以上6种分解法中,只有前三种有正整数解,故得正整数解有3组.例2一个直角三角形边长都是整数,它的面积和周长的数值相等. 试确定这个直角三角形三边的长.解答设a,b分别为两条直角边长,则斜边长c=■.由于a,b,c均为正整数,所以a≠b.不妨设a>b,依题意有a+b+■=■,移项后两边平方并整理得■-a2b-ab2+2ab=0,即ab-4a-4b+8=0. 从而(a-4)·(b-4)=8=1×8=2×4. 由于a,b为正整数,a>b,则a-4=8,b-4=1,或a-4=4,b-4=2.解得a=12,b=5,c=13或a=8,b=6,c=10.所以,这个直角三角形三边的长为(12,5,13)或(8,6,10).例3 求方程■=■的所有整数解.解答以x为主元,将方程整理为3x2-(3y+7)x+(3y2-7y)=0.因x是整数,则Δ=[-(3y+7)]2-4×3(3y2-7y)≥0?圯■≤y≤■?圯整数y=0,1,2,3,4,5.将y的值分别代入原方程中计算知:只有y=4或5时,方程才有整数解,即x■=5,y■=4;x■=4,y■=5.例4求满足方程x2+y2=2(x+y)+xy的所有正整数x,y.解答以x为主元,原方程可变形为x2-(y+2)x+y2-2y=0,由Δ=[-(y+2)]2-4(y2-2y)=-3y2+12y+4=16-3(y-2)2≥0,所以(y-2)2≤■分别代入原方程得x=2,y=4;x=4,y=2;x=4,y=4.例5方程6xy+4x-9y-7=0的整数解(x,y)= __________.解答填(1,-1). 理由:用含y的式子表示x,得2x=■,分离整式得2x=3+■,因为2x为整数,则■为整数.故3y+2为1的约数,3y+2=±1,(这种思考方法就是倍数约数分析法)即y=-■(舍去)或y=-1. 当y=-1时,x=1.例6方程4x2-2xy-12x+5y+11=0有______组正整数解.解答填2 . 理由:方程可化为y=2x-1+■,由倍数约数分析法,知2x-5是6的约数. 因2x-5是奇数,且2x-5≥2-5=-3,故2x-5=±1或±3. 若2x-5=1,则(x,y)=(3,11);若2x-5=-1,则(x,y)=(2,-3);若2x-5=3,则(x,y)=(4,9);若2x-5=-3,则(x,y)=(1,-1). 共有两组正整数解.例7 方程m2-2mn+14n2=217的正整数解(m,n)=_________.解答填(13,3),(1,4),(7,4). 理由:原方程可化为(m-n)2+13n2=217. 因为(m-n)2+13n2≥13n2,所以n2≤■n为正整数,n可取1,2,3,4.当n=1时,(m-1)2=204,无整数解;当n=2时,(m-2)2=165,无整数解;当n=3时,(m-3)2=100,有整数解,m=13;当n=4时,(m-4)2=9,有整数解,m=1或7.故原方程的正整数解(m,n)=(13,3),(1,4),(7,4).例8已知m,n是正整数,且4n2+17n-15=2m(2m+1),求n的值.解答由于2n(2n+1)-(4n2+17n-15)=-15(n-1)≤0,所以,2n(2n+1)≤4n2+17n-15. ①又(4n2+17n-15)-(2n+4)(2n+5)= -(n+35)4n2+17n-15由①②知2n(2n+1)≤4n2+17n-15又4n2+17n-15=2m(2m+1)是两个相邻正整数之积,所以4n2+17n-15=2n(2n+1)或4n2+17n-15=(2n+1)(2n+2)或4n2+17n-15=(2n+2)(2n+3)或4n2+17n-15=(2n+3)(2n+4).分别解四个方程得n=1或n=■(舍去)或n=3或n=9.故n的值为1、3或9.例9满足方程y4+2x4+1=4x2y的所有整数对(x,y)=_________.解答填(1,1)和(-1,1). 理由:原方程可化为2(x2-y)2+(y2-1)2=0. 由非负数的性质,得x2-y=0,y2-1=0. 解得(x,y)=(1,1)或(-1,1).例10求方程x+y=x2-xy+y2的整数解.解答将原方程配方,得(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2=2. 只须注意到2的正整数分解,即可求得整数解为(x,y)=(0,0),(0,1),(1,0),(1,2),(2,1)及(2,2),共6组解.例11已知方程x2-1 999x+a=0有两个质数根,则常数a=______.解答填3 994. 理由:设方程的两个质数根为x■,x■(x■例12求方程2x2-5y2=7的整数解.解答移项得:2x2=5y2+7. ①①式左边为偶数,所以y为奇数.令y=2m+1(m为整数),代入①并整理得x2=10m2+10m+6. ②②式右边为偶数,所以x为偶数,令x=2n(n为整数),代入②并整理得2n2=5m(m+1)+3. ③③式中,m(m+1)是两个连续整数之积,为偶数,这时右边是奇数,而左边是偶数,矛盾.故原方程无整数解.例13试求满足方程2x+3y=z2的非负整数x,y,z.解答若y=0,则有(z+1)(z-1)=2x,由于(z+1)-(z-1)=2,所以只能有z-1=2,z+1=4,得z=3,可得x=3,所以求得方程的一组解(x,y,z)=(3,0,3).若y>0,下面分x为奇数与偶数两种情形考虑. 当x=2k+1(k≥0,k∈Z)时,在方程2x+3y=z2两边mod 3,得z2=2x(mod 3).①因为z2≡0,1(mod 3),22k+1≡2(mod 3),所以①式不可能成立,此时方程无非负整数解.当x=2k(k≥0,k∈Z)时,有3y=(z-2k)(z+2k),又(z+2k)-(z-2k)=2k+1,所以z-2k=1z+2k=3. 两式相减,得3y=2k+1+1.②易知k=0时,y=1,得到一组解为(x,y,z)=(0,1,2).当k≥1时,2k+1≡0(mod 4),所以在②式两端mod 4后知y为偶数,设y=2n(n≥0,n∈Z),则3n-1=2,3n+1=4.得n=1,y=2,得方程的一组解为(x,y,z)=(4,2,5).综上,方程有3组解:(x,y,z)=(3,0,3)(0,1,2)(4,2,5).。
整数解方程练习题带答案
整数解方程练习题带答案整数解方程作为初等数学的重要内容之一，对于培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力起到了至关重要的作用。
本文将提供一些整数解方程的练习题，并附带详细的答案，帮助读者巩固和加深对这一知识点的理解。
1. 问题：求满足方程3x + 5y = 7的整数解。
解答：通过列举整数解的方式可以找到以下两组解：(2, -1)和(7, 0)。
2. 问题：求满足方程4x - 6y = 14的整数解。
解答：通过进一步列举整数解的方式，可以找到以下两组解：(8, -8)和(11, -10)。
3. 问题：已知方程2x + 3y = 17，求整数解的个数。
解答：可以使用图解法，将方程转化为y的形式：y = (17 - 2x) / 3。
通过画出此方程图象，可以发现整数解的个数为6。
4. 问题：求满足方程5x - 3y = 19的整数解。
解答：通过复试解法，可以找到以下一组解：(8, 7)。
5. 问题：已知方程2x + 7y = 11，求整数解的个数。
解答：同样可以使用图解法，将方程转化为y的形式：y = (11 - 2x) / 7。
通过画出此方程图象，可以发现整数解的个数为6。
通过以上的例题，我们可以看到整数解方程的解法多种多样。
同时，通过对解题过程的观察和总结，我们可以总结出一些规律和技巧，帮助我们更加快速、准确地解答整数解方程的问题。
总结：1. 对于形如ax + by = c的整数解方程，我们可以首先计算出a和b的最大公约数d。
如果c是d的倍数，那么方程有整数解；否则，方程无整数解。
2. 如果方程有整数解，我们可以通过辗转相除法计算出一组特解，然后利用特解的解空间性质，求出方程的通解。
3. 对于形如ax + by = c的整数解方程，我们可以使用图解法进行求解。
首先，我们将方程转化为y的形式，然后画出此方程的图象。
通过观察图象的性质，我们可以判断方程有几个整数解。
通过练习和理解整数解方程的解题思路和方法，我们可以在真实的问题中更加灵活地运用这一知识点。
一元二次方程的整数解问题
解（1）
m0 [3(m 1)] 4m(2m 3) (m 3) 0
怀柔五中
刘晓玉
一元二次方程的根与判别式的情况
当△= b2-4ac > 0时 当△= b2-4ac = 0时 当△= b2-4ac < 0时 一元二次方程有两个 不相等的实数根 一元二次方程有两个 相等的实数根 一元二次方程 没有实数根 一元二次方程有两个 实数根
当△= b2-4ac ≥0时
1、利用求根法求整数根
2 2
∴ m的取值范围为m≠0和m≠﹣3；
仔细审题
关键词：（题眼）“关于x的一元二次方程”、 “有两个根”
如说： “关于x的方程” ，此方程可能是一元 一次方程或一元二次方程。
注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的 解法、根的判别式等与方程相关的知识.
，
法 法 11 ： （2）解得 ( x 1)[(mx (2m 3)] 0
1、已知：关于x的方程 kx (2k 3) x k 3 0 （1）求证：方程总有实数根； （2）当k取哪些整数时，关于x的方程 的两个 实数根均为负整数？
2
2．已知关于x的方程（k+1）x2+(3k-1)x+2k2=0． （1）讨论此方程根的情况； （2）若方程有两个整数根，求正整数k的值 ；
2、利用根的判别式求整数根
例2：（2013中考）已知关于 x的一元二次方 程 x 2 2 x 2k 4 0 有两个不相等的实数根 （1）求k的取值范围； （2）若k为正整数，且该方程的根都是整数， 求k的值
二元一次方程的整数解
2016-3-25
一般情况下，方程4x+y=20有无数个解。
但是在实际问题中，由于x,y表示的都是 符合实际的整数，这个二元一次方程的 解可能是有限个。 如果解里两个未知数的值都是整数，那 么这个解叫做这个二元一次方程的整数 解。 类似地，还有正整数解，非负整数解， 负整数解等等。
例1.求方程3x+5y=38的正整数解. 求正整数解的一般步骤： 1.变形，用x（或y）表示y（或x） 2.对x（或y）按从小到大的顺序 取整数值，尝试计算找出所有对 应的整b=18的自然数解. 例2. 将一张面额100元的人民币，兑换 成10元或20元的零钱，有几种兑换方案？
本节课你学会了什么？
列二元一次方程可以解决一些 实际问题如方案问题等等。
练习2.一根长5000毫米的钢材，要截 成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长 300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几 种截法可百分之百地利用钢材？
例3.一张试巻有20道选择题，选对每题 得5分，选错每题反扣2分，不答得0分， 小这军同学得48分，他最多对几题？ 挑战自我： 练习3.某单位在一快餐店订了A，B,C三种 盒饭共22盒，A,B,C三种盒饭单价分别是8 元，5元，3元，共花了140元，那么有哪 几种不同的订餐方案？(山东省竞赛题)
二元二次不定方程的整数解
二元二次不定方程的整数解要求解二元二次不定方程的整数解，可以使用整数域上的一些求根方法。
一种常见的方法是使用整数参数法。
首先，我们假设x和y都为整数，即x = m和y = n，其中m和n都是整数。
将这些表达式代入方程中，我们得到一个仅含有m和n的二元二次方程：am² + bmn + cn² + dm + en+ f = 0。
使用例如绝对值法、分析法、母函数法等数学工具，我们可以找到该方程的一组整数解。
考虑方程的系数a、b和c，我们可以将它们分为以下几种情况来解决具体的整数解问题：情况一：当a、b和c都为奇数时，方程可能无整数解。
这是因为奇数加上奇数等于偶数，而方程中的dm + en项是一个奇数项（m和n都是整数），所以方程左侧是一个奇数，而不会等于0。
情况二：当a、b和c中有一个为偶数，而另外两个为奇数时，方程可能有整数解。
具体解的情况取决于方程中的其他系数d、e和f。
如果方程中的三项dm + en + f都是偶数，那么方程也可能无整数解。
这是因为三个偶数相加等于一个偶数，而方程的左侧是一个奇数，与0不相等。
如果方程中至少有一项dm + en + f是奇数，那么方程可能有整数解。
我们可以通过遍历整数值来解决这个问题，找到方程的具体解。
情况三：当a、b和c中有两个为偶数，而另一个为奇数时，方程可能无整数解。
与情况二类似，具体解的情况取决于方程中的其他系数d、e和f。
情况四：当a、b和c都为偶数时，方程可能有整数解。
具体的解法取决于方程的其他系数d、e和f。
以上是解决二元二次不定方程整数解的一些基本思路和方法。
在实际问题中，根据方程的具体形式和系数情况，我们可以结合以上方法进行具体的求解。
这个过程可能比较繁琐，需要综合运用数学知识和方法，因此需要耐心和细心进行推导和计算。
最后，解二元二次不定方程整数解是一个有挑战性的问题，也是数学中的一个重要研究领域。
在实际应用中，解决整数问题可以帮助我们理解和应用该方程模型，解决一些工程和科研问题。
一元一次方程整数解问题
一元一次方程整数解问题一元一次方程是初中数学中的基础知识，它是解决实际问题的基础。
在解一元一次方程时，我们通常需要求出方程的解集，而当方程的系数和常数都是整数时，我们就需要考虑整数解的问题。
一、整数解的定义所谓整数解，就是指方程的解集中只包含整数。
例如，方程2x+1=5就有整数解x=2，因为x=2是方程的唯一解，且x是整数。
二、整数解的判定对于一元一次方程ax+b=c，其中a、b、c均为整数，我们可以通过以下方法来判定它是否有整数解：1. 如果a=0且b≠c，则方程无解；2. 如果a=0且b=c，则方程有无数个解，即x∈Z；3. 如果a≠0且a不能整除b-c，则方程无整数解；4. 如果a≠0且a能整除b-c，则方程有唯一的整数解，即x=(b-c)/a。
三、整数解的求解对于一元一次方程ax+b=c，其中a、b、c均为整数，如果方程有整数解，我们可以通过以下方法来求解：1. 如果a=0且b=c，则方程有无数个解，即x∈Z；2. 如果a≠0且a能整除b-c，则方程有唯一的整数解，即x=(b-c)/a；3. 如果a≠0且a不能整除b-c，则方程无整数解。
四、整数解的应用一元一次方程的整数解在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在商场促销活动中，我们常常会遇到“满减”优惠，即满一定金额后可以减去一定金额。
如果我们设购物金额为x元，优惠金额为y元，满减条件为x≥100且y=20，则可以列出一元一次方程x-20=100，解得x=120，即购物金额至少为120元才能享受优惠。
另外，一元一次方程的整数解还可以用于解决分配问题。
例如，某公司有100个任务需要分配给10个员工完成，每个员工完成的任务数不同，但总任务数必须为100。
如果我们设第i个员工完成的任务数为xi，则可以列出一元一次方程x1+x2+...+x10=100，其中xi为整数。
通过求解这个方程，我们可以得到每个员工应完成的任务数，从而实现任务的合理分配。
综上所述，一元一次方程的整数解问题是初中数学中的基础知识，它在实际问题中有着广泛的应用。
专题四(一元二次方程的整数解)
专题四（一元二次方程的整数解）方法一：从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解.例1. 若关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数的值有____________个。
思维点拨 先利用因式分解法求出方程的根，再利用整数理论进行分析。
1. 已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根都是整数，那么符合条件的整数a 有-___________ 个2. 已知k 是整数，且关于x 的方程22(1)3(31)180k x k x ---+=有两个不相等的正整数根，求k 的值。
方法二：从判别式入手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数设（2k ∆=），通过穷举，逼近求解。
例2 当m 为整数时，关于x 的方程2(21)(21)10m x m x --++=是否有有理根？如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由。
举一反三：已知方程2264320x x n n ---=的根式整数，求整数n 的值。
方法三：从变根主元入手，当方程中参数次数比较低时，可以考虑以参数为主元求解。
例4试求出所有这样的正整数a,使得二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根。
方法四：从韦达定理入手从根与系数的关系去消去参数，得关于两根的不定方程，借助因式分解、因式分解求解。
（重点）例1.求满足如下条件的所有k 值：使关于x 的方程2(1)(1)0kx k x k +++-=的根都是整数。
1.试确定一切有理数r,使得关于x 的方程2(2)10rx r x r +++-=有根且只有整数根。
2.若a 、b 都是整数，方程220080ax bx +-=的相异两根都是质数，则3a+b 的值为（ ）。
3.求使方程20x pqx p q -++=有整数根的所有整数p 和q 。
能力提升：1.已知a 、b 都是正整数，试问关于x 的方程21()02x abx a b -++=是否有两个整数解？如果有，请把他们求出来；如果没有，请给出证明。
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方程整数解问题 姓名 学号
1. 因式分解法
例1.
求方程6=++y x xy 的整数解
例2.
求方程86822=-y x 的正整数解
练习1.求方程x y xy -=-452的正整数解
2. 变量分离法 引例1.若代数式
1
4-a 是整数，则整数a 的取值为 若代数式14-a 是正整数，则整数a 的取值为 例3.
求方程7)(2+=+xy y x 的正整数解
练习2.已知方程7753+=-y x xy ，y x ，为整数，则满足条件得所有对（x ，y ）的组数为
3. 选取主元法（△法）
例4. 已知015132)83(2222=+-+--a a x a a x a （其中a 为非负整数）至少有一整数根，
则a =
変题1.若两个实根都是整数，则a =
変题2.若a 是整数，则a =
例5. 设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，求
满足条件的所有整数k 的值。
変题1.若改整数k 为实数，则k 的值又如何。
例6. 设m 为整数，且404<<m ，方程08144)32(22
2=+-+--m m x m x 有两个整数
根，求m 的值及方程的整数根。
例7.
已知方程0)3(22=++-k x k x 的根都是整数，求整数k 的值及方程的根。
例8. 当x 为何有理数时，代数式22392
-+x x 的值恰为两个连续的正偶数的乘积。
例8. 求方程03042222=---+x xy y x 的有理数解的个数 变题1.若改有理数解为正整数解，则解的个数有几个。
练习3.求353432
2=+-y xy x 的正整数解
练习4.已知k 为正整数，关于x 的一元二次方程)1(102-=++k k x x 有一个正整数根，求这个正整数根及k 的值
练习5.一直角三角形的两条直角边长为整数，且满足关于x 的方程04)2(2=++-m x m x ，试求m 的值及此直角三角形的三边的长。
练习 6.当m 时什么整数时，关于x 的一元二次方程0962
=+-x mx 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数。
练习7.求所有正整数a ，使得方程042
=+-a ax x 仅有整数根。
三、韦达定理
例1.求满足下列条件且使关于x 的方程0)1()1(2=-+++k x k kx 的根都是整数的k 的值。
①k 是整数
②k 是实数
练习1.求整数k 使得关于x 的二次方程0)5()1(2=+-+-k x k x k 的根都是整数。
练习 2.试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程023)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根。
四、分离参数法
例1.试求所有的正整数a ，使方程0)3(4)12(22
=-+-+a x a ax 至少有一个整数解。