方程整数解问题

方程整数解问题 姓名 学号

1. 因式分解法

例1.

求方程6=++y x xy 的整数解

例2.

求方程86822=-y x 的正整数解

练习1.求方程x y xy -=-452的正整数解

2. 变量分离法 引例1.若代数式

1

4-a 是整数，则整数a 的取值为 若代数式14-a 是正整数，则整数a 的取值为 例3.

求方程7)(2+=+xy y x 的正整数解

练习2.已知方程7753+=-y x xy ，y x ，为整数，则满足条件得所有对（x ，y ）的组数为

3. 选取主元法（△法）

例4. 已知015132)83(2222=+-+--a a x a a x a （其中a 为非负整数）至少有一整数根，

则a =

変题1.若两个实根都是整数，则a =

変题2.若a 是整数，则a =

例5. 设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，求

满足条件的所有整数k 的值。

変题1.若改整数k 为实数，则k 的值又如何。

例6. 设m 为整数，且404<

2=+-+--m m x m x 有两个整数

根，求m 的值及方程的整数根。

例7.

已知方程0)3(22=++-k x k x 的根都是整数，求整数k 的值及方程的根。

例8. 当x 为何有理数时，代数式22392

-+x x 的值恰为两个连续的正偶数的乘积。

例8. 求方程03042222=---+x xy y x 的有理数解的个数 变题1.若改有理数解为正整数解，则解的个数有几个。

练习3.求353432

2=+-y xy x 的正整数解

练习4.已知k 为正整数，关于x 的一元二次方程)1(102-=++k k x x 有一个正整数根，求这个正整数根及k 的值

练习5.一直角三角形的两条直角边长为整数，且满足关于x 的方程04)2(2=++-m x m x ，试求m 的值及此直角三角形的三边的长。

练习 6.当m 时什么整数时，关于x 的一元二次方程0962

=+-x mx 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数。

练习7.求所有正整数a ，使得方程042

=+-a ax x 仅有整数根。

三、韦达定理

例1.求满足下列条件且使关于x 的方程0)1()1(2=-+++k x k kx 的根都是整数的k 的值。 ①k 是整数

②k 是实数

练习1.求整数k 使得关于x 的二次方程0)5()1(2=+-+-k x k x k 的根都是整数。

练习 2.试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程023)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根。

四、分离参数法

例1.试求所有的正整数a ，使方程0)3(4)12(22

=-+-+a x a ax 至少有一个整数解。