《杨辉三角》课件1
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浅谈杨辉三角的奥秘及应用
这个表就称为杨辉三角
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
n( n 1) an 2
与数字11的幂的关系
y 11
n
11 1 11 2 11 3 11
0
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
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1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
（a+b)4= 1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4
（a+b)5= 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5 （a+b)6=1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b
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（a+b)n 展开式的系数就是杨辉三角的第n行
斐波那契数列
换一角度“斜”向看： 斜线的和依次为： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．． a1=1,a2=1, a3 ＝2，…… 1 1 1 有：an=an-1+an-2 (n≥3) 2 3 1 1 5 8 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
杨辉三角
这样的二项式 系数表，早在我国 南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详 解九章算法》一书 里就已经出现了， 在这本书里，记载 着类似下面的表：
杨辉
中国南宋末年数学家、数 学教育家。大约在13世纪 中叶至后半叶活动于苏、 杭一带。字谦光，钱塘 （今杭州）人。其生卒年 及生平无从详考。杨辉的 数学著作甚多有《日用算 法》 《杨辉算法》等
斐波那契数与植物花瓣 3……百合和蝴蝶花
5…蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花
8………………………翠雀花 13………………………金盏和玫瑰
21……………紫宛 34、55、89……………雏菊
兔子繁殖问题
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力， 一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有 兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对； 两个月后，生下一对小兔民数共有两对； 三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖 能力，所以一共是三对；
第2k行的数字特征
所有数的和Hale Waihona Puke Baidu偶数
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
与数字2的幂的关系
y2
n
2
3
1+1 2 1 + 2 +1 1 + 3 + 3 +1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
2 2
1
2
0
1
杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂。
斜行和水平行之间的关系
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
1
1.三角形的两条斜边上都是 数字1，而其余的数都等于 它肩上的两个数字相加 2.杨辉三角具有对称性（对 称美），与首末两端“等距 离 ”的两个数相等
1 1 3.每一行的第二个数就是这 1 2 1 行的行数 1 3 3 1 1 4 6 4 1 4.所有行的第二个数构成等 1 5 10 10 5 1 差数列 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 5.第n行包含n+1个数 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
第
2
n
行的数字特征
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
n行中的第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和
1 1 与二项式展开系数的关系 1 2 1 1 3 3 1 （a+b)1= 1a+1b 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 2 2 2 （a+b) = 1a +2ab+1b 1 6 15 20 15 6 1
（a+b)3= 1a3+3a2b+3ab2+1b3
“杨辉三角”出现在杨辉 编著的《详解九章算法》一 书中，且我国北宋数学家贾 宪（约公元11世纪）已经用 过它，这表明我国发现这个 表不晚于11世纪．在欧洲， 这个表被认为是法国数学家 物理学家帕斯卡首先发现的, 他们把这个表叫做帕斯卡三 角．杨辉三角的发现要比欧 洲早500年左右.
杨辉三角基本性质
这个表就称为杨辉三角
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1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
n( n 1) an 2
与数字11的幂的关系
y 11
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11 1 11 2 11 3 11
0
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1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
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1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
（a+b)4= 1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4
（a+b)5= 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5 （a+b)6=1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b
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（a+b)n 展开式的系数就是杨辉三角的第n行
斐波那契数列
换一角度“斜”向看： 斜线的和依次为： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．． a1=1,a2=1, a3 ＝2，…… 1 1 1 有：an=an-1+an-2 (n≥3) 2 3 1 1 5 8 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
杨辉三角
这样的二项式 系数表，早在我国 南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详 解九章算法》一书 里就已经出现了， 在这本书里，记载 着类似下面的表：
杨辉
中国南宋末年数学家、数 学教育家。大约在13世纪 中叶至后半叶活动于苏、 杭一带。字谦光，钱塘 （今杭州）人。其生卒年 及生平无从详考。杨辉的 数学著作甚多有《日用算 法》 《杨辉算法》等
斐波那契数与植物花瓣 3……百合和蝴蝶花
5…蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花
8………………………翠雀花 13………………………金盏和玫瑰
21……………紫宛 34、55、89……………雏菊
兔子繁殖问题
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力， 一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有 兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对； 两个月后，生下一对小兔民数共有两对； 三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖 能力，所以一共是三对；
第2k行的数字特征
所有数的和Hale Waihona Puke Baidu偶数
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
与数字2的幂的关系
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1+1 2 1 + 2 +1 1 + 3 + 3 +1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
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杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂。
斜行和水平行之间的关系
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
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1.三角形的两条斜边上都是 数字1，而其余的数都等于 它肩上的两个数字相加 2.杨辉三角具有对称性（对 称美），与首末两端“等距 离 ”的两个数相等
1 1 3.每一行的第二个数就是这 1 2 1 行的行数 1 3 3 1 1 4 6 4 1 4.所有行的第二个数构成等 1 5 10 10 5 1 差数列 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 5.第n行包含n+1个数 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
第
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行的数字特征
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1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
n行中的第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和
1 1 与二项式展开系数的关系 1 2 1 1 3 3 1 （a+b)1= 1a+1b 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 2 2 2 （a+b) = 1a +2ab+1b 1 6 15 20 15 6 1
（a+b)3= 1a3+3a2b+3ab2+1b3
“杨辉三角”出现在杨辉 编著的《详解九章算法》一 书中，且我国北宋数学家贾 宪（约公元11世纪）已经用 过它，这表明我国发现这个 表不晚于11世纪．在欧洲， 这个表被认为是法国数学家 物理学家帕斯卡首先发现的, 他们把这个表叫做帕斯卡三 角．杨辉三角的发现要比欧 洲早500年左右.
杨辉三角基本性质