高职高等数学教案第三章导数的应用

第三章 导数的应用

§3-1 中值定理

一、罗尔定理

定理：如果函数()y f x 在闭区间,a b 上连续，

在开区间,a b 内可导，且()

()f a f b ，则在,a b 内至少在一点ξ，使得()

0f ξ。

几何意义：若连续曲线()y f x 上处处具有不垂直于x 轴的切线且两

端点的纵坐标相等，则在曲线上至少能找到一点，使曲线在该点处的切线平行于x 轴。

例：验证sin y x 在0,2π是否满足罗尔定理

证：sin y x 在0,2π上连续，sin y x 在0,2π上可导

(0)

(2)f f π

则在0,2π上至少存在一点ξ，使得()cos 0f ξξ

即1

23,2

2

π

πξξ 二、拉格朗日中值定理

定理：如果函数()y

f x 在闭区间,a b 上连续，

在开区间,a b 内可导，则在,a b 内至少有一点()ξa ξb ，使得()

()

()()f b f a f ξb a

几何意义：若连续曲线除端点外处处有不垂直于x 轴的切线，则该曲线上至少有一点存在，使得该点处切线平行于两个端点连线。

推论1：如果函数()y

f x 在区间,a b 上的导数恒为零，则()y

f x 在

区间,a b 上是一个常数。

推论2：如果()f x 及()g x 在区间,a b 上连续，在区间,a b 内可导，且

()

()f x g x ，则有()

()

f x

g x C 。

例1：验证33y x x 在0,2上是否满足拉氏定理

解：3

3y

x x 在0,2上连续，3

3y

x x 在0,2内可导

因为0,2;()0,()2a b f a f b ，则在0,2上至少存在一点ξ，使得

()

1f ξ

则2331ξ，即23

ξ

例2：证明当0x 时，

ln(1)1

x x x x

证：设()ln(1)f x x ，由于0x ，则()f x 在区间0,x 上满足拉格朗日中值

定理的条件，则有：()(0)

()(0),0

f x f f ξx ξ

x ，即ln(1

)

1x x ξ

由0x ，易推得ln(1

)1

x x x x

三、柯西中值定理

定理：如果函数()f x 及()g x 在闭区间,a b 上连续，在开区间,a b 内可导，且()g x 在,a b 内的每一点均不为零，则在,a b 内至少有一点(,)ξa b ，

使得

()()()()

()

()

f b f a f ξ

g b g a g ξ

三个定理的联系：

罗尔定理通过推广可得拉氏定理，拉氏定理通过推广可得柯西定理。 柯西定理中令()g x x 可得拉氏定理，拉氏定理中令()()f a f b 可得

罗尔定理。

§3-2 洛必达法则

一、00

型和

型未定式

定理1：设(),()f x g x 满足以下条件

（1）0

lim ()0,lim ()0x x x x

x

x

f x

g x ；

（2）在点0x 的某去心邻域内可导，且()0g x ； （3）0

()

lim ()

x x

x

f x

g x 存在（或无穷大） 则0

()()

lim

lim

()

()

x x

x x x

x

f x f x

g x g x 例1：求3

3

1

32lim

1

x x x

x

解：3

232

1

132

33lim

lim 01

3x x x x x x x

注：22133lim 3x x x 不是0

型，不能继续使用洛必达法则。

例2：求3

sin lim

x x x

x

解：32

000sin 1cos sin 1lim lim

lim

366

x x x

x x x

x x x x

例3：求arctan 2

lim 1x

π

x x

解：2

2

2

2

1

arctan 12

lim lim

lim 1111x

x

x π

x x x x x

x

定理2：设(),()f x g x 满足以下条件

（1）0

lim ()

,lim ()

x x

x x x

x

f x

g x ；

（2）在点0x 的某去心邻域内可导，且()0g x ； （3）0

()

lim

()

x x

x

f x

g x 存在（或无穷大） 则0

()()

lim

lim

()

()

x x

x x x

x

f x f x

g x g x 例4：求0

ln lim

ln cot x

x

x