高考数学复习 专题一 第二讲 数形结合思想课件
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高三数学专题二 数形结合的思想方法课件
程不可解，不能独立求解每一个方程，把两个方程联系起
来，思考解题方法. ［解析］ 两个方程都可以变形：lgx=3－x, 10x=3－x， 设f(x)=10x,则f －1(x)=lgx，y=3－x， 且 x1，x2分别为两函数f(x)=10x, y= 3－x的图象交点的横坐标， 返回目录 f
－1(x)=lgx的图象与
种意识和能力.
［答案］ D
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模拟训练
4. 已知 f(x) 是定义在 ( － 3,3) 上的奇函数 , 当 0<x<3 时 , f(x) 的图象如图所示，那么不等式 f(x)cosx<0 的解 集是
(
)
π π A.( 3, ) (0,1) ( ,3) 2 2 π π B.( ,1) (0,1) ( ,3) 2 2 C.( 3,1) (0,1) (1,3) π D.( 3, ) (0,1) (1,3) 2
坐标、等式或不等式等；“形”是数学研究中的图形形式，泛
指表示量与之对应的图形、几何意义等 . 数形结合，是把同一 数学问题在数量关系和空间形式这两个方面结合起来思考问题， 由形思数，由数思形，互相联想，达到互相转化并使问题得以 解决的数学思想. “数”和“形”是数学的两个最基本的研究对象，但在数 学早期发展史上，人们对数与形的研究是相对独立和隔离的， 从中发展出相对独立的代数学和几何学，直到解析几何学的建 立，通过坐标系才使数与形这两个对象完到直线①的距离为d， 则d
|1 4 t | 5 5 , 即5－t=±5.
∴tmin=0,tmax=10.
∴x－2y的最大值为10，故选D. ［点评］ 令t=f(x,y)，从而构造出t的几何意义，这是解
决某些代数式问题的常用方法 .有许多的数学问题，从叙述过
高三数学《数形结合》专题讲座课件
1．转换数与形的三条途径：
① 通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。 ② 转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度 来考虑。 ③ 构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。
2.运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法： ①“由形化数” ：就是借助所给的图形，仔细观察研究， 提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。 ②“由数化形” ：就是根据题设条件正确绘制相应的图形， 使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式 的本质特征。 ③“数形转换” ：就是根据“数”与“形”既对立，又统一 特 征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想， 适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量
由双曲线的图象和
3 |x+1|-|x-1| 2
3 知 x 4
【例13】函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[０,２π]的图 象与直线y=k有且仅有２个不同的交点,则k的取值 范围是_____.
例[14]。关于x的方程 +a=x有两个不 相等的实数根，试求实数a的取值范围.
| 1 x2 |
【例1】已知：有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为 P（-1，1），Q（2，2）.若直线l∶x+my+m=0与有向线 段PQ延长相交，求实数m的取值范围.
x m y 1
斜率函数模型
yb xa
【例2】求y=(cosθ-cosα+3)2+(sinθ-sinα-2)2的最大 (小)值.
θ,α∈R
【例11】已知f(x)是Ｒ上的偶函数,且在[０,+∞)上是减函 数,f(a)＝０(a>0),那么不等式xf(x)<0的解集是（ ）. Ａ. ｛x|0<x<a｝ Ｂ. ｛x|-a<x<0或x>a｝ Ｃ. ｛x|-a<x<a｝ Ｄ. ｛x|x<-a或0<x<a｝
数形结合 PPT课件
4、用三角解决几何问题
11
例、如图在 ABC 中，已知 AB AC, CF、BE 分别是AB、AC边上的高， 求证：AB CF AC BE
分析：要证AB CF AC BE
只需证AB ACsin A AC ABsin A 即证AB AC (AB AC)sin A
一、数形结合方法：就是在研究数学问题时，由数思形、 见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。
1、解析几何就是数形结合的光辉典范。 2、三大几何问题：化圆为方、倍立方体、三等分任意角
二、数形结合方法的应用 1、构造几何图形解决代数问题
例1、已知 x, y, z, r 都是正数，并且x2 y2 z2 , z x2 r 2 x2 求证：rz xy
证明：考虑单位正方形ABCD，对角线AC BD 2
AO a 2 b 2 BO (1 b)2 a 2
Aa
D
CO (1 a)2 (1 b)2 DO (1 a)2 b 2 由于AO CO AC BO DO BD
b O
所以原不等式成立，当且仅当AC BD O 时
我国著名数学家华罗庚曾写过一首描写数形结合的诗
数形本是两依倚，焉能分作两边飞。
数缺形时少直观，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
几何代数统一体，永远联系莫分离。
13
2019/9/13
14
由相交弦定理可得(b z)a b(x a)EF AB Q (b y)a b(z a)EF CD R
ax by(1) 即az bx(2)
ay z) b (x y z) 由x y z 0 得a b代入(1)(2)(3)得x y z 即PQR为等边三角形
11
例、如图在 ABC 中，已知 AB AC, CF、BE 分别是AB、AC边上的高， 求证：AB CF AC BE
分析：要证AB CF AC BE
只需证AB ACsin A AC ABsin A 即证AB AC (AB AC)sin A
一、数形结合方法：就是在研究数学问题时，由数思形、 见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。
1、解析几何就是数形结合的光辉典范。 2、三大几何问题：化圆为方、倍立方体、三等分任意角
二、数形结合方法的应用 1、构造几何图形解决代数问题
例1、已知 x, y, z, r 都是正数，并且x2 y2 z2 , z x2 r 2 x2 求证：rz xy
证明：考虑单位正方形ABCD，对角线AC BD 2
AO a 2 b 2 BO (1 b)2 a 2
Aa
D
CO (1 a)2 (1 b)2 DO (1 a)2 b 2 由于AO CO AC BO DO BD
b O
所以原不等式成立，当且仅当AC BD O 时
我国著名数学家华罗庚曾写过一首描写数形结合的诗
数形本是两依倚，焉能分作两边飞。
数缺形时少直观，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
几何代数统一体，永远联系莫分离。
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2019/9/13
14
由相交弦定理可得(b z)a b(x a)EF AB Q (b y)a b(z a)EF CD R
ax by(1) 即az bx(2)
ay z) b (x y z) 由x y z 0 得a b代入(1)(2)(3)得x y z 即PQR为等边三角形
高考数学 数形结合思想课件
先易后难答试卷，遇到生题想熟题， 解答难题需冷静，不言放弃做到底。 解题遇阻再审题，隐含条件要注意， 试卷复查审题始，再把运算看仔细。 书写表达要规范，认真分辨类型题， 解后检查很必要，该得分数不丢弃。 以上建议全做到，考场发挥没问题。 沉着自信心态好，大学录取必如意。
令MN: y1 K(x2),由O到MN距离为1得:
2k 1 k2 1
1,解得:k=0或k=43
M
f
(x,
y)min
0,
f
(x,
y)max
34 2 23
典例解析：
(三)利用几x2 何y图2 形的性质解题
例3 设P(x0,y0)是椭圆 a2 + b2 =1上任一点，F2为椭圆的右
焦点，求证分别以｜PF2｜及椭圆长轴为直径的两圆必内切。
相切时
k的值。由
y
x
2
kx y2
1 1
得 (1 k 2 ) x 2 2k x 2 0
则1 k 2 0. 4k 2 8(1 k 2 ) 0 k 2 2, k 2
由图知：直线与双曲线 的左支相切时， k 0, k 2 , 又当 直线与渐进线 y x平行时，直线 y k x 1与双曲线交于一点
专题
课题的引入
函数f (x)lnxx2的零点个数有多
用什么思想方法来解决这个问题 呢？
考纲要求:
灵活运用数形结合思想解决 有关的数学问题. 高考试题中的地位:
在历年的高考试题中,每套 试卷中至少有5道题目用到数形结 合思想解题.一般情况下客观试题 中至少有3道题目,主观试题中有2 道题目.分值大约有40分.
5y
○2
y x2 3 x y k
2
1 1 o ○
最新高考文科数学复习 数学思想方法 第2课时 数形结合的思想 PPT课件
解析：由f x 1 f x 1， 得f x f x 2 ，知函数 是周期为2的函数，因此根 据偶函数的性质首先作出f x 在 1,1 上的图象， 然后根据周期性作出f x 在1,3 上的图象，再作 1 x 出y ( ) 的图象． 10 1 x 由图象易知，函数f x 与y ( ) 的图象在 0,3内 10 1 x 有4个交点，因此方程f x ( ) 在x 0,3 上解 10 的个数是4，故选D.
数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直 观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维 结合起来，在解决代数问题时，想到它的图 形，从而启发思维，找到解题之路；或者在 研究图形时，利用代数的性质，解决几何的 问题．实现抽象概念与具体形象的联系和转 化，化难为易，化抽象为直观．这种处理数 学问题的方法，称之为数形结合的思想方法．
数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而 且也是一种重要的思维方法，因此，它在中 学数学中占有重要的地位．在高考中，充分 利用选择题、填空题的题型特点(这两类题型 只须写出结果而无需写出解答过程)，为考查 数形结合的思想提供了方便，能突出考查学 生将复杂的数量关系问题转化为直观的几何 图形问题来解决的意识，解答题中对数形结 合思想的考查则以由“形”到“数”的转化为主．
专题一
数 学 思 想 方 法
“数”和“形”是数学中两个最古老、最基 本的问题，是数学大厦的两块基石，数学的 所有问题都是围绕数和形的提炼、演变、发 展而展开的“数”和“形”是数学中两个最 基本的概念，它们既是对立的，又是统一的， 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、 大小、位置密切相关的数量关系；反之，数 量关系又常常可以通过几何图形做出直观地 反映和描述．
变式题：若曲线C：y 2 x 1与直线l： y kx b没有公共点，则k、b分别应满足的 条件是 .
专题数形结合在函数问题中的应用-新高考数学自主复习优质ppt课件
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专题1
数形结合在函数问题中的应用
【答案】D
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专题1
数形结合在函数问题中的应用
考法2 与不等式有关的问题
利用函数f(x)和g(x)图像的上下位置关系，可直观地得到不等式f(x)>g(x)或 f(x)<g(x)的解集．当f(x)的图像在g(x)的图像的上方时，此时自变量x的范围便是 不等式f(x)>g(x)的解集；当f(x)的图像在g(x)的图像的下方时，此时自变量x的范 围便是不等式f(x)<g(x)的解集．
专题1 数形结合在函数问题中的应用
[山东济南2020届期中]已知二次函数f(x)＝4kx2－4kx＋k＋1.
(1)若x1，x2是f(x)的两个不同零点，是否存在实数k，使(2x1＋x2)·(x1＋2x2)＝ 成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．
(2)设k＝－1，函数g(x)＝
存在3个零点．
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(i)求实数t的取值范围；
(ii)设m，n分别是这3个零点中的最小值与最大值，求n－m的最大值．
Hale Waihona Puke 专题1 数形结合在函数问题中的应用
高三数学专题复习：数形结合思想方法的应用ppt 人教课标版
f (
x 1 x 2 ) 2
0
f ( x t ) 0
f ( x t ) 0
O
x
y
x x0
f (
x 1 x 2 ) 2
0
f ( x t ) 0
f ( x t ) 0
O
x
y
x x0
f (
x 1 x 2 ) 2
0
f ( x t ) 0
f ( x t ) 0
O
足 且 x ， x1 是 x2 f (x 1) f ( 2)
x 1 x 2 ) 0 2 x 1 x 2 C. f ( ) 0 2 A . f (
e
2
f ( x )
f (x)
的导函数，则
x 1 x 2 ) 0 2 x x 1 2 D .f ( ) 符 号 不 确 定 2 B . f (
高三数学专题复习
——数形结合思想方法的应用
蚌埠二中 王传江
思考：如何描述数形结合思想方法？
以 形 助 数
以 数 促 形
热身练习反馈：
x 例1：已知函数 f() 且 恰有一个 x a x 1 ( a 0 a 1) 0 a 1 或 a e 零点，则实数 的取值范围是 a
2 x f( x ) 2 x c o s xx , ( 0 , )
小 结：
数无形时少直觉，
形少数时难入微。 数形结合百般好， 隔离分家万事休。 —— 华罗庚
作业： 课后练习 1,2,3,4,5
感谢各位老师的指导！！ 感谢同学们的配合！！ 祝同学们学习进步！！
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[例1]
(1)(2012·北京高考)函数f(x)＝x
1 2
－12x的零点的个数
为
()
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)(2012·天津高考)已知函数y＝|xx2－－11|的图像与函数y＝kx－2
的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
精选ppt
9
1
[思路点拨] (1)将函数的零点转化为两个函数y1＝x 2 与y2＝
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6
实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的 点的对应关系；②函数与图像的对应关系；③曲线与方程的对 应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念， 如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显 的几何意义．如等式(x－2)2＋(y－1)2＝4，表示坐标平面内以 (2,1)为圆心，以2为半径的圆．
x＋a－1的简图，依题意知应有
2a≤2－2a，故a≤12.
[答案] (1)(－1,0) (2)－∞精选，pp12t
16
解含参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨 论，导致运算过程繁琐冗长.如果题设与几何图形有联系， 那么利用数形结合的方法，问题将会顺利地得到解决.
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17
2．当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范
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12
1．若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[－1,1]时，
lg x，x>0， f(x)＝1－x2，函数g(x)＝0，x＝0，
－1x，x<0，
则函数h(x)＝f(x)－
g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数是
A．5
B．7
C．8
D．10
()
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13
解析：选 C 依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同 一坐标系下画出函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像，结合图像 得，当x∈[－5,5]时，它们的图像的公共点共有8个，即函数 h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数是8.
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4
(2)数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面， 其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观
性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，
比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；二是借助于 数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为 手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的 几何性质．
边沟通；将有序实数对(或复数)和点沟通；将二元一次方程与直
线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等．这种代数结
构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体
的)．另外，函数的图像也是实现数形转化的有效工具之一，正
是基于此，函数思想和数形结合思想经常相互渗透，演绎出解
题捷径．
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8
利用数形结合讨论方程的解或图像交点
精选ppt
5
2．数形结合的途径 (1)通过坐标系“形题数解”： 借助于直角坐标系、复平面，可以将几何问题代数化．这 一方法在解析几何中体现的相当充分(在高考中主要也是以解 析几何作为知识载体来考查的)．值得强调的是，“形题数解” 时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为 三角公式的使用，可以大大缩短代数推理)．
(2)若讨论x≥2a或x<2a解比较麻烦，可作出函数y1＝|x－2a|
与y2＝12x＋a－1的大致图像，利用数形结合思想求解．
精选ppt
15
[解析] (1)在同一坐标系中，分别作出y＝log2(－x)， y＝x＋1的图像，由图可知，x的取值范围是(－1 2
思想方法概述
角度一
专
第
应用角度例析 角度二
题
二
角度三
一
讲
通法归纳领悟
专题专项训练
精选ppt
1
精选ppt
2
精选ppt
3
1．数形结合的含义 (1)数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过 数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法． 数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简 单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有 助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的 有机结合．
围为
()
A．(2,3]
B．[4，＋∞)
C．(1,2]
D．[2,4)
解析：选 C 设y1＝(x－1)2，y2＝logax，则
y1的图像为如右图所示的抛物线．要使对
一切x∈(1,2)，y1<y2恒成立，显然a>1，并
且只需当x＝2时，logax≥1，所以a≤2，
精选ppt
14
利用数形结合解不等式或求参数问题
[例2] (1)使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是________．
(2)若不等式|x－2a|≥
1 2
x＋a－1对x∈R恒成立，a的取值范围
是________．
[思路点拨] (1)无法直接求解该不等式，可作出函数y1＝ log2(－x)和y2＝x＋1的图像，采用数形结合思想求解．
12x图像的交点问题求解．
(2)在同一坐标内画出两个函数的图像，利用数形结合求解．
[解析] (1)在同一平面直角坐标系内作
出y1＝x
1 2
与y2＝12x的图像如图1所示，易知，
两函数图像只有一个交点．因此函数f(x)＝
x
1 2
－12x只有1个零点．
图1
精选ppt
10
(2)根据绝对值的意义， y＝|xx2－－11|＝x－＋x1－，1x，>－1或1≤x<x－<11.， 在直角坐标系中作出该函数的图像，如图2中实线所示．根据 图像可知，当0<k<1或1<k<4时有两个交点．
图2
[答案] (1)B (2)(0,1)∪(精1,选4p)pt
11
(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题 转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要 注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解.
(2)正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键，数 形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合.
精选ppt
7
(2)通过转化构造“数题形解”：
许多代数结构都有着相应的几何意义，据此，可以将数与
形进行巧妙地转化．例如，将a(a>0)与距离互化；将a2与面积互
化，将a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2|a||b|cos θ(θ＝60°或θ＝120°)与
余弦定理沟通；将a≥b≥c>0且b＋c>a中的a、b、c与三角形的三