波动的稳定性

波动是叠加在基本 气流上； 或说基本气流受扰 动，会产生波动。
波动发展了——波能增加——波振幅增大 天气系统发生发展——波动振幅变化
§1 波动稳定性的基本概念
波动或者流动稳定性问题首先在《流体 力学》中被讨论和定义： 如果气流受到扰动： 1）扰动发展，（基本气流由层流变为 湍流），即基本气流是不稳定，叠加 在其上的扰动是不稳定； 2）扰动减弱，或始终很小，则基本气 流是稳定的，扰动也是稳定的。
d 2 i d 2 r d 2u 2 (i r ) ( 2 ) i 0 2 2 dy dy dy

y2
y1 y2
y2 d 2 i d 2 r d 2u 2 (i r )dy ( 2 ) i dy 0 2 2 y1 dy dy dy y2 di dr d d 2u 2 (i r )dy ( 2 ) i dy 0 y1 dy dy dy dy y2
故z处气团所受的净浮力的方向，取决于
T与T ，或与
dw 1 P g dt z
哪个下降得块。
dw P g dt z
P g z
P P dw T T R T RT g g g P dt T RT
dT T T ( z0 ) z T ( z 0 ) d z dz T T T ( z0 ) z T ( z 0 ) z z
虚、实部分开，得到两个方程：
2 2 d 2 r d u d u 2 [k ( 2 ) r ]r ( 2 ) i i 0 (1) 2 dy dy dy
2 2 d 2 i d u d u 2 [k ( 2 ) r ]i ( 2 ) i r 0 (2) 2 dy dy dy
u C r iC i 1 1 则： u c u C iC u c 2 r i i r i
2 2 d d r d u 2 i i [( )( i ) k ]( r ii ) 0 r i 2 2 2 dy dy dy 2
du v u , , dy x y
u v 0 x y
u , v , 2 y x
(u u ) v v v 0 t x y y [ u ( y ) ] ( )v 0 t x y
e
kCi t
e
ik ( x C r t )
Ae
kCi t
A (t )

A (t )e
*
ik ( x Cr t )
振幅为A (t ), 位相为k ( x Cr t )
Ci 0，则A ＝A 常量，扰动始终很小 稳定 如果 Ci 0，不论 0，还是 0 不稳定
u ( y ) Const
纬向切变的基本气流：u u ( y ), v 0
u {K , K } A u v dxdy 0 y
u 0 y
切变气流下，能量发生相互转化。 ∴如果基流是均匀的，则一定是稳定的； 如果波不稳定，则基流一定是非均匀的 （一般是纬向切变的）。
d t u x v y v 0 & dt ( f ) 0 v u x y u v 0 x y

水平无辐散下的涡度方程；非线性方程。
2．线性化
u u ( y) u ( x, y, t ), v v( x, y, t )
2 d 2 u [ u ( y ) ] ( 2 ) 0 (*) t x x dy
变系数的偏微分方程。

3．形式解：
当u Const时，取 ~ Ae
但现在
i ( kx ly t )
或c可能是复数；
一定是y的函
这是齐次方程，会有零解； 求取非零解的条件——本征值问题。 若系数为常系数，则可求本征值； 但是现在为变系数的，这样的本征值问题 在数学上是不可解的
而我们现在不要求解，只要知道Ci是 否等于0的条件
雷利：1920’s，层流不稳定问题； 郭晓岚：1949，提出正压不稳定理论。
雷利解：令：
c Cr iCi , r ii
§4 惯性稳定度 科氏力作用下，惯性振荡的稳定性问题。 如果仅受科氏力作，运动 轨迹是一个惯性圆；由于 科氏力作不作功，K不会增 加，故是稳定的。
实际大气，振荡发生在基本气流下： 均匀基流：一边振荡，一边向下游运动； 运动的性质不变 切变基流（实际大气）： 基本状态(背景场）： 地转平衡
1 u g f v 1 g f u g ( y) 0 y 0 x
A K 斜压不稳定的 K K 正压不稳定的
如：纬向基流时
u {K , K } uv dM M y
取决于波和流的结构配臵
均匀基流
u 0 {K , K } 0 y 波动是正压稳定的
讨论波动传播问题时，均匀基流 讨论波动发展问题时，非均匀基流
波动是否稳定，只要判断Ci是否等于0。
波动发展，波动不稳定
Ci 0
波动不发展，波动稳定
Ci 0
重力内波、惯性波：受力机制很清楚； 一般直接从振荡看是否稳定，由此，可 以得到：静力稳定度、惯性稳定度。
而Rossby波的产生机制是β－效应， 从涡旋场（涡度方程）讨论Rossby波， 而没有具体讨论其振荡受力情况； 一般从Ci是否等于0判别其稳定性。
一定存在如图所示的气压场：
du f 0v dt dv f 0 u f 0 (u u g ) y dt
★静力稳定度：层结大气中，垂直面内； 考虑重力和垂直向的压力梯度力（浮力） 的合力的方向，与位移的方向的关系。 惯性稳定度：水平面内（南北向）；考 虑科氏力和南北向的压力梯度力的合力 的方向，与位移的方向的关系。
dw g ( d )z dt T
g ln N ( d ) g T z
2
dw 2 N z dt
N 2 0，力作负功，扰动减弱，层结是稳定的； 2 N 0，力不作功，层结是中性的； N 2 0，力作正功，扰动得到能量而增强，层结不稳定
※流体力学侧重的是基本气流是否稳定， （纯粹是动力学问题）； 而气象上侧重的是波动是否稳定， （动力、热力问题）。
如果波动或扰动能发展， 这个波动就是不稳定的； 如果波动或扰动不发展，即始终很小或衰减， 这个波动就是稳定的。
从能量学来讲，如果波动的动能K’增加了， 波动发展了，则不稳定。 具体的，对于天气尺度波动（Rossby波）
d d u [c u ( y )]( k 2 ) ( 2 ) 0 dy dy
2
2
2
d 2u 2 2 d dy 2 ( k ) 0 2 u c dy
4．两个边条件
v y , y
1
2
x
0
y1 , y 2
d 2u 2 2 dy d 2 ( k ) 0 2 u c dy ( y1 ) ( y 2 ) 0 通道Rossby 波的情况
方程系数是y的函数
数，且x方向上 y方向介质（基流）不均匀 仍是均匀的
( y )e
C Cr iCi
ik ( x ct )
所以 r ii
且有 ik, ikc x t
2 2 d d u 2 i [ikc iku ( y )][( ik ) 2 ] ( y )e ( 2 )ik ( y )e i 0 dy dy
u g y
f g a
基本气流的绝对涡度。
一般地，实际大气（北半球）：
u g y
f0 0
在急流轴以北： 以南：
u g y
u g y
0
0
§5 正压不稳定 ——Rossby波的正压不稳定问题 V V V
1．描写Rossby波的方程：考虑β－效应
§3 静力稳定度 气块法 讨论浮力振荡（层结）稳定性问题
气块受扰离开平衡位臵向上扰动。
环境要素：上升 P ( z ) ，T ( z ) ， ( z ) 气块要素：P( z )，T ( z )， ( z ) 上升过程中，气块作干绝热膨胀 准静力过程P( z )＝P ( z ) T ( z ) ， ( z )
实际波动是有很多简谐波叠加而成， 振荡解都是共轭出现的
d x 如简谐振荡方程， 2 kx dt 特征根：r i k
2
振荡解：x Ae
i kt
Be
i k t
对于波动，两个特征解都是成对地、 共轭出现的：
Cr i Cr iCi
AekCi t ei Be kCi t ei 当t 时，只要Ci 0, 波动都是发展的。
一般地，实际大气（北半球）：
10 1 5 1 f 0 ~ 10 s , f 0 0, ~ 6 s ~ 10 s y 10
4 1
u g
1Leabharlann 一般都有 a >0，为稳定的。
a f0
u g y 0
要使
，不稳定
g
v g x

u g y

u g y
f
高 等 动 力 气 象 学 （动力气象学II）
郭 品 文
大气科学学院
第一章、大气波动的稳定性问题
天气尺度的波动，控制日常天气； 发生、发展、移动的机制、规律 大气波动学： 波动的性质、机制、求解波速 ——讨论传播问题
大气能量学： 天气尺度系统的发生发展问题。
V ：纬向平均气流，大气环流，基本气流 V V V , V ：扰动，涡旋运动，波动
初始环境场：u g (0)
质点速度：u 0 u g (0)
受到扰动到y处，环境：
u g ( y ) u g (0) u g y
y 0
y
质点 ：
du u( y) u0 y dy
du du f0v dt f 0 u( y) u0 f 0 y dy v dy u g dt dv
r ( y1 ) i ( y1 ) 0 r ( y 2 ) i ( y1 )
(1)i (2)r
2 d 2 i d 2 r d 2u d u 2 2 (i ) [( ) ( ) r i i i r ]0 2 2 2 2 dy dy dy dy
u g dv f0 ( f )y dt y
f u g y
dt
f 0 (u u g ) f 0 (u 0 f 0 y u g (0)
y
y)
正如静力惯性度取决于层结 （背景）， 惯性稳定度也取决于环境背 景——基本气流的绝对涡度
0 稳定 0 中性 0 不稳定
§2 波动稳定性的数学表达 简谐波解
Ae
ik ( x ct )
Ae
i ( kx t )
∵A＝Const，k(x-ct)位相：波动传播 ∴不能讨论波的稳定性问题。
实际上，c或ω可以是复数，
这样：C Cr iC i Ae Ae
记：
*
kCi t ik ( x C r t )