高考理科数学试题及答案2025
2023年江西省五市九校协作体高考数学第二次联考试卷(理科)+答案解析(附后)
2023年江西省五市九校协作体高考数学第二次联考试卷（理科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 若复数z满足为虚数单位，则下列说法正确的是( )A. z的虚部为B.C. D. z在复平面内对应的点在第二象限3. 若，是第三象限的角，则( )A. 2B.C.D.4. 天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2023年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为( )A. 壬午年B. 癸未年C. 己亥年D. 戊戌年5. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，点P在双曲线C的右支上，且，双曲线C的一条渐近线方程为，则k的最小值为( )A. B. C. D.6. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有( )A. 450种B. 72种C. 90种D. 360种7. 已知椭圆的一个焦点为F，点P是椭圆C上的一个动点，的最小值为，且存在点P，使得点O为坐标原点为正三角形，则椭圆C的焦距为.( )A. 2B.C.D. 48. 关于曲线C：，下列说法正确的是( )A. 曲线C可能经过点B. 若，过原点与曲线C相切的直线有两条C. 若，曲线C表示两条直线D. 若，则直线被曲线C截得弦长等于9. 已知函数，则下列说法中正确的是( )A. 是偶函数B. 的图像关于直线对称C. 的值域为D. 在上有5个零点10. 如图为“杨辉三角”示意图，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为( )A. 5052B. 5057C. 5058D. 506311.在直四棱柱中中，，，P为中点，点Q满足，下列结论正确的是( )A. 若，则四面体的体积为定值B. 若平面，则AQ的最小值为C. 若的外心为M，则为定值2D. 若，则点Q的轨迹长度为12. 已知，，，，则( )A. B. C. D.13.已知非零向量，满足，，则向量，的夹角是______ .14. 已知，则______ .15. 已知实数a，b满足，，，则的最小值为______ .16. 已知设函数若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为______ .17.已知中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，BD为的角平分线．求证：AD：：CB；若且，求的面积．18. 如图，在梯形ABCD中，，，四边形ACFE为矩形，且平面ABCD，求证：平面BCF；点M在线段含端点上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．19. 某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率若，当时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望，并求；已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元.记设备升级后单位时间内的利润为单位：元请用表示；设备升级后，在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润.20. 过坐标原点O作圆C：的两条切线，设切点为P，Q，直线PQ恰为抛物线E：的准线.求抛物线E的标准方程；设点T是圆C的动点，抛物线E上四点A，B，M，N满足：，，设AB中点为证明：TD垂直于y轴；设面积为S，求S的最大值.21. 已知函数讨论函数的单调性；若函数存在两个极值点，，且恒成立，求实数k的最小值.22. 以直角坐标系的原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l的参数方程为为参数，，曲线C的极坐标方程为求曲线C的直角坐标方程；设直线l与曲线C相交于A，B两点，当变化时，求的最小值．23. 已知a，b，c均为正实数，且证明：；答案和解析1.【答案】B【解析】解：由题意可知，集合，或，，故选：利用集合的交集的概念及运算求解即可．本题考查集合的交集的概念及运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：，，的虚部为，故选项A错误，，故选项B正确，，故选项C错误，z在复平面内对应的点为，在第一象限，故选项D错误，故选：先利用复数的除法运算法则求出z，再结合复数虚部的定义，复数模长的定义，以及共轭复数的定义逐个判断各个选项即可．本题主要考查了复数的四则运算，考查了复数的模长，以及共轭复数的概念，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由，是第三象限的角，可得，故选：将表达式式中的正切化成正余弦，由，求出，即可得到结论．本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力，还要注意条件中的角与待求式中角的差别，注意转化思想的应用．4.【答案】B【解析】解：由题意可知，天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于，余数为0，故100年后天干为癸，由于…4，余数为4，故100年后地支为未，综上，100年后的2123年为癸未年．故选：根据题意，天干和地支的年份分别是以10和12为公差的等差数列，根据等差数列的性质即可求解．本题考查逻辑推理，等差数列的简单应用，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：因为，且，所以，，因为，所以，即，由题得双曲线的渐近线方程为，即，又因为双曲线C的一条渐近线方程为，所以，因为所以所以所以k的最小值为，故选：由及得出和，根据求出e 的范围，再根据，求出k的范围，即可求出k的最小值．本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，属中档题．6.【答案】A【解析】解：由题知，6名航天员安排三舱，三舱中每个舱至少一人至多三人，可分两种情况考虑：第一种，分人数为的三组，共有种；第二种，分人数为的三组，共有种；所以不同的安排方法共有种．故选：利用分组和分配的求法求得6名航天员的安排方案，再利用分类加法计数原理即可求得．本题主要考查排列、组合及简单计数问题，属于基础题．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的性质及正三角形的性质，属于中档题．由椭圆的性质可得的值，再由点O为坐标原点为正三角形可得P点的坐标，将P 的坐标代入可得a，b，c之间的关系，再由椭圆中a，b，c之间的关系求出c的值，进而求出焦距的值．【解答】解：由椭圆的定义可得，①要使点O为坐标原点为正三角形，则存在，，即，将P代入椭圆的方程，②又，③由①②③可得：，即，可得焦距故选8.【答案】B【解析】解：将点代入曲线C：可得，整理得，即，显然此方程无解，即曲线C一定不过点，A 错误；时，易得曲线C是圆心为，半径为的圆，此时原点和圆心之间的距离为，，故原点在圆外，过原点有两条直线与曲线C相切，B正确；时，曲线C：，则，解得，则曲线C表示一个点，C错误；时，曲线C：，圆心在直线上，则直线被曲线C截得弦长即为圆的直径等于2，D错误．故选：直接将点代入曲线C方程，由方程无解即可判断A选项；先由原点到圆心的距离判断出原点在圆外即可判断B选项；代入曲线C解出即可判断C选项；先求出圆心在直线上结合直径即可判断D选项．本题考查了曲线与方程，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：函数的定义域为，因为，所以，，所以，所以不是偶函数，A错误；当时，，当时，，若函数的图像关于直线对称，则，又，，矛盾，所以函数的图像不关于直线对称，B错误；时，的值域是，时，的值域是，C正确；时，，有无数个零点，函数在上有无数个零点，D错误．故选：根据偶函数的定义判断A，对给定函数式按及两段化简，结合对称的性质利用反证法判断B，再结合正弦函数的性质，判断C，本题主要考查了函数的奇偶性，对称性的判断，还考查了函数值域及零点个数的求解，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：根据杨辉三角的性质，，所以，由题意得：数列的整数项为2，3，7，8，12，13，，其规律为各项之间以，，，，，，，单调递增，因此，数列的奇数项是以5为公差，2为首项的等差数列，偶数项是以5为首项，3为首项的等差数列；即，所以故选：直接利用杨辉三角的性质和对数的运算求出数列的奇数项是以5为公差，2为首项的等差数列，偶数项是以5为首项，3为首项的等差数列，进一步求出结果．本题考查的知识要点：杨辉三角的性质，等差数列的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．11.【答案】ABD【解析】解：在直四棱柱中中，，，P为中点，点Q满足，，对于A，因为，所以Q，C，三点共线，所以点Q在，因为，平面，平面，所以平面，所以点Q到平面的距离为定值，因为的面积为定值，所以四面体的体积为定值，所以A正确；对于B，取，DC的中点分别为M，N，连接AM，MN，AN，则，因为平面，平面，所以平面，因为，，所以，因为平面，平面，平面，因为，MN，平面AMN，所以平面॥平面，因为平面AMN ，所以AQ平面，所以当时，AQ最小，因为，，所以，，所以，所以Q，M重合，所以AQ的最小值为，所以B正确；对于C，若的外心为M，过M作于H，因为，所以，所以C错误，对于D，过作于点O，因为则可得平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，在，上取点，，使得，则，所以若，则Q在以O为圆心，2为半径的圆弧上运动，因为，所以，则圆弧等于，所以D正确，故选：对于A，由，可得Q，C，三点共线，可得点Q在，而由直四棱柱的性质可得平面，所以点Q到平面的距离为定值，而的面积为定值，从而可进行判断；对于B，取，DC的中点分别为M，N，连接AM，MN，AN，由面面平行的判定定理可得平面平面AMN，从而可得平面，进而可求得AQ的最小值；对于C，由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断；对于D，在，上取点，，使得，可得点Q的轨迹为圆弧，从而可进行判断．本题考查了立体几何的综合运用，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：对于A，，，，令，则，所以在单调递减，在上单调递增，且，故，令，，则，所以在上单调递减，且，，，，，，即，故A错误；对于B，，，，令，则，所以在单调递增，在上单调递减，且，故，令，，所以在上单调递减，且，，，，，，即，故B错误；对于C，，，，又在单调递增，，，故C错误；对于D，由C可知，，，又在单调递减，，故D正确．故选：先构造函数，通过函数的单调性确定a，b的大致范围，再构造，通过函数的单调性确定d与的大小关系，进而得到A选项；先构造函数，通过函数的单调性确定c，d的大致范围，再构，通过函数的单调性确定d与的大小关系，进而可知B选项错误；通过，得到，进而可得与d的大小关系，进而可知C选项错误；D与C选项同样的方法即可判断．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：已知非零向量，满足，又，则，即，则，又，则，则向量，的夹角是，故答案为：由平面向量数量积的运算，结合平面向量夹角的运算求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量夹角的运算，属基础题．14.【答案】132【解析】解：，…，故答案为：由，继而根据展开式的特点求出答案．本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．15.【答案】2025【解析】解：，因为，所以，，，故，由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，故，即的最小值为故答案为：先对式子变形得到，由基本不等式求出，从而求出的最小值．本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．16.【答案】【解析】解：当时，，即或，即，当时恒成立，故成立；当时，时，递减，可得，故恒成立；当时，，当时，递增；当时，递减．①当时，在递增，可得，恒成立；②当时，在处取得最小值，当时，，则恒成立；当时，，则不恒成立；故时，则恒成立；当时，在递增，可得，即，此时，，所以；时，递增，，故恒成立．综上可得，a的取值范围是故答案为：对a讨论，分，，，考虑和时，的单调性，求得最值，解不等式，求并集可得所求范围．本题考查分段函数的运用，以及函数恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于难题．17.【答案】解：证明：由题意可得，因为BD为的角平分线，则，在中，，则，同理可得，因此；设，则，因为，即，因为，则，则，，即，可得，，所以，，【解析】结合正弦定理以及角平分线性质即可得到结论，设，则，利用，求出，进而求解结论．本题主要考查正弦定理以及诱导公式在解三角形中的应用，属于基础题目．18.【答案】解：在梯形ABCD中，，，又，，…分…分平面ABCD，平面ABCD，，…分而，平面…分，平面…分由可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示建立空间直角坐标系，令，则，，，，…分，，设为平面MAB的一个法向量，由得取，则，…分是平面FCB的一个法向量，，当时，有最小值，…分点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为【解析】在梯形ABCD中，通过，求出，通过证明，证明，推出平面BCF，即可证明平面由可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示建立空间直角坐标系，求出平面MAB的一个法向量，求出平面FCB的一个法向量，通过向量的数量积，推出平面MAB 与平面FCB所成二面角，然后求解二面角的余弦值．本题考查平面向量的数量积的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19.【答案】解：因为，所以控制系统中正常工作的元件个数X的可能取值为0，1，2，3；因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以，所以，，，，所以控制系统中正常工作的元件个数X的分布列为：X0123P控制系统中正常工作的元件个数X的数学期望为：，；升级改造后单位时间内产量的分布列为：产量4a0设备运行概率所以升级改造后单位时间内产量的期望为；产品类型高端产品一般产品产量单位：件利润单位：元21设备升级后单位时间内的利润为，即；因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其概率为；第二类：原系统中恰好有k个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率为；第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，其概率为；所以，则，所以当时，，单调递增，即增加元件个数设备正常工作的概率变大，当时，，即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大，又因为，所以当时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；当时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．【解析】由题意可知，利用二项分布求解即可求得期望，根据互斥事件的和事件的概率公式求解；先写出升级改造后单位时间内产量的分布列congestion求出设备升级后单位时间内的利润，即为；分类讨论求出与的关系，做差比较大小即可得出结论．本题考查二项分布的概率及期望的求解，离散型随机变量的分布列及概率的最值问题，化归转化思想，属难题．20.【答案】解：设直线PQ与x轴交于S，则，由圆的方程知：圆心，半径，为圆C的切线，，又，∽，，即，解得：，抛物线E的标准方程为：设，，，证明：由知：M为TA中点，且在抛物线E上，即，又，，整理可得：；由知：N为TB中点，且在抛物线E上，同理可得：；，是方程的两根，，，点的纵坐标为，直线TD的斜率为0，即TD垂直于y轴．，，，在圆C上，，，则当时，，【解析】设直线PQ与x轴交于S，由三角形相似关系可得，由此可构造方程求得p的值，从而得到抛物线方程；根据共线向量可知M，N为TA，TB中点，结合点在抛物线上可确定，为方程的两根，由此可得韦达定理的结论；根据D点纵坐标可知TD斜率为零，由此可得结论；由，代入韦达定理，结合点T在圆C上，可化简得到，根据二次函数最值的求法可求得结果．本题考查了抛物线的方程、直线与抛物线的综合问题，考查了圆锥曲线中的最值求解，属于中档题．21.【答案】解：函数的定义域为，则，，令，则，当，即时，恒成立，则，所以在上单调递增，当，即或时，①当时，是开口向上且过的抛物线，对称轴为，函数的两个零点为和，所以在上，单调递增，在上，单调递减，在上，单调递增，②当时，是开口向上且过的抛物线，对称轴为，在上恒成立，所以，单调递增，综上所述，当时，函数在上单调递增，当时，函数在，上单调递增，在上单调递减．由知当时，有两个极值点，，则，是方程，是方程的两个根，所以，，所以，所以恒成立转化为恒成立，令，不等式转化为，所以，所以，即，令，则不等式化为，因为，所以当时，，单调递增，所以，即，令，，所以在上，单调递增，在上，单调递减，所以，所以，即时，实数k取得最小值，所以实数k的最小值为【解析】求导得，，令，则，分两种情况：当，当，分析的符号，的符号，进而可得的单调性．由知当时，有两个极值点，，则，是方程，是方程的两个根，由韦达定理可得，，则，则恒成立转化为恒成立，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．22.【答案】解：曲线C的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为；把直线l的参数方程为为参数，，代入方程；得到，整理得，，故，当时，最小值为【解析】直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】证明：因为a，b，c都为正实数，且，，，，当且仅当时，取等号，所以，可得，当且仅当时“=”成立，所以由题意得，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，由①+②+③，得，当且仅当时等号成立．又，当且仅当时等号成立．所以【解析】利用重要不等式结合已知条件，推出结果即可．通过，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，累加，转化求解证明即可．本题考查不等式的证明，综合法的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。
通用版五年高考2024_2025高考数学真题专题归纳专题15三角函数与解三角形综合含解析理
专题15 三角函数与解三角形综合【2024年】1.（2024·新课标Ⅱ）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C. （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+【点睛】本题考查解三角形的相关学问，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.2.（2024·北京卷）在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：假如选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin C =, S = 选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin C =, S =. 【解析】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==-，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-8a ∴=（Ⅱ）1cos (0,)sin 7A A A π=-∈∴==，由正弦定理得：7sin sin sin sin 27a c C A C C ==∴=11sin (118)822S ba C ==-⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，sin A B ∴====由正弦定理得：6sin sin 816a b a A B ===（Ⅱ）91sin sin()sin cos sin cos 8161684C A B A B B A =+=+=+=11sin (116)622S ba C ==-⨯=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解实力，属中档题.3.（2024·山东卷）在①ac sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin AB ，6C π=，________?注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析 【解析】解法一：由sin 3sin AB 可得：ab=不妨设(),0a b m m =>，则：2222222cos 322c a b ab C m m m m =+-=+-⨯⨯=，即c m =. 选择条件①的解析：据此可得：2ac m =⨯==1m ∴=，此时1c m ==. 选择条件②的解析：据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-，则：sin A ==，此时：sin 3c A m ==，则：c m ==选择条件③的解析： 可得1c mb m==，c b =，与条件=c 冲突，则问题中的三角形不存在.解法二：∵(),,6sinA C B A C ππ===-+,∴()6sinA A C A π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭,()1?2sinA A C =+= ，∴sinA =,∴tanA =23A π=,∴6B C π==,若选①，ac =,∵a ==2=若选②，3csinA =,3=,c =;若选③,与条件=c 冲突.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采纳到正弦定理，出现边的二次式一般采纳到余弦定理．应用正、余弦定理时，留意公式变式的应用．解决三角形问题时，留意角的限制范围． 4.（2024·天津卷）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．已知5,a b c ===（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（Ⅰ）4C π；（Ⅱ）sin A =（Ⅲ）sin 2426A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）在ABC中，由5,a b c ===222cos 22a b c C ab +-===， 又因为(0,)C π∈，所以4C π；（Ⅱ）在ABC 中，由4Cπ，a c ==sin sin a C A c===13； （Ⅲ）由a c <知角A为锐角，由sin 13A =，可得cos A=13，进而2125sin 22sin cos ,cos22cos 11313A A A A A ===-=，所以125sin(2)sin 2coscos2sin444132132A A A πππ+=+=⨯+⨯=26. 【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算实力，是一道简单题.5.（2024·浙江卷）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin b A =． （I ）求角B ；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【答案】（I ）3B π=；（II）13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦ 【解析】（I）由2sin b A =结合正弦定理可得：2sin sin ,sin 2B A A B =∴= △ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 32A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，113sin ,2232A π⎛⎤⎛⎫++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.【2024年】1．【2024年高考全国Ⅰ卷】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）60A ︒=；（2）sin C =【解析】（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=．（2）由（1）知120B C ︒=-()sin 1202sin A C C ︒+-=，即1sin 2sin 222C C C ++=，可得()cos 602C ︒+=-．由于0120C ︒︒<<，所以()sin 602C ︒+=，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+=． 2．【2024年高考全国Ⅲ卷】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）.【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=． 因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2C c Aa CC︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是⎝⎭． 3．【2024年高考北京卷】在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B –C ）的值． 【答案】（1）7b =，5c =；（2【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.因为2b c =+，所以2221(2)3232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭. 解得5c =. 所以7b =.（2）由1cos 2B =-得sin B =.由正弦定理得sin sin 14c C B b ==. 在ABC △中，∠B 是钝角， 所以∠C 为锐角.所以11cos 14C ==.所以sin()sin cos cos sin 7B C B C B C -=-=. 4．【2024年高考天津卷】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（1）求cos B 的值； （2）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）14-；（2）【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =．由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅． （2）由（1）可得sin 4B ==，从而sin 22sin cos 8B B B ==-，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故717sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ⎛⎫+=+=--⨯=-⎪⎝⎭． 5．【2024年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）3c =；（2）5.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos 5B =.因此πsin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭6．【2024年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型马路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在马路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的全部点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+321（百米）. 【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满意规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满意规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先探讨点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上随意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上全部点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再探讨点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上全部点到点O 的距离均不小于圆O的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满意规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满意规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先探讨点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上随意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上全部点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再探讨点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q（a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上全部点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+. 7．【2024年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）33[1,1]22-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对随意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+，即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ππ1cos 21cos 2133621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 3π1cos 223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因此，函数的值域是33[1,1]22-+． 【2024年】1. （2024年浙江卷）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满意sin （α+β）=，求cos β的值． 【答案】（Ⅰ） , （Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.（Ⅱ）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.2. （2024年天津卷）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （I）求角B的大小；（II）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，3. （2024年北京卷）在△ABC中，a=7，b=8，cos B= –．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【答案】(1) ∠A=(2) AC边上的高为【解析】（Ⅰ）在△ABC中，∵cos B=–，∴B∈（，π），∴sin B=．由正弦定理得=，∴sin A=．∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．（Ⅱ）在△ABC中，∵sin C=sin（A+B）=sin A cos B+sin B cos A==．如图所示，在△ABC中，∵sin C=，∴h==，∴AC边上的高为．4. （2024年江苏卷）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．5. （2024年全国I卷理数）在平面四边形中，，，，. （1）求；（2）若，求.【答案】 (1) .(2).【解析】 （1）在中，由正弦定理得. 由题设知，，所以.由题设知，，所以.（2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得，所以.【2024年】1.【2024课标1，理17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【答案】（1）23.（2）333【解析】（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-. 所以23B C π+=，故3A π=. 由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得33b c +=故△ABC 的周长为333+.2.【2024课标II ，理17】ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2BA C +=， （1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b 。
通用版五年高考2024_2025高考数学真题专题归纳专题13二项式含解析理
专题13 二项式定理【2024年】1.（2024·新课标Ⅰ）25()()x x y xy ++的绽开式中x 3y 3的系数为（ ）A. 5B. 10C. 15D. 20【答案】C【解析】5()x y +绽开式的通项公式为515r r rr T C x y -+=（r N ∈且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与5()x y +绽开式的乘积可表示为：56155r rrr rrr xT xC xy C xy --+==或22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==在615rrr r xT C xy -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x x y y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x xy =，该项中33x y 的系数为5所以33x y 的系数为10515+=2.（2024·北京卷）在52)的绽开式中，2x 的系数为（ ）． A. -5 B. 5C. -10D. 10【答案】C【解析】)52绽开式的通项公式为：()()55215522r rrrrr r T CC x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-. 3.（2024·天津卷）在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的绽开式中，2x 的系数是_________． 【答案】10【解析】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的绽开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rr rr r rr T C xC x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =． 所以2x 的系数为15210C ⨯=．4.（2024·新课标Ⅲ）262()x x+的绽开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240 【解析】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 其二项式绽开通项：()62612rrrr C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的绽开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=. 【2024年】1．【2024年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 )(1+x ）4的绽开式中x 3的系数为（ ） A ．12 B ．16 C ．20 D ．24【答案】A【解析】由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ．2．【2024年高考浙江卷理数】在二项式9)x 的绽开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．【答案】 5【解析】由题意，9)x 的通项为919C (0,1,29)rr r r T x r -+==，当0r =时，可得常数项为0919C T ==；若绽开式的系数为有理数，则1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项．3．【2024年高考江苏卷理数】设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++≥∈N ．已知23242a a a =．（1）求n 的值；（2）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值． 【答案】（1）5n =；（2）32-．【解析】（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=+02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-． 解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-．因为*,a b ∈N ，所以5(1a -=-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-． 【2024年】1. （2024年全国Ⅲ卷理数）的绽开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80 【答案】C 【解析】由题可得 令,则，所以，故选C.2. （2024年浙江卷）二项式的绽开式的常数项是___________．【答案】7 【解析】二项式的绽开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为3. （2024年天津卷）在的绽开式中，的系数为____________.【答案】【解析】结合二项式定理的通项公式有：，令可得：，则的系数为：.【2024年】1.【2024课标1，理6】621(1)(1)x x++绽开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【解析】因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x ++=⋅++⋅+，则6(1)x +绽开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x ⋅+绽开式中含2x 的项为44262115C x x x⋅=，故2x 前系数为151530+=，选C.2.【2024课标II ，理6】支配3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的支配方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有24C 种方法，然后进行全排列33A 即可，由乘法原理，不同的支配方式共有234336C A ⨯=种方法。
成人高考成考数学(理科)(高起专)试卷及答案指导(2025年)
2025年成人高考成考数学(理科)(高起专)模拟试卷(答案在后面)一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1.已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1，那么f(x)在区间[-2, 3]上的最大值是：A. 17B. 25C. 33D. 412、下列哪个数不是素数？A. 4B. 6C. 7D. 83、如果一个数的三次方等于该数的本身，则该数不可能大于（）A、0B、1C、-1D、-24、若函数 y = f(x) 的图像关于点 (1,2) 对称，则 f(3) =A、 1B、 2C、 3D、 45、已知函数y=(x-2)(x+1)，则y取最大值时对应的x的取值为( )。
A. x=-1B. x=2C. x=2.5D. x=-0.56、已知一个正方体的三个相邻面的面积分别为4、9和a²，则该正方体的棱长为多少？A. √aB. √4 + √9C. √a²D. a的立方根与已知面积的某种运算结合得出棱长7、已知函数f(x) = 2^x,g(x) = x^3 - 3x^2 + 2,求f(g(1))的值。
A. 1B. 2C. 4D. 88、已知直线 y = 2x + b 与坐标原点 O 不垂直，则直线方程 y = 2x + b 中的常数 b 的值为A)0B)1C)-1D)任何实数9、已知函数f(x) = ax^3 + bx^2 + c 的导数为f’(x) = 3ax^2 + 2bx，若f’(x) 在x = 1 处取得极值，则下列结论正确的是（）A. a = 0 时，函数 f(x) 可能存在极值点B. 当 a > 0 时，函数 f(x) 必无极值点C. 当 a < 0 时，函数 f(x) 必有一个极值点D. 极值点出现的必要条件是二次函数的判别式Δ > 010、已知正方体的棱长为a，则这个正方体的表面积为________ 。
A)4aB)6aC)8aD)12a11、设集合A中有n个元素，集合B是集合A的子集，则集合B中元素的个数m 的最大值是（）A. m ≤ nB. m ≥ nC. m = nD. 不确定与n的关系12.已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1，那么f(x)在区间[-2, 3]上的最大值是：A. 17B. 25C. 33D. 41二、填空题（本大题有3小题，每小题7分，共21分）1、（填空题）设函数f(x) = x^2 - 3x + 2，那么f(3) = __________ 。
河北省各地2025届高三最后一卷数学试卷含解析
河北省各地2025届高三最后一卷数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列{}n a 满足11a =,1n n a a n --=(2n ≥),则数列{}n a 的通项公式n a =( )A ．()112n n +B ．()1312n n -C ．2n n 1-+D ．222n n -+2．已知椭圆C 的中心为原点O ，(F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A ．221255x y += B ．2213616x y += C ．2213010x y += D ．2214525x y += 3．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线经过圆22:240E x y x y ++-=的圆心，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D ．24．设i 是虚数单位，则()()2332i i +-=（ ）A ．125i +B ．66i -C ．5iD ．13 5．已知函数()ln 1f x x =+，()122x g x e -=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（ ）A ．1ln 22+B ．2e -C ．1ln 22-D 126．若复数z 满足)1z z i +=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．12-+ 7．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )A ．11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+B ．11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+ D ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅- 8．已知复数11i z i +=-，则z 的虚部是（ ） A ．i B ．i - C ．1- D ．19．已知点P 是双曲线222222:1(0,0,)x y C a b c a b a b-=>>=+上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．52 C ．3 D ．210．已知平面向量a ，b 满足()1,2a =-，()3,b t =-，且()a ab ⊥+，则b =（ ）A ．3B ．10C ．23D ．5 11．设集合{}2{|22,},|log 1A x x x Z B x x =-<∈=<，则AB =（ ） A ．(0,2)B ．(2,2]-C ．{1}D ．{1,0,1,2}-12．为得到的图象，只需要将的图象（ ） A ．向左平移个单位 B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
成考数学(理科)成人高考(高起专)试题与参考答案(2025年)
2025年成人高考成考数学(理科)(高起专)自测试题(答案在后面)一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1.设f(x)=2x2−5x+3,则f(−1)等于A. -10B. -2C. 10D. 22、若 a, b, c 为实数，且 a2 + b2 + c2 = 9, ab + ac + bc = -6，则 a + b +c 的值是：A、±3B、±2√2C、±√3D、±23.（本题满分：4分）已知函数 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx 在 x = 2 处有极值点。
那么以下选项中一定成立的是（）？A. a < b × b + c ≤ 3 × aB. b = c = 0C. f’(2) > f’(0) 且f’(2) < f’(4)D. a > 0 且f’(2) = 04.已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1，那么f(x)在区间[-2, 3]上的最大值是：A. 17B. 25C. 33D. 415、若函数 f(x) = |x| 的图像在x轴的上方部分向右平移2个单位得到新函数 g(x) = |x - 2|，则下列选项中哪一个是函数 g(x) 的反函数？A、g(x)的反函数是 x = |y - 2|B、g(x)的反函数是 y = |x + 2|C、g(x)的反函数是 x = |y - 2|D、g(x)的反函数是 y = |x - 2|6、设a、b、c为三个正数，满足a+b+c=3，则1a +1b+1c的最小值为：A. 1B. 3C. 9D. 277.已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1，那么f(x)在区间[-2, 3]上的最大值是：A. 17B. 25C. 33D. 418.已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1，那么f(x)在区间[-2, 3]上的最大值是：A. 17B. 25C. 41D. 539、若函数f(x)={2x+1,x<0,x2,x≥0,则f(−1)+f(2)等于A. 0B. 1C. 5D. 610、已知全货物中次品有20个，由题意可得D^2=______A. 20B. 25C. 30D. 8011.已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1，那么f(x)在区间[-2, 3]上的最大值是：A. 17B. 25C. 41D. 5312、（选择题）若函数f(x)满足f(x+1)+f(x-1)=2a*sin(bx)，其中a和b为常数，且a≠0，则下列各项中正确的是（）A. f(x)=asin(bx)B. f(x)=sin(bx)+sin(b(x-2))C. f(x)=a*sin(bx)+c,其中c为常数D. f(x)=2asin(bx)二、填空题（本大题有3小题，每小题7分，共21分）1.若向量a⃗=(2,−3),b⃗⃗=(1,4), 则a⃗+b⃗⃗=__________.2、一元二次方程x^2 - 6x + 8 = 0的解为x1 = 2，x2 = 4。
2025年成人高考成考(高起专)数学(理科)试题及答案指导
2025年成人高考成考数学(理科)(高起专)自测试题(答案在后面)一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1、对于一元二次不等式(x2−2x−3<0)，解集是：（）A. (-∞,-1) ∪ (3,+∞)B. (-∞,3) ∪ (-1,+∞)C. (-1,3)D. (-∞,-3) ∪ (1,+∞)2、下列函数中，单调递增的是（）A、y=x^2B、y=x^3C、y=ln(x)D、y=e^x3、如果一个正方形的内切圆的半径是 r，那么这个正方形的面积是( )。
A、πr^2B、4r^2C、8r^2D、16r^24、若函数y=log₂(x+1)的定义域是所有大于-1的实数，则下列选项中正确的是：A. 2^y-1≥0B. y≥0C. x+1>0D. x≥-15. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1，那么f(x)在区间[-2, 3]上的最大值是：A. 17B. 25C. 33D. 416、如果一个数x 满足x^2 - 5x + 6 = 0，则下列选项中x 的值为（）A 、2B 、3C 、-2D 、-37、 如果函数(f (x )=ax 2+bx +c )在其最低点处的切线方程为(y =3x −6)，且函数的最低点((α,β))可取无限大，那么(a )的值为：A) 3 B)(−13) C)(13) D)(−3)8、已知数列 {an} 满足 a₁ = 1，且 an + 1 = an + n + 3，则数列 {an} 的通项公式为（）A. an = 3n + n²/2B. an = n² + 2nC. an = n² + n - 1D. an = n² + n + 39.已知椭圆的中心为原点O，椭圆上的一个点到原点距离的最小值为(√23)，且离心率(e=√33)，则椭圆的方程为（）A.(x24+y2=1)B.(x 22+y2=1)C.(x 26+y23=1)D.(x2+y2=1)10.函数f(x) 在其定义域内是增函数且是实数连续的函数，则对于任意实数a 和b，当 a < b 时，以下说法正确的是：数字_____ 代表正确选项。
2025届湖北武汉部分高中高三起点考试数学试卷+答案
2024年武汉市部分高中高三起点考试数学试卷考试时间：2024年7月24日下午14：00-16：00 试卷满分：150分一､单选题1.若全集U =R ，集合{03},{14}A x x B x x =<=<<∣∣ ，则U A B ∩= （）A.[)0,1 B.[]0,1 C.(),1∞− D.(],1∞−2.复数34i 2iz +=−（其中i 为虚数单位）的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ）A.第四象限 B.第三象限C.第二象限D.第一象限3.已知向量,a b ，满足()2,44a a b b =+⋅= ，则2a b += （）A. B. C.20 D.54.若()4sin π,5αα−=为第二象限角，则sin2α=（ ）A.725− B.2425− C.725 D.24255.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的右顶点为A ，若以点A 为圆心，以b 为半径的圆与C 的一条渐近线交于,M N 两点，且3OM ON =− ，则C 的离心率为（ ）6.若曲线ln(2y x a =+）的一条切线为e 2y x b =−（e 为自然对数的底数），其中,a b 为正实数，则11e a b+的取值范围是（）A.[)2,e B.(]e,4 C.[)4,∞+ D.[)e,∞+7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A.若{}n a 为等差数列，且98910,S S S S >>，则17180,0S S ><B.若{}n a 为等差数列，且17180,0S S ><，则17180,0a a ><C.若{}n a 为等比数列，且40a >，则2024S 0>D.若{}n a 为等比数列，且50a >，则2023S 0>8.已知奇函数()f x 的定义域为R ，对任意的x 满足()()2f x f x −=+，且()f x 在区间()1,0−上单调递增，若4π1log 3,log 2,4a b c ==，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ） A.()()()f c f a f b >> B.()()()f c f b f a >>C.()()()f a f b f c >>D.()()()f a f c f b >>二､多选题9.下列论述正确的有（ ）A.若,A B 两组成对数据的样本相关系数分别为0.97,0.99A B r r ==−，则A 组数据比B 组数据的相关性较强B.数据49,21,32,29,38,65,30,50的第60百分位数为38C.若随机变量()27,X N σ∼，且(9)0.12P X >=，则(57)0.38P X <<= D.若样本数据126,,,x x x 的方差为1，则数据12621,21,,21x x x −−− 的方差为410.已知函数(){}min sin ,cos f x x x =，则（ ）A.()f x 关于直线π4x =−对称B.()f xC.()f x 在ππ,22 −上不单调 D.在()0,2π，方程()f x m =（m 为常数）最多有4个解11.已知圆222:(0)O x y r r +=>，斜率为k 的直线l 经过圆O 内不在坐标轴上的一个定点P ，且与圆O 相交于A B ､两点，下列选项中正确的是（ ）A.若r 为定值，则存在k ，使得OP AB ⊥B.若k 为定值，则存在r ，使得OP AB ⊥C.若r 为定值，则存在k ，使得圆O 上恰有三个点到l 的距离均为kD.若k 为定值，则存在r ，使得圆O 上恰有三个点到l 的距离均为2r 三､填空题12.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,,F F P 是C 上的点21212,30PF F F PF F ∠⊥= ，则C 的离心率为__________.13.已知正三棱锥P ABC −，点,,,P A B C 的球面上，若,,PA PB PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为__________.14.ABC 为锐角三角形，其三个内角A B C ､､的对边分别为a b c ､､，且1,2b C B ==，则ABC 周长的取值范围为__________.四､解答题15.如图，四棱锥P ABCD −中，PA ⊥底面,ABCD AB ∥,,120CD AD CD a BAD ==∠= ，90ACB ∠= .（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）若PA =，求二面角D PC A −−的余弦值.16.第33届夏季奥林匹克运动会运动会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，共设置射击､游泳､田径､篮球等32个大项，329个小项.共有来自120多个国家的近万名运动健儿同台竞技.我国也将派出强大的阵容在多个项目上参与奖牌的争夺.武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解奥运会的相关知识.武汉市体育局为了解广大民众对奥运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下： 组别 [)30,40 [)40,50 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 [)90,100频数 5 30 40 50 45 20 10（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设,µσ分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求,µσ的值（,µσ的值四舍五入取整数）并计算(5193)P X <<；（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于µ的可以获得1次抽奖机会，得分不低于µ的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A 的概率为23，抽中价值为30元的纪念品B 的概率为13.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y 为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y 的分布列和数学期望. （参考数据：()0.6827P X µσµσ−<+≈ ，(22)0.9545P X µσµσ−<+≈ ，(33)0.9973P X µσµσ−<+≈ ）17.已知曲线C 上的点到点()1,0F −的距离比到直线3x =的距离小2,O 为坐标原点.直线l 过定点()0,1A . （1）直线l 与曲线C 仅有一个公共点，求直线l 的方程；（2）曲线C 与直线l 交于,M N 两点，试分别判断直线,OM ON 的斜率之和､斜率之积是否为定值？并说明理由.18.已知函数()1ln f x x x a=−与函数()e ax g x x =−，其中0a > （1）求()f x 的单调区间；（2）若()0g x >，求a 的取值范围；（3）若曲线()y f x =与x 轴有两个不同的交点，求证：曲线()y f x =与曲线()y g x =共有三个不同的交点.19.定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1,2,3经过第一次“和扩充”后得到数列1,3,2,5,3；第二次“和扩充”后得到数列1,4,3,5,2,7,5,8,3.设数列,,a b c 经过n 次“和扩充”后得到的数列的项数为n P ，所有项的和为n S .（1）若2,3,4a b c ===，求22,P S ； （2）若2024n P ≥，求正整数n 的最小值；（3）是否存在数列(),,,,a b c a b c ∈R ，使得数列{}n S 为等比数列？请说明理由.硚口区2024年高三年级起点考数学参考答案1.B2.A3.A4.B5.B6.C7.D8.D9.BCD 10.BCD 11.AC(2 15.（1）PA ⊥ 底面,ABCD BC ⊂平面,ABCD PA BC ∴⊥.90,ACB BC AC ∠=∴⊥ .又,,PA AC A PA AC ∩=⊂平面,PAC BC ⊥平面PAC . （2）令1a =取CD 的中点E ，易得三角形ADC 是正三角形，,AE CD AE AB ⊥∴⊥ . 又PA ⊥ 底面,,ABCD AE AB ⊂平面,,ABCD PA AE PA AB ∴⊥⊥.在Rt ACB 中，60,1BAC AC ∠== ，所以2AB =，可建立如图所示的空间直角坐标系，则()(()110,0,0,,,0,,0,0,2,022A P C D B − ，设平面PAC 的一个法向量 为()1,,n x y z =，则110,0,AP n AC n ⋅= ⋅=即0102y =+=令x =)13,0n =− ， 设平面PDC 的一个法向量为()2,,n a b c =，则220,0,DC n PC n ⋅= ⋅=即0102b b = +=，令a =2n =所以121212cos ,n n n n n n ⋅==⋅ . 16.（1）由已知频数表得：()53040504520103545556575859565200200200200200200200E X =×+×+×+×+×+×+×=()22222(3565)0.025(4565)0.15(5565)0.2(6565)0.25(7565)0.225D X =−×+−×+−×+−×+−× 由2196225σ<<，则1415,σ<<而22214.5210.5210(8565)0.1(9565)0.05210=>+−×+−×=所以14σ≈则X 服从正态分布()65,14N ，所以；(22)()(5193)(2)2P X P X P X P X µσµσµσµσµσµσ−<<++−<<+<<=−<<+= 0.95450.68270.81862+= （2）显然()()0.5P X P X µµ<=≥=， 所以所有Y 的取值为15,30,45,60, ()12115233P Y ==×= ()111227302323318P Y ==×+××= ()12111245233239P Y ==××+× ()11116023318P Y ==××= 所以Y 的分布列为：所以，()17211530456030318918E Y =×+×+×+×= 17.（1）曲线C 上的点到点()F 1,0−的距离比到直线x 3=的距离小2.所以曲线2:4C y x =−， 过点()0,1A 的直线l 与抛物线C 仅有一个公共点，若直线l 可能与抛物线C 的对称轴平行时，则有：1y =，若直线l 与抛物线C 相切时，易知：0x =是其中一条直线，另一条直线与抛物线C 上方相切时，不妨设直线l 的斜率为k ，设为1y kx =+，联立214y kx y x=+ =− 可得：()222410k x k x +++=则有：22Δ(24)40k k =+−=解得：1k =−，故此时的直线l 的方程为：1y x =−+， 综上，直线l 的方程为：1y =或0x =或1y x =−+. （2）若l 与C 交于,M N 两点，分别设其坐标为()()1122,,,M x y N x y ，且12x x <由（1）可知直线l 要与抛物线C 有两个交点，则直线l 的斜率存在且不为0，不妨设直线l 的斜率为k ，则有：1y kx =+，联立直线l 与抛物线C 可得：214y kx y x =+ =−可得：()22222410Δ(24)416160k x k x k k k +++==+−=+>，即有：1k >−根据韦达定理可得：121222241,,k x x x x k k ++=−=则有：112212112211,y kx y kx k k x x x x ++====（12121212121124kx kx x x k k k x x x x ++++=+=+=−，故为定值；()21212121212121114,k x x k x x kx kx k k k x x x x +++++=⋅==−故不为定值； 综上：12k k +为定值124,k k −不为定值.18.（1）()y f x =的定义域为：0x >，又已知()1101a x a a f x ax ax−>′=−= 所以10,x a∈时，()()0,f x f x ′<单调递减； 1,x a ∞ ∈+时，()()0,f x f x ′>单调递增. （2）由题意：()e 0axg x x =−>，即e ax x > 若0x ，不等式恒成立，若0x >，即ln x a x>令()ln (0)x h x x x=> ()21ln x h x x −=′ 当()0,e x ∈时，()()0,h x h x ′>单调递增；当()e,x ∞∈+时，()0h x ′<， ()h x 单调递减；max 1()eh x =. 故a 的取值范围为1,e ∞ + ..（3）曲线()y f x =与x 轴有两个不同的交点，即函数()y f x =有两个不同的零点12,x x 不妨令120x x <<，由（2）知，a 的取值范围为10,e且由11e ax x =得111ln x x a=，同理得曲线()y f x =与曲线()y g x =共有两个 不同的交点()()12,0,0x x下面证明这两条曲线还有一个交点.令()1e 2ln ax H x x x a=−+ ()1e 21e 2ax axa ax ax H x a ax ax ax ⋅−=+−=−′ 令t ax =，则()e 21,0tm t at t t =−+> ()()1e 2t m t a t =+−′()()2e 0t m t a t +′=>′恒成立，则()m t ′单调递增，又()12e 20m a =−<′ 令()()1e 20t m t a t =+−=′，得()22e 1t a t a=<+ 故存在021ln t a<<，使得()y m t =在()00,t 上单调递减，在()0,t ∞+单调递增，()()2010,1e 10,ln 10m m a m a =>=−<=>故()e 21t m t at t =−+有两个零点12122,,01ln t t t t a<<<<， 令1324,t ax t ax =，即()y H x =有且只有两个极值点34,x x 所以()y H x =在()30,x 上单调增，在()34,x x 上单调减，在()4,x ∞+上单调增. 又()111120H x ax ax =+−≥′，若()110,1H x ax == 由11e ax x =得11e,ex a ==与题设矛盾.所以()10H x ′> 同理()2120,,H x x x >′不可能在同一单调区间，13420,x x x x <<< 故有()()()()13420,0H x H x H x H x =<<=所以在()34,x x 间存在唯一的0x 使得()00H x =，即两条曲线还有一个交点0x 故曲线()y f x =与曲线()y g x =共有三个不同的交点.19.（1）2,3,4a b c ===，第一次“和扩充”后得到数列2,5,3,7,4，第二次“和扩充” 后得到数列2,7,5,8,3,10,7,11,4，229,2758310711457;P S ==++++++++=（2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，数列,,a b c 经过n 次“和扩充”后得到的数列的项数为n P ，则经第()1n +次“和扩充”后增加的项数为1n P −，所以()1121n n n n P P P P +=+−=−，所以()112221n n n P P P +−=−=−，其中数列,,a b c 经过1次“和扩充”后，得到,,,,a a b b b c c ++，故115,14P P =−=，故{}1n P −是首项为4，公比为2的等比数列，所以111422n n n P −+−=×=，故121n n P +=+，则1212024n ++≥，即122023n +≥， 又*n ∈N ，解得10n ，最小值为10.（3）因为()121222,32S a a b b b c c a b S S a b c =++++++=++=+++， ()23232S S a b c =+++，依次类推，()1132n n n S S a b c −−+++，故()()()12112323232n n n n n n S S a b c S a b c a b c −−−−−+++++++++ ()()2112333n S a b c −==++++++ ， ()()1313232231322n a c a c a b c a b c b −−++ =+++++=+⋅+ −， 若使{}n S 为等比数列，则0202a c a c b + = + +≠ 或0202a c a c b + ≠ + += .。
2025年高考新课标全国Ⅰ卷数学复习与答案
2025年高考新课标全国Ⅰ卷数学复习1．已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （）A ．{1,0}-B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-2．已知集合{}{}1,1,3,5,14A B x x =-=-<<，则A B = （）A ．{}1B ．{}3C ．{}1,3D ．{}1,1,3-3．已知集合{1,0,1,2}A =-，{}2|2B x x =<，则A B =A ．{0,1}B ．{1,1}-C ．{1,0,1}-D ．{0,1,2}4．已知集合{}2{1,2,3,4,},60A B xx x ==--<∣，则A B = （）A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,3}D ．{1,2,3}5．若1i 1zz =+-，则z =（）A ．1i --B ．1i-+C ．1i -D ．1i+6．若(1i)2z -=，则(z =)A ．1i-B ．1i+C ．1i --D ．1i-+7．若()1i 15i z +=-，则z =（）A ．23i--B ．23i-+C ．33i-D ．33i+8．已知复数z 满足()31i i z +=（i 为虚数单位），则z =（）A ．1i22-B ．1i 22--C ．1i 22+D ．1i 22-+9．已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．210．已知向量()12a =-r ，，()1b m = ，.若a b ⊥ ，则m =（）A ．2B ．12C ．12-D ．2-11．已知向量()1,a λ= ，()2,1b =-r．若()2a b b +⊥ ，则λ=（）A ．1B ．1-C ．12D ．12-12．已知向量(1,),(1,),a x b x ==- 若(2).a b b -⊥则a = （）A BC ．2D ．413．已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A ．3m -B ．3m -C ．3m D ．3m14．已知tan tan 1αβ+=，则sin()cos()cos()αβαβαβ+=++-（）A ．12B ．2C D ．115．已知()2cos 3αβ+=，1tan tan 3αβ=-，则()cos αβ-的值为（）A ．23-B ．13-C ．13D ．2316．已知()2cos 23cos 0αββ+-=，则()tan tan ααβ+=（）A ．5B ．15C ．-5D ．15-17）A ．B ．C ．D ．18．已知圆锥PO 的母线长为2，O 为底面的圆心，其侧面积等于，则该圆锥的体积为（）A BC ．πD ．2π19．已知圆锥SC 的高和底面半径相等，且圆锥SC 的底面半径及体积分别与圆柱OM 的底面半径及体积相等则圆锥SC 和圆柱OM 的侧面积的比值为A ．2B C D ．20．已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等，且它们的表面积也相等，圆锥的底面积是圆锥侧面积的一半，则此圆锥与圆柱的体积之比为（）A ．8:B ．4:C ．5D ．4参考答案：1．A 【分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.2．C 【分析】利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为{}{}1,1,3,5,14A B x x =-=-<<，所以{}1,3A B = ．3．C 【解析】根据一元二次不等式解法求得集合B ，由交集定义得到结果.【详解】{}{22B x x x x =<=<< ，{}1,0,1A B ∴=- .4．B 【分析】解一元二次不等式得集合B ，再由交集定义求解．【详解】 {}260{23}B xx x x x =--<=-<<∣∣，∴{1,2}A B = ．5．C 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i iz =+=-.6．B 【分析】利用复数代数形式的除法法则计算可得．【详解】解：(1i)2z -= ，2222(1i)2(1i)1i 1i (1i)(1i)1iz ++∴====+--+-，则1i z =+，7．B 【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算求出复数z ，再求出z 作答.【详解】依题意，15i (15i)(1i)46i23i 1i (1i)(1i)2z -----===--++-，所以23i z =-+.8．B 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简即可.【详解】因为()31i i z +=，所以()()()3i 1i i 1i 1i 1i 12i i212z -----====+-+-．9．D 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-= ，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，10．A 【解析】根据向量垂直的条件，利用数量积坐标直接计算即可.【详解】a b →→⊥ ,20a b m →→∴⋅=-+=,2m ∴=,11．C 【分析】（方法一）由,a b 的坐标，求得2a b +的坐标，利用向量垂直的坐标表示式列出方程求解即得；（方法二）先由()2a b b +⊥化简，再代入,a b 得坐标计算即得.【详解】（方法一）由()1,a λ= ，()2,1b =- ，得()25,2a b λ+=-．由()2a b b +⊥，得()20a b b +⋅= ，即()()52210λ⨯+-⨯-=，解得12λ=．（方法二）由()2a b b +⊥ ，得()20a b b +⋅= ，即220a b b ⋅+=，将()1,a λ= ，()2,1b =- 代入得，()()221212210λ⎡⎤⨯+⨯-+⨯+-=⎣⎦，解得12λ=．12．C 【分析】由向量的垂直关系可以得到数量积等于0，算出x ，再利用模的坐标公式进行求解，即可得到答案【详解】由已知2(3,)a b x -= ，因为(2)a b b -⊥ ，所以2(2)3(1)0a b b x -⋅=⨯-+=，x =2a ===．13．A 【分析】根据两角和的余弦可求cos cos ,sin sin αβαβ的关系，结合tan tan αβ的值可求前者，故可求()cos αβ-的值.【详解】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ-=，而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-，从而sin sin 2m αβ=-，故()cos 3m αβ-=-，14．A 【分析】应用和差角正余弦公式及同角三角函数的商数关系，将目标式化为1(tan tan )2αβ+即可求值.【详解】sin()sin cos cos sin cos()cos()2cos cos αβαβαβαβαβαβ++=++-11(tan tan )22αβ=+=.15．C 【分析】由已知条件列方程组可求出cos cos αβ和sin sin αβ，再利用两角差的余弦公式可求得结果.【详解】因为()2cos 3αβ+=，1tan tan 3αβ=-，所以2cos cos sin sin 3sin sin 1cos cos 3αβαβαβαβ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得1cos cos 21sin sin 6αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以()111cos cos cos sin sin 263αβαβαβ⎛⎫-=+=+-= ⎪⎝⎭，16．D 【分析】由角的变换()()2,αβααββαβα+=++=+-，利用余弦的和，差角公式和展开，从而可得答案.【详解】()2cos 23cos αββ+=，则()()2cos 3cos αβααβα++=+-则()()()()2cos cos 2sin sin 3cos cos 3sin sin ααβαβααβααβα+-+=+++，，即()()5sin sin cos cos αβααβα-+=+，所以()5tan tan 1αβα-+=，∴()1tan tan 5αβα+=-，17．B【分析】设圆柱的底面半径为r，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r的方程，求出解后可求圆锥的体积.【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等，所以2ππr r=即=，故3r=，故圆锥的体积为1π93⨯=.18．C【分析】根据给定条件，利用圆锥侧面积公式求出底面圆半径，进而求出高即可计算得解.【详解】设圆锥PO的底面圆半径为r，由母线长为2，侧面积等于，得π2r⨯=，解得r=1h=，所以该圆锥的体积为2211ππ1π33V r h==⨯⨯=.19．C【解析】设出圆锥的底面半径r，圆柱的高h，根据体积相等可得r与h的关系，进而求出两者的侧面积比.【详解】设圆锥的高与底面半径都为r，圆柱的高为h，则2213r r r hππ⋅=⋅，13h a∴=，圆锥的母线长为l==，∴圆锥的侧面积为2rl r rππ==，圆柱的侧面积为2223rh rππ=，22223rrπ=.20．A【解析】首先设出圆锥的底面半径r和母线长l，根据圆锥的底面积是圆锥侧面积的一半，求得2l r=.利用勾股定理求得圆锥的高1h，由此求得圆锥的体积1V.根据题意求得圆柱的底面半径，根据圆锥与圆柱的表面积相等，求得圆柱的高2h，由此求得圆柱的体积.从而求得圆锥与圆柱的体积之比.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则211222r r lππ=⨯⨯⋅，即 2l r=，所以圆锥的高1h，圆锥的体积231113V r h rπ==.由题意，知圆柱的底面半径为2r，设圆柱的高为2h，因为圆锥与圆柱的表面积相等，所以22232222r rr hπππ⎛⎫⎛⎫=+⎪⎝⎭⎝⎭，解得252h r=，所以圆柱的体2222528rV h rππ⎛⎫==⎪⎝⎭，故3132358rVV rπ==.1．已知函数22,0()e ln(1),0xx ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞2．已知函数()()()()310log 0x x f x x k x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩在定义域上是增函数，则k 的取值范围是（）A ．()3,+∞B ．[)3,+∞C ．()1,+∞D ．()1,∞+3．已知()1,12ln ,1x a x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．已知函数2(43)3,0()(0log (1)1,0a x a x a x f x a x x ⎧+-+<=>⎨++≥⎩且1)a ≠在R 上单调递减，则a 的取值范围为（）A ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎛⎤⎥⎝⎦C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭5．当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．86．函数()[]sin 2sin ,0,2f x x x x =+∈π的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是（）A ．()0,1B ．()0,3C ．()1,3D ．()0,27．把函数()y f x =的图象向左平移π6个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则()y f x =的图象与直线12y x =-的交点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．函数21x x y x++=与3sin 12x y π=+的图像有n 个交点，其坐标依次为()11,x y ，()22,x y ，L ，(),n n x y ，则()1ni i i x y =+=∑（）A ．4B ．8C ．12D ．169．已知函数()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A ．(10)100f >B ．(20)1000f >C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <10．若函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，()42xf x x=-，则(23)f =（）A ．－1B ．12-C ．0D ．1211．已知定为域为R 的函数()f x 满足：()1f x -为偶函数，()()20f x f x +-=，且()21f -=，则()()20242025f f +=（）A ．0B ．1C ．2D ．312．定义在R 上的函数()f x 满足()()()()100,11,52x f f x f x f f x ⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭，且当1201x x ≤<≤时，()()12f x f x ≤，则12023f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．1256B ．1128C ．164D ．13213．随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，()0.8413P Z μσ<+≈）A ．(2)0.2P X >>B ．(2)0.5P X ><C ．(2)0.5P Y >>D ．(2)0.8P Y ><14．杨明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时36min ，样本方差为36；骑自行车平均用时35min ，样本方差为4，假设坐公交车用时X （单位：min ）和骑自行车用时Y （单位：min ）都服从正态分布，正态分布()2,N μσ中的参数μ用样本均值估计，参数σ用样本标准差估计，则（）A ．()()2530P X P X ≤<≥B ．()()2441P X P Y <>>C ．()()3045P Y P Y ≤<≥D ．若某天只有35min 可用，杨明应选择坐公交车15．李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X 和骑自行车用时Y 都服从正态分布，则（）A ．P (X ＞32)＞P (Y ＞32)B ．P (X ≤36)＝P (Y ≤36)C ．李明计划7：34前到校，应选择坐公交车D ．李明计划7：40前到校，应选择骑自行车16．假设某厂有两条包装食盐的生产线甲､乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布()2500,5N （单位：g ），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为g x ，随机变量x 服从正态密度函数()20200(100)x x ϕ--=，其中x ∈R ，则（）附：随机变量()2,N ξμσ-，则()0.683,(22)0.954P P μσξμσμσξμσ-<<+=-<<+=，(33)0.997P μσξμσ-<<+=A ．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于485g 的概率为0.15%B ．生产线乙的食盐质量()21000,100x N ~C ．曲线()x ϕD ．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于515g ，于是判断出该生产线出现异常，则该判断是合理的.17．设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A ．3x =是()f x 的极小值点B ．当01x <<时，()2()f x f x <C ．当12x <<时，4(21)0f x -<-<D ．当10x -<<时，(2)()f x f x ->18．设函数()43233432x x x f x x =--+，则（）A ．()f x 有1个极大值点B ．()f x 有2个极小值点C ．=1x -是()f x的极大值点D ．x =()f x 的极小值点19．已知函数()321f x x x =-+，则（）A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有两个零点C ．点()0,1是曲线()y f x =的对称中心D ．过点()0,0可作曲线()y f x =的两条切线20．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()332f x x x =--，则（）A ．()f x 的极大值点为1-B ．函数()y f x =3C ．函数()()y f f x =的零点个数为7D ．()()0f f x >的解集为()()2,02,-+∞参考答案：1．B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤≤，即a 的范围是[1,0]-.2．B 【分析】首先得到分段函数在各段均为增函数，要使函数在定义域上是增函数，只需函数在断点处左侧的函数值不超过右侧的函数值，即可得到不等式，解得即可；【详解】解：因为()()()()310log 0x x f x x k x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩在定义域上是增函数，当0x ≤时()1f x x =+单调递增且()01f =，当0x >时()()3log f x x k =+也单调递增，所以()31log 0k ≤+，即33log log 3k ≥，所以3k ≥，即[)3,k ∈+∞；3．D 【分析】利用分段函数是减函数，列出不等式组求解即可.【详解】因为()1,12ln ,1x a x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪->⎩在R 上是减函数，所以011ln12a a <<⎧⎪⎨-≥-⎪⎩，解得112a ≤<，即1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.4．A 【分析】由函数()f x 在R 上单调递减，结合分段函数的单调性的概念，得到不等式组4302013log 1aa a a -⎧-≥⎪⎪<<⎨⎪≥⎪⎩，即可求解．【详解】由题意，函数2(43)3,0()(0log (1)1,0a x a x a x f x a x x ⎧+-+<=>⎨++≥⎩且1)a ≠在R 上单调递减，则满足4302013log 11aa a a -⎧-≥⎪⎪<<⎨⎪≥+⎪⎩，解得1334a ≤≤，即实数a 的取值范围为13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．5．C 【分析】画出两函数在[]0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数sin y x =的的最小正周期为2πT =，函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T =，所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.6．C 【解析】先分类讨论去绝对值号，得出函数()f x 的解析式，然后画出函数()f x 与y k =的图象进行判断.【详解】()3sin ,0sin 2sin sin ,2x x f x x x x x πππ≤≤⎧=+=⎨-<≤⎩，如图所示，要使()[]sin 2sin ,0,2f x x x x =+∈π的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则只需13k <<.7．C 【分析】根据三角函数图象的伸缩以及平移变换可得到函数()y f x =的解析式，作出函数()y f x =以及12y x =-的图象，数形结合，即可得答案.【详解】由题意将函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到πsin 46y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将该图象向右平移π6个单位长度，得到函数πππsin[4()]sin(4)cos 4662y x x x =-+=-=-的图象，即()cos 4f x x =-，作出()cos 4f x x =-以及12y x =-的图象，如图，由图象可知()y f x =的图象与直线12y x =-的交点个数为3，8．A 【分析】由已知函数解析式可知两个函数对称中心均为为()0,1，在同一坐标系中作出两个函数的图象，结合图象根据对称性即可得到答案．【详解】2111x x y x x x++==++，3sin 12x y π=+两个函数对称中心均为为()0,1，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图：由图可知共有四个交点，且关于()0,1对称，故()14ni i i x y =+=∑．9．B 【分析】代入得到(1)1,(2)2==f f ，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2==f f ，又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.10．B 【分析】先利用(2)()f x f x +=-求出函数()f x 的周期，利用周期性转化(23)f 代入()42xf x x=-即可求解.【详解】依题意，因为(2)()f x f x +=-，所以()()42f x f x +=-+，所以()()4f x f x =+，所以函数()f x 的周期为4，所以()()()234533f f f =⨯+=.又因为(2)()f x f x +=-，所以()()31f f =-，当[0,1]x ∈时，()42x f x x =-，所以()1114212f ==-⨯，所以()()1312f f =-=-.11．B 【分析】由题意根据函数满足的条件等式，推出函数的一个周期，再利用赋值法求出()1f 以及()0f ，结合函数周期，即可求得答案.【详解】由题意知定为域为R 的函数()f x 满足：()1f x -为偶函数，即()()11f x f x -=--，即()()2f x f x =--，结合()()20f x f x +-=，得()()220f x f x --+-=，即()()202f f x x +++=-，故()()40f x f x ++=，即()()4f x f x +=-，则()()4()8x x f f f x =-=++，故8为函数()f x 的一个周期，由于()()4f x f x +=-，()21f -=，故令2x =-，则()()221f f =--=-，结合()()20f x f x +-=，令2x =，得()()()200,01f f f +=∴=，对于()()20f x f x +-=，令1x =，则()10f =，故()()()()20242025253825381(0)(1)1f f f f f f +=⨯+⨯+=+=，12．D【分析】先由已知条件求出一些特值,(1)f 111,22f ⎛⎫== ⎪⎝⎭,可得2115f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,反复利用1()52x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得11312532f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11125032f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再由12023f ⎛⎫ ⎪⎝⎭与13125f ⎛⎫ ⎪⎝⎭、12023f ⎛⎫ ⎪⎝⎭与11250f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系从而得出结论.【详解】(0)0,()(1)1f f x f x =+-= ，令1x =得：(1)1f =，又111()5252x f f x f ⎛⎫⎛⎫=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，反复利用1()52x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得：111111111131252625412582516532f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，再令12x =，由()(1)1f x f x +-=,可求得1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,同理反复利用1()52x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得:11111111111250225045081016232f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②，由①②可得：有1111250312532f f ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1201x x ≤<≤ ，()()12f x f x ≤，而11101,312520231250<<<<所以1112023312532f f ⎛⎫⎛⎫≥=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1112023125032f f ⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故11202332f ⎛⎫=⎪⎝⎭.13．BC 【分析】根据正态分布的3σ原则以及正态分布的对称性即可解出.【详解】依题可知，22.1,0.01x s ==，所以()2.1,0.1Y N ，故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>，C 正确，D 错误；因为()1.8,0.1X N ，所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯，因为()1.80.10.8413P X <+≈，所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<，而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<，B 正确，A 错误，14．ABD 【分析】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可．【详解】解：随机变量X 的均值为()36E X =，方差为()36D X =，则~(36,36)X N ，136μ=，16σ=，随机变量Y 的均值为()35E Y =，方差为()4D Y =，则~(35,4)Y N ，235μ=，22σ=，所以()()()12536302P X P X P X ≤<≤=<≥，故A 正确；11111(22)(24)(3626)2P X P X P X μσμσ--<<+<=<-⨯=，22221(33)1(2941)(41)(3532)22P X P X P Y P Y μσμσ--<<+-<<>=>+⨯==，因为11112222(22)(33)P X P X μσμσμσμσ-<<+<-<<+，所以(24)(41)P X P Y <>>，故B 正确；(30)(40)(45)P Y P Y P Y => ，故C 错误；对于D ，因为(35)(36)0.5(35)P X P X P Y <==，所以选择公交车，故D 正确．15．BCD 【分析】首先利用正态分布，确定μ和σ，再结合正态分布的对称性，和3σ的原则，即可求解.【详解】A.由条件可知()230,6X N ，()234,2Y N ~，根据对称性可知()()320.532P Y P X >>>>，故A错误；B.()()36P X P X μσ≤=≤+,()()36P Y P Y μσ≤=≤+，所以()()3636P X P Y ≤=≤，故B 正确；C.()340.5P X ≤>=()34P Y ≤，所以()()3434P X P Y ≤>≤，故C 正确；D.()()()40422P X P X P X μσ≤<<=<+，()()403P Y P Y μσ≤=≤+，所以()()4040P X P Y ≤<≤，故D 正确.16．ACD 【分析】根据给定条件，利用正态分布的性质计算判断AD ；利用正态密度函数的意义、性质判断BC 作答.【详解】对于A ，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为X ，则()2500,5X N ，其中500,5μσ==，则10.997(485)(3)0.00150.15%2P X P X μσ-<=<-===，A 正确；对于B ，随机变量x 服从正态密度函数()20200(100)x x ϕ--=，有1000,10μσ==，因此生产线乙的食盐质量()21000,10x N ~，B 错误；对于C ，因为2(1000)0200x --≤，当且仅当1000x =时取等号，因此当1000x =时，max ()x ϕ=C 正确；对于D ，10.997(515)(3)0.00150.15%2P X P X μσ->=>+===，说明生产线甲抽到质量大于515g 的可能性很低，则随机抽取两包质量均大于515g ，说明判断出该生产线出现异常是合理的，D 正确.17．ACD 【分析】求出函数()f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数()f x 在()1,3上的值域即可判断C ；直接作差可判断D.【详解】对A ，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B ，当01x <<时，()210x x x x -=->，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x >，错误；对C ，当12x <<时，1213x <-<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减，所以()()()1213f f x f >->，即()4210f x -<-<，正确；对D ，当10x -<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->，所以(2)()f x f x ->，正确；18．ABD 【分析】求出函数的导函数()()(1f x x x x '=-+-，即可得到函数的单调区间与极值点.【详解】函数()43233432x x x f x x =--+的定义域为R ，且()()()()(22333131f x x x x x x x x x '=--+=--=-+-，所以当x <1x <<时()0f x '<，当1x <<或x >()0f x ¢>，所以()f x 在(,-∞，(上单调递减，在()，)+∞上单调递增，所以()f x 在x =1x =处取得极大值，在x =.19．AC 【分析】A 项，分析函数()f x 的单调性即可得出极点个数；B 项，利用零点定理即可得出零点个数；C 项，构造并分析奇偶性，利用()0,0是()h x 图象的对称中心得出点()0,1是曲线()y f x =的对称中心；D 项，设出切点并得出切线方程，将()0,0代入切线方程即可得出过点()0,0的切线.【详解】由题意，在()321f x x x =-+中，()232f x x ='-．令()0f x '>，得x >或x <，令()0f x '<，得x <所以()f x 在,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在,,33∞∞⎛⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，所以3x =±是极值点，A 正确．由()f x 的单调性且极大值1039f ⎛-=> ⎝⎭，极小值1039f ⎛=-< ⎝⎭，又()250f =>，()230f -=-<，所以函数()f x 在定义域上有3个零点，B 错误．令()32h x x x =-，因为()()()()3322h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，所以()0,0是()h x 图象的对称中心，将()h x 的图象向上移动1个单位长度得到()f x 的图象，所以点()0,1是曲线()y f x =的对称中心，C 正确．设切点为()00,x y ，则切线的方程为()()3200002132y x x x x x -+-=--，代入()0,0，可得()()32000021320x x x x -+-=--，解得0x =所以过点()0,0的切线有1条，D 错误．20．ABC 【分析】利用导函数求出单调区间，根据极值定义和奇偶性可判断A ；数形结合判断B 、C ；赋值方法判断D【详解】由题意得()00f =，当()0,x ∞∈+时，()332f x x x =--，得()233f x x ='-，令()0f x '>，得1x >，令()0f x '<，得01x <<；所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,∞+单调递增，所以()f x 的极小值点为1，又是定义在R 上的奇函数，所以()f x 的极大值点为1-，故A 对；当0x <时，则0x ->，所以()332f x x x -=-+-，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()332f x x x =-+分别画出()3332,032,0x x x f x x x x ⎧-->=⎨-+<⎩和10y =得函数()10y f x =3，B 对；令()0f x =，得0x =或=1x -或2x =，令()()0f f x =，得()0f x =，或()2f x =±，如图，分别画出(),2,2y f x y y ==-=的图象，由图可知：函数()()y f f x =的零点个数为7，C 对；令72x =，则377717732220222228f ⎛⎛⎫⎛⎫=--=-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭，37777223222888f f f ⎛⎫⎫⎫⎫=-=-+ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭⎭⎭⎝⎭791416803232=->故D 错；1．设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A ．2a =-B．点在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+2．已知曲线C 是平面内到两个定点F 1（－1，0）和F 2（1，0）的距离的积等于常数a 2（a ＞1）的点的轨迹．下列结论正确的是（）A ．曲线C 过坐标原点B ．曲线C 关于坐标原点对称C ．曲线C 关于坐标轴对称D ．若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 23．平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0M -，()2,0N ，动点P 满足5PM PN ⋅=，其轨迹为一条连续的封闭曲线C ，则下列结论正确的是（）A ．曲线C 与y 轴的交点为()0,1和()0,1-B ．曲线C 关于y 轴对称，不关于x 轴对称C ．坐标原点O 是曲线C 的对称中心D ．OP 的取值范围为[]1,34．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：到定点(),0A a -，(),0B a 的距离之积等于()20a a >的点的轨迹．若()00,P x y 是曲线C 上一点，则下列说法中正确的有（）A ．曲线C 关于原点O 成中心对称B ．0x 的取值范围是[],a a -C ．曲线C 上有且仅有一点P 满足PA PB=D ．曲线C 上所有的点P 都在圆2222x y a +=的内部或圆上5．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．6．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，AB 等于C 的半实轴长，则C 的离心率为．722221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点F 1与双曲线的右支交于点P ，且PF 2与x 轴垂直（F 2为右焦点），则此双曲线的离心率为.8．已知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，P 为双曲线上第一象限内一点，且12121π,3F PF F F F ∠==关于12F PF ∠的平分线的对称点Q 恰好在C 上，则C 的离心率为.9．若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a .10．若曲线2y ax =与ln y x =有一条斜率为2的公切线，则=a .11．已知曲线32()f x ax bx cx d =+++在点(0,0)处的切线与曲线()y xf x =在点(1,2)处的切线重合，则()f x =．12．已知曲线1C ：()e x f x a =+和曲线2C ：()()()2ln ,g x x b a a b =++∈R ，若存在斜率为1的直线与1C ，2C 同时相切，则b 的取值范围是.13．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为.14．袋中有4个红球，m 个黄球，n 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，则()E ξ=．15．现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则()E ξ=.16．编号为1、2、3、4的四名学生随机入座编号为1、2、3、4的座位，每个座位坐1人，座位编号和学生编号一致时称为一个“配对”，用X 表示“配对”数，则X 的期望()E X =．17．记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．18．已知,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，且()2cos cos b a C c A-=⋅(1)求角C ；(2)若22,c ab ABC =a b +的值.19．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222212sin 20cos b c ab A ab C+-++=．（1）求sin cos A C ；（2）若1sin 3A =，ABC a 的值．20．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若b =ABC 的面积为ABC 的周长.参考答案：1．ABD 【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【详解】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4x a -=，04a -=，解得2a =-，故A 正确.对于B 24x +=，而2x >-，()24x +=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.2．BCD 【详解】设动点坐标为(x ，y )，由题意，得·＝a 2，即[(x ＋1)2＋y 2]·[(x－1)2＋y 2]＝a 4，若曲线C 过坐标原点(0，0)，将点(0，0)代入曲线C 的方程中可得a 2＝1，与已知a ＞1矛盾，故曲线C 不过坐标原点，故A 不正确．把方程中的x 被－x 代换，y 被－y 代换，方程不变，故曲线C 关于坐标原点对称，故B 正确．因为把方程中的x 被－x 代换，方程不变，故此曲线关于y 轴对称，把方程中的y 被－y 代换，方程不变，故此曲线关于x 轴对称，所以曲线C 关于坐标轴对称，故C 正确．若点P 在曲线C 上，则PF 1·PF 2＝a2，则△F 1PF 2的面积为·PF 1·PF2·sin ∠F 1PF 2≤a 2，当且仅当∠F 1PF 2＝90°时，等号成立，故△F 1PF 2的面积不大于a 2，故D 正确．3．ACD 【分析】根据给定条件，求出曲线C 的方程，由0x =判断A ；由曲线方程对称性判断B ，C ；求出2x 的范围计算判断D 作答.【详解】设点(,)P x y ，依题意，2222[(2)][(2)]25x y x y ++-+=，整理得：224x y +=，对于A ，当0x =时，解得1y =±，即曲线C 与y 轴的交点为()0,1-，()0,1，A 正确；对于B 、C ，因2222()4x y x y +-=+=，由y -换y 方程不变，曲线C 关于x 轴对称，因为()222244x y x y -+=+==，由x -换x 方程不变，曲线C 关于y 轴对称，所以坐标原点O 是曲线C 的对称中心，B 不正确，C 正确；对于D ，由2240y x -≥得：42890x x --≤，解得209x ≤≤，于是得222||4[1,9]OP x y =+=∈，解得13OP ≤≤，D 正确.4．ACD 【分析】利用直接法可得曲线C 的轨迹方程，设()00,M x y --，代入轨迹方程可判断A 选项，利用不等性质可得2220a x a ≥-，解不等式可判断B 选项，由PA PB =，可得P 在y 轴上，令00x =，可判断C 选项，由曲线方程可得()2222422400049x y a a a x a ++=+≤，可得222002x y a +≤，可判断D 选项.【详解】曲线C 2a =，A 选项：由()00,P x y 是曲线C 2a=点P 关于原点的对称点()00,M x y --，2a ==，即()00,M x y --也在曲线C 上，故A 选项正确；B 选项：由2220a x a =≥=-，得22002x a ≤≤，0x ∴≤，故B 选项错误；C 选项：若PA PB =，则点P 在AB 的垂直平分线上，00x ∴=，将()00,P y 代入方程，得22a =，解得00y =，即仅P 是原点时满足PA PB =，故C 选项正确；D 2a=，得()22224220004x y a a a x ++=+，又2202x a ≤得()22224009xy a a ++≤，222002x y a +≤∴，故D 选项正确；5．32【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【详解】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±，即22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225bAF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25ba=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：326622222:1x y C a b -=，所以22221c y a b -=，求出2b y a =±，从而可得222a b =，再由222c a b =+即可求解.【详解】不妨设双曲线2222:1x y C a b -=，焦点(),0F c -，对称轴0y =由题设知22221c y a b -=2b y a ∴=±，由22b aa=得222a b =222223c b b b ∴=+=222223322c b e a b ∴===62e ∴=.73)33y x c =+，求出直线与右支的交点纵坐标，利用PF 2与x 轴垂直,结合双曲线的性质列出方程转化求解双曲线的离心率即可.33()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点1,F 可得直线方程为)3y x c +，可得P 233c，又因为2PF 与x 轴垂直（2F 为右焦点），222233c b c a a a-∴==，可得210,13e e e --=>，解得e =8【分析】利用题给条件结合双曲线定义求得a 的值，进而求得C 的离心率.【详解】在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>中，1F 关于12F PF ∠的平分线的对称点Q 恰好在C 上，2,,P F Q ∴三点共线，且1PF PQ =，1211π,3F PF PF F Q PQ ∠=∴== .设112,PF FQ PQ m PF n ====，根据双曲线定义可得122PF PF m n a -=-=，()122QF QF m m n a -=--=，解得4,2m a n a ==，即22122,PF QF a PQ F F ==∴⊥.则在12F PF △中，2221212PF PF F F =+即2216412a a =+，解得1a =，又c C =∴9．ln 2【分析】先求出曲线e x y x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.10．1ln 2e【分析】根据导数的几何意义以及切线方程的求解方法求解.【详解】设公切线在曲线2y ax =与ln y x =上的切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，由ln y x =可得1y x '=，所以212x =，解得212x =，所以22ln ln 2y x ==-,则1(,ln 2)2B -，所以切线方程为1ln 22()2y x +=-，又由2y ax =，可得2y ax '=，所以122ax =，即11ax =，所以2111y ax x ==，又因为切点11(,)A x y ，也即11(,)A x x 在切线1ln 22()2y x +=-上，所以111ln 22()2x x +=-，解得1ln 21x =+，所以1111ln 21ln 2ea x ===+.11．32222x x x -++【分析】求出函数的导函数，即可得到切线方程，从而得到方程组，解得即可；【详解】解：因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++，所以()0f c '=，又()00f d ==，所以()f x 在点(0,0)处的切线为y cx =，又432()y xf x ax bx cx dx ==+++，则32432y ax bx cx d '=+++，所以1|432x y a b c d ='=+++，又当1x =时2y a b c d =+++=，所以曲线()y xf x =在点(1,2)的切线方程为()()12243a b y x c d +-+=-+，所以432022a b c d c d a b c d c +++=⎧⎪=⎪⎨+++=⎪⎪=⎩，解得2022a d b c =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，即32()222f x x x x =-++；12．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】分别求出两函数的导函数，再分别设直线与两曲线的切点的横坐标，由于斜率为1即导数值为1分别求出切点横坐标，可得切线方程，再根据切线方程系数相等得与的关系式，再根据二次函数性质可求出b 的取值范围．【详解】由题意得()e xf x '=，()1g x x b'=+，设斜率为1的切线在1C ，2C 上的切点横坐标分别为1x ，2x ，所以121e 1xx b==+，则10x =，21x b =-，两点处的切线方程分别为()1y a x -+=，()21y a x b -=--，所以211a a b +=-+，即221992244b a a a ⎛⎫=+-=--+≤ ⎪⎝⎭，所以b 的取值范围为9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.13．12##0.5【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯，所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382k k k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=.所以甲的总得分不小于2的概率为2312p p +=.14．89【分析】记取出的两个球都是红球为事件A ，则()2424C 1C 6m n P A ++==，即可求出m n +，从而得到ξ的可能取值为0、1、2，求出所对应的概率，即可求出数学期望.【详解】依题意m 、n 为非负整数，记取出的两个球都是红球为事件A ，则()2424C 1C 6m n P A ++==，所以()()431436m n m n ⨯=++++，解得5m n +=或12+=-m n （舍去），所以ξ的可能取值为0、1、2，则()2529C 50C 18P ξ===，()114529C C 51C 9P ξ===，()2429C 12C 6P ξ===，所以()551801218969E ξ=⨯+⨯+⨯=.15．127【分析】由条件求ξ分布列，再由期望公式求其期望.【详解】由已知可得ξ的取值有1，2，3，4，2637C 15(1)C 35P ξ===，11242437C C C 16(2)C 35P ξ+===，()()233377C 31134C 35C 35P P ξξ=====，，所以15163112()1234353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.16．1【分析】根据X 的可能取值，运用计数原理和古典概型逐项分析计算即可.【详解】X 的可能取值为0,1,2,4，全排列为44A 24=，当X =0时，先安排的第一人由3种选择，比如说先安排“1”号人，可以选择2,3,4座位，如果安排在2号位，则“2”号人也可以由3种选择，比如是安排在1号位，则“3”号人只能在4号位，“4”号人只能在3号位；如果是安排在3号位，则“3”号人只能在4号位，“4”号人只能在1号位，如果安排在4号位也是类似，所以有339⨯=种排法，()930248P X ∴===；当X =1时，先从4人中选一人安排在对应的位置上，由14C 4=种选法，比如选“1”号人安排在1号位，则“2”号人有2种选法，如果选3，则“3”号人只能选4，“4”号人只能2,；如果选4，则“4”号人只能只能选3，“3”号人只能选2；所以有428⨯=种排法，()811243P X ∴===；当X =2时，先从4人中选2人安排在对应的位置，有24C 6=种选法，比如先安排“1”号人和“2”号人，分别安排在1号和2号位置，则“3”号人和“4”号人只能由1种排法，所以总共有6种排法，()612244P X ∴===；当X =4时，只有1种排法，()1424P X ∴==；其数学期望为()31110124183424E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；17．【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C，最后结合已知sin C B =得cos B 的值。
鲁、鄂部分重点中学2025届高考数学必刷试卷含解析
鲁、鄂部分重点中学2025届高考数学必刷试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入n 的值为10，则输出i 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n +1+a n +2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A ．132B ．299C ．68D ．993．已知函数()()1xe a axf x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若()()0f x x R ≥∈恒成立，则满足条件的a 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知函数()sin 3f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( ) A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π5．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16 B ．17 C ．18 D ．196．函数()1log 1a x f x x x +=+（01a <<）的图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ．D ．7．已知集合(){}*,|4,M x y x y x y N =+<∈、，则集合M 的非空子集个数是（ ）A ．2B ．3C ．7D ．88．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．设α为锐角，若3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ） A ．1725B ． 725-C ． 1725-D ．72510．记集合(){}22,16A x y xy =+≤和集合(){},4,0,0B x y x y x y =+≤≥≥表示的平面区域分别是1Ω和2Ω,若在区域1Ω内任取一点,则该点落在区域2Ω的概率为( )A ．14πB ．1πC ．12πD ．24ππ- 11．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ）A ．37B ．47C ．57D ．6712．函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025年新高考III卷数学集合论基础题及答案
2025年新高考III卷数学集合论基础题及答案一、选择题1. 已知集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={3, 4, 5, 6}，则A∩B等于：A. {3, 4}B. {1, 2}C. {5, 6}D. {1, 2, 3, 4, 5, 6}答案：A. {3, 4}2. 设集合U表示所有学生，集合A表示喜欢篮球的学生，集合B表示喜欢足球的学生。
已知n(U) = 100，n(A) = 60，n(B) = 40，n(A∩B) = 20，则n(A∪B)等于：A. 20B. 40C. 60D. 80答案：C. 603. 已知集合A={x | x^2 - 4x + 3 = 0}，集合B={x | x^2 - x - 6 = 0}，则A∩B等于：B. {-1, 2}C. {-1, 1, 2, 3}D. {1/2, 2}答案：A. {1, 3}二、填空题1. 设集合A={a, b, c, d}，集合B={c, d, e, f}，则A∪B等于________。
答案：{a, b, c, d, e, f}2. 设集合A={x | x^2 - 3x + 2 = 0}，集合B={x | x^2 - x - 2 = 0}，则A∩B等于________。
答案：{1, 2}3. 设集合U表示所有学生，集合A表示喜欢篮球的学生，集合B表示喜欢足球的学生。
已知n(U) = 200，n(A) = 120，n(B) = 80，n(A∪B) = ________。
答案：200三、解答题1. 设集合A={1, 2, 3, 4, 5}，集合B={4, 5, 6, 7, 8}，集合C={2, 3, 4}，求(A∪B)∩C。
首先计算A∪B：A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}。
然后计算(A∪B)∩C：(A∪B)∩C={2, 3, 4}。
答案：{(2, 3, 4)}2. 设集合U表示所有学生，集合A表示喜欢足球的学生，集合B表示喜欢篮球的学生，集合C表示喜欢乒乓球的学生。
成考数学(理科)成人高考(高起本)试题与参考答案(2025年)
2025年成人高考成考数学(理科)(高起本)自测试题(答案在后面)一、单选题（本大题有12小题，每小题7分，共84分）1.已知函数f(x)=2x2−4x+3，则当x=−1时，f(x)的值为（）A. 1B. 5C. 9D. 112、设集合A={y|y=f(x)，x∈[-1，1]},定义A中元素所属的不属于区间(0，1)的子集的indicat (A)是以0为起点，以1为终点的线段，则下列描述中正确是（）。
A. indica (A)=0B. indica (A)=1C. indica (A)＜0D. indica (A)＞13.下列函数中，属于指数函数的是：A.y=2xB.y=log2xC.y=sinxD.y=cosx4、若函数y=4x3+6x2-12x+8的图象上有一点A(p,0)，p为已知，那么点A对应的x 的值为（）A、-1B、0C、1D、25、假设函数(f(x)=2x2−3x+1)，欲求该二次函数的最大值或最小值，下列正确的是（）A、函数无最大值或最小值B、函数的最小值是 -1C、函数的最大值是 5D、函数的最小值是 06、某地连续3个月的平均气温为12℃，其中第1个月的平均气温为9℃，第3个月的平均气温为15℃，则第2个月的平均气温是（）。
A. 3℃B. 12℃C. 11℃D. 18℃7.设函数f(x) = sin x 与g(x) = cos x 在区间[-π/2, π/2] 上的交点为(m, n)，则下列结论正确的是（）A. m + n = 0B. m + n = π/2C. m - n = π/2D. m 和 n 的关系不确定8.已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1，那么f(x)在区间[-2, 3]上的最大值是：A. 17B. 25C. 41D. 539、已知函数f(x) = ln(2x + 1),若f(x) < 0,则x的取值范围是( )A. (-0.5, 0)B. (-0.5, 0)C. (-0.5, 0)D. (-0.5, 0)10、如果α和β是两个不同的实数，那么关于x的方程αx^2 + βx + 1 = 0的根是A. 实数，且为α和β的线性组合B. 实数，且为α和β的平方根的比值C. 复数D. 不确定，可能是实数也可能是复数11.设抛物线y2=4x的焦点坐标为F，则|PF| 的值等于（）A. 4B. 2C. 1D. 0.512、已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2,求f’(x)的零点，并判断这些零点是极大值点还是极小值点。
北京市人大附中2025届高考数学信息卷二理含解析
北京市人大附中2025届高考信息卷(二)理科数学试题一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合,,则下列结论中正确的是A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：由题意首先求得集合B，然后逐一考查所给选项是否正确即可.详解：求解二次不等式可得：，则.据此可知：，选项A错误；，选项B错误；且集合A是集合B的子集，选项C正确，选项D错误.本题选择C选项.点睛：本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系的推断等学问，意在考查学生的转化实力和计算求解实力.2.设曲线是双曲线,则“的方程为”是“的渐近线方程为”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：由方程为的渐近线为，且渐近线方程为的双曲线方程为，即可得结果.详解：若的方程为，则，渐近线方程为，即为，充分性成立，若渐近线方程为，则双曲线方程为，“的方程为”是“的渐近线方程为”的充分而不必要条件，故选A. 点睛：本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.推断充要条件应留意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后干脆依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难推断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为推断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3.设下列函数的定义域为,则值域为的函数是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用导函数，极限，二次函数的值域，分别对A、B、C选项进行分析，可得答案.【详解】由题，对于A，，在上，，所以函数递增，其值域为，解除A对于B，函数，当解除B对于C，函数可以看出关于的二次函数，即易得值域为，解除C故选D【点睛】本题考查了函数的定义域和值域问题，熟识导函数、二次函数是解题的关键，属于较为基础题.4.若满意条件的整点恰有12个,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则整数的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】采纳解除法，验证当时，存在9个整点，分别为（1,1），（0,0），（1,0），（2,0），（-1，-1），（0，-1），（1，-1），（2，-1），（3，-1）.故选C.5.若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满意,则称成一个“等差数列”.已知集合,则由中的三个元素组成的全部数列中,“等差数列”的个数为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先要确定构成“等差数列”的三个数的内在关系，和，结合所给集合找出符合条件的数组有50组。
甘肃省康县第一中学2025届高考数学必刷试卷含解析
甘肃省康县第一中学2025届高考数学必刷试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足3(1)1z z i -+=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（ ） A ．1B ．0C ．1-D ．1322i -+ 2．已知非零向量a ，b 满足||a b |=|，则“22a b a b +=-”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解:3．已知0x >，0y >，23x y +=，则23x y xy+的最小值为（ ）A ．322-B ．221+C ．21-D ．21+4．已知函数，其中04?,?04b c ≤≤≤≤，记函数满足条件：(2)12{(2)4f f ≤-≤为事件A ，则事件A发生的概率为 A ．14B ．58C ．38D ．125．已知实数,x y 满足约束条件11220220x y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎪⎨-+≥⎪⎪--≤⎩，则23x y -的最小值是A ．2-B ．72-C ．1D ．46．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．如图，圆O 是边长为23ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM xBA yBD =+(,)x y ∈R ，则2x y +的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．228．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB的最大值是（ ）A 3B 3C 3D 39．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-10．已知函数()()0xe f x x a a=->，若函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),e +∞D ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭11．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x ∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ） A ．﹣3∈A B ．3∉B C ．A∩B=B D ．A ∪B=B 12．已知函数()1xf x xe-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]eB ．2(,]e e e-C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西武鸣高中2025届高考数学必刷试卷含解析
广西武鸣高中2025届高考数学必刷试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z 满足i(i i2i z z -=-为虚数单位)，则z =（ ） A ．13i 22- B ．13i 22+ C ．13i 22--D ．13i 22-+ 2．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．A ．26B ．4C ．23D ．223．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离4．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去、、A B C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为 （ ） A ．8B ．7C ．6D ．55．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记ii S Sλ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ）A ．－1B ．1C ．32-D ．326．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，若112PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A ．623+B ．622+C ．8D ．67．如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的1a ，2a ，3a ，，50a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n =8．已知0a >且1a ≠，函数()1log ,031,0a x x a x f x x ++>⎧=⎨-≤⎩，若()3f a =，则()f a -=（ ）A ．2B ．23C ．23-D ．89-9．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面10．设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩,则(5)f =( ) A ．10B ．11C ．12D ．1311．已知命题p :直线a ∥b ，且b ⊂平面α，则a ∥α；命题q :直线l ⊥平面α，任意直线m ⊂α，则l ⊥m .下列命题为真命题的是（ ） A ．p ∧qB ．p ∨（非q ）C ．（非p ）∧qD ．p ∧（非q ）12．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，2}2{|0B x x x =-+>，则A B =( )A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,0,1,2--二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
数学新高考真题
数学新高考真题2025年，数学新高考真题2025年，中国教育部颁布了全新的高考数学考试大纲，引起了广泛关注和热议。
数学新高考真题极具挑战性，考察了学生的数学基础知识和解决问题的能力。
本文将对2025年数学新高考真题进行一一解析。
第一部分：选择题1.已知函数f(x) = 2x² - 3x + 1，求f(3)的值。
A. 15B. 10C. 7D. 3解析：将x=3代入函数f(x)中，得到f(3) = 2×3² - 3×3 + 1 = 15。
因此，答案为A. 15。
2.若a+b=5，a-b=1，求a的值。
A. 2B. 3C. 4D. 5解析：由已知条件可得a = (a+b) ÷ 2 = (5+1) ÷ 2 = 3。
因此，答案为B. 3。
3.已知直角三角形的两边长分别为3和4，求斜边长。
A. 5B. 6C. 7D. 8解析：根据勾股定理可知，斜边长为√(3²+4²) = √(9+16) = √25 = 5。
因此，答案为A. 5。
第二部分：填空题4.已知直角三角形斜边长为10，其中一个锐角为30度，求另一个锐角的度数。
答案：60度解析：根据三角形内角和为180度的性质，可知另一个锐角为180度-90度-30度=60度。
5.解方程组{x+y=6, 2x-y=0}。
答案：x=2, y=4解析：联立方程组可得2x = 0，解得x=2；代入第一个方程得y=4。
第三部分：解答题6.证明勾股定理。
解析：设直角三角形两条直角边长度分别为a和b，斜边为c。
根据勾股定理有a² + b² = c²。
利用平方差公式展开得(a+b)(a-b) = c²-a²-b²，即(a+b)(a-b) = c²-(a²+b²)。
代入a² + b² = c²后得(a+b)(a-b) = 0。
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高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32 B ．155 C ．105D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X =． 14. 函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是．15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑． 16. 已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b18.（12分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下： 1.设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；2.填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法 新养殖法3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）P （）0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82819.（12分）如图，四棱锥PABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点.（1）证明：直线//CE 平面PAB（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所 成锐角为o 45 ，求二面角MABD 的余弦值 20. （12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1） 求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x=3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.（12分）已知函数3()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且230()2ef x --<<.（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，按所做的第一题计分。
22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．23.[选修45：不等式选讲]（10分）已知330,0,2a b a b >>+=，证明： （1）33()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．参考答案1．D2．C【解析】1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =，3．B【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112-==-a S ，解得13a =．4．B【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半． 5．A【解析】目标区域如图所示，当直线-2y =x+z 取到点()63--，时，所求z 最小值为15-．6．D【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．由此把4份工作分成3份再全排得2343C A 36⋅=7．D【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．8．B【解析】0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =． 9．A【解析】取渐近线by x a =，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，到直线距离为2223b a b =+ 得224c a =，24e =，2e =．10．C【解析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角（异面线所成角为π02⎛⎤ ⎥⎝⎦，）可知1152MN AB ==，1122NP BC ==，作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形． 1=PQ ，12MQ AC =ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠14122172⎛⎫=+-⨯⨯⋅-= ⎪⎝⎭，7=AC则7MQ =，则MQP △中，22112MP MQ PQ =+= 则PMN △中，222cos 2MN NP PM PNM MH NP+-∠=⋅⋅又异面线所成角为π02⎛⎤ ⎥⎝⎦，，则余弦值为10．11．A 【解析】()()2121x f x x a x a e -'⎡⎤=+++-⋅⎣⎦， 则()()32422101f a a e a -'-=-++-⋅=⇒=-⎡⎤⎣⎦，则()()211x f x x x e -=--⋅，()()212x f x x x e -'=+-⋅， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-．12．B【解析】几何法：如图，2PB PC PD +=（D 为BC 中点）， 则()2PA PB PC PD PA ⋅+=⋅，要使PA PD ⋅最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上， 则min 22PD PA PA PD ⋅=-⋅， 即求PD PA ⋅最大值， 又323PA PD AD +==⨯=， 则223324PA PD PA PD ⎛⎫+⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤， PD CBA则min 332242PD PA ⋅=-⨯=-． 解析法：建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点， ∴()03A ，，()10B -，，()10C ，． 设()P x y ，， ()3PA x y=--，，()1PB x y =---，，()1PC x y =--，，∴()222222PA PB PC x y y ⋅+=-+则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时0x =，3y =．13．1.96【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n =则()11000.020.98 1.96x D np p =-=⨯⨯= 14．1【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，令cos x t =且[]01t ∈， 则当3t =时，()f x 取最大值1． 15．2+1n n 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．则3123a a d =+=求得11a =，1d =，则n a n =，()12n n n S +=16．6【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，，准线:2l x =-，如图，M 为F 、N 中点，l FN M C BAOyx故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =又由定义ME MF =， 且MN NF =， ∴6NF NM MF =+=17.【解析】（1）依题得：21cos sin 8sin84(1cos )22B B B B -==⋅=-． ∵22sin cos 1B B +=， ∴2216(1cos )cos 1B B -+=， ∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=， ∴15cos 17B =， （2）由⑴可知8sin 17B =． ∵2ABC S =△， ∴1sin 22ac B ⋅=， ∴182217ac ⋅=， ∴172ac =， ∵15cos 17B =， ∴22215217a cb ac +-=，∴22215a c b +-=， ∴22()215a c ac b +--=，∴2361715b --=，∴2b =．18．【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（2）由计算可得2K 的观测值为 ∵15.705 6.635> ∴()2 6.6350.001P K ≈≥∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关．（3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++=80.0320.06817÷=，85 2.3517⨯≈ 50 2.3552.35+=，∴中位数为52.35．19．【解析】（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，∴12EF AD ∥．又∵90BAD ABC ∠=∠=︒，∴BC AD ∥． 又∵12AB BC AD ==，∴12BC AD ∥，∴EF BC ∥． ∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE BF ∥． 又∵BF PAB ⊂面，∴CE PAB 面∥（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．设1AB BC ==，则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，，，(010)D ，，，(00P ，．M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=︒，∴MBM '△为等腰直角三角形．∵POC △为直角三角形，OC =，∴60PCO ∠=︒．设MM a '=，3CM a '=，31OM a '=-．∴3100M a ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭，，． 222231610133BM a a a a ⎛⎫'=++=+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭．∴3211OM a '=-=-． ∴21002M ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭，，，26102M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，， 2611AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(100)AB =，，．设平面ABM 的法向量11(0)m y z =，，． 1160y z +=，∴(062)m =-，， (020)AD =，，，(100)AB =，，．设平面ABD 的法向量为2(00)n z =，，，(001)n =，，．∴10cos ,m n m n m n⋅<>==⋅． ∴二面角M AB D --的余弦值为10． 20．【解析】 ⑴设()P x y ，，易知(0)N x ，(0)NP y =，又1022NM NP ⎛== ⎪⎝⎭，∴2M x y ⎛⎫⎪⎝⎭，，又M 在椭圆上． ∴22122x += ⎪⎝⎭，即222x y +=． (3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠，⑵设点由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ⋅=⋅---=，，， ()21OP OQ OP OP OQ OP ⋅-=⋅-=，∴213OP OQ OP ⋅=+=， ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ⋅+=-+=．设直线OQ ：3Q y y x =⋅-，因为直线l 与OQ l 垂直．∴3l Qk y =故直线l 方程为3()P P Qy x x y y =-+， 令0y =，得3()P Q P y y x x -=-， 13P Q P y y x x -⋅=-， ∴13P Q P x y y x =-⋅+，∵33P Q P y y x =+，∴1(33)13P P x x x =-++=-，若0Q y =，则33P x -=，1P x =-，1P y =±， 直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-， 直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点．21．【解析】 ⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥，0x >，所以ln 0ax a x --≥．令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11ax g x a x x-'=-=， 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <； 当0a >时，令()0g x '=，得1x a=． 当10x a <<时，()0g x '<，()g x 单调减；当1x a>时，()0g x '>，()g x 单调增． 若01a <<，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调减，()110g g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭；若1a >，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调增，()110g g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭；若1a =，则()()min 110g x g g a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()0g x ≥．综上，1a =．⑵()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >．令()22ln h x x x =--，则()1212x h x x x-'=-=，0x >． 令()0h x '=得12x =， 当102x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当12x >时，()0h x '>，()h x 单调递增．所以，()min 112ln 202h x h ⎛⎫==-+< ⎪⎝⎭．因为()22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，122⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，所以在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上，()h x 即()f x '各有一个零点．设()f x '在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上的零点分别为02x x ，，因为()f x '在102⎛⎫⎪⎝⎭，上单调减，所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当012x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减．因此，0x 是()f x 的极大值点．因为，()f x '在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减，2x x >时，()f x 单调增，因此2x 是()f x 的极小值点．所以，()f x 有唯一的极大值点0x ．由前面的证明可知，201e 2x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则()()24220e e e e f x f ---->=+>．因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，则 又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<，所以()014f x <． 因此，()201e 4f x -<<． 22．【解析】⑴设()()00M P ρθρθ，，， 则0||OM OP ρρ==，．解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为()2224x y -+=．()0x ≠⑵连接AC ，易知AOC △为正三角形．||OA 为定值．∴当高最大时，AOB S △面积最大，如图，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于H 点 交圆C 于B 点， 此时AOB S △最大23．【解析】⑴由柯西不等式得：()()()2255334a b a b a b ++=+=≥1a b ==时取等号． ⑵∵332a b +=∴()()222a b a ab b +-+= ∴()()232a b b ab α⎡⎤++-=⎣⎦∴()()332a b ab a b +-+=∴()()323a b aba b +-=+由均值不等式可得：()()32232a b a b ab a b +-+⎛⎫= ⎪+⎝⎭≤ ∴()()32232a b a b a b +-+⎛⎫ ⎪+⎝⎭≤ ∴()()33324a b a b ++-≤∴()3124a b +≤ ∴2a b +≤ 当且仅当1a b ==时等号成立．高考数学模拟试卷复习试题 三角函数和解三角形第02节 三角函数的图象和性质一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。