专题04 椭圆知识点和常见题型(解析版)

专题四：椭圆知识点和常见题型1、定义：平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆．即：。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围且且顶点、、、、轴长短轴的长长轴的长焦点、、焦距对称性关于轴、轴、原点对称离心率e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁通径过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b2/a焦半径公式题型一：求椭圆的解析式例1．求椭圆224936x y +=的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标；【详解】椭圆224936x y +=化为标准方程22194x y +=，∴3a =，2b =，∴c ==∴椭圆的长轴长为26a =，焦距为2c =焦点坐标为()1F，)2F ，顶点坐标为()13,0A -，()23,0A ，()10,2B -，()20,2B . 例2．求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆2212x y +=有相同的焦点，且经过点3(1,)2（2）经过(2,(2A B 两点 【详解】（1）椭圆2212x y +=的焦点坐标为(1,0)±，∵椭圆过点3(1,)2，∴24a =，∴2,a b ==，∴椭圆的标准方程为22143x y +=.（2）设所求的椭圆方程为221(0,0,)x y m n m n m n+=>>≠．把(2,(22A B -两点代入， 得：14213241mnmn⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得81m n ==，， ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2325，∴椭圆方程为2218x y +=．题型二：求轨迹例3．在同一平面直角坐标系xOy 中，圆224x y +=经过伸缩变换:12x x y y ϕ=⎧⎪⎨=''⎪⎩后，得到曲线C .求曲线C 的方程； 【详解】设圆224x y +=上任意一点(),M x y 经过伸缩变换:12x xy y ω=⎧⎪⎨=''⎪⎩得到对应点(),M x y '''.将x x '=，2y y '=代入224x y +=，得()2224x y ''+=，化简得2214x y ''+=.∴曲线C 的方程为2214x y +=；例4．已知ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,>>、、a b c a c b ，且2,2=+=c a b c ，求点C 的轨迹方程． 【详解】由题意，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系， 如图所示，因为2c =，则(1,0),(1,0)A B -，设(,)C x y ， 因为2a b c +=，即||||2||CB CA AB +=，4=，整理得所以22143x y +=，因为a b >，即||||CB CA >，所以点C 只能在y 轴的左边，即0x <． 又ABC 的三个顶点不能共线，所以点C 不能在x 轴上，即2x ≠-．所以所求点C 的轨迹方程为221(20)43x y x +=-<<．例5在圆228x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点Q 的轨迹方程. 【详解】解：已知在圆228x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足，设0(P x ，0)y ，(,)M x y ，0(D x ，0)，M 是PD 的中点，0x x ∴=，02y y =，又P 在圆228x y +=上，22008x y ∴+=，即2248x y +=，∴22182x y +=， ∴线段PD 的中点M 的轨迹方程是22182x y +=.题型三：求参数的范围例6：已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的上下两个焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于 ,M N 两点，2MNF ∆C. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，若存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.由题意2MNF ∆的面积为21212||2b cF F MN c MN a===由已知得2c a =，∴21b =，∴24a =， ∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=．（Ⅱ）若0m =，则()0,0P ，由椭圆的对称性得AP PB =，即0OA OB +=， ∴0m =能使4OA OB OP λ+=成立． 若0m ≠，由4OA OB OP λ+=，得144OP OA OB λ=+， 因为A ，B ，P 共线，所以14λ+=，解得3λ=．设()11,A x kx m +，()22,B x kx m +，由22,{440,y kx m x y =++-= 得()2224240k x mkx m +++-=，由已知得()()222244440m k k m ∆=-+->，即2240k m -+>，且12224km x x k -+=+，212244m x x k -=+，由3AP PB =，得123x x -=，即123x x =-，∴()21212340x x x x ++=， ∴()()2222224412044m k m k k-+=++，即222240m k m k +--=．当21m =时，222240m k m k +--=不成立，∴22241m k m -=-，∵2240k m -+>，∴2224401m m m --+>-，即()222401m m m ->-， ∴214m <<，解得21m -<<-或12m <<．综上所述，m 的取值范围为{|21012}m m m m -<<-=<<或或．直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。

⑵.从代数角度看：设直线L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到。

①. 若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L 与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L 与抛物线的对称轴平行或重合。

②.若，设。

.时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。

b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。

c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。

题型四：直线与椭圆的位置关系例7已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左，右焦点分别为()12,0F -，)22,0F ，且经过点)2,1M.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若斜率为2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且2AB =，求该直线的方程. 【详解】（1）依题意可知2c =根据椭圆的定义可知122MF MF a +=，即24a ==，2a =，b ==所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=.（2）设直线AB 的方程为2y x t =+，由222142y x tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得2298240x tx t ++-=，由于直线AB 和椭圆相交，所以()()22849240t t ∆=-⨯⨯->，解得t -<<设()()1122,,,A x y B x y ，则21212824,99t t x x x x -+=-⋅=，所以2AB ==，2=，29=， 两边平方并化简得29910t =，所以t =所以直线AB的方程为2y x =. 例8．已知P 是椭圆2212x y +=上的一动点.求P 到直线220x y ++=距离的最大值.【详解】P 在椭圆2212x y +=上，设,sin )P θθ，则P 到直线220x y ++=距离为d===，其中1sin ,cos 33ϕϕ==，ϕ取锐角． ∴当sin()1θϕ+=时，max d ==弦长问题直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。

即当直线与圆锥曲线交于点，时，则====题型四：弦长公式例9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点()3,0，且经过点31,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，点M 是x 轴上的一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点（点A 在x 轴的上方） （1）求椭圆C 的方程；（2）若2AM MB =，且直线l 与圆224:7O x y +=相切于点N ，求MN 的长.试题解析：（1）由题意知()22222233{114a b c b -==⎛ -⎝⎭+=，即()()24430a a --=， 又2233a b =+>，故224,1a b ==，椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设(),0M m ，直线()()1122:,,,,l x ty m A x y B x y =+， 由2AM MB =，有122y y =-，221ax by +=由()222221{42404x y t y my m x yy m+=⇒+++-==+， 由韦达定理得212122224,44tm m y y y y t t -+=-=++， 由2122122222,2y y y y y y y y =-+=-+=-，则()()221212122y y y y y y ⎡⎤=--+=-+⎣⎦，222242,244m tm t t -⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭，化简得()()2222448m t t m -+=-，原点O到直线的距离d =，又直线l 与圆224:7O x y +==22714t m =-，()()22224222448{2116160714mt t m m m t m -+=-⇒--==-，即()()2234740m m -+=，解得243m =，此时243t =，满足0∆>，此时M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 在Rt OMN ∆中，21MN ==，所以MN. 例10在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0B ，()2,0C -，设直线AB ，AC 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-，记点A 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）若直线l ：1y x =+与E 相交于P ，Q 两点，求PQ ． 【详解】解：（1）设点(,)A x y ，则12y k x =-，2+2y k x =， 因为1212k k =-，则12122+2y y x k x k ⋅=--=， 整理得：22142x y +=，斜率存在，所以2x ≠±，所以E 的方程：22142x y +=，（0y ≠） （2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由221142y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到23420x x +-=，则2443(2)400∆=-⨯⨯-=>，所以12124323x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，则12PQ x =-=，所以PQ =题型五：中点弦问题例11设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为4，离心率为2．设点(2,1)M 是直线l 被椭圆所截得的线段AB 的中点，求直线l 的方程． 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由(2,1)M 在椭圆内， 过点(2,1)M 的直线与椭圆有两个交点,再由椭圆的对称性可确定直线AB 的斜率一定存在.则()()()()221112121212222241640416x y x x x x y y y y x y ⎧+=⇒-++-⋅+=⎨+=⎩， 整理得：()12121212142y y x x x x y y -+==---+所以斜率12k =-，所以直线l 的方程为240x y +-=． [点评] 关于中点弦问题，一般采用两种方法解决：(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算. (2)利用“点差法”求解，即若椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且弦AB 的中点为M (x 0，y 0)，则⎝⎛x 21a 2＋y 21b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1. ②由①－②得a 2(y 21－y 22)＋b 2(x 21－x 22)＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0.这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决． 题型六：定值问题1．与圆锥曲线有关的最值和范围的讨论常用以下方法(1)结合圆锥曲线的定义，利用图形中几何量之间的大小关系；(2)不等式(组)求解法，根据题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)，得出参数的变化范围；(3)函数值域求解法，把所讨论的参数作为一个函数，选一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围；(4)构造一个二次函数，利用判别式求解；(5)利用不等式，若能将问题转化为“和为定值”或“积为定值”，则可以用基本不等式求解；例12．（定点问题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，1(3,)2M -是椭圆C 上的一点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)P -作直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B ，A 点关于x 轴的对称点为D ，问直线BD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【详解】（1）∵3c a =222a b c =+，∴224a b =，∴222214x y b b +=，将1(3,)2M -代入椭圆C ，∴21b =，∴22:14x C y +=.（2）显然AB 斜率存在，设AB 方程 为：(4)y k x =+，2222221(14)3264404(4)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩， 2161920k ∆=->，∴2112k <.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，11(,)D x y -，∴21223214k x x k +=-+，212264414k x x k -=+，∵()211121:y y BD y y x x x x ++=--，∴0y =时211112*********()()8x y x y kx x k x x x x y y k x x k -++=+=+++2233222332644322()4()1288128141413232832()814k k k k k k k k k k k k k k kk -+---++===--++-++， ∴直线BD 过定点(1,0)-.例13（定值问题）已知直线220x y 经过椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左顶点A 和上顶点D ，设椭圆C 的右顶点为B . （1）求椭圆C 的标准方程和离心率e 的值；（2）设点S 是椭圆上位于x 轴上方的动点，求证：直线AS 与BS 的斜率的乘积为定值．【详解】（1）由已知得，椭圆C 的左顶点为()20A -，，上顶点为()01D ，，2a ∴=，1b =，c =故椭圆C 的方程为2214x y += ，离心率e的值为2； （2）设()00S x y ，，且()20B ，， 220014x y ∴+=，故220014x y =-， 故200020001·2244SA SB y y y k k x x x ===-+--为定值． ∴直线AS 与BS 的斜率的乘积为定值．例14．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为2，且过点.（1）求椭圆M 的方程；（2）若A ，B 分别为椭圆M 的上，下顶点，过点B 且斜率为()0k k >的直线l 交椭圆M 于另一点N （异于椭圆的右顶点），交x 轴于点P ，直线AN 与直线x a =相交于点Q .求证：直线PQ 的斜率为定值. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，则2c a =①， 22421a b+=②，又222a b c =+③， 由①②③解得28a =，24b =，24c =，所以椭圆M 的标准方程为22184x y +=.（2）证明：易得(0,2)A ，(0,2)B -，直线l 的方程为2y kx =-，因为直线l不过点0)，所以k ≠由22228y kx x y =-⎧⎨+=⎩，得()222180k x kx +-=，所以2821N k x k =+，从而222842,2121kk N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，2,0P k ⎛⎫⎪⎝⎭， 直线AN 的斜率为2224221218221k k k k k --+=-+，故直线AN 的方程为122y x k =-+. 令22x =，得222,2Q k ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，直线PQ 的斜率22222(21)2222222(21)22PQ k k k k k k k -+-+-====---. 所以直线PQ 的斜率为定值22. 题型七：求离心率例15已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,126ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求该椭圆的离心率e 的取值范围．【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，则四边形1AFBF 为矩形，1||2,||||2∴==+=AB FF c AF BF a ． ||2sin ,||2ccos αα==AF c BF ，2sin 2cos 2αα∴+=c c a ，11sin cos 24πααα∴==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭e ． ,126ππα⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦，5,4312πππα⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦， 326sin ,424πα⎡⎤+⎛⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，6132sin ,422πα⎡⎤+⎛⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，∴椭圆的离心率631,⎡⎤∈-⎢⎥⎦e ．例16：椭圆的两个焦点的坐标分别为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），且椭圆经过点（，﹣） （1）求椭圆标准方程．（2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率． 解：（1）设椭圆的标准方程为+=1（a ＞b ＞0），则2a=+=2，即a=，又∵c=2， ∴b 2=a 2﹣c 2=6， 故椭圆的标准方程为：+=1，（2）由（1）得： 椭圆的长轴长：2，短轴长2， 离心率e==． 例17：已知直线:l y kx m =+与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>恰有一个公共点P ，l 与圆222x y a +=相交于,A B 两点.（I ）求k 与m 的关系式；（II ）点Q 与点P 关于坐标原点O 对称.若当12k =-时，QAB ∆的面积取到最大值2a ，求椭圆的离心率. 【详解】（I ）由2222,1y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()2222222220a k b x a kmx a m b +++-=，则()()()22222222240a kma kb a m b ∆=-+-=化简整理，得2222m a k b =+；（Ⅱ）因点Q 与点P 关于坐标原点O 对称，故QAB ∆的面积是OAB ∆的面积的两倍.所以当12k =-时，OAB ∆的面积取到最大值22a ，此时OA OB ⊥，从而原点O 到直线l 的距离2d =， 又21md k =+22212m ak =+. 再由（I ），得2222212a k b a k +=+，则22221b k a =-. 又12k =-，故2222114b k a =-=，即2238b a =，从而22222518c b e a a ==-=，即104e =.例18椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的中心在原点，12,F F 分别为左､右焦点，,A B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P 是椭圆上一点，且1PF x ⊥轴，2//PF AB ，求椭圆的离心率. 【详解】如图所示：()0,A b ，(),0B a ，()2,0F c ，因为1PF x ⊥轴，所以2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.222,b PF c a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(),AB a b =-.因为2//PF AB ，所以220b bc a a-+⋅=，即2b c =.所以()222225a b c c c c =+=+=，55c e a ==.题型八：求面积例19．已知椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为6，焦距为5P 为椭圆上的一点，1F ，2F 是该椭圆的两个焦点，若1260F PF ∠=︒，求： （1）椭圆的标准方程； （2）12PF F △的面积． 【详解】（1）设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，因为长轴长为6，焦距为53a =，5c =2b =，故椭圆方程为22194x y +=.（2）由椭圆的定义可得126PF PF +=，由余弦定理可得2212122cos6020PF PF PF PF +-︒=，整理得到22121220PF PF PF PF +-=，221212236PF PF PF PF ++=， 所以12163PF PF =，故121231643sin 6041323PF F S PF PF ⨯︒=⨯==⨯.例20．椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3,且过其右焦点F 与长轴垂直的直线被椭圆C 截得的弦长为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 的一个动点,直线33:l y x =+C 交于,A B 两点,求PAB △面积的最大值.试题解析：解：（1）∵椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32,3232c e c a a ∴==∴=,即2243c a =,又椭圆右焦点F 与长轴垂直的直线被椭圆C 截得的弦长为2,22222231141,1a c a b a b ∴+=∴+=,即24b =,又222a b c -=,所以2222344a b c a =+=+,即216a =,所以椭圆C 的方程为：221164x y ∴+=. （2）联立直线直线 33:42l x +与椭圆C 的方程，得223342{1164y x x y=++=，消去y ，整理可得2712520x x +-=，即()()72620x x +-=，解得2x =或267x =-，所以不妨设(26,,7A B ⎛- ⎝⎭，则AB ==， 设过P 点且与直线l 平行的直线L的方程为：y C =+，L 与l 的距离就是P 点到AB 的距离，即PAB △的边AB 边上的高，只要L 与椭圆相切，就有L 与的AB 最大距离，即得最大面积，将4y x C =+代入221164x y +=，消元、整理，可得：22716640x c ++-= 令判别式()()22471664c ∆=-⨯⨯-225628640c =-+⨯=，解得c == L ∴与AB19=，PAB ∴∆面积的最大值为：(1102197=.。