圆锥曲线焦点弦的一个重要结论秒杀高考难题

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圆锥曲线最最常用二级结论总结

圆锥曲线最最常用二级结论总结圆锥曲线的二级结论总结如下：1.通径：对于任意一条圆锥曲线，其焦点到该曲线上任意一点的连线与该曲线的法线垂直。

2.焦点弦AB：对于椭圆和双曲线，焦点弦AB的长度等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，焦点弦AB的长度等于该曲线的焦距的两倍。

3.AF与BF的关系：对于椭圆和双曲线，AF和BF的和等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，AF和BF的差等于该曲线的焦距。

4.焦点到曲线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到该曲线上任意一点的距离等于该点到曲线的法线的距离。

5.焦点到直线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到直线的距离等于该直线到曲线的法线的距离。

6.焦点到焦点连线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到焦点连线的距离等于该曲线的离心率乘以焦距的长度。

7.焦点到中点弦的距离：对于椭圆和双曲线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的短轴长度的一半；对于抛物线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的焦距的一半。

8.切线：对于任意一条圆锥曲线，其切线斜率等于该点处的导数。

经过改写后的内容如下：圆锥曲线的二级结论总结如下：1.通径：对于任意一条圆锥曲线，其焦点到该曲线上任意一点的连线与该曲线的法线垂直。

2.焦点弦AB：对于椭圆和双曲线，焦点弦AB的长度等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，焦点弦AB的长度等于该曲线的焦距的两倍。

3.AF与BF的关系：对于椭圆和双曲线，AF和BF的和等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，AF和BF的差等于该曲线的焦距。

4.焦点到曲线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到该曲线上任意一点的距离等于该点到曲线的法线的距离。

5.焦点到直线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到直线的距离等于该直线到曲线的法线的距离。

6.焦点到焦点连线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到焦点连线的距离等于该曲线的离心率乘以焦距的长度。

圆锥曲线专题解析3：焦点弦问题

圆锥曲线专题解析3：焦点弦问题圆锥曲线专题解析3:焦点弦问题Ø方法导读圆锥曲线是高考的必考内容,主要命题点有直线与圆锥曲线的位置关系的应用,圆锥曲线中的弦长、弦中点、面积、定点、定值、最值、取值范围、存在性问题,综合性较强.从近三年高考情况来看,多考查直线与椭圆或抛物线的位置关系,常与向量、圆等知识结合,难度较大.解题时,充分利用数形结合思想,转化与化归思想,同时注重数学思想在解题中的指导作用,以及注重对运算能力的培养.在解题过程中常用到点差法、根与系数的关系、设而不求、整体代换等技巧,注意掌握.如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点,则称此弦为焦点弦.圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率(或倾斜角)、定比分点(向量)、焦半径和焦点弦长等有关知识.焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”,集数学知识、思想方法和解题策略于一体,倍受命题人青睐,在近几年的高考中频频亮相,题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题,也有作为大题进行考查的.Ø高考真题【2018·全国I卷理·19】设椭圆的右焦点为,过的直线与交于,两点,点M的坐标为.(1)当与轴垂直时,求直线的方程;(2)设为坐标原点,证明:.Ø解题策略【过程分析】第一问,先求出椭圆的右焦点的坐标,由于与轴垂直,所以可求出直线的方程,从而求出点的坐标,再利用直线方程的两点式,即可求出直线的方程;第二问,对直线分三类讨论:当直线与轴重合时,直接求出.当直线与轴垂直时,可直接证得.当直线与轴不重合也不垂直时,设的方程为,,,利用斜率公式表示出,把直线的方程代入椭圆的方程,消去转化为关于X的一元二次方程,利用根与系数的关系即可证明,从而证得.【深入探究】破解此类解析几何题的关键,一是“图形”引路,一般需画出大致图形,把已知条件翻译到图形中,利用直线方程的点斜式或两点式,即可快速表示出方程;二是“转化”桥梁,即会把要证的两角相等,根据图形的特征,转化为斜率之间的关系,再把直线与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系,以及斜率公式即可证得结论.Ø解题过程(1)由已知得,的方程为.由已知可得,点的坐标为或,所以的方程为或.(2)当与轴重合时,.当与轴垂直时,为的垂直平分线,所以.当与轴不重合也不垂直时,设的方程为,,,则,,直线,的斜率之和为.由,得.将代入得.所以,,则.从而,故,的倾斜角互补,所以.综上,.Ø解题分析本题考查椭圆的标准方程及其简单性质、焦点弦斜率问题,考查考生的推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.对比2015年全国I卷理科数学第20题:在直角坐标系中,曲线与直线交于,两点.(1)当时,分别求在点和处的切线方程;(2)轴上是否存在点,使得当变动时,总有说明理由.2018年的全国I卷的第19题只是把2015年全国I卷的第20题的“抛物线”变为“椭圆”,仍然考查直线与圆锥曲线有两个交点的位置关系,都是“求方程”与“相交弦的斜率”问题,只是去掉了原来的是否存在型的外包装.在强调命题改革的今天,通过改编、创新等手段来赋予高考典型试题新的生命,这成为高考命题的一种新走向,所以我们在复习备考的过程中要注意对高考真题的训练,把握其实质,掌握其规律,规范其步骤,做到“胸中有高考真题”,那么我们就能做到以不变应万变.Ø拓展推广1.圆锥曲线过焦点的所有弦中最短的弦过焦点且与对称轴垂直的弦称为通径.(1)椭圆过焦点的最短弦为通径,长为.(2)双曲线过焦点的最短弦为通径或实轴长,长为或.注意:对于焦点在轴上的椭圆、双曲线,上述结论仍然成立.(3)抛物线过焦点的最短弦为通径,长为.注意:对于焦点在轴负半轴上,焦点在轴上的抛物线,上述结论仍然成立.2.圆锥曲线的焦半径公式圆锥曲线上任意一点到焦点的距离叫做圆锥曲线关于该点的焦半径,利用圆锥曲线的第二定义很容易得到圆锥曲线的焦半径公式.(1)椭圆的焦半径公式①若为椭圆上任意一点,点,分别为椭圆的左右焦点,则,.②若为椭圆上任意一点,点,分别为椭圆的上下焦点,则,.(2)双曲线的焦半径公式①若为双曲线上任意一点,点,分别为双曲线的左右焦点,当点在双曲线的左支上时,则,;当点在双曲线的右支上时,则,.①若为双曲线上任意一点,点,分别为双曲线的上下焦点,当点在双曲线的下支上时,则,;当点在双曲线的上支上时,则,.(3)抛物线的焦半径公式①若为抛物线上任意一点,则;②若为抛物线上任意一点,则;③若为抛物线上任意一点,则;④若为抛物线上任意一点,则.3.圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值(1)椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数,(其中).(2)双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数,当焦点弦的两个端点,在同支时,;当,在异支时,(其中).注意:对于焦点在轴上的椭圆、双曲线,上述结论仍然成立.(3)抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数(其中).涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.另外熟记圆锥曲线焦点弦的一些重要结论,可以快速求解与焦点弦有关的最值或范围问题.变式训练1如图,椭圆的右焦点为,过点的直线与椭圆交于、两点,直线与轴相交于点,点在直线上,且满足轴.(1)当直线与轴垂直时,求直线的方程;(2)证明:直线AM经过线段的中点.变式训练2已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,抛物线的动弦过点,过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点.(1)求抛物线的标准方程;(2)求的最小值.变式训练3设抛物线的焦点为,过且斜率为()的直线与交于两点,.(1)求的方程;(2)求过点且与的准线相切的圆的方程.变式训练4已知抛物线的焦点为,过的直线交抛物线于,两点.(1)若以,为直径的圆的方程为,求抛物线的标准方程;(2)过,分别作抛物线的切线,,证明:,的交点在定直线上.变式训练5抛物线的焦点为,是上一点,且.(1)求的方程;(2)过点的直线与抛物线相交于,两点,分别过点,两点作抛物线的切线,,两条切线相交于点,点关于直线的对称点,判断四边形是否存在外接圆,如果存在,求出外接圆面积的最小值;如果不存在,请说明理由.。

与圆锥曲线焦点弦相关的一个优美结论

定理已知焦点在ｚ轴上的圆锥曲线Ｃ，经过其焦点Ｆ的直线交曲线于Ａ、Ｂ２点，直线ＡＢ的倾斜角为，ＡＦ＝ＡＦＢ，则曲线Ｃ的离心率Ｐ满足等式：
｛ｅｃｏｓ０｛一ｉ１．
下面以椭圆为例证明之．证明弦ＡＢ过椭圆的左焦点Ｆ，左准线为ｌ，由ＡＦ＝ＦＢ，可设１ＡＦＩ＝Ａｔ，ｌＦＢｌ—ｔ（￡＞Ｏ）．当０为锐角时，如图１，显然＞１，分别过Ａ、Ｂ２点作ＡＡ上ｚ、ＢＢ－ｌ＿ｌ，垂足分别为Ａ、Ｂ，过点Ｂ作ＢＤ上ＡＡ，由椭圆的第二定义可得
精神、掌握数学方法．以下两点有助于数学猜想的实
现．第一，教师要鼓励、培养学生猜想意识的形成．在
课堂教学中，要主动地渗透“猜想＋验证 ”这一科学思
维方法．改变以往满堂灌的教学方式，留出一定的时
【证明】如图６，作ＯＦ上
ＡＢ于Ｆ，Ｆ是ＡＢ的中点．
ＦＭ是 △ＡＢＣ的中位线，即
ＦＭ／／ＡＣ且ＡＣ一２ＦＭ．Ｒ又ＯＭ／／ＡＨ且ＯＦ／／
ＨＣ，得 △ ＨＡＣＣＯ△ ｏＭＦ，且
ＭＥ
Ｃ
图６
．
相似比为２．由此证得ＡＨ一２０Ｍ．
例１（２００８年全国ＩＩ卷）已知Ｆ是抛物线Ｃ：
ｙ４的焦点，过Ｆ且斜率为１韵直线交Ｃ于ＡＢ２
点设ＩＦＡＩ＞ＩＦＢＩ，则』ＦＡ『与ＩＦＢＩ的比值等

高考数学一轮复习专题02 圆锥曲线弦长问题(解析版)

解析几何专题二：圆锥曲线弦长问题一、知识储备弦长公式||AB =12||AB x ==-= （最常用公式，使用频率最高）= 二、例题讲解1．（2022·辽宁高三开学考试）已知椭圆C 的标准方程为：22221(0)x y a b a b +=>>，若右焦点为F（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是C 上的两点，直线MN 与曲线222x y b +=相切且M ，N ，F 三点共线，求线段MN 的长．【答案】（1）2213x y +=；（2【分析】（1）根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.（2）由（1）知曲线为221(0)x y x +=>，讨论直线MN 的存在性，设直线方程联立椭圆方程并应用韦达定理求弦长即可. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a =，则a =2221b a c =-=， ∴椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意：当直线MN 的斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y 又M ，N ，F 三点共线，可设直线:(MN y k x =，即0kx y -=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立22(13y x x y ⎧=±⎪⎨+=⎪⎩，得2430x -+=，则12x x +=1234x x ⋅=，∴||MN ==2．（2022·全国高三专题练习）过双曲线142x y -=的右焦点F 作斜率为2的直线l ，交双曲线于A ，B 两点.（1）求双曲线的离心率和渐近线；（2）求AB 的长. 【答案】（1）e =，渐近线方程为y =；（2）207.【分析】（1）由双曲线方程得出,a b ，再求出c ，可得离心率，渐近线方程；（2）写出直线方程，代入双曲线方程，设()11,A xy ，()22,B x y，由韦达定理得1212,x x x x +，然后由弦长公式计算弦长．【详解】解：（1）因为双曲线方程为22142x y -=，所以2a =，b =则c =所以62cea，渐近线方程为2y x =±. （2）双曲线右焦点为0)，则直线l 的方程为2(y x = 代入双曲线22142x y -=中，化简可得27520x -+=设()11,A x y ，()22,B x y 所以12x x +=12527x x ⋅=，所以2120|||7AB x x -==. 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线的离心率和渐近线方程，考查直线与双曲线相交弦长．解题方法是直线方程与双曲线方程联立并消元后应用韦达定理求出1212,x x x x +，然后由弦长公式12d x =-求出弦长．3．（2022·全国高三模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知()2,0F ，()2,3M -，动点P 满足12OF MP PF ⋅=．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0D 作直线AB 交C 于A ，B 两点，若AFD 的面积是BFD △的面积的2倍，求AB ．【答案】（1）28y x =；（2【分析】（1）设(),P x y ，求得,,MP OF PF 的坐标，结合12OF MP PF ⋅=，化简、整理，即可求得抛物线的方程；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设120,0y y ><，由2AFD BFD S S =△△，求得122y y =-，设直线AB 的方程为1x my =+，联立方程组，结合根与系数的关系，求得128y y m +=，128y y =-，进而求得12,,y y m ，利用弦长公式，即可求解. 【详解】（1）设(),P x y ，因为()2,0F ，()2,3M -，则()2,3MP x y =+-，()2,0OF =，()2,PF x y =--．由12OF MP PF ⋅=，可得2x +=28y x =，即动点P 的轨迹C 的方程为28y x =．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意知112AFD S FD y =⋅△，212BFD S FD y =⋅△，易知120y y <，不妨设120,0y y ><，因为2AFD BFD S S =△△，所以122y y =，所以122y y =-． ① 设直线AB 的方程为1x my =+，联立281y xx my ⎧=⎨=+⎩消去x ，得2880y my --=，则264320m ∆=+>，可得128y y m +=，128y y =- ② 由①②联立，解得1214,2,4y y m ==-=，所以124(2)AB y =-=--=．【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．三、实战练习1．（2022·江门市培英高级中学高三模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点P ⎭，离心率为12．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若1A 为椭圆C 的左顶点，直线l 过右焦点2F 与椭圆C 交于M ，N 两点（M ，N 与1A 不重合），l 不与x 轴垂直，若11A M A N MN k k k +=-，求MN ．【答案】（1）22143x y +=；（2）247 【分析】（1）由题意可得关于,,a b c 的方程组，求解,a b 的值，即可求得椭圆C 的标准方程；（2）根据题意设()()1122,,,M x y N x y ，直线l ：()1,0x my m =+≠，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合11A M A N MN k k k +=-，求出m 的值，再根据弦长公式即可求得MN . 【详解】（1）由题意可得：22222123314c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：224,3a b ==，∴ 椭圆C 的标准方程为：22143x y +=；（2）()()211,0,2,0F A -，由题意可设：直线l ：()1,0x my m =+≠，()()1122,,,M x y N x y ，联立：221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得：()2234690m y my ++-=，则12122269,3434m y y y y m m --+==++， 1112121,,22A M A N MN y y k k k x x m===++， 11121222A M A N y yx k x k ∴+=+++ ()()()()1221122222y x y x x x +++=++()()()()1221213333y my y my my my +++=++()()2122112122339y y y m y y y my m y ++=+++222229623343496393434mm m m m m m m m --⨯+⨯++=--⨯+⨯+++ m =-，又11A M A N MN k k k +=-， 1m m∴-=-，解得：21,1m m ==±，故1212226699,347347m y y y y m m --+==±==-++，247MN =.2．（2022·广东执信中学高三月考）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F三点共线的充要条件是||MN =【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由离心率公式可得a =2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN =充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k=+，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得=1k =±，即可得解. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a =，所以a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N，F 三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y --=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以121234x x x x +⋅=，所以MN ==所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=，所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以MN === 化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x =或y x =-+所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN = 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.3．（2022·全国高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与抛物线24y x =有公共的焦点F ，1A ，2A 分别为椭圆C 长轴的左、右端点，P 为C 上一动点，且12PAA ∆的最大面积为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 经过点F ，且与C 交于A ，B 两点，若10||3AB =，求直线l 的方程．【答案】（1）22143x y +=；（20=．【分析】（1）利用已知条件可以直接得出焦点F 的坐标，当三角形面积最大时P 为短轴端点，从而解出a ，b 的值即可；（2）利用（1）中求出的点F 的坐标，设出直线方程，然后与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求出直线的方程．【详解】（1）抛物线24y x =的焦点F 坐标为()1,0∴椭圆C 中的半焦距为1．由椭圆的几何性质可知，当12PA A ∆面积最大时，P 为椭圆短轴端点，不妨令()0,P b ，则221a b ab ⎧-=⎪⎨=⎪⎩解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）直线l 经过椭圆C 的右焦点，且10||3AB =∴直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆C 的方程联立可得()22223484120k xk x k +-+-=，0∆>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+12||AB x ∴-=()2212110343k k +==+解得k =∴直线l 0=0．【点睛】本题考查椭圆的标准方程、抛物线的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，要求较高的运算求解能力，属于中档题.本题的关键点有：（1）韦达定理的应用，韦达定理是联系各个变量之间的桥梁是解决解析几何问题的重要方法；（2）计算能力和计算技巧是解决解析几何问题的关键能力.4．（2022·陕西（文））已知点B 是圆22:(1)16C x y -+=上的任意一点，点(1,0)F -，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P .（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）直线:2l y x m =+与E 交于点M ，N ，且MN =m 的值. 【答案】（1）22143x y +=，（2）1m =±.（1）由条件可得42PC PF PC PB BC FC +=+==>=，然后由椭圆的定义可求出答案；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，然后联立直线与椭圆的方程消元，韦达定理得出1212,x x x x +，然后利用MN =出m 的值即可. 【详解】（1）由条件可得42PC PF PC PB BC FC +=+==>=所以动点P 的轨迹E 是以,F C 为焦点的椭圆，设其方程为()222210x y a b a b+=>>所以24,22a c ==，所以2,1,a c b ===所以方程为22143x y += （2）设()()1122,,,M x y N x y联立221432x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得221916+4120x mx m +-= 所以由()22256764120m m ∆=-->得(m ∈2121216412,1919m m x x x x -+=-=因为MN =所以可解得1m =±5．（2022·全国高三专题练习）已知点(A 和B ，动点C到A ，B 两点的距离之差的绝对值为2，记点C 的（1）求轨迹E 的方程；（2）设E 与直线2y x =-交于两点M ，N ，求线段MN 的长度. 【答案】（1）2212y x -=；（2）【分析】（1）设(,)C x y ，由于||||2CA CB -=，||AB =，利用双曲线的定义求解即可；（2）直线和双曲线方程联立消y ，利用韦达定理以及弦长公式求解即可. 【详解】（1）设(,)C x y ，则||||2CA CB -=，所以点C 的轨迹E 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，且22a =，2||c AB == 则1a =，2222b c a =-=，所以轨迹E 的方程为2212y x -=；（2）由22122y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得2460x x +-=，因为0∆>，所以直线与双曲线有两个交点，设()11,M x y ，()22,N x y ，则124x x +=-，126x x =-，故MN =所以线段MN 的长度为6．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>)是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ．【答案】（1）22136x y -=；（2【分析】（1)求出,a b ，即可得出双曲线方程；（2）可先求出直线方程为3)y x =-，联立椭圆方程，再利用弦长公式即可求出. 【详解】（1）由题可得c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3c =，b ，所以双曲线的方程为22136x y-=；（2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-.联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-⎪⎩得256270x x +-=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以AB ==【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线相交弦长的求法，属于基础题.7．（2022·重庆高三模拟预测）已知直线l ：4y kx =+与抛物线C ：2y ax =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，OA OB ⊥．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若过点A 的另一条直线1l 与抛物线C 交于另一点M ，与y 轴交于点N ，且满足||||AN AM =，求BM 的最小值．【答案】（1）214y x =；（2）【分析】（1）先联立直线与抛物线，得到判别式和韦达定理，再根据垂直关系，利用0OA OB ⋅=，求得参数即可；（2）设直线BM 的方程，并与抛物线联立，得到判别式和韦达定理，根据已知关系，判断中点位置，利用坐标关系求得参数m ，最后利用弦长公式计算BM ，利用二次函数判断最小值即可. 【详解】解：（1）依题意，设()()1122,,,A x y B x y ，由24y ax y kx ⎧=⎨=+⎩，消去y ，得240ax kx --=，2121604k a x x a ⎧∆=+>⎪∴⎨=-⎪⎩， OA OB ⊥，12120OA OB x x y y ∴⋅=+=，即2212120x x ax ax +⋅=，即22212120x x a x x +=，所以22440a a a ⎛⎫⎛⎫-+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得14a =，∴抛物线C 的标准方程为214y x =；（2）由题意知，直线BM 的斜率存在，故可设直线BM 的方程为y tx m =+，()33,M x y ，由214y xy tx m ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得2440x tx m --=，223231616044t m x x m x x t ⎧∆=+>⎪∴=-⎨⎪+=⎩，由（1）知，1216x x =-，故1123321644x x x x x x m m-===-，由题意知,,A M N 三点共线，且|AN |＝|AM |，即A 为线段MN 的中点，设()0,N n ，则3102x x +=，即13142x x m ==，即8m =，22323161680324t x x x x t⎧∆=+⨯>⎪∴=-⎨⎪+=⎩，23BM x ∴=-=)20t ==≥，故20t =时，BM最小为=【点睛】思路点睛：直线与抛物线中的弦长问题，我们常让直线与抛物线方程联立，再利用韦达定理及弦长公式，建立关系式．其中弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线:l y kx m =+，l 上两点()()1122,,,A x y B xy ，所以12AB x =-或12AB y =-，解决相关问题.8．（2022·全国高三模拟预测）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点(),2P t -在C 上，且2PF OF =(O 为坐标原点).（1）求C 的方程；（2）若A ，B 是C 上的两个动点，且A ，B 两点的横坐标之和为8，求当AB 取最大值时，直线AB 的方程. 【答案】（1）24yx =；（2）220x ±-=. 【分析】（1）根据题意，列出方程组22242pp t pt⎧+=⨯⎪⎨⎪=⎩，求得p 的值，即可求得C 的标准方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，当12x x =时，得到AB 的方程4x =；当12x x ≠时，得到2AB k n =，得到()42nx y n =-+，联立方程组，结合根与系数的关系，得到1212,y y y y +，根据弦长公式和基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意，点(),2P t -在()2:20C y px p =>上，且2PF OF =，可得22242pp t pt ⎧+=⨯⎪⎨⎪=⎩，解得21p t =⎧⎨=⎩，所以C 的标准方程为24y x =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，且128x x +=，设AB 中点为(),D m n ，则122x x m +=，122y y n +=，当12x x =时，:4AB l x =，8AB =；当12x x ≠时，()212122212121442AB y y y y k x x y y y y n--====--+，则()2:4AB l y n x n-=-，即()42n x y n =-+，与C 联立方程消去x ，整理得2222160y ny n -+-=，由22(2)4(216)0n n ∆=--->，解得216n <，且122y y n +=，212216y y n =-，所以2212416102n n AB y ++-=-==，当26n =时取“=”，所以AB 的最大值为10，此时AB 的方程为220x -=. 【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．9．（2022·浙江高三模拟预测）已知直线:4l y kx =+与抛物线2:C y ax =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，OA OB ⊥. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若过点A 的另一条直线1l 与抛物线C 交于另一点M ，与y 轴交于点N ，且满足AN AM =，求BM 的最小值. 【答案】（1）24x y=；（2）最小值为【分析】（1）联立直线l 与抛物线C 的方程，列出韦达定理，由已知条件可得出0OA OB ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理求出a 的值，即可得出抛物线C 的标准方程；（2）设直线BM 的方程为y tx m =+，点()33,M x y ，将直线BM 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，由已知条件可得1312x x =，代入韦达定理求出m 的值，再利用弦长公式可求得BM 的最小值.【详解】（1）依题意设()11,A x y 、()22,B x y ，由24y ax y kx ⎧=⎨=+⎩消去y ，得240ax kx --=，所以，212160,4.k a x x a ⎧+>⎪⎨=-⎪⎩OA OB ⊥，12120OA OB x x y y ∴⋅=+=，即22212120x x a x x +=，4160a∴-+=，解得14a =，所以，抛物线C 的标准方程为24x y =；（2）由题意知，若直线BM 的斜率不存在，则该直线与抛物线C 只有一个公共点，不合乎题意.所以，直线BM 的斜率存在，故可设直线BM 的方程为y tx m =+，点()33,M x y ，由24x y y tx m ⎧=⎨=+⎩消去y ，得2440x tx m --=，223231616044t m x x t x x m⎧+>⎪∴+=⎨⎪=-⎩，由（1）知1216x x =-，1123231644x x x x x x m m-∴===-①. 由题意知A 、M 、N 三点共线，且A 为线段MN 的中点，设()0,N n ，则3102x x +=，即1312x x =②，由①②得8m =，22323161680432t x x t x x ⎧+⨯>⎪∴+=⎨⎪=-⎩，23BM x ∴=-=)20t ==≥，当且仅当0t =时，等号成立，故BM 的最小值为【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．10．（2022·全国高三专题练习）如图所示，A ，B 是焦点为F 的抛物线24y x =上的两动点，线段AB 的中点M 在定直线34x =上.（1）求FA FB +的值；（2）求AB 的最大值. 【答案】（1）72；（2）【分析】（1）由抛物线定义有12FA FB x x p +=++，结合已知条件即可求FA FB +；（2）由直线与抛物线位置关系，联立方程得到一元二次方程，结合根与系数关系、弦长公式即可求AB 的最大值. 【详解】（1）由题意知：2p =，抛物线对称轴方程1x =-.设()11,A x y ，()22,B x y ，12324x x +=，则1272FA FB x x p +=++=；（2）点A 和B 在抛物线24y x =上，有2114y x =，2224y x =，两式相减得：()()()1212124y y y y x x -+=-，令3(,)4M m ，∴12122y y x x m -=-，即2AB k m=， ∴设直线AB 的方程为234y m x m ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即23224m m x y =-+，代入抛物线方程得222230y my m -+-=，∴22248121240m m m ∆=-+=->，得203m ≤<，122y y m +=，21223y y m =-∴12AB y =-=∴当20m=时，max AB = 【点睛】思路点睛：求抛物线焦半径相关线段长度时注意抛物线定义的应用，即抛物线焦点到抛物线上点的距离等于该点到抛物线准线的距离；直线与抛物线相交，求弦长时一般要联立方程应用根与系数关系以及弦长公式.11．（2022·全国高三专题练习）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 与椭圆22143x y +=的右焦点重合，点M 是抛物线C 的准线上任意一点，直线MA ，MB 分别与抛物线C 相切于点A ，B .（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k ⋅为定值；（3）求AB 的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析；（3）4.【分析】（1）由椭圆的方程可得右焦点的坐标，由题意可得抛物线的焦点坐标，进而可得抛物线的方程；（2）可设M 的坐标，设过点(1,)M t -的直线方程为(1)y k x t =++，与抛物线方程24y x =联立，消去x 得：24440ky y k t -++=，利用判别式等于零可得结论；（3）设A ，B 的坐标，由（2）可得参数t ，k 的关系，代入过M 的切线方程与抛物线的方程中，可得A ，B 用参数1k ，2k 表示的坐标，代入弦长公式中求||AB的表达式，由参数的范围求出||AB 的最小值．【详解】（1）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为(1,0) ∴抛物线的焦点为(1,0)F ，2p ∴=，所以抛物线的标准方程：24y x =．（2）抛物线C 的准线方程为1x =-．设(1,)M t -，设过点(1,)M t -的直线方程为(1)y k x t =++，与抛物线方程24y x =联立，消去x 得：24440ky y k t -++=．其判别式△1616()k k t =-+，令△0=，得：210k kt +-=．由韦达定理知12k k t +=-，121k k =-，故121k k =-（定值）．（3）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由210k kt +-=，得21k t k-=，故2222214244444440k ky y k t ky y k ky y k y k k k -⎛⎫-++=-++⨯=-+=-= ⎪⎝⎭，所以2y k=，代入抛物线方程得21x k =，所以211(A k ，12)k ，221(B k ，22)k ，||AB=因为121k k =-，12k k t +=-，所以12|||AB k k -244t =+，当且仅当0t =时取等号．当且仅时取等号．故||AB 的最小值为4．【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式12l x -；（2）利用12l y =-；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.12．（2022·广西河池·高三期末（理））已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，斜率为2的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点．（Ⅰ）若直线l 与抛物线C 的准线相交于点P ，且PF =l 的方程；（Ⅱ）若直线l 不过原点，且90AFB ∠=︒，求ABF 的周长．【答案】（Ⅰ）2y x =；（Ⅱ）15+【分析】（Ⅰ）设直线l 的方程为2y x m =+，则点P 的坐标为()1,2m --，联立直线与抛物线，由判别式大于0可得12m <，由PF =0m =或4m =（舍去），从而可得结果；（Ⅱ）设直线l 的方程为()20=+≠y x b b ，并代入抛物线2:4C y x =，根据韦达定理和0FA FB ⋅=可解得12b =-，根据弦长公式可得||AB =||||AF BF +，进一步可得ABF 的周长. 【详解】（Ⅰ）由抛物线2:4C y x =可知(1,0)F ，准线为1x =-，设直线l 的方程为2y x m =+，则点P 的坐标为()1,2m --，联立方程242y x y x m⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为()224440x m x m +-+=，又由()22441616320m m m ∆=--=->，可得12m <，由点F 的坐标为()1,0，有PF ==，解得0m =或4m =（舍去），故直线l 的方程为2y x =．（Ⅱ）设直线l 的方程为()20=+≠y x b b ，点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程242y x y x b⎧=⎨=+⎩，消去y 后整理为()224440x b x b +-+=，可得121x x b +=-，21214x x b =，()()()()222121212122242212y y x b x b x x b x x b b b b b b =++=+++=+-+=又由()22441616320b b b ∆=--=->，可得12b <．又由()111,FA x y =-，()221,FB x y =-，可得()()()1212121212111FA FB x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++ ()22111123044b b b b b =--++=+=，得0b =（舍去）或12b =-．由12b =-，可得1213x x +=，1236x x =，所以AB ===()()121211215AF BF x x x x +=+++=++=，故ABF 的周长为15+ 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的定义，韦达定理和弦长公式，考查了运算求解能力，属于中档题.。

【高考数学】圆锥曲线的常用结论-突破满分数学之圆锥曲线

圆锥曲线的常用结论—满分突破数学之圆锥曲线
焦点的位置图形
焦点在 x 轴上
y M
cc
F1 O
F2 x
一、椭圆
焦点在 y 轴上
y
F2 c
M
Oc
x
F1
标准方程范围顶点轴长焦点焦距对称性离心率
+ =1(a>b>0)
+ =1(a>b>0)
−a≤x≤a 且−b≤y≤b A1(−a，0)、A2(a，0)、B1(0，−b)、B2(0，b)
−b≤x≤b 且−a≤y≤a A1(0，−a)、A2(0，a)、B1(−b，0)、B2(b，0)
短轴的长=2b F1(−c，0)、F2(c，0)
|F1F2|=2c(c2=a2−b2)
长轴的长=2a F1(0，−c)、F2(0，c)
关于 x 轴、y 轴、原点对称
e= =
(0<e<1) e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁
.
13. 已知 A、B 是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P(x0，0)，
则
−
a2
− b2 a
<x0<
a2
− b2 a
.
14.
离心率 e= c =
a
1
−
b a
2
、e2=1−
b a
2
15.
2b2
过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为
.
a
16. 从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.
.
1
(2)焦点三角形的面积：S
∆PF1F2
=c|yP|=b2tan

用圆锥曲线焦点弦结论巧算高考题

用圆锥曲线焦点弦结论巧算高考题重庆巴蜀科学城中学校（401331）李兰［摘要］圆锥曲线焦点弦结论具有统一形式，利用焦点弦结论可以快速解决高考题，为考生打开解题思路，提高学生的解题能力。

［关键词］圆锥曲线；焦点弦；高考题［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2023）17-0024-03一、公式及其证明圆锥曲线中的焦点弦就是过焦点的弦长，弦长公式AB=1+k2||x1-x2，圆锥曲线有统一方程，思考由抛物线的焦点弦与弦长倾斜角度、离心率（抛物线的离心率为1）有关的弦长公式，类比推导圆锥曲线的另一个统一公式：焦半径=半通径1±e⋅cosθ=b2a1±e⋅cosθ（半通径就是垂直于焦点所在轴的焦半径，抛物线为y2=2px(p>0)中的p）。

证明如下：①椭圆x2a2+y2b2=1中，直线l过右焦点F与椭圆交于A、B两点，其中A（x1，y1），B（x2，y2），l的倾斜角为θ（锐角），则焦半径AF=b2a1+e·cosθ，BF=b2a1-e·cosθ。

（如图1）x=a2cθ图1由A、B两点分别向右准线作垂线，垂足为M、N，由A点向x轴作垂线，垂足为D，由圆锥曲线统一定义，椭圆上点到焦点的距离比到准线的距离等于离心率得||AF||AM=ca，所以||AF=||AM e=e·()a2c-x1=a-ex1，||FD=||AF cosθ。

所以c+||AF cosθ=x1，即c+||AF cosθ=a-||AFe，即||AF（1+e cosθ）=a-c2a=b2a。

所以AF=b2a1+e·cosθ，同理BF=b2a1-e·cosθ。

②双曲线x2a2-y2b2=1中，直线l过焦点F与同一支交于A、B两点，结论同上，证明略。

③抛物线y2=2px（p>0），直线l过右焦点F与抛物线交于A、B两点，则AF=p1-cosθ，BF=p1+cosθ，长短视角度而定。

圆锥曲线焦点弦长的一个公式在高考中的妙用

圆锥曲线焦点弦长的一个公式在高考中的妙用圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。

由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。

本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?定理已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F ，设倾斜角为α的直线l 经过F ，且与圆锥曲线交于A 、B 两点，记圆锥曲线的离心率为e ，通径长为H ，则（1）当焦点在x 轴上时，弦AB 的长|cos 1|||22αe HAB -=；（2）当焦点在y 轴上时，弦AB 的长|sin 1|||22αe HAB -=.本文仅对焦点在x 轴上，中心在原点的双曲线为例证明，其它情形请读者自证.证明：设双曲线方程为12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），通径a b H 22=，离心率a ce =，弦AB所在的直线l 的方程为）（c x k y +=（其中αtan =k ，α为直线l 的倾斜角），其参数方程为为参数）（，t t y t c x ⎩⎨⎧=+-=.sin cos αα. 代入双曲线方程并整理得：0cos 2cos sin 4222222=-⋅+⋅-b t c b t b a ααα）（. 由t 的几何意义可得：|cos 1|2|cos 1|2|cos sin |2cos sin 4cos sin cos 24||||22222222222222222222222122121αααααααααe a b e a b b a ab b a b b a c b t t t t t t AB -=-=-=-----=-+=-=）（）（.|cos 1|22αe H-=推论（1）焦点在x 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α22cos 1||e HAB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1cos ||22-=αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时，α2sin ||HAB =. （2）焦点在y 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α22sin 1||e HAB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1sin ||22-=αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时，α2cos ||HAB =.典题妙解下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1（06湖南文第21题）已知椭圆134221=+y x C ：，抛物线px m y 22=-）（（p ＞0），且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点.（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p ，m 的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上；（Ⅱ）若34=p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程. 解：（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，点A 、B 关于x 轴对称，0=∴m ，直线AB 的方程为1=x .从而点A 的坐标为），（231或），（231-.点A 在抛物线2C 上， .249p =∴即.89=p此时抛物线2C 的焦点坐标为），（0169，该焦点不在直线AB 上. （Ⅱ）设直线AB 的倾斜角为α，由（Ⅰ）知2πα≠.则直线AB 的方程为）（1tan -⋅=x y α. 抛物线2C 的对称轴m y =平行于x 轴，焦点在AB 上，通径382==p H ，离心率1=e ，于是有又 AB 过椭圆1C 的右焦点，通径322==ab H ，离心率21=e . .cos 138sin ||22）（αα-==H AB∴.cos 412|cos 1|||222αα-=-=e H AB ∴）（α2cos 138-.cos 4122α-= 解之得：6tan 71cos 2±==αα，. 抛物线2C 的焦点），（m F 32在直线）（1tan -⋅=x y α上， ∴αtan 31-=m ，从而36±=m . 当36=m 时，直线AB 的方程为066=-+y x ；当36-=m 时，直线AB 的方程为066=--y x . 例2（07全国Ⅰ文第22题）已知椭圆12322=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于B 、D 两点，过2F 的直线交椭圆于A 、C 两点，且BD AC ⊥，垂足为P.（1）设P 点的坐标为），（00y x ，证明：232020yx +＜1. （2）求四边形ABCD 的面积的最小值.（1）证明：在12322=+y x 中，123===c b a ，，. ，︒=∠9021PF F O 是1F 2F 的中点，.1||21||21===∴c F F OP 得.12020=+y x ∴点P 在圆122=+y x 上.显然，圆122=+y x 在椭圆12322=+y x 的内部. 故232020yx +＜1.（2）解：如图，设直线BD 的倾斜角为α，由BD AC ⊥可知，直线AC 的倾斜角απ+2.2FOABxy通径33422==a b H ，离心率33=e . 又 BD 、AC 分别过椭圆的左、右焦点1F 、2F ，于是.sin 3342cos 1||cos 334cos 1||222222ααπαα-=+-=-=-=）（，e H AC e H BD ∴四边形ABCD 的面积.2sin 2496sin 334cos 33421||||21222ααα+=-⋅-⋅=⋅=AC BD S [)]10[2sin 02，，，∈∴∈απα .⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴42596，S .故四边形ABCD 面积的最小值为2596. 例3（08全国Ⅰ理第21题文第22题）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 上，两条渐近线分别为1l 、2l ，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交1l 、2l 于A 、B 两点. 已知||OA 、||AB 、||OB 成等差数列，且BF 与FA 同向.（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.解：（Ⅰ）设双曲线的方程为12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）.||OA 、||AB 、||OB 成等差数列，设m AB =||，公差为d ，则d m OA -=||，d m OB +=||， ∴222)()(d m m d m +=+-. 即2222222d dm m m d dm m ++=++-. ∴4m d =. 从而43||m OA =，45||mOB =. 2FABCD O xy 1F P又设直线1l 的倾斜角为α，则α2=∠AOB . 1l 的方程为x ab y =. ∴.tan a b=α 而.34||||tan 2tan ==∠=OA AB AOB α ∴34)(12tan 1tan 222=-⨯=-ab a b αα. 解之得：.21=a b∴.25)(12=+=a b e （Ⅱ）设过焦点F 的直线AB 的倾斜角为θ, 则απθ+=2.∴αθsin cos -=. 而.51)21(1)21(tan 1tan sin 22222=+=+=ααα ∴51cos 2=θ.通径b abb a b H =⨯==222. 又设直线AB 与双曲线的交点为M 、N. 于是有：4cos 1||22=-=θe HMN .即451)25(12=⨯-b .解得3=b ，从而6=a .∴所求的椭圆方程为193622=-y x . 金指点睛1. 已知斜率为1的直线l 过椭圆1422=+x y 的上焦点F 交椭圆于A 、B 两点，则||AB =_________. 2. 过双曲线1322=-y x 的左焦点F 作倾斜角为6π的直线l 交双曲线于A 、B 两点，则||AB =_________.A ByO F x1l2lN M3. 已知椭圆02222=-+y x ，过左焦点F 作直线l 交A 、B 两点，O 为坐标原点，求△AOB 的最大面积.4. 已知抛物线px y 42=（p ＞0），弦AB 过焦点F ，设m AB =||，△AOB 的面积为S ，求证：mS 2为定值.5.（05全国Ⅱ文第22题）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆1222=+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点. 已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0=⋅MF PF .求四边形PQMN 的面积的最大值和最小值.6. (07重庆文第22题)如图，倾斜角为α的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点.O xNPy MQFB O xy AF yO F x AB（Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；（Ⅱ）若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明α2cos ||||FP FP -为定值，并求此定值.7. 点M 与点)2,0(F 的距离比它到直线03:=+y l 的距离小1.（1）求点M 的轨迹方程；（2）经过点F 且互相垂直的两条直线与轨迹相交于A 、B ；C 、D. 求四边形ACBD 的最小面积.8. 已知双曲线的左右焦点1F 、2F 与椭圆1522=+y x 的焦点相同，且以抛物线x y 22-=的准线为其中一条准线.（1）求双曲线的方程；（2）若经过焦点2F 且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A 、B ；C 、D. 求四边形ACBD 的面积的最小值.参考答案1. 解：3,1,2===c b a ，离心率23==a c e ，通径122==a b H ，直线l 的倾斜角4πα=. ∴58)22()23(11sin 1||2222=⋅-=-=αe HAB . 2. 解：2,3,1===c b a ，离心率2==a c e ，通径622==a b H ，直线的倾斜角6πα=. ∴3|)23(21|6|cos 1|||2222=⋅-=-=αe HAB .3. 解：1222=+y x ，1,1,2===c b a ，左焦点)0,1(-F ，离心率22==a c e ，通径yO F xA BDEC lαm P222==ab H .当直线l 的斜率不存在时，x l ⊥轴，这时22||2===ab H AB ，高1||==c OF ，△AOB 的面积221221=⨯⨯=S . 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的倾斜角为α，则其方程为)1(tan +⋅=x y α，即0t a n t a n =+-⋅ααy x ，原点O 到直线AB 的距离ααααααsin |sec ||tan |1tan |tan 0tan 0|2==++-⨯=d .αααα222222sin 122cos 222cos )22(12cos 1||+=-=⋅-=-=e HAB . ∴△AOB 的面积αα2sin 1sin 2||21+=⨯⨯=d AB S . 0＜α＜π，∴αsin ＞0. 从而ααsin 2sin 12≥+. ∴22sin 2sin 2=≤ααS . 当且仅当1sin =α，即2πα=时，“=”号成立. 故△AOB 的最大面积为22. 4. 解：焦点为)0,(p F ，通径p H 4=.当直线AB 的斜率不存在时，x AB ⊥轴，这时p m AB 4||==，高p OF =||，△AOB 的面积22||||21p OF AB S =⨯⨯=. ∴3442444p pp m p m S ===，是定值. 当直线AB 的斜率存在时，设直线的倾斜角为α，则其方程为)(tan p x y -⋅=α，即0t a n t a n =+-⋅ααp y x ，原点O 到直线AB 的距离αααααsin |sec ||tan |1tan |tan |2p p p d ==+=.B O xy AFαα22sin 4sin ||pH AB ==.∴△AOB 的面积αsin 2||212p d AB S =⨯⨯=. ∴32242424sin sin 41sin 4p pp m p m S =⨯=⨯=ααα. ∴不论直线AB 在什么位置，均有32p m S =（3p 为定值）. 5. 解：在椭圆1222=+y x 中，.112===c b a ，，由已知条件，MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点），（10F ，且PQ MN ⊥.如图，设直线PQ 的倾斜角为α，则直线MN 的倾斜角απ+2.通径222==a b H ，离心率22=e .于是有 .sin 222sin 1||cos 222)2(sin 1||222222ααααπ-=-=-=+-=e H PQ e HMN ，∴四边形PQMN 的面积.2sin 816sin 222cos 22221||||21222ααα+=-⋅-⋅=⋅=PQ MN S [)]10[2sin 02，，，∈∴∈απα .⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴2916，S .故四边形PQMN 面积的最小值和最大值分别为916和2. 6.（Ⅰ）解：4,82==p p ，∴抛物线的焦点F 的坐标为)2,0(，O xNPy MQFyO F x AB准线l 的方程为2-=x .（Ⅱ）证明：作l AC ⊥于C ，AC FD ⊥于D. 通径82==p H . 则ααααcos ||||,cos ||||,sin 8sin ||22AF AD FP EF H AB ====. ∴4cos ||||||||+=+==αAF p AD AC AF . ∴αcos 14||-=AF . ∴αααα22sin cos 4sin 4cos 14||21||||||||=--=-=-=AB AF AE AF EF ，从而αα2sin 4cos ||||==EF FP . ∴8sin 2sin 4)2cos 1(||2cos ||||22=⋅=-=-ααααFP FP FP . 故α2cos ||||FP FP -为定值，此定值为8.7. 解：（1）根据题意，点M 与点)2,0(F 的距离与它到直线2:-=y l 的距离相等，∴点M 的轨迹是抛物线，点)2,0(F 是它的焦点，直线2:-=y l 是它的准线.从而22=p，∴4=p . ∴所求的点M 的轨迹方程是y x 82=.（2）两条互相垂直的直线与抛物线均有两个交点， ∴它们的斜率都存在. 如图，设直线AB 的倾斜角为α，则直线CD 的倾斜角为α+︒90. 抛物线的通径82==p H ，于是有：αααα2222sin 8)90(cos ||,cos 8cos ||=+︒===H CD H AB . ∴四边形ACBD 的面积.2sin 128sin 8cos 821||||21222ααα=⋅⋅=⋅=CD AB S 当且仅当α2sin 2取得最大值1时，128min =S ，这时︒=︒=45,902αα.∴四边形ACBD 的最小面积为128.y O F xA BDEClαm P FO xA BDCyq q q qss 8. 解：（1）在椭圆1522=+y x 中，2,1,522=-===b a c b a ，∴其焦点为)0,2(1-F 、)0,2(2F . 在抛物线x y 22-=中，1=p ，∴其准线方程为212==p x . 在双曲线中，21,22==c a c ，∴3,122=-==a c b a . ∴所求的双曲线的方程为1322=-y x . （2）两条互相垂直的直线与双曲线均有两个交点，∴它们的斜率都存在. 如图，设直线AB 的倾斜角为α，则直线CD 的倾斜角为α+︒90. 双曲线的通径622==ab H ，离心率2==ac e . 于是有： αααα222222sin 416)90(cos 1||,cos 416cos 1||-=+︒-=-=-=e H CD e H AB . ∴四边形ACBD 的面积 .2sin 4318sin 416cos 41621||||21222ααα+-=-⋅-⋅=⋅=CD AB S 当且仅当α2sin 2取得最大值1时，18min =S ，这时︒=︒=45,902αα.∴四边形ACBD 的最小面积为18.y2FAO x 1l 2l B CD。

2023届高考数学二轮复习大题专讲专练：焦点弦结论

第26讲焦点弦结论如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦．圆锥曲线的焦点弦问题涉及离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识．焦点弦是圆锥曲线中比较综合的考点，下面介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用．椭圆焦点弦结论结论：1F 和2F 分别为椭圆2222x y a b+=1(0)a b >>的左、右焦点，AB 是过左焦点倾斜角为θ的弦，点A 在x 轴上方，CD 是过右焦点倾斜角为β的弦，点C 在x 轴上方，则焦半径公式：21cos b AF a c θ=-，21cos b BF a c θ=+，2222 cos cos b b CF DF a c a c ββ==+-，，焦点弦长公式：22222||cos ab AB a c θ=-，22222||cos ab CD a c β=-．焦点分弦公式：11cos 1cos cos 1cos AF a c e BF a c e θθθθ++==--，22cos 1cos cos 1cos CF a c e DF a c e ββββ--==++．11AF BF λ=时，1(1)cos e λλθ-=+．同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为22222||sin ab AB a c α=-．结论：椭圆过焦点弦长公式：||AB =222222222 () cos 2 () sin ab x a c ab y a c αα⎧⎪⎪-⎨⎪⎪-⎩焦点在轴上焦点在轴上．【例1】如下图所示，已知倾斜角为θ的直线过椭圆22221x y a b+=的左焦点1F ，且与椭圆交于()11 A x y ，，()22 B x y ，两点，推导下面结论：(1)若11AF F B λ=(或11AF F B λ=，求离心率． (2)求弦||AB的长．(3)求ABO ∆面积的取值范围．【解析】(1)焦半径公式推导：在12AF F ∆中，由余弦定理22221121122cos AF AF F F AF F F θ=+-⋅．由12122 2AF AF a F F c +==，得21cos b AF a c θ=-．同理，在12BF F ∆中，21cos b BF a c θ=+．焦点分弦公式推导：若11AF F B λ=，(或11AF F B λ=)，则22cos cos b b a c a c λθθ=-+，即1(1)cos e λλθ-=+．(2)焦点弦公式推导：222112222||cos cos cos b b ab AB AF BF a c a c a c θθθ=+=+=-+-．(3)三角形面积公式推导：211222211sin ||sin 22cos ABO acb S OF y y c AB a c θθθ∆=⋅-==-．【例2】直线l 经过椭圆22:143x y C +=右焦点F ，且与椭圆C 交于 A B ，两点，若10||3AB =，求直线l 的方程．【解析】∵直线l 经过椭圆C 的右焦点，且10||3AB =，∴直线l 的斜率存在，设直线l 的㸯率为k ，且0k ≠，则直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆C 的方程联立并消去y 得()22223484120 0k x k x k +-+-=∆>，，设点()11 A x y ，，点()22 B x y ，，则2212122284123434k k x x x x k k -+==++，， ∴12||AB x =-()2212110334k k +==+，解得k =．∴直线l0+=．注意：可用焦点弦长公式验证答案：||AB =22222212103cos 4cos ab a c θθ==--，可得cos θ=．解得tan k θ==．∴直线l0+=．【例3】设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为45 2AF FB ︒=，，求椭圆C 的离心率．【解析】设点( 0) F c l ，，的倾斜角为45︒，1l k ∴=，∴:l y x c =-．设()()1122 A x y B x y ，，，，则()11 AF c x y =--，，()22 FB x c y =-，．由2AF FB =得122y y =-．联立22221x y cx y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222222220a b y b cy b c a +++-=，又222a c b -=，∴()2222420a b y b cy b ++-=，∴212222b c y y a b -+=+，41222b y y a b-=+．又122y y =-，∴22222b c y a b =+，()424212222222422b c b y y y a b a b -=-=-⋅=++，即2228c a b =+，即()22228c a a c =+-，22222 99c a e e ∴===，，．注意：可用焦点分弦公式推导来验证答入：1(1)cos e λλθ-=+可得e =．【例4】点12 F F ，分别为椭圆22:42x y E +=1的左、右焦点，若过点2F 的直线交椭圆E 于 A B ，两点，过点1F 的直线交椭圆E 于C ，D 两点，且AB CD ⊥，求||||AB CD +的最小值．【解析】(1)当AB 斜率为0时，22||2 4 || 2 ||||6b AB a CD AB CD a====+=，，．(2)当AB 斜率不存在时，也有||||6AB CD +=．(3)当AB 斜率存在且不为0时，设斜率为k ，则AB 方程为(y k x =-．设点()11 A x y ，，点()22 B x y ，，联立22142(x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得()222212440k x x k +-+-=．易知210k ∆=+>，且2121224412k x x x x k -+==+，．由弦长公式得||AB =()224112k k +=+．设点()33 C x y ，，点()44 D x y ，．∵AB CD ⊥，∴直线CD 的斜率为1k -，∴()222214141||2112k k CD k k ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦==+⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭， ∴()()22224141||||122k k AB CD k k +++=+++()()()()()2242422241331221252122k k k k k k k k ++++==++++422425112122252k k k k k ⎡⎤⎛⎫++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=++ 242226666125225k k k k k =-=-⎛⎫++++ ⎪⎝⎭． ∵2212k k+，当且仅当21k =，即1k =±时，取等号，616||||693AB CD ∴+=-=．显然1663<，∴||||AB CD +的最小值为163．注意：可用焦点弦长公式验证答案：||||AB CD +2222222222cos sin ab ab a c a c θθ=+--21216132sin 24θ=+．抛物线焦点弦结论与抛物线焦点弦长相关的结论：设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，()()1122 A x y B x y ，，，，直线AB 的倾斜角为θ，则(1)221212 4p x x y y p ==-，．(2)1||21cos p p AF x θ=+=-，2||21cos p pBF x θ=+=+．(3)1222||sin pAB x x p θ=++=．(4)112||||FA FB p +=；||1cos ||1cos AF BF θθ+=-．若(AF FB λ=或||||)AF FB λ=，则1cos 1λθλ-=+．(5)234OA OB p ⋅=-．(6)22sin AOB p S θ∆=．【例1】已知抛物线y 2＝4x ，焦点为点F ，过点F 作直线l 与抛物线交于 C D ，两点，已知线段CD 的中点M 的横坐标为3，求弦||CD 的长度．【解析】∵抛物线为24y x =，∴2p =，设 C D ，两点横坐标分别为12 x x ，， ∵线段CD 的中点M 的横坐标为3，则1232x x +=，即126x x +=， ∴12||||||CD CF DF x x p =+=++=628+=．【例2】已知直线l 经过抛物线28y x =的焦点F ，且与抛物线相交于 A B ，两点，若直线l 的倾斜角为60︒，求||AB 的值．【解析】∵直线l 的倾斜角为60︒，∴其斜率tan 60k =︒=，又由于点(20)F ，，∴直线l 的方程为2)yx =-．联立282)y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 得2320120x x -+=，设点()11,A x y ，点()22,B x y ，则12x x +203=．121220||||||4223p p AB AF BF x x x x p ∴=+=+++=++=+323=．用焦点弦公式验证：22||sin pAB θ==832334=．【例3】已知抛物线2:4C y x =与直线l 交于 A B ，两点，O 为坐标原点，直线l 过抛物线的焦点，且AOB ∆面积为l 的方程．【解析】设直线l 的方程为1x my =+，则12112y y ⨯⨯-=，则12y y -=，∴()21232y y -=，∴()21212432y y y y +-=．联立212x my y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得2440y my --=，∴12124 4y y m y y +==-，，∴21616321m m +=⇒=±，∴1x y =±+，∴直线l 的方程为1x y =±+．用抛物线焦点弦的结论验证答案：AOBS ∆24sin 2sin 2sin p k θθθ====tan 1θ=±．。

与圆锥曲线焦点弦相关的一个优美结论

与圆锥曲线焦点弦相关的一个优美结论100039 北京市十一学校张留杰众所周知，焦点弦的性质能够体现圆锥曲线几何特征，是研究圆锥曲线时的主要对象之一，在历届高考中也占有重要的地位．笔者根据焦点弦所在直线的倾斜角θ、焦点分焦点弦所成的比λ以及圆锥曲线的离心率e 之间的关系得出一个优美结论，并结合高考试题彰显了它的重要作用，希望能和读者共勉．一．结论及证明定理已知焦点在x 轴上的圆锥曲线C ，经过其焦点F 的直线交曲线于A 、B 两点，直线AB 的倾斜角为θ，AF FB λ=，则曲线C 的离心率e 满足等式：1cos 1e λθλ-=+．下面以椭圆为例证明之．证明：如图1，弦AB 过椭圆的左焦点F ，左准线为l ，由AF FB λ= 可设||AF t λ=，||FB t =(0t >)，当直线AB 的倾斜角θ为锐角时，如图（a ），显然1λ>，分别过B A 、两点作l AA ⊥1、l BB ⊥1，垂足分别为11B A 、，过B 点作1BD AA ⊥，由椭圆的第二定义可得11(1)AF BF tAD AA BB e e eλ-=-=-=，在Rt ADB ∆中，(1)1cos (1)(1)AD t AB e t e λλθλλ--===++，故1cos 1e λθλ-=+，如果点A 、B 的位置互换，则01λ<<，则有1cos 1e λθλ-=+．1图当直线AB 的倾斜角θ为钝角时，如图（b ），显然01λ<<，同理在Rt ADB ∆中，可得(1)1cos()(1)(1)BD t AB e t e λλπθλλ---===++，故1cos 1e λθλ-=+，如果点A 、B 的位置互换，则1λ>，则有1cos 1e λθλ-=+．当直线AB 的倾斜角θ为直角时，显然cos 0θ=且1λ=，等式成立；当直线AB 的倾斜角0θ=时，弦AB 为椭圆长轴，显然易得原等式也成立．综上，在椭圆中等式1cos 1e λθλ-=+恒成立．证毕．当圆锥曲线C 为双曲线（如图2）时，同样可以证明等式1cos 1e λθλ-=+成立；当曲线C 为抛物线（如图3）时，离心率1e =，等式简化为1cos 1λθλ-=+（其中0θ≠）．总之，在任意圆锥曲线中，对于其焦点弦所在直线的倾斜角θ，焦点分对应弦的比值λ所直线AB 的斜率为k （0k ≠），A F F B λ=，则曲线C 的离心率e 满足等式e =．当圆锥曲线的焦点在y 轴上时，同理还可得推论2 已知焦点在y 轴上的圆锥曲线C ，经过其焦点F 的直线交曲线于A 、B 两点，若直线AB 的倾斜角为θ，斜率为k （0k ≠），AF F B λ=，则曲线C 的离心率e 满足等式1sin 1e λθλ-=+，e =．（推论的证明从略，读者可以自行完成．）二．结论的应用例1．（2008年全国Ⅱ卷）已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A ，B 两点设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于．解析：焦点弦所在直线的倾斜角为45，FA FB >，则由定理可得1cos 451λλ-=+，所以3λ=+例2．（2008年江西卷）过抛物线22 (0)x py p =>的焦点F 作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则AFFB= ．解析：根据抛物线的对称性知||||AF FB <，设AF FBλ=，由推论2可得1sin 301λλ-=+，所以13λ=．例3．（2009年全国Ⅰ卷）已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F ，过F 且的直线交C 于A B 、两点，若4AF FB =，则C 的离心率为（） A ．65 B ．75C ．58D ．95解析：由推论1得65e ==，故选A ．例4．（2010全国Ⅱ卷文理）已知椭圆()2222 1 0x y C a b a b+=>>：，过右焦点F 且斜率为k （0k >）的直线与C 相交于A B 、两点若3AF FB =，则k =（）A ．1BCD ．2解析：由推论1=，解得k =B ．例5．（2010全国Ⅰ卷文理）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C 于点D ，且2BF FD =uu u r uu u r，则C 的离心率为．解析：如图4，由题意可得||OF c =，||BF a =设直线BD 的倾斜角为θ，则cos ce aθ==，由定理可得2211213e -==+，所以e =由此可见，本文的结论在解决与圆锥曲线焦点弦相关的问题时非常快捷，既避免了繁琐的代数运算，又节省了不少时间，可谓是圆锥曲线有力工具之一．4图。

(完整word版)高中数学有关圆锥曲线的经典结论

分析几何专题·经典结论·常用技巧Marine相关分析几何的经典结论一、椭圆1.点 P 处的切线 PT均分△ PF1F2在点 P 处的外角 .2.PT 均分△ PF1F2在点 P处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除掉长轴的两个端点 .3.以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离 .4.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆x2y21上，则过 P0的椭圆的切线方程是x0 x y0 y1.2222a b a b6.若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆x2y21外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点a2b2弦 P1P2的直线方程是xxy0 y1.椭圆 x2y2a2b27. 1 (a＞ b ＞ 0) 的左右焦点分别为F1， F 2，点P 为椭圆上随意一点a2b2F1 PF2，则椭圆的焦点角形的面积为S F PF2b2 tan .12椭圆 x2y 28.1（a＞b＞0）的焦半径公式：a2b2| MF1 |a ex0,| MF2 |a ex0(F1 ( c,0), F2(c,0)M ( x0 , y0 ) ).9.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆订交P 、 Q两点， A 为椭圆长轴上一个极点，连接AP 和AQ分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、 N两点，则 MF⊥ NF.10.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、 A2为椭圆长轴上的极点，A1P 和 A2Q交于点 M， A P 和 A Q交于点 N，则 MF⊥NF.2111.AB 是椭圆x2y2 1 的不平行于对称轴的弦，M(x0 , y0 ) 为AB的中点，则a2b2k OM k AB b2a2，即 K AB b2 x0。

a2 y012.若 P0 ( x0 , y0 )x2y 21 内，则被Po在椭圆b2所平分的中点弦的方程是a2x0 x y0 y x02y02 a2b2a2b2.13.若 P ( x, y )在椭圆x2y2 1 内，则过Po的弦中点的轨迹方程是000a2b2x2y2x0 x y0 ya 22a2b2.b二、双曲线1.点 P 处的切线 PT 均分△ PF1F2在点 P 处的内角 .2.PT均分△ PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除掉长轴的两个端点 .3.以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线订交 .4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）5.若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线x2y21（a＞0,b＞ 0）上，则过P0的双曲线的切线方程a2b2是 x0 x y0 y1.a2b26.若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线x2y21（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切a2b2x0 x y0 y线切点为 P 、P ，则切点弦P P 的直线方程是1.1212a2b27.双曲线x2y21（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点 P 为双曲线上随意a2b2一点F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为SF1 PF2b2co t.28.双曲线x2y21 （a＞0,b＞o）的焦半径公式：( F1( c,0),F2 (c,0) a2b2当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时， | MF1 | ex0a ,| MF2 |ex0 a .当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时， | MF1 |ex0 a , | MF 2 |ex0a9.设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线订交P 、Q两点， A 为双曲线长轴上一个极点，连接 AP 和 AQ分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于M、 N两点，则 MF⊥ NF.10.过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的极点，A P 和 A Q交于点M， A P 和 A Q交于点 N，则 MF⊥ NF.122111.AB 是双曲线x2y 21 （a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M( x0, y0)为 AB a2b2b2 x0b2 x0的中点，则 K OM KAB，即 K AB。

高考数学中圆锥曲线重要结论的最全总结概要

高考数学圆锥曲线重要结论一、定义：第一定义:平面内到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离和为定值（大于两定点间的距离|F1F2|）2a的点的轨迹叫椭圆，两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，与坐标轴的交点叫顶点。

第二定义：平面内到一个定点F的距离与到定直线1的距离比为常数e（0<e<1）的点的轨迹，定点叫椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线；引申定义:⒈若一个圆C1内含于另一个圆C2，则与大圆内切与小圆外切的圆的圆心的轨迹为一椭圆，两圆的圆心为焦点，其长轴长为两圆半径之和；⒉在一个圆内有一点，则过该点且与已知圆相切的圆的圆心的点的轨迹为一椭圆，且其长轴长为已知圆的半径。

⒊过两点的两条直线的斜率之积为一负常数m的点的轨迹为一椭圆（两点除外）。

两定点为椭圆的顶点，两定点间的距离为长轴长。

（-1<m<0时，焦点在x轴上；当m<-1时，焦点在y轴上）例：过点（-8，0），（8，0）的两直线11，12的斜率之积为-3/8，求其交点的轨迹。

⒋将圆的横坐标（或纵坐标）拉伸或缩短为原来的m倍，该圆变成椭圆；⒌连接圆内一定点与圆上任一点的线段的垂直平分线与圆上该点到圆心的连线的交点的轨迹为一椭圆。

方椭圆的长半轴与圆的半径长相等；⒍两个同心圆较大圆上任一点与圆心的连线与小圆交于一点，从大圆上该点作x轴的垂线，则过小圆交点向该垂线作垂线，其垂足的点的轨迹为椭圆。

对应练习：⑴在椭圆上任一点M与焦点F1F2构成△MF1F2，I为该三角形的内心，连MI交长轴于N点，则MI/IN的值为多少？⑤若过点P作∠F1PF2的平分线交过点F1作其平分线的垂线于M,交PF2于N点,则有PF1=PN,所以有⑶在椭圆上任一点P求:·的最大值(a2-c2),PF1×PF2的最大值a2,点P到对应顶点的最短距离为a-c.⑷若在椭圆内部有一点M，要求作一点P使该点到右焦点F的距离与到该定点的距离和最小。

圆锥曲线焦点弦问题的魔法公式

圆锥曲线焦点弦问题的魔法公式作者：王海彬来源：《读书文摘（下半月）》2018年第04期摘要：圆锥曲线部分是解析几何的核心内容，同时也是高考必考知识点，在每年的高考题中总会出现1～2道客观题和1道解答题。

即使是客观题一般难度也较大，甚至于出现在选择题或填空题的最后一题，主要知识点为圆锥曲线的基本概念、性质、直线和圆锥曲线的位置关系，重点考查学生等价转化、数形结合、逻辑推理等能力。

特别是近年随着向量等多个知识点的融入，综合性和技巧性越来越强，方法灵活多样，学生很难掌握解题的规律。

在一次讲解课后作业过程中，笔者偶然发现了一个解决焦点弦相关问题的神级结论，这一结论会给我们解决这一类问题带来意想不到的“神奇”效果！关键词：圆锥曲线；焦点弦；向量；神级结论在人教版高中数学选修2-1作业本圆锥曲线部分出现了这样一道题：例：已知椭圆C：[x2a2+y2b2=1]（a>0，b>0）的离心率为[32]，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与椭圆C 相交于A、B两点，若[AF=3FB]，则k等于（）。

A.1B.[2]C.[3]D.2这道题让我有一种似曾相识的感觉，后来在2010年高考全国卷Ⅱ选择题第12题中找到了它的踪迹。

作为一道高考压轴的选择题，我们可以看出这肯定是一道难题，是拉开学生客观题分数的一个秘密武器，同时也是一道值得挖掘的好题。

学生的解法一般如下：解：∵椭圆C：[x2a2+y2b2=1]的离心率为[32]∴可设该椭圆的方程为： [x24b2+y2b2=1]，即[x2+4y2=4b2]。

设A（[x1]，[y1]），B（[x2]，[y2]），F（[3b]，[0]）。

由[AF=3FB]，可得[y1=-3y2]。

再设直线AB的方程为[x=my+3b]。

代入椭圆方程可得[m2+4y2+23mby-b2=0]。

∴[y1+y2=-23mbm2+4y1.y2=b2m2+4]又∵[y1=-3y2]，∴[-2y2=-23mbm2+4]，∴[]，[-3y22]=[-b2m2+43y22=b2m2+4]∴[b2m2+4]=[9m2b2（m2+4）2]∴[9m2=m2+4]。

2022届高考数学圆锥曲线重难点专题02 椭圆的焦点弦中点弦弦长问题(解析版)

【解析】由椭圆定义可知，，所以，
，当且仅当，即时取“=”.
又，所以 .
所以，由勾股定理可知：，所以 .
四、解答题
17．已知椭圆的短轴长为，焦点坐标分别是和 .
（1）求这个椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆交于､两点，且中点为，求直线的方程.
【解析】∵焦点坐标分别是和，
（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程.
【解析】（1）由题意得，解得，∴ ，
所以椭圆C的方程为 .
（2）由得， .
设，，则，，
∴ ，
又点到直线的距离为 .
所以的面积为，
当且仅当即时，的面积有最大值为1，
此时直线的方程为 .
21．已知椭圆C: 的离心率，直线l过点和，且坐标原点O到直线l的距离为 .
A． B． C． D．
【解析】将或代入椭圆的标准方程得，，
解得，因此，过焦点且垂直于长轴的弦长是 .故选：D.
3．已知F是椭圆的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为（）
A．6B．15C．20D．12
【解析】显然直线AB不垂直y轴，椭圆中心为原点O，设直线AB的方程为：x=my，
（2）若，过的直线l交椭圆C于M､N两点，且直线l倾斜角为，求的面积.
【解析】（1）由题设，，则，故，
∴椭圆C的标准方程为 .
（2）由题设易知：直线l为，联立椭圆并整理得：，
∴ ，，则，
到的距离为，∴
19．椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为
（1）求椭圆的方程
（2）斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，当时，求直线的方程