2020江苏高考数学模拟数学试题二

2020年江苏高考数学全真模拟试卷二（南通教研室）
数学Ⅰ试题
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合U={x ｜x ＞1}, A ={ x ｜x ＞2},则∁U A = ▲ ．
2.已知复数z 满足(1+i )z =i
2020 (i 为虚数单位),则z 在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限. 3.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的方差为 ▲ ． 4.已知向量a =(1,2),b =(2,－1)则a ・(a －b )的值为 ▲ ． 5.执行如图所示的伪代码,则输出的S 的值为 ▲ ．
6.在一个不透明的口袋中装有形状、大小都相同的红球和黄球共5个, 从中随机取出1个球,该球是红球的概率是2
5 .现从中一次随机取出2
个球,则这2个球的颜色相同的概率为 ▲ ． 7.已知x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥2，y ≥x -2，
y ≤1，
,则z=
y -3
x
的最大值为 ▲ ． 8. 将函数f (x ) = sin ωx (ω>0)的图象向右平移π
6 个单位长度,得到函数y =g (x )的图像，若y =g (x )是偶函数,则ω
的最小值为 ▲ ．
（第3题图）
9. 已知一个圆柱的高为3cm,体积为12πcm 3,则该圆柱的外接球的表面积为 ▲ cm 2． 10.已知函数f (x ) =
2x x 2
+4 , g (x ) = ( 12
)｜x -2｜
+ a ．若对任意x 1∈[1, +∞)，都存在x 2∈[1, +∞)， 使得f (x 1) =g (x 2),则实数a 的取值范围是 ▲ ．
11.在平面直角坐标系xOy 中, 双曲线C : x 2a 2－y 2
b
2=1 (a >0，b >0)的左焦点F 作倾斜角为30°的直线,与圆
C ′:x 2+y 2=b 2交于点A ,B .若∠AOB =60°,则双曲线C 的离心率为 ▲ ．
12.设数列{a n }的前n 项和为S n ,若1, a n , S n 成等差数列,则a 1 + a 2+…+ a n 的值为 ▲ ． 13.如图,在等腰三角形ABC 中,AB =2,AC =BC = 5 .若D 是△ABC 所 在平面内一点,且DB → ・DC → =0.设AD → =λAB → +μAC →
,则λ+μ的最大值 为 ▲ ．
14.已知函数f (x ) = ⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 3＋3x 2＋t ， x ≤0，
3x －1，x ﹥0， 若函数y = f (f (x )) 恰
好有4个不同的零点，则实数t 的取值范围是 ▲ ．
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥P -ABCD 中,BA ⊥AD ,CD ⊥AD ,E 是棱PD 上一点,AE ⊥PD ,AE ⊥AB . (1) 求证: AB ∥平面PCD ; (2) 求证: 平面ADP ⊥平面PCD .
（第13题）
（第15题）
A
C
D
B
E
P
16.(本小题满分14分)
在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 若cos2A +1=2 sin 2 A 2
. (1) 求角A 的大小;
(2) 若b =4,c =5,求sin(B+π
3 )的值.
17.(本小题满分14分)
某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子,它是由半圆O 1、半圆O 2和正方形ABCD 组
成的,且AB =8cm.设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签EFGH ,标签的其中两个顶点E ,F 在AM 上,另外两个顶点G ,H 在CN 上(M ,N 分别是AB ,CB 的中点)设EF 的中点为P ,∠FO 1P =θ,矩形EFGH 的面积为S cm 2.
(1) 写出S 关于θ的函数关系式S(θ); (2) 当θ为何值时,矩形EFGH 的面积最大?
18.(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆E : x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的短轴长为2,离心率为 2
2 .
(1) 求椭圆E 的标准方程;
(2) 若直线l 与椭圆E 相切于点P (点P 在第一象限内),与圆x 2+y 2=12相交于点A ,B , 且AP → =2PB →
,求直线l 的方程.
（第17题）
M N ·
·
D
A
C
H
B E P
O 1
G
F O 2
·
· （第17题）
19.(本小题满分16分)
已知各项均为正数的两个数列{a n },{b n }满足a n +1+1 a n +2 =a n
a n +1－1 ,2a n =log 2
b n + log 2 b n +1+ 1
且a 1=b 1=1 .
(1) 求证:数列{a n }为等差数列; (2) 求数列{b n }的通项公式;
(3) 设数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,求使得等式2S m +a m -36=T i 成立的有序 数对(m ,i )(m ,i ∈N ※
) .
20.(本小题满分16分)
已知函数f (x )=(x -1)e x ,g (x )=a +ln x ,其中e 是自然对数的底数. (1) 若曲线y =f (x )在x =1处的切线与曲线y =g (x )也相切. ①求实数a 的值;
②求函数φ(x )=f (x )+e |g (x ) |的单调区间;
(2) 设h (x )=bf (x )－g (x )+a , 求证: 当0<b <1
e 时,h (x )恰好有2个零点.
数学Ⅱ附加题
21【选做題】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题．．．．．．．．,并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，．若多做,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚 A.[选修4-2:矩阵与变换] (本小题满分10分)
已知变换T: ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y → ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′ = ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a x 2x +2y , 试写出变换T 对应的矩阵A ,并求出其逆矩阵A -1.
B.[选修4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程⎩⎨⎧ x =1+t y =3t (t 为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧
x =2m 2
y =2m
(m
为参数). 若直线l 与曲线C 相交于点A ,B ,求△OAB 的面积.
C.[选修45:不等式选讲] (本小题满分10分)
已知a 、b 、c ∈R ，且a +b +c =3, a 2+b 2+2c 2=6,求实数a 的取值范围.
【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
如图,在直三校柱ABC －A 1B 1C 1中,△ABC 是等直角三角形,∠ACB =90°,AB =4 2 ,M 是AB 的中点,且A 1M ⊥B 1C ．
(1) 求A 1A 的长;
(2) 已知点N 在棱CC 1上,若平面B 1AN 与平面BCC 1B 1所成锐二面角的平面角的余弦值为
10
10
，试确定点N 的位置．
23.(本小题满分10分)
已知正整数n ≥2,集合P ={x |1≤x ≤n ,x ∈N },A ,B ,C 是集合P 的3个非空子集，记 a n ,为所有满足A B , A U B U C =P 的有序集合对(A ,B ,C )的个数. (1)求a 2； (2)求a n
（第22题）
A
C M
B
N C 1
B 1
A 1。