(完整word版)江苏省2012年专转本高数真题及答案

江苏省2012年普通高校“专转本”选拔考试

高等数学 试题卷（二年级）

注意事项：出卷人：江苏建筑大学-张源教授

1、考生务必将密封线内的各项目及第2页右下角的座位号填写清楚．

2、考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上，答在草稿纸上无效．

3、本试卷共8页，五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、 选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、极限=+∞→)3sin 1sin

2(lim x

x

x x x ( )

A. 0

B. 2

C. 3

D. 5

2、设)

4(sin )2()(2--=

x x x

x x f ,则函数)(x f 的第一类间断点的个数为( )

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3 3、设2

32

152)(x x x f -=，则函数)(x f ( )

A.只有一个最大值

B. 只有一个极小值

C.既有极大值又有极小值

D. 没有极值 4、设y

x z 3

)2ln(+

=在点)1,1(处的全微分为 ( ) A. dy dx 3- B. dy dx 3+ C. dy dx 321+ D. dy dx 32

1

- 5、二次积分dx y x f dy y

),(1

1

⎰

⎰ 在极坐标系下可化为( )

A. ρθρθρθπ

θ

d f d )sin ,cos (40

sec 0

⎰

⎰

B.

ρρθρθρθπ

θ

d f d )sin ,cos (40

sec 0

⎰

⎰

C.

ρθρθρθπ

πθ

d f d )sin ,cos (2

4sec 0

⎰⎰

D.

ρρθρθρθπ

πθ

d f d )sin ,cos (2

4

sec 0

⎰⎰

6、下列级数中条件收敛的是( )

A. 12)1(1

+-∑∞

=n n

n n

B.

∑∞

=-1

)23()1(n n

n

C. ∑∞

=-12

)1(n n

n D. ∑∞

=-1

)1(n n

n 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

7要使函数x

x x f 1

)21()(-=在点0=x 处连续，则需补充定义=)0(f _________．

8、设函数x

e x x x y 2221

2(+++=），则=)0()

7(y

____________．

9、设)0(>=x x y x

，则函数y 的微分=dy ___________．

10、设向量→→b a ,互相垂直，且，，23==→→b a ，则=+→

→b a 2___________．

11、设反常积分

2

1

=

⎰

+∞

-dx e a

x ，则常数=a __________． 12、幂级数n

n n

n x n )3(3)1(1

--∑∞

=的收敛域为____________． 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）

13、求极限)

1ln(2

cos 2lim 320x x x x x +-+→．

14、设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩

⎪

⎨⎧+=-=t

t y t

t x ln 212所确定，求22,dx y d dx dy ．

15、求不定积分⎰+dx x x 2cos 1

2．

16、计算定积分dx x x ⎰-2

1

1

21

．

17、已知平面∏通过)3,2,1(M 与x 轴，求通过)1,1,1(N 且与平面∏平行，又与x 轴垂直的直线方程．

18、设函数)(),(2

2

y x xy x f z ++=ϕ，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数ϕ具有二阶

连续导数，求y

x z

∂∂∂2．

19、已知函数)(x f 的一个原函数为x

xe ，求微分方程)(44x f y y y =+'+''的通解．

20、计算二重积分⎰⎰D

ydxdy ，其中D 是由曲线1-x y =，直线x y 2

1

=

及x 轴所围成的平面闭区域．

四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）

21、在抛物线)0(2

>=x x y 上求一点P ，使该抛物线与其在点P 处的切线及x 轴所围成的平面图形的面积为3

2

，并求该平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．

22、已知定义在),(+∞-∞上的可导函数)(x f 满足方程3)(4)(31

-=-⎰

x dt t f x xf x

，试求：

（1）函数)(x f 的表达式； （2）函数)(x f 的单调区间与极值； （3）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点．

五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

23、证明：当10<

6

1arcsin x x x +>．

24、设⎪⎩

⎪⎨⎧≠=⎰0)0(0)()(2

＝ x g x x dt

t g x f x ，其中函数)(x g 在),(+∞-∞上连续，且

3cos 1)(lim 0=-→x x g x 证明：函数)(x f 在0=x 处可导，且2

1)0(='f ．