几何变换——捆绑旋转

几何变换——捆绑旋转

【例题】如图，AB=4，O为AB的中点， O的半径是1，点P是 O上一动点，以PB 为直角边的等腰直角∆PBC（点P，B，C按逆时针方向排列），则线段AC长的取值范围是

宏观分析，整体思考：

为什么AC有“最值”之说？点C在运动．点C为什么在运动？因为点P在运动．点B是如何运动？点P在一个圆上运动．点P的运动带动点C的运动．“如影随形”，“点动成线”．那么如何研究点C的运动规律呢？联想研究函数图像变换，要研究线，只要研究点，“局部与整体具有一致性”．

（1）你将点C理解成由点P绕点B顺时针旋转45︒

（2）将点P与 O“捆绑”视作整体，即点P在作上述运动的时候，想想 O因为“捆绑”而随之运动， O的运动结果是什么呢？“蜗牛背房子”，“牵一发而动全身”．

（3）点O绕点B也顺时针旋转45︒O'；

（4）记住：旋转位似，相似必定成对出现．在前面的基础上，你会发现图形∆OPB∽∆O'CB,

于是你又得到O'C即动点C到定点O'“位似”

进一步理解的基础上，直接理解成 O O'；

（5）于是，动点C在以定点O'

（6）在前面的基础上，再考虑AC长的取值范围就是小意思（常规题）啦．

（悟：种瓜得瓜，种豆得豆）

一、自主学习

1．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝4，CD ⊥AB 于D ，P 是CD 上一个动点，以

P 为直角顶点向下作等腰直角△PBE ，连接DE ，求DE 的最小值．

B

2．如图，点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （2，0）．动点B 在⊙O 上，连结AB ， 作等边△ABC （A ，B ，C 为顺时针顺序），求求OC 的最大值与最小值．

x

3．如图，AB 是⊙的直径，点C 在AB 的延长线上，AB ＝BC ＝10，P 是⊙O 上一动点，连 接PC ，以PC 为边作△PCD ，使∠PDC ＝90°，tan ∠DPC ＝34

，P ，C ，D 三点为逆时针顺

序．连接OD ，则线段OD 长的最小值是 ．

4．如图，平面直角坐标系中，A （－2，6），B （－5，2），M （0，5），点P 是线段AB 上一 个动点，PM ⊥MN ，且∠PNM ＝30°，当点P 从点A 运动到点B ，点N 也随之运动，点N 在 运动中经过的路径长是 （ ）

A ．6 2

B ．5 3

C ．4 5

D ．8

y M

O

x

5．Rt∆ABC中，∠ACB =90︒，∠A=30︒，AC=6，D是AB上一个动点，以DC为斜边作等腰直角∆DCE ，使点E和点A位于CD的两侧；点D从点A到点B的运动过程中：

（1）∆DCE 周长的最小值；

（2）求点E的移动路程．

A C

D

E

B

6．在平面直角坐标系中，A(2，0)、B(0，3)，过点B作直线//x轴，点P(a，3)是直线上的

动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt∆APQ，∠APQ=Rt∠，直线AQ交y 轴于点C．

（1）当a=1时，则点Q的坐标为；

（2）当点P在直线上运动时，点Q也随之运动．当a= 时，AQ+BQ的值最小，为．

Q

x

二、当堂检测

1.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，D是AB上一个动点，以DC为斜边作等腰直角△DCE，使∠CED＝90°，点E和点A位于CD的两侧，连接BE，求BE的最小

值．

2.如图，点O在线段AB上，OA＝1，OB＝2．以点O为圆心，OA长为半径的圆为⊙O．在

⊙O上取动点P，以PB为边作△PBC，使∠PBC＝90°，tan∠PCB＝，P，B，C三点为

逆时针顺序．连结AC，求AC长的取值范围．

3.如图，A（－3，0），B（0，3），C（－1，4），P，C，M

逆时针顺序，动点P在线段AB上，∠C＝90°，∠CPM＝30°，则点M的运动路径长为．

x

4．（2013•湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为AC⊥x轴于点M，

交直线y x 于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是．

备选例题

1.如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3．△DEF是△ABC的内接等边三角形，且BD

BE的长．

2.已知抛物线y＝x2－3x－7

4的顶点为点D，并与x 轴相交于A、B两点（点A在点B的左

侧）．设线段BD 的垂直平分线为l，抛物线关于直线l的对称曲线交x 轴于点M、N，求点M、N的坐标．

x

l