推理与证明易错题---教师版分析

推理与证明易错题

1．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；

丙说：我们三人去过同一城市．

有超级可判断乙去过的城市为（ ）

A ．A

B ．B

C ．C

D ．不确定 【答案】A 【解析】

试题分析：丙说：我们三人去过同一城市，则说明乙至少去过一个城市．

但乙说：我没去过C 城市．所以乙可能只去过A 城市或B 城市或A ，B 两个城市都去过．

但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，且乙又没去过C 城市，所以三人去过的同一城市为A 城市．

但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，所以乙只去过一个城市为A 城市，甲去过两个城市A ，C ． 故A 正确． 考点：推理．

2．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；

丙说：我们三人去过同一城市．

有超级可判断乙去过的城市为（ ）

A ．A

B ．B

C ．C

D ．不确定 【答案】A 【解析】

试题分析：丙说：我们三人去过同一城市，则说明乙至少去过一个城市．

但乙说：我没去过C 城市．所以乙可能只去过A 城市或B 城市或A ，B 两个城市都去过．

但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，且乙又没去过C 城市，所以三人去过的同一城市为A 城市．

但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，所以乙只去过一个城市为A 城市，甲去过两个城市

A ，C ．

故A 正确．

考点：推理．

3．用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02

=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）

A.方程02

=++b ax x 没有实根

B.方程02

=++b ax x 至多有一个实根

C.方程02=++b ax x 至多有两个实根

D.方程02=++b ax x 恰好有两个实根 【答案】A

【解析】反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“方程20x ax b ++=至少有一实根”的反面是“方程20x ax b ++=没有实根”，故选A. 考点：反证法.

4．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝

2S

a b c

++，类比这

个结论可知：四面体S —ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S —ABC 的体积为V ，则R 等于 A ．

1234V S S S S +++ B ．12342V

S S S S +++

C ．

12343V S S S S +++ D ．1234

4V

S S S S +++

【答案】C 【解析】

试题分析：四面体的内切球的球心与四个顶点连起来分成四个小三棱锥，其高都是R ，四个小三棱锥的体积和等于四面体的体积，因此R S R S R S R S V 43213

1

313131+++=，解得43213S S S S V R +++=

. 考点：类比推理的应用.

5．对于任意正整数n ，定义“!!n ”如下： 当n 是偶数时，!!(2)(4)642n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅， 当n 是奇数时，!!(2)(4)531n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅

现在有如下四个命题：

①(2003!!)(2002!!)20032002321⋅=⨯⨯⨯⨯⨯；

②1001

2002!!2

10011000321=⨯⨯⨯⨯⨯⨯；

③2002!!的个位数是0； ④2003!!的个位数是5。 其中正确．．

的命题有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】D

【解析】

试题分析：根据条件中的描述，可以做出如下判断， ①

：

(2003!!)(2002!!)(2003200131(200220002321⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯4)=20032002，正

确；

②：10012002!!200220002210011000321=⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯4，正确；

③：2002!!2002200042=⨯⨯⋅⋅⋅⨯，等号右边的因子中有末位是0的整数，显然乘积的个位数是0；正确

④：2003!!(20032001531=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯，等号右边的因子中有末位是5的整数，显然乘积的个位数是5，正确，∴正确的命题有4个. 考点：新定义类材料阅读题. 6．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )

A ．(7,5)

B ．(5,7)

C ．(2,10)

D ．(10,1) 【答案】B

【解析】依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知每组中每个“整数对”的和为n ＋1，且每组共有n 个“整数对”，这样前n 组一共有

()

12

n n +个“整数对”，注意到()101012+<60<()

111112

+，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)，选B.

7．①由“若a ，b ，c ∈R ，则(ab)c ＝a(bc)”类比“若a 、b 、c 为三个向量，则(a·b)c＝a(b·c)”；

②在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，猜想a n ＝2n

－2；

③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；

上述三个推理中，正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】

试题分析：①显然错误,向量没有结合律;

②根据221+=+n n a a ,可构造出)(21m a m a n n +=++,即2=m ,可得

22

2

1=+++n n a a ,该数列是公比为2,

首项是221=+a 的等比数列, 所以其通项公式为n n a 22=+,可得22-=n

n a ,正确;

③四面体就是三棱锥,可看作是底面三角形中任取一点,将其向上提而形成的几何体,显然三个侧面的

面积之和大于底面面积.正确.

考点：向量运算定律;利用递推公式构造等比数列求通项公式;空间几何的猜想.类比推理. 8．给出命题：若,a b 是正常数，且a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，则

号成立)

x 值分别为（ ） A

．11+

．11+

C ．25

．25，1

5

【答案】D

【解析】

试题分析：本题先从给出的命题中进行学习，获取一些基本的信息，进而利用这一信息进行作答．依

题意可得2222923(23)()2512212212f x x x x x x x +=+=+≥=--+-，当且仅当23212x x =-即1

5

x =时等号

成立，故选D ．

考点：创新学习题．

9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2n n S n a =*()n ∈N ，可归纳猜想出n S 的表达式为( )

A

【答案】A 【解析】

试题分析：1121111S a ⨯===+；22214S a a =+=，解得213a =，2422

321

S ⨯∴==+；3331193S a a =++=，解得316a =，3323231S ⨯∴==

+；4441111636S a a =+++=，解得41

10a =，4824541S ⨯∴==

+；于是猜想：21

n n

S n =+。故A 正确。 考点：归纳猜想。

10．“设ABC RT ∆的两边AB ，AC 互相垂直，则2

22BC AC AB =+”拓展到空间，类比平面几何

的勾股定理，在立体几何中，可得类似的结论是“设三棱锥BCD A -中三边AB 、AC 、AD 两两互相垂直，则___________”．