用物理方法证明“三弦定理”：数学新发现的重要定理
正弦定理和余弦定理证明-概述说明以及解释
正弦定理和余弦定理证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述正弦定理和余弦定理是在三角形中广泛应用的重要定理，它们可以帮助我们理解三角形的性质和解决相关的几何问题。
正弦定理和余弦定理在许多数学和物理学领域都有着广泛的应用，包括地理测量、建筑设计、天文学等等。
本文将对正弦定理和余弦定理进行证明，并且探讨它们在实际问题中的应用。
通过深入理解这两个定理，我们可以更好地解决相关的几何问题，并且拓展我们对三角形性质的认识。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构部分的内容可以包括以下内容：在这篇文章中，我们将首先介绍正弦定理和余弦定理的概念和基本原理，然后分别进行证明。
接着，我们将通过具体的数学推导和几何图形分析，详细阐述正弦定理和余弦定理的证明过程。
最后，我们将给出一些实际问题中的应用举例，以便读者更好地理解和掌握这两个重要的定理。
结尾部分将对整篇文章进行总结，阐述正弦定理和余弦定理的意义和应用前景，以及对未来相关研究的展望。
通过这样的文章结构安排，我们希望读者能够系统全面地了解正弦定理和余弦定理，并对其在实际生活中的应用有一个清晰的认识。
"1.3 目的"部分内容可能包括：在这篇文章中，我们的目的是通过简单且清晰的方式证明正弦定理和余弦定理，并探讨它们在几何和三角学中的重要性。
这篇文章的目的是帮助读者更好地理解这两个重要的定理，以及它们在解决三角形问题和实际生活中的应用。
同时，希望读者能够通过学习这些定理，提高自己的数学技能和解决问题的能力。
通过本文的阐述，读者将能够更深入地了解这两个定理的原理和意义，为进一步的学习和研究奠定基础。
2.正文2.1 正弦定理证明正弦定理是解决三角形中任意三条边和它们对应的角之间关系的一个重要定理。
在任意三角形ABC中，我们可以得到正弦定理的表达式：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
证明过程如下：首先，我们可以利用三角形的面积公式S = 1/2 * a * b * sinC来推导正弦定理。
正玄定理_精品文档
正玄定理正玄定理是数学中一个重要的三角函数定理，它建立了正弦函数和余弦函数之间的关系。
在代数、几何和物理学等领域都有广泛的应用。
正玄定理最早由印度数学家阿耶尔·卡皮拉提出，后来被中国数学家秦九韶在《数书九章》中进行了推广。
正玄定理的中心思想是：对于任意一个角度θ，正弦函数和余弦函数的平方和等于1，即sin²θ + cos²θ = 1。
正弦函数（sinθ）是定义在数学实数域上的周期函数，它的值在 -1 到 1 之间变化。
余弦函数（cosθ）也是周期函数，它的取值范围也在-1 到1 之间。
正弦函数和余弦函数在三角学中具有重要的意义，它们描述了角度和三角形的关系，并且在各种科学和工程问题中有着广泛的应用。
正玄定理的证明可以通过几何方法和代数方法来进行。
在几何方法中，可以通过构造一个以直角三角形为基础的单位圆来证明正玄定理。
单位圆是一个半径为1的圆，且圆心位于坐标系的原点。
将角度θ的终边与单位圆相交，就可以得到一个直角三角形。
根据三角形的定义，可以得出正弦函数和余弦函数与三角形的对应关系。
通过应用勾股定理和三角比例关系，可以证明正玄定理成立。
在代数方法中，可以利用欧拉公式来证明正玄定理。
欧拉公式是数学中一条著名的等式，它建立了指数函数、正弦函数和余弦函数之间的关系。
欧拉公式可以表示为e^ix = cosx + isinx，其中e是自然对数的底，i是虚数单位。
通过将x替换为θ，将实部与虚部进行比较，可以得到正玄定理。
正玄定理在数学中是一条基本的恒等式，它具有许多重要的应用。
在三角学中，正玄定理可以用来推导其他三角函数的公式，如正切函数和余切函数等。
在几何学中，正玄定理可以用来解决各种三角形的问题，如计算边长、角度和面积等。
在物理学中，正玄定理可以用来分析周期性现象，例如声音和电磁波的振动。
在工程学中，正玄定理可以用来设计振动系统、调制信号和解决波动问题等。
除了正玄定理，三角函数还有许多其他重要的性质和恒等式。
(经典)正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明(最新整理)
3．(1)正弦 (2)正弦 一解、两解或无解
π
①一解 ②二解 ③一解 ④一解
所对的边分别为 a，b，c.若 a＝2，B＝ ，c＝2 6
(3)余弦 (4)余弦
3，则 b＝________．
1
1
1
abc
4． (1) absinC bcsinA acsinB
解：由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accosB＝22
2
2
2
2
22
1 . 3
则解此三角形的结果有( )
A．无解
B．一解
C．两解
D．一解或两解
c·sinB 5
解：由正弦定理知 sinC＝
＝ ，又由
b6
c>b>csinB 知，C 有两解．也可依已知条件，画
【自查自纠】
出△ABC，由图知有两解．故选 C.
abc 1．(1) ＝ ＝ ＝2R
sinA sinB sinC
时，只有一解．
(4)已知两边及夹角，用____________定理，
必有一解．
4．三角形中的常用公式或变式
(1)三 角 形 面 积 公 式 S△＝
＝
＝
____________＝
____________＝
____________．其中 R，r 分别为三角形外接圆、
内切圆半径．
(2)A＋B＋C＝π，则 A＝__________，
A ＝ __________， 从 而 sinA＝ 2
____________，
cosA＝
____________，
tanA＝
____________；
A
A
sin ＝__________，cos ＝__________，
阿基米德三角形常用结论及证明
阿基米德三角形常用结论及证明阿基米德的“水之舞”在古希腊，有个名叫阿基米德的家伙，他不仅长得帅，而且聪明得让人惊叹。
有一次，国王请他去鉴定一个皇冠是不是纯金做的。
阿基米德拿起皇冠，对着太阳一照，然后大喊：“陛下，这皇冠是纯金做的！”国王听了很高兴，问：“那要是皇冠是假的呢？”阿基米德微微一笑，回答说：“那就证明您是纯金做的了！”这个故事告诉我们，有时候，真理并不总是显而易见的。
就像我们在生活中，有时候需要用一些聪明的办法来解决问题。
今天，我们就来聊聊阿基米德三角形的那些事儿。
咱们得知道什么是阿基米德三角形。
这个三角形是由三条线段组成的，它们首尾相连，形成一个等腰直角三角形。
想象一下，如果我们把一根棍子竖直插入水中，棍子的两端会分别浸入水中和空气中。
这时候，棍子就像是被赋予了魔法一样，能够在水中自由地“跳舞”。
你知道吗？阿基米德曾经说过：“给我一个支点，我能翘起整个地球。
”这话可不是闹着玩的，它告诉我们，有时候一个小小的想法就能改变世界。
比如说，当我们遇到难题时，如果能找到那个合适的支点，说不定就能轻松解决问题。
那么，阿基米德三角形到底有什么用呢？其实，它的用处可多了去了。
在建筑学中，建筑师们经常利用阿基米德三角形的原理来设计桥梁、大楼等结构。
而在物理学中，阿基米德三角形也有着重要的地位，它可以用来计算物体在液体中的浮力。
话说回来，我们普通人在日常生活中也能发现阿基米德三角形的影子。
比如，我们在做菜的时候，经常会用到一些工具来测量食材的长度。
这些工具其实就是阿基米德三角形的变种，它们能够帮助我们更准确地完成烹饪工作。
当然啦，阿基米德三角形也不是万能的。
有时候，它也会遇到一些麻烦。
比如，当棍子太长或者太短时，它可能就无法像在水中那样自由地“跳舞”了。
这时候，我们就需要借助其他工具或者方法来解决这个问题。
总的来说，阿基米德三角形是一个非常有趣的概念。
它不仅仅是数学上的一个定理，更是我们生活中的一种智慧。
托勒密证明三弦定理
在一个凸四边形中，四个顶点依次为A、B、C、D，对角线AC和BD的长度分别为a、b， 而边AB和CD的长度分别为c、d。那么，根据托勒密定理，这个四边形的对角线和边之间的 关系可以表示为：
a * d + b * c = AB * CD
这个等式表明，一个凸四边形的对角线长度的乘积等于两组对边长度的乘积之和。
托勒密证明三弦定理
需要注意的是，托勒密定理只适用于凸四边形，即四边形的内角都小于180度。对于非凸 四边形，托勒密定理不成立。
托勒密定理在几何学和三角学中有广泛的应用，可以用于解决关于四边形的各种问题，如 计算未知边长或角度等。它也是许多其他几何定理的基础之一。
三弦定理的若干应用
较长 的 一 条 对 角 线 , O 为
A B CD 内 部 一 点 , O E ⊥
AB 于 E, OF ⊥AD 于 F,
O G ⊥A C 于 G , 求证 : A E·
A B + A F·A D = A G·A C 。
证明 因 O E ⊥AB 于
图9
E , O G ⊥A C 于 G , O F ⊥A D
= 3 A C 。求证 :
BC =
1 2
CD 。
证 明 连 结 BD , 由
2AB + AD = 3 AC, 得 AB
+
1 2
AD =
3 2
A C。因
图7
∠BA C = 30°, ∠CA D = 90°,故 ∠BA D = 120°。所以
sin ∠BA C =
1 2
, sin ∠CA D = 1 , sin ∠BA D =
推论 ,得 2cosα·A N = A B + A C 。因 S △ABC = S △ABL +
S △A CL =
1 2
A L ·sinα·( A B +
A C) , 故
S △AB C =
的半径为 R ,则 sin (α+β) =
BD 2R
, sinβ =
CD 2R
,
sinα =
BC。 2R
将这三个式子代入 ①, 即得
图8
A C·BD = A B ·CD + A D·B C 。
例 7 《( 数学通报》2001 年 2 月号问题第 1296
题) 如 图 9 , A C 是 A B CD
∠CPD = ∠D PE = ∠EPA
正弦、余弦、勾股定理
正弦、余弦、勾股定理正弦、余弦定理正弦定理是三角学中的一个定理。
它指出：对于任意，a、b、c 分别为、、的对边，R为的外接圆半径，则有证明做一个边长为a，b，c的三角形，对应角分别是A，B，C。
从角C向c边做垂线，得到一个长度为h的垂线和两个直角三角形。
很明显:and因此:和同理:同理，也可以将其改为：其中c是γ角的对边，而a和b是γ角的邻边。
勾股定理则是余弦定理的特殊情况，当γ为时，cos(γ) = 0，式子可被简化为c2 = a2 + b2当知道一三角形的两边和一角时，余弦定理可被用来计算第三边的长，或是当知道三边的长度时，可用来求出任何一个角。
一个钝三角形和他的高Base Height余弦定理的历史可追溯至西元三世纪前欧几里德的几何原本，在书中将三角形分为钝角和锐角来解释，这同时对应现代数学中余弦值的正负。
根据几何原本第二本的公设12和13[1]，并参考右图，以现代的数学式表示即为：其中，将其带入上式得到：证明三角函数具有垂直线的锐角三角形见右图，在c上做高可以得到：将等式同乘以c得到：运用同样的方式可以得到：将两式相加：勾股定理设中，，，。
过B点作AC的垂线，垂足为D，如果D在AC内部，则BD的长度为a sin C，DC的长度为a cos C，AD的长度为b - a cos C。
根据勾股定理：如果D在AC的延长线上，证明是类似的。
同理可以得到其他的等式。
向量中，，，：a2 = b2 + c2? 2bc cos A应用余弦定理是解三角形中的一个重要定理。
求边余弦定理可以简单地变形成：因此，如果知道了三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。
求角余弦定理可以简单地变形成：函数在上的单调性，可以得到：因此，如果已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。
托勒密定理与三弦定理的关系
. .. . . . . . . ... C. .. .. . . . . ... .. ... . . . . . . . . . . . . . . . . .托勒密(Ptolemy) 定理與“三弦定理”的關係樂嗣康古希臘天文學家、 數學家托勒密 (Ptole-my, 約公元90-168 年) 曾發現一個極為著名的定理。
即在平面內有四點, A , B , C , D 構成一個凸四邊形, 則必有下列的結論:AB · CD + AD · BC ≥ BD · AC.當四點構成一個圓內接四邊形時, 則AB · CD + AD · BC = BD · AC.這就是著名的托勒密定理, 如圖1。
B.. . . . 18 世紀著名的瑞士數學家尤拉 (又譯為歐拉, Euler, 1707-1783 年) 曾提出與托勒密定理相類似的定理, 即若 A , B , C , D 為一直線上順次四點, 則AB · CD + AD · BC = BD · AC.世人稱這個定理為尤拉定理。
我們若將圓的半徑看成可以無限增大, 當半徑趨向無限大時, 這時, 托勒密定理中的共圓四點 (即圓內接四邊形的四個頂點), 可以看成一條直線上的四點, 圓轉化成直線。
顯 ... . .. . .. . .... .. .. . . . . . .. .. .. .. .. . . .. .... 然, 尤拉定理就成為托勒密定理的特例了。
.. .. . .. .. .. . .. . . . . ... 我們若將上述的命題置於球面上來看, . .. ... .. . .. ... . .. .. . . . .. . . . . . . .... . . . . . . . 球面上的直線是一個大圓, 也就是說是封閉 . .. .. . .. . . . . O •. .. . . . .. . .. . ... . . ... .的。
三弦定理的若干应用
三弦定理的若干应用
侯明辉
【期刊名称】《中学数学教学》
【年(卷),期】2004(000)001
【摘要】三弦定理过圆上一点引该圆任意三条弦，则中间弦与最大角正弦的积等于其余两弦与它们不相邻角正弦积的和。
运用三弦定理解题证题可起到化繁为简、化难为易的作用，而且其应用十分广泛。
本文通过范例，论述三弦定理在中学几何与代数中的若干应用。
【总页数】3页(P14-16)
【作者】侯明辉
【作者单位】辽宁省岫岩满族自治县教师进修学校,114300
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.Thompson-Lampard定理：内容及若干应用 [J], 王玉平
2.中心极限定理及其在若干实际问题中的应用 [J], 孙蓓
3.有限覆盖定理在若干数学命题证明中的应用 [J], 强华;周虎
4.谱分解定理在证明正线性映射结论的若干应用 [J], 黄少武; 陈梅香
5.谱分解定理在证明正线性映射结论的若干应用 [J], 黄少武; 陈梅香
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三余弦公式推论及其应用
三余弦公式推论及其应用三余弦公式是一个非常有用的数学定理，它可以用于求解椭圆、双曲线和其它曲线的方程。
这个定理是普及西欧文化和数学之间的桥梁，它可以帮助人们了解自然界的规律性。
三余弦公式是由希腊数学家拉普拉斯在1687年提出的，它给出了一个三个变量构成的式子：θ1+θ2+θ3 =，其中Δ=θ1 +2 +3，θ1、θ2、θ3是三个夹角的面积，而Π则是π的值。
拉普拉斯的论文中的所有数学结论都建立在这个公式的基础上，他们可以用来计算椭圆、双曲线和其它曲线的方程。
三余弦公式有各种各样的应用。
首先，它可以用于计算椭圆的数学方程，拉普拉斯在他的论文中提出了一种椭圆类型的方程，这样可以帮助人们计算椭圆曲线上任意点的坐标。
其次，它也可以用于计算双曲线的数学方程，为此，可以利用三余弦公式，将双曲线的参数转换为椭圆的参数，然后可以计算出双曲线方程的参数。
最后，三余弦公式也可用于计算其它曲线，如矩形、五边形等的数学方程。
由于三余弦公式的普及，今天的数学学者们可以很容易地求解椭圆、双曲线和其它曲线的方程。
此外，它也可以用于地质测量、天文学观测和物理学实验中。
特别是地质学研究中，三余弦公式可以用来计算地球表面上椭圆形地表的参数，帮助地质学家们更好地研究地质结构。
另外，它也可以用于天文学观测中，可以用来计算行星的轨道和陨石的轨迹。
在物理学实验中，三余弦公式也非常有用。
它可以用来计算三角形的面积和夹角的面积，也可以用来计算某些特殊形状的物体的立体几何特性，例如圆柱体、圆锥体等。
总之，三余弦公式是一个非常有用的定理，它可以帮助我们了解自然界的规律性，也可以用于计算椭圆、双曲线和其它曲线的方程，以及地质测量、天文学观测和物理学实验。
三正弦定理公式证明
三正弦定理公式证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：三角函数是数学中非常重要的一个概念，它包括正弦、余弦和正切等函数。
在三角学中，常常会遇到利用正弦定理、余弦定理和正切定理来解决问题。
正弦定理是三角形中较为基础的定理之一，它可以帮助我们求解任意三角形中的各种角度和边长。
下面我们就来详细讲解一下正弦定理的公式及其证明。
让我们来看一下正弦定理的表述：在一个三角形ABC中，设角A、B、C对应的边长分别为a、b、c，则有以下公式成立：\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]这个公式告诉我们三角形中各边与其对应角的正弦值之间的关系。
通过这个公式，我们可以在已知任意两个角和一个边的情况下求解其他角和边的值。
接下来，让我们来证明一下正弦定理的公式。
我们可以利用正弦定理的定义及勾股定理来进行证明。
这样，我们就证明了正弦定理的公式成立。
正弦定理在解决三角形中各种问题时有着非常重要的作用。
通过这个定理，我们可以方便地求解三角形中各边和角的关系，从而得到更多的几何信息。
在实际应用中，正弦定理常常与余弦定理、正切定理等一起使用，帮助我们解决各种实际问题。
正弦定理是三角形中非常基础的一个定理，它可以帮助我们求解各种复杂的三角形问题。
通过深入理解这个定理的公式及其证明过程，我们可以更好地应用它来解决实际问题，提高数学解题的效率和准确性。
希望通过本文的介绍，读者们能够对正弦定理有更深入的了解，并能够灵活运用它来解决各种三角形问题。
第二篇示例：正弦定理是解三角形问题的基本定理之一，在数学中具有重要的意义。
三正弦定理是指在一个三角形中，三条边与其对应的三个角的正弦之间存在一种关系，即：\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}a、b、c分别为三角形的三条边的长度，A、B、C分别为三角形的三个角的大小。
三余弦定理使用条件
三余弦定理使用条件1. 嘿，你知道三余弦定理不？这定理使用起来可得讲究条件呢！就好比你要参加一场特殊的比赛，得先知道比赛规则一样。
比如说，在一个立体几何的图形里，有一条斜线和一个平面相交。
我同学小明啊，他想求这条斜线和平面内某条直线夹角的时候，就发现得先确定几个要素符合三余弦定理的使用条件。
2. 三余弦定理的使用条件啊，就像一把神秘的钥匙，得找到对应的锁才能用。
我给你说啊，要是有一个角是斜线与平面所成的角，还有另外两个相关的角，这时候就得小心看看是不是满足定理的情况。
就像我们在搭积木，每个积木块的摆放位置都得符合规则才能搭得稳。
像我之前看到一个题目，那是个三棱锥的模型，求棱之间的角度关系，就需要考虑三余弦定理，但是首先就得判断使用条件对不对。
3. 哇塞，三余弦定理使用条件这事儿可重要啦！你可以把它想象成做饭，食材得是对的才能做出好菜。
在一个几何场景中，如果有斜线在平面上的射影，那这个射影相关的角和其他角之间的关系要是想通过三余弦定理来解决，就必须符合它的使用要求。
我有次帮邻居家小孩做数学作业，那题目里有个复杂的多面体，我们想求某条边和另一个面内直线的夹角，当时就一直在琢磨三余弦定理的使用条件是否满足呢。
4. 三余弦定理使用条件？那可不是随随便便就能忽略的。
这就好比你要走一条特定的路，得先看看路牌指示是不是这条路适用的规则。
我和朋友一起讨论数学问题的时候，碰到一个关于空间向量与平面夹角的问题。
这里面涉及到的角度关系，如果想用三余弦定理，就得仔细检查那些角是否处在定理要求的关系之中，就像检查拼图碎片是不是能拼在一起一样。
5. 哟，三余弦定理使用条件啊，就像游戏里的隐藏关卡规则。
在一些几何图形中，当你看到斜线、射影和平面内直线形成的各种角时，你得好好想想能不能用三余弦定理。
比如说我们在做一个空间几何的建模，计算不同线条之间的角度。
我跟我的数学小组伙伴们就一直在争论，某个情况是否满足三余弦定理的使用条件，那感觉就像在黑暗中摸索，必须找到那盏明灯才行。
用物理方法证明正弦定理和余弦定理
21 固本强基的执教策略. 作为驾驭新教 材的教师 ,善于用生活中的案例来联系数学 知识 ,将成为我们一种执教习惯 ,对激发学生 的学习兴趣是有益的 ; 背景回归类型问题的
17
存在 ,可以启迪我们的教师要从课本内容出 发 ,联系实际 ,以教材为载体. 编拟与课本相 关的建模问题或把课本的例题 、习题改编成 应用性问题 ,有益于学生对应用问题的理解.
中学数学杂志 (高中) 2006 年第 5 期
B Ia ·sin B - B Ib ·sin A = 0
B Ib ·sin C - B Ic ·sin B = 0
(5)
B Ia ·sin C - B Ic ·sin A = 0
和
B Ia ·cos B + B Ib ·cos A = B Ic B Ib ·cos C + B Ic ·cos B = B Ia (6) B Ia ·cos C + B Ic ·cos A = B Ib 分别化简 (5) 式 、(6) 式 ,得正弦定理
经典物理中新发现的几个小定理
经典物理中新发现的几个小定理
周国全
【期刊名称】《物理与工程》
【年(卷),期】2016(0)S1
【摘要】本文简要介绍经典物理中新发现的几个小定理及其证明方法:(1)交/直流并联电源的一个等效定理及其推广;(2)N个并联耦合线圈的等效自感系数的一个定理;(3)静平衡共点力系统的一个几何定理;(4)一对倒置的镜像对称电流元的合成磁场及其应用;(5)凸柱体表面缠绕软绳的横向摩擦力的曲率无关性.
【总页数】5页(P68-72)
【关键词】经典物理;定理;等效电源定理;等效自感系数;共点力系统;镜像对称电流;凸柱体;横向摩擦力
【作者】周国全
【作者单位】武汉大学物理科学与技术学院
【正文语种】中文
【中图分类】O441
【相关文献】
1.谈积分运算中新发现的一条分部积分定理及其应用 [J], 刘广平;彭刚
2.小物和小理的物理对话录(48)——"飞针穿玻璃与动量定理" [J], 何龙;程帅;孟卫东
3.小物和小理的物理对话录(2)——动能定理和动量定理 [J], 孟卫东;潘天俊
4.用物理方法证明“三弦定理”：数学新发现的重要定理 [J], 马廷华
5.用物理方法证明“三弦定理”—数学新发现的重要定理 [J], 马廷华
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三弦定理的重要应用
鞍山师范学院学报2 0 0 0 20 9 , 2 (3 ) : 3 7 -4 2J ou r n a l of A n s h a n Teachers C olleg e三弦定理的重要应用侯明辉(岫岩满族自治县龙潭中学,辽宁岫岩114322)摘要:1985 年9 月28 日,笔者发现了数学三弦定理,1991 年2 月,该定理由专家认定. 这个定理是:过圆上一点引该圆任意三条弦,则中间弦与最大角正弦的积等于其余两弦和它们不相邻角正弦积的和. 应用三弦定理解证题,可起到化繁为简、化难为易的作用,而且其应用十分广泛. 本文通过范例论述三弦定理在几何与代数中的若干应用.关键词:三弦定理;揭示;公共端点;夹角;广泛中图分类号:O123 文献标识码:A 文章篇号:100822441 (2000) 0320037206 由笔者发现并命名的三弦定理结构简单、优美1 ,2 ,它揭示了同一个圆中有公共端点的三条弦与其夹角之间的关系. 本文通过一些例子,阐述其重要作用.三弦定理及其逆定理1三弦定理如图1 , 已知PA 、PB 、PC 是圆O 的三条弦, 记∠A PB = α, ∠B PC = β,则PB ·sin (α+β) = PC ·sinα+ PA·sinβ.证明设圆O 的直径为d ,连结 A B、B C 、A C ,则A C = d ·sin (α+β) , A B= d ·sinα, B C = d ·sinβ.由托勒密定理,得PB ·A C = PC ·A B+ PA ·B C,将上面的三个等式代入此式,得PB ·sin (α+β) = PC ·sinα+ PA ·sinβ.由三弦定理,可以得出下面的推论:图1在图1 中,若∠A PB 三弦定理的逆定理= ∠B PC = α,则PC ·2co sα= PA + PC . 由点P 发出的三条射线为PA 、PB 、PC ,记∠A PB = α, ∠B PC = β, ∠A PC = α+β< 180°.若PB·sin (α+ β) = PC ·sinα+ PA ·sinβ,则P 、A 、B 、C 四点共圆.证明如图2 ,过P、A 、C 三点作圆,交射线PB 于B′,则由三弦定理,得PB′·sin (α+ β) = PC ·sinα+ PA ·sinβ.据已知P B ·sin (α+β) = PC·sinα+ PA ·sinβ,可得P B′= P B .图2收稿日期:2000 - 06 - 30作者简介:侯明辉( 1962 - ) ,男,满族,辽宁岫岩满族自治县人,中学数学一级教师。
Z字型的三弦定理及其推论
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BD "sin 乙1
sin(匕1+ 艺2) .
. . A丑二AE + E B =
下规定:
(4)
以中间弦AB 为基准， 侧弦AC, BD 的位 置可用角匕1,艺2 来确定. 当AC, BD 位于AB 的两侧时( 如图1) ， 角匕1, 匕2 D 一 ! 犬 均为正值; 当AC, BD 位于AB 汉 的同一侧时(如图2) ， 1 角L 2 L , ｝ 图 的正负号相反， 通常取免度较小 者为负 如图2 中的 值， 之AB = - L 2. 则在图 D 2 中， 由式(1)可得 AB. sin(L 1 一 2) = AC sin( 一 2) + L L
2 n 一1
又’ 2 二 C, - -AD 二口〕 'L L ，
在式(6) 中 ': L l > 90' , : . CS 1< 0， ， OL 故
AC "cosZ l 为负值. 由式(5) , (6) ， 再结合图5, 6 可得如下结
论:
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