《杨辉三角》课件1
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19-20第1章1.31.3.2 杨辉三角课件人教新课标B版
(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 【精彩点拨】 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项 (或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将 x，y 的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．
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29
【解】 令 x＝1，则二项式各项系数的和为 f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展 开式中各项的二项式系数之和为 2n，由题意知，4n－2n＝992.
26
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27
3．二项式系数何时取得最大值？ 【提示】 当 n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当 n 是奇数时， 中间的两项 Cnn－2 1，Cnn+21相等，且同时取得最大值．
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28
【例 3】 已知 f(x)＝(3 x2＋3x2)n 展开式中各项的系数和比各项的二 项式系数和大 992.
.
19
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(3)∵Tr＋1＝Cr2 019(－2x)r＝(－1)r·C2r 019·(2x)r， ∴a2k－1＜0(k∈N＋)，a2k＞0(k∈N)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 019| ＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 019＝32 019.
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1．解决二项式系数和问题思维流程
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5
1．如图是一个类似杨辉三角的图形，则第 n 行的首尾两个数均为
________．
1 33
565
7 11 11 7
9 18 22 18 9 ……
【解析】 由 1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以 an＝2n－1.
【答案】 2n－1
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6
2．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右 第 14 与第 15 个数之比为 2∶3.
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29
【解】 令 x＝1，则二项式各项系数的和为 f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展 开式中各项的二项式系数之和为 2n，由题意知，4n－2n＝992.
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27
3．二项式系数何时取得最大值？ 【提示】 当 n 是偶数时，中间的一项取得最大值；当 n 是奇数时， 中间的两项 Cnn－2 1，Cnn+21相等，且同时取得最大值．
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28
【例 3】 已知 f(x)＝(3 x2＋3x2)n 展开式中各项的系数和比各项的二 项式系数和大 992.
.
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(3)∵Tr＋1＝Cr2 019(－2x)r＝(－1)r·C2r 019·(2x)r， ∴a2k－1＜0(k∈N＋)，a2k＞0(k∈N)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 019| ＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 019＝32 019.
20
栏目导航
1．解决二项式系数和问题思维流程
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5
1．如图是一个类似杨辉三角的图形，则第 n 行的首尾两个数均为
________．
1 33
565
7 11 11 7
9 18 22 18 9 ……
【解析】 由 1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以 an＝2n－1.
【答案】 2n－1
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6
2．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右 第 14 与第 15 个数之比为 2∶3.
杨辉三角PPT
C C C C
0 n 2 n 1 n 3 n
1答案 2答案
3 n 1 n
启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值， 是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。
0 2 1 2 2 2 n 2 n 思考2求证: (Cn ) (Cn ) (Cn ) (Cn ) C2 n. 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开 后比较xn的系数得：
(a+b)n展开式的二项式系数依次是:
(1)对称性: 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
m n m Cn 这就是组合数的性质 1: Cn
C ,C ,C ,
0 n
1 n
2 n
,C ， , C .
r n
n n
(2)递推性: 除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. (3)增减性与最大值. k k 1 增减性的实质是比较 Cn 与Cn 的大小. 从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减 n! n k 1 n! n k 1 k 1 小. C k Cn n k ! (n k )! k (k 1)! (n k 1)! k 0 1 2 r n (4)各二项式系数的和. Cn Cn Cn Cn Cn 2n
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-3
1.3.2《二项式定理 -杨辉三角》
教学目标
• 1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； • 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题； • 3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提 高分析问题和解决问题的能力 学习 • 重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 学习。 • 难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 • 授课类型：新授课 • 课时安排：1课时 • 教 具：多媒体、实物投影仪
杨辉三角课件
1 33 1
1 4641
第5行--
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
1 5 10 10 5 1
第6行-
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
1 6 15 20 15 6 1
知识探究3:
(a+b)1
(a+b)2
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
11 121
(a+b)3
…
)
也就是说, (1+x)n的展开式中的各个
二项式系数的和为2n，且奇数项的二
项式系数和等于偶数的二项式系数和
赋值法
课堂练习:
1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同
的项是( C ).
A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项
2、在(a＋b)11展开式中，二项式系数最大的项( C ).
C
5 5
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
总结提炼2:
C = C m
n-m
n
n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
第1行———
C
10C
1 1
第2行——
C
0 2
C
1 2
C
2 2
第3行—-
C
数学课件：1.3.2 杨辉三角
间两项,这两项的二项式系数相等并且最大,最大为C������2 = C������2 .
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 杨辉三角的应用
【例1】 在“杨辉三角”中,每行的两端都是1,其余每个数都是它 “肩上”两个数的和,“杨辉三角”开头几行如图所示.
(1)利用“杨辉三角”展开(1-x)6; (2)在“杨辉三角”中哪一行会出现相邻的三个数,它们的比是
12
【做一做2-2】 在(1-x)6的展开式中,含x的奇数次幂的项的系数 和为( )
A.32 B.-32 C.0 D.-64 解析:由 Tr+1=C6������ (-x)r=(-1)rC6������ xr 可知,含 x 的奇数次幂的项的系数 和为-(C61 + C63 + C65)=-32. 答案:B
=
4 5
,
化简得
3 4 4 5
= =
������
������+1-������
������+1 ������-������
,
,
1.理解杨辉三角的意义. 2.掌握二项式系数的性质并会应用.
12
1.杨辉三角 关于(a+b)n展开式的二项式系数,当n取正整数时可以单独列成下 表的形式:
上面的二项式系数表称为“杨辉三角”或“贾宪三角”,在欧洲称为 “帕斯卡三角”.
12
名师点拨 解决与杨辉三角有关的问题的一般方法:观察——分 析——试验——猜想结论——证明.要得出杨辉三角中数的诸多排 列规律,取决于我们的观察能力,观察的方法:横看、竖看、斜看、 连续看、隔行看,从多角度观察.
12
【做一做1】 如图所示,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第
高二数学《二项式定理-杨辉三角》详说课件
启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值， 是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。
1答案 2答案
令a=1，b=－1得
0 2 1 2 2 2 n 2 n 思考2求证: (Cn ) (Cn ) (Cn ) (Cn ) C2 n. 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开 后比较xn的系数得：
……………………
上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角)
思考: 观察二项式系数表，寻求其规律： (a+b)1…………… 1 1
(a+b)2……………1
2 1
(a+b)3…………1 3 3 3 1 (a+b)4………1 4 6 4 1
(a+b)5……1 5 (a+b)6…1 6
除了这个性质外, 该表还蕴藏有什 么性质呢?
思考3
2答案
1.当n10时常用杨辉三角处理二项式 系数问题; 2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式 系数的对称性、增减性和最大值; 3.常用赋值法解决二项式系数问题.
课外思考: 0 1 2 n n1 Cn 2Cn 3Cn n 1 Cn n 2 2 1.求证：
市场一直在上涨趋势中，其中有一些微小的回调(更高的高点和更高的低点)。5分钟线图上，在之前小幅下跌到该线下方后，价格温和反弹上涨到100线移动均线上方。最后一步的止损位并没有 威胁性，并且价格迅速飙升。市场一直在上涨趋势中，其中有一些微小的回调(更高的高点和更高的低点)。在此轮上涨过程中，不应该有恐惧。当然，价格上涨并且回调到前期高点(见灰线)下 方，但是，在它达到100线移动均线前，它形成一个v形反转。价格在1.2891见顶，自最后的回调低点又上涨了将近100个基点。我在1.272 5价位做多。价格现在是1. 289 1。伴随趋势万事顺利。 然而，随着价格触及1.291 5-1.293 1的关键阻力位(月度高点)，现在是时候思考未来的情况并计划下一次交易了，是时候考虑哲时退出交易了。在交易日以及交易之初，这看起来似乎不可能， 但是,1. 291 5-1. 293 1的月度交易高点近在眼前。这是可能会导致兑现部分利润并在第一次检验时抛售的价位水平。精明的交易者预测到趋势，赚取了165个基点的利润，他们可能在此水平 抛售，或者兑现部分利润，他们知道，如果价格上涨到1.293 1，他们就会买入。这是非常健康的资金管理方式，并且该交易很合理。在市场走得越来越高时，交易者卖出(做空)，他们也会在 此水平卖出。在他们的思想中，这是回调的时刻，可以让其重返盈亏平衡点。千万不要成为这样的交易者!如果价格的确发现了卖方，并且走低，该出现的情况是买入并改建低点支撑位。为了 兑现利润(或退出),我总是需要一个卖出的技术面因素。仅仅因为产生利润就卖出并不是一个好理由。然而,依据在1. 291 5-1. 293 1关键阻力位卖出就是一个卖出的好理由。它应该适一个关 键界限。界限会给我们提供交易的理由。除了1.291 5-1. 293 1区城外,还有没有其他可以卖出的区域?,1. 289 1-1. 293 1仍有40个基点。因为我总是要展望未来，并且我的图表是动态，而非 静态的.所以存在三种退出交易的选择。 选择方案1依据顶部趋势(图11.5A)卖出。当市场趋势走高(或走低)时，它不仅对通过连接更高低点绘制牛市趋势线是重要的，而且对连接图中更高的高点也是很重要的。 依据顶部趋势(图 11.5A)卖出。当市场趋势走高(或走低)时在图中，当最后一次平仓做空仓位时，市场已经把价位推升到了顶部趋势线。该线连接着该交易日的高点。这个价位水平出现在1.289 1。这是低风险 卖出界限吗?是的!依犯顶部趋势线界限卖出时，我的风险是什么?我确实有风险，因为我正在把自己带离自己想要处于的趋势。此时，我的风险是，是否价格会上涨到趋势线上方，并且突破到 月度高点1.293 1上方。如果出现这种情况，我需要在突破时买入。因此，通过在这里卖出，我会放弃40个基点的利润，并且必须在新突破时买入。可以通过其他途径界定风险。我可能依靠 1.289 1区域的趋势线卖出，但是，如果价格上涨到顶部趋势线上方7-10个基点(1. 289 8 -1. 290 1)，我就会买回自己的仓位。如果价格带最上涨到趋势线上方，就会出现额外的空头回补买 盘，这会迅速把价格推升到1.293 1,如果依据1.290。区域买入，我只会把止损放到趋势线下方5-10个基点的1.288 5。逻辑是，如果价格突破这条明显的趋势线，之后突破失败，回调下跌就有 可能自该点开始。因此，在这种选择中，在趋势线上兑现利润时，我所冒的风险为12-20个基点。这是我无法拒绝的选择。我依据界限进行交易，我已经界定了风险，并且我制订了明确的计划。 如果市场回调下跌，我可以在一个更合适的水平上重建多头仓位，或者，如果市场没有回调，并且继续走高，我会返回趋势重新买入。我取得165个基点的利润，所有选择都可以重建多头仓位。 这是抓紧趋势的回报。在逻辑上也完全说得通。对良好的趋势交易来讲.没有恐惧，只有快乐。
1答案 2答案
令a=1，b=－1得
0 2 1 2 2 2 n 2 n 思考2求证: (Cn ) (Cn ) (Cn ) (Cn ) C2 n. 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开 后比较xn的系数得：
……………………
上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角)
思考: 观察二项式系数表，寻求其规律： (a+b)1…………… 1 1
(a+b)2……………1
2 1
(a+b)3…………1 3 3 3 1 (a+b)4………1 4 6 4 1
(a+b)5……1 5 (a+b)6…1 6
除了这个性质外, 该表还蕴藏有什 么性质呢?
思考3
2答案
1.当n10时常用杨辉三角处理二项式 系数问题; 2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式 系数的对称性、增减性和最大值; 3.常用赋值法解决二项式系数问题.
课外思考: 0 1 2 n n1 Cn 2Cn 3Cn n 1 Cn n 2 2 1.求证：
市场一直在上涨趋势中，其中有一些微小的回调(更高的高点和更高的低点)。5分钟线图上，在之前小幅下跌到该线下方后，价格温和反弹上涨到100线移动均线上方。最后一步的止损位并没有 威胁性，并且价格迅速飙升。市场一直在上涨趋势中，其中有一些微小的回调(更高的高点和更高的低点)。在此轮上涨过程中，不应该有恐惧。当然，价格上涨并且回调到前期高点(见灰线)下 方，但是，在它达到100线移动均线前，它形成一个v形反转。价格在1.2891见顶，自最后的回调低点又上涨了将近100个基点。我在1.272 5价位做多。价格现在是1. 289 1。伴随趋势万事顺利。 然而，随着价格触及1.291 5-1.293 1的关键阻力位(月度高点)，现在是时候思考未来的情况并计划下一次交易了，是时候考虑哲时退出交易了。在交易日以及交易之初，这看起来似乎不可能， 但是,1. 291 5-1. 293 1的月度交易高点近在眼前。这是可能会导致兑现部分利润并在第一次检验时抛售的价位水平。精明的交易者预测到趋势，赚取了165个基点的利润，他们可能在此水平 抛售，或者兑现部分利润，他们知道，如果价格上涨到1.293 1，他们就会买入。这是非常健康的资金管理方式，并且该交易很合理。在市场走得越来越高时，交易者卖出(做空)，他们也会在 此水平卖出。在他们的思想中，这是回调的时刻，可以让其重返盈亏平衡点。千万不要成为这样的交易者!如果价格的确发现了卖方，并且走低，该出现的情况是买入并改建低点支撑位。为了 兑现利润(或退出),我总是需要一个卖出的技术面因素。仅仅因为产生利润就卖出并不是一个好理由。然而,依据在1. 291 5-1. 293 1关键阻力位卖出就是一个卖出的好理由。它应该适一个关 键界限。界限会给我们提供交易的理由。除了1.291 5-1. 293 1区城外,还有没有其他可以卖出的区域?,1. 289 1-1. 293 1仍有40个基点。因为我总是要展望未来，并且我的图表是动态，而非 静态的.所以存在三种退出交易的选择。 选择方案1依据顶部趋势(图11.5A)卖出。当市场趋势走高(或走低)时，它不仅对通过连接更高低点绘制牛市趋势线是重要的，而且对连接图中更高的高点也是很重要的。 依据顶部趋势(图 11.5A)卖出。当市场趋势走高(或走低)时在图中，当最后一次平仓做空仓位时，市场已经把价位推升到了顶部趋势线。该线连接着该交易日的高点。这个价位水平出现在1.289 1。这是低风险 卖出界限吗?是的!依犯顶部趋势线界限卖出时，我的风险是什么?我确实有风险，因为我正在把自己带离自己想要处于的趋势。此时，我的风险是，是否价格会上涨到趋势线上方，并且突破到 月度高点1.293 1上方。如果出现这种情况，我需要在突破时买入。因此，通过在这里卖出，我会放弃40个基点的利润，并且必须在新突破时买入。可以通过其他途径界定风险。我可能依靠 1.289 1区域的趋势线卖出，但是，如果价格上涨到顶部趋势线上方7-10个基点(1. 289 8 -1. 290 1)，我就会买回自己的仓位。如果价格带最上涨到趋势线上方，就会出现额外的空头回补买 盘，这会迅速把价格推升到1.293 1,如果依据1.290。区域买入，我只会把止损放到趋势线下方5-10个基点的1.288 5。逻辑是，如果价格突破这条明显的趋势线，之后突破失败，回调下跌就有 可能自该点开始。因此，在这种选择中，在趋势线上兑现利润时，我所冒的风险为12-20个基点。这是我无法拒绝的选择。我依据界限进行交易，我已经界定了风险，并且我制订了明确的计划。 如果市场回调下跌，我可以在一个更合适的水平上重建多头仓位，或者，如果市场没有回调，并且继续走高，我会返回趋势重新买入。我取得165个基点的利润，所有选择都可以重建多头仓位。 这是抓紧趋势的回报。在逻辑上也完全说得通。对良好的趋势交易来讲.没有恐惧，只有快乐。
杨辉三角上课用PPT课件
(a+b)6…1 6 15 20 15 6 1
观察每一行的第一个和最后一个数有什么特点？
(1)对称性: Cn0 1,Cnn 1
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这就是组合数的性质
1: Cnm
C nm n
第2页/共32页
(a性+b质)1…………… 1 1
(2)递推性:
除(a1+以b)外2…的…每…一个…数…都1等2于它1肩上两个数的和.
第15页/共32页
题型 证明不等式
例20．证明： 当n N*且n 1 2 (1 1)n 3
n
证明 (1
1 )n n
1 Cn1
1 n
Cn2
1 n2
11 Cn2
1 n2
2
通项
Cnk
1 nk
n(n
1)
k
(n !
k
1)
1 nk
nk k!
1 nk
1 k!
(1
1)n n
1
C
1 n
1 n
Cn2
1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．
第21页/共32页
探究：横行规律
第0行
1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15
1）杨辉三角中的第1，3，7，15，…行，即第 2n-1行的 各个数字为奇数？
则第2n行的数字有什么特点？除两端的1之外都是偶数.
第22页/共32页
解:?1二项式系数之和为C90 C91 C92 C99 29 512.
解 : 设2x 3y9 a0x9 a1x8y a2x7y2 a9y9. 2令x y 1得各项系数之和为a0 a1 a2 a9 21 319 1.
高中数学人教A版 选择性必修第三册 数学探究 杨辉三角的性质与应用 课件
四、总结提升
回顾1：关于杨辉三角的性质的探究，我们是如何一步步发现和提出探 究问题的？
回顾2：杨辉三角的性质：
性质1：
性质2： Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2n
性质3：Cnr
C r1 n1
Cnr1
性质4： Cn0 2 Cn1 2 Cnn 2 C2nn
性质5：Crr Crr1 Crr2 Cnr1 Cnr1
数学探究 杨辉三角的性质与应用
一、杨辉三角的历史
在 探 究 (a ＋ b)n 的 展 开 式 的 二 次 项 系数性质时，曾把系数写成一张 表格的形式：
我国南宋数学家杨辉在1261年所 著的《详解九章算法》一书中， 就出现了该表：
一、杨辉三角的历史
该表称为杨辉三角. 我国：杨辉在《详解九章算法》里指出， 杨辉三角出于《释锁》算书，我国北宋 数学家贾宪（约11世纪）曾用过； 欧洲：该表被法国数学家帕斯卡（16231662）首先发现.
Cnr1
二、杨辉三角的性质探究
问题3：你能证明上述猜想
Cnr
C r1 n1
Cnr1
吗？
证明：右边
C r1 n1
Cr n1
(n 1)! (n 1)! (r 1)!(n r)! r!(n 1 r)!
(r
(n 1)!(n
1)! r（) n
r
1)!
r(r
(n 1)! 1)!(n 1
r)!
(n 1)!r (n 1)!(n r(r 1)!(n r（) n r
即 Crr Crr1 Crr2 Cnr1 Cnr1
三、杨辉三角的应用探究
数列古算题（出自杨辉《详解九章算法》） 三角垛，下广，一面十二个，上尖，问计几何. 上述三角垛问题一般化后，相当于如下问题： 底层是每边堆n个圆球的三角形，向上逐层 每边减少1个，顶层是1个，求总数.
中考复习 杨辉三角ppt课件
C．5 2
D． 51
1 23 256 7 2 2 3 10 ………
9
4．【2015广西】将正整数按如图所示的规律排 列下去，若用有序数对（m，n）表示第m排，从 左到右第n个数，如（3，2）表示正整数5，（4， 3）表示正整数9，则（100，16）表示的正整数 是 4966 ．
10
5．(2018·枣庄)将从1开始的连续自然数按如下 规律排列：
所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”从图中
取一列数：1，3，6，10，…，记a1=1，a2=3，;a11﹣2a10+10的值是
．
8
3．(2018·十堰)如图，是按一定规律排成的三
角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左
至右第5个数是 ( B )
A．2 10
B． 41
11 +
12 1 +
13 3 1 +
14 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
第7行
1 7 21 35 35 21 7 1
一般有
············
Cr r
Cr r1
Cr r2
Cr n1
C r1 (n n
r)
5
探究3
杨辉三角中试写出斜行直线上数字的和, 有
1.（2018年德州）我国南宋数学家杨辉所著的《详 解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项 式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为 “杨辉三角”根据”杨辉三角”请计算（a+b）8的 展开式中从左起第四项的系数为（ ） A．84 B．56 C．35 D．28
7
1（2018年孝感）我国古代数学家杨辉发现了如图
杨辉三角ppt PPT课件
2. 杨辉三角与弹子游戏
在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小 球 (黑色 ) 向容器内跌落，碰到第一层阻 挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层 阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，
如是，一直下跌，最终小 球落入底层，根据具体区 域获得奖品。试问：为什 么两边区奖品高于中间区 奖品？
3.杨辉三角与“纵横路线图” “纵横路线图”是数学中的一类有趣
第1行
11
第2行
121
第3行
1 3 31
第4行
1 4 6 41
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
第7行
1 7 21 35 35 21 7 1
…… ………
… … 第n-1行 1
C C 1
2
n1 n1
C C r1 r n1 n1
第n行1
C
1 n
Cn2
… ……C…nr … …
研究性课题：
杨辉三角
杨辉三角
第0行
1
第1行
11
第2行 第3行 第4行 第5行
12
4=1+3
10=6+4 1
15=5+10
1
4
3
6
1 6=3+3 3 1 10=6+4
4 1 20=10+10
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
…… ……
C
r n
C r1 n1
C
r n1
A
B
由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系
五、小结
1、杨辉三角蕴含的基本性质 2、杨辉三角蕴含的数字排列规律
杨辉三角PPT优秀课件
B 1
1 1 4
A
1 1 3
1
3
2
1
1
A
6 4 1 5 10 5 10 15 20 15 35 35 B70
2、杨辉三角的对称性：
C C .
r n
nr n
3、杨辉三角的第 n行就是二项式 (a b) 的展开式的系数，即：
n
(a b) C a C a b
n r 0 n n 1 n
2.1杨辉三角(1)
杨辉最重要的著作是《详解九章算法》． 为了使《九章算术》便于自学，杨辉对 该书的246个问题中较难的80题作了详解， 并增添了“图解、乘除算法和纂类”三卷． “详解”包括三个方面：一是“解题”，即解 释题意、名词术语，校勘文字，并对题目 作出评注；二是“细草”，即详细的解题过 程及必要的图示；三是“比类”，即增选与 原题算法相同或类似的例题进行对照分析． “纂类”是把《九章算术》中的全部问题按 解题方法由浅入深的顺序重新整理分类．
杨辉三角与“纵横路线图” “纵横路线图”是数学中的一类有趣 的问题．图 1 是某城市的部分街道 图，纵横各有五条路，如果从 A 处 走到 B 处 ( 只能由北到南，由西向 东 ) ，那么有多少种不同的走法？
我们把图顺时针转 45 度，使 A 在 正上方， B 在正下方，然后在交叉 点标上相应的杨辉三角数．有趣的 4 是， B 处所对应的数 C 8 =70 ， 正好是答案 ( 70) ． 一般地 , 每个交点上的杨辉三角数， 就是从 A 到达该点的方法数．由此 看来，杨辉三角与纵横路线图问题 有天然的联系．
n1
Ca
r n
n r
b C b
n n n
请用数学归纳法证明这一性质 。
《杨辉三角》_精品教学PPT人教版1
《 杨辉三 角》优 品教学P PT人教 版1-精 品课件 ppt(实 用版)
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解析：
由图1我们能发现，第1行中的数是 C10，C11 第2行中的数是 C02，C12，C22 第3行中的数是 C03，C13，C32，C33 则第n行中的数是 Cn0，C1n，Cn2， ，Cnn 设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2 : 3
则 C1n3·C1n4 = 2 : 3 ，解得 n = 34
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2.(1-x3)•(1+x)10的展开式中含x4的项的系数 2为00_____(用数字作答).
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针对性练习
1. 如图１，在由二项式系数所构成的杨辉三 角中，第___3_4__行中从左到右第14与第15个数的 比为2:3 .
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课堂小结
1.二项式系数的三条性质
（1）对称性; （2）增减性与最大值; （3）各二项式系数的和; （4）递推性（杨辉三角中）.
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解析：
由图1我们能发现，第1行中的数是 C10，C11 第2行中的数是 C02，C12，C22 第3行中的数是 C03，C13，C32，C33 则第n行中的数是 Cn0，C1n，Cn2， ，Cnn 设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2 : 3
则 C1n3·C1n4 = 2 : 3 ，解得 n = 34
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2.(1-x3)•(1+x)10的展开式中含x4的项的系数 2为00_____(用数字作答).
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针对性练习
1. 如图１，在由二项式系数所构成的杨辉三 角中，第___3_4__行中从左到右第14与第15个数的 比为2:3 .
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课堂小结
1.二项式系数的三条性质
（1）对称性; （2）增减性与最大值; （3）各二项式系数的和; （4）递推性（杨辉三角中）.
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【数学课件】杨辉三角1
1ab
k
C
k k
bk
1
=
C k0a k
+1
+
(C
1 k
C
0 k
)a k b
+
+
(C
r k
+1
C kr
)a k r b b+1
+
+
(C
k k
C kk－1 )ab k
+
C
k k
bk
+1
利用组合数的两个重要性质可得
(a
b)k1
C a0 k1 k1
C a b 1 k 1 k 1
C a b r1 kr r1 k1
C bk1 k1 k 1
1、横行规律
第0行
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15
1）杨辉三角中的第1，3，7，15，…行，即2k—1行的各 个数字有什么特点？ 都是奇数
则第2K行的数字有什么特点？ 除两端的1之外都是偶数.
第0行
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
研究性课题：
杨辉三角 （一）
一、复习杨辉三角 (二项式系数表) 二项式(a+b)n展开式的二项式系数，当
n依次取1，2，3．．．时，列出的一张表. 因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过
深入研究，所以我们又称它为杨辉三角
杨辉----杭州钱塘人。中 国南宋末年数学家，数学教育 家．
著作甚多，他编著的数学 书共五种二十一卷，著有《详 解 九 章 算 法 》 十 二 卷 （ 1261 年）、《日用算法》二卷、 《乘除通变本末》三卷、《田 亩比类乘除算法》二卷、《续 古摘奇算法》二卷．
第3章 杨辉三角与两数和的乘方 浙教版七年级数学下册课件(共23张PPT)
在欧洲，这个表被认为是法
国数学家物理学家帕斯卡首
先发现的,他们把这个表叫做
帕斯卡三角．其实，杨辉三
角的发现要比欧洲早500年左
右.
例1：计算( + )
练习1：计算( − )
转化
[ + − ]
变式1：求( + ) 中 项的系数 赋值法
( + ) 可以被2整除吗？
今天是星期四 ，再过天后是星期几？
例2：今天是星期四
变式1：今天是星期四，再过 天后是星期几？第1行1Fra bibliotek第2行
1 1
第3行
1 2 1
第4行
1 3 3 1
第5行
1 4 6 4 1
第6行
1 5 10 10 5 1
第7行
1 6 15 20 15 6 1
第8行
1 7 21 35 35 21 7 1
………………………………
规律探究
杨辉三角第 行（n是正整数）的各
横
行
规
律
第1行
第2行
1
1 1
第3行 1
2 1
第4行
1 3 3 1
第5行 1 4
6 4 1
第6行 1
5 10 10 5 1
第7行 1 6 15 20 15 6
1
第8行 1 7 21 35 35 21 7 1
………………………………
杨辉三角第n 行（n是正整数）的和是−
横
行
规
律
1 1 =20
第2行
1 + 1 2 =21
4 =22
第3行 1 + 2 + 1
第4行
1 + 3 + 3 + 1 8 =23
国数学家物理学家帕斯卡首
先发现的,他们把这个表叫做
帕斯卡三角．其实，杨辉三
角的发现要比欧洲早500年左
右.
例1：计算( + )
练习1：计算( − )
转化
[ + − ]
变式1：求( + ) 中 项的系数 赋值法
( + ) 可以被2整除吗？
今天是星期四 ，再过天后是星期几？
例2：今天是星期四
变式1：今天是星期四，再过 天后是星期几？第1行1Fra bibliotek第2行
1 1
第3行
1 2 1
第4行
1 3 3 1
第5行
1 4 6 4 1
第6行
1 5 10 10 5 1
第7行
1 6 15 20 15 6 1
第8行
1 7 21 35 35 21 7 1
………………………………
规律探究
杨辉三角第 行（n是正整数）的各
横
行
规
律
第1行
第2行
1
1 1
第3行 1
2 1
第4行
1 3 3 1
第5行 1 4
6 4 1
第6行 1
5 10 10 5 1
第7行 1 6 15 20 15 6
1
第8行 1 7 21 35 35 21 7 1
………………………………
杨辉三角第n 行（n是正整数）的和是−
横
行
规
律
1 1 =20
第2行
1 + 1 2 =21
4 =22
第3行 1 + 2 + 1
第4行
1 + 3 + 3 + 1 8 =23
数学探究杨辉三角的性质与应用课件
1， 3， 6， 10， 15， 21，… 2 3 4 5 6… 1 1 1 1…
视察和实验
1
① ①
1
1
② ③
1
2
1
⑤ ⑧
1
3
3
1
⑬ ㉑
1 4 6 4 1㉞
5 将各条虚线上的数分别相加， 得到 1，1，2，3，5，8，13，21，…
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
斐波那契数列.
1
Crr
Cr r 1
Cr r2
Cr n1
C r1 n
推理和论证
猜性想质1 除了最外层1以外，其余的数都等于它肩上的两个数相加，即
证明：
递归性 Cnr
C r1 n1
Cnr1
C r 1 n 1
Cnr1
(n 1)! (n 1)! (r 1)!(n r)! r!(n r 1)!
(n 1)! r (n r)
1 3 6 78 364
应用： 1.堆垛问题：
求n层三角垛的圆球总个数：
1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 n)
1 11
1 3 6 n(n 1)
121
2
1331
C22 C32 C42 Cn21
14641
C3 n2
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
杨辉三角 第8 行
C80
C81
C82
C83
C84
C85
C86
C87
C88
1 8 28 56 70 56 28 8 1
第 10 行，第5个数
反过来，
C140 即120
数
形
视察和实验
1
① ①
1
1
② ③
1
2
1
⑤ ⑧
1
3
3
1
⑬ ㉑
1 4 6 4 1㉞
5 将各条虚线上的数分别相加， 得到 1，1，2，3，5，8，13，21，…
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
斐波那契数列.
1
Crr
Cr r 1
Cr r2
Cr n1
C r1 n
推理和论证
猜性想质1 除了最外层1以外，其余的数都等于它肩上的两个数相加，即
证明：
递归性 Cnr
C r1 n1
Cnr1
C r 1 n 1
Cnr1
(n 1)! (n 1)! (r 1)!(n r)! r!(n r 1)!
(n 1)! r (n r)
1 3 6 78 364
应用： 1.堆垛问题：
求n层三角垛的圆球总个数：
1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 n)
1 11
1 3 6 n(n 1)
121
2
1331
C22 C32 C42 Cn21
14641
C3 n2
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
杨辉三角 第8 行
C80
C81
C82
C83
C84
C85
C86
C87
C88
1 8 28 56 70 56 28 8 1
第 10 行，第5个数
反过来，
C140 即120
数
形
杨辉三角(小学版)ppt课件
古老的杨辉三角， 即使在我们现代生活中 也能得到充分的利用， 我们中国人的祖先在几 百年前就能最先发现这 个有用的规律，是不是 令我们由衷地为我们中 国灿烂的古代文明心生 自豪之情呢？
6
7
2
杨辉三角的规律
杨辉三角的主要特征是：
1.两条斜边都是由数字1组成，其余的数则是等于上一行左右两个数字之和. 2.每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，最后再回到1. 3.第n行的数字个数为n个。 4.n行中第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和。
杨辉三角计算演示
3
杨辉三角的应用 Ⅰ
杨辉三角可以用来帮助解决11的几次方的问题
杨辉三角
Chinese triangle
四年级（4）班
1
什么是杨辉三角？
杨辉是南宋时期杭州人。在
他1261年所著书中，记录了右边图所 示的三角形数表，这三角形就被称为 杨辉三角。在欧洲直到1623年以后， 法国数学家帕斯卡才发现了同样规律， 因此欧洲人又称这个三角为“帕斯卡三 角”。但是大家从杨辉发现这个规律的 年代与帕斯卡发现这个规律年代相比 就会知道，我国的杨辉发现此规律比 帕斯卡早了300多年。近年来国外也逐 渐承认这项成果属于中国，开始称这 个三角是“中国三角形”。（Chinese triangle）。好是杨辉三角所
对应的第n行的数字，很神奇吧！
4
杨辉三角的应用 Ⅱ
大家请看一下下面的表格能发现什么吗？
对，这就是杨辉三角的又一个应用： 2的n次方也就是第 n行数字之和，很有意思对吧？
5
概括
杨辉三角除了以上两个应用，我
们还可以在日常生活中来用它来计算最近的 路径问题以及弹子游戏中弹子掉落的概率等 许多问题。
6
7
2
杨辉三角的规律
杨辉三角的主要特征是：
1.两条斜边都是由数字1组成，其余的数则是等于上一行左右两个数字之和. 2.每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，最后再回到1. 3.第n行的数字个数为n个。 4.n行中第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和。
杨辉三角计算演示
3
杨辉三角的应用 Ⅰ
杨辉三角可以用来帮助解决11的几次方的问题
杨辉三角
Chinese triangle
四年级（4）班
1
什么是杨辉三角？
杨辉是南宋时期杭州人。在
他1261年所著书中，记录了右边图所 示的三角形数表，这三角形就被称为 杨辉三角。在欧洲直到1623年以后， 法国数学家帕斯卡才发现了同样规律， 因此欧洲人又称这个三角为“帕斯卡三 角”。但是大家从杨辉发现这个规律的 年代与帕斯卡发现这个规律年代相比 就会知道，我国的杨辉发现此规律比 帕斯卡早了300多年。近年来国外也逐 渐承认这项成果属于中国，开始称这 个三角是“中国三角形”。（Chinese triangle）。好是杨辉三角所
对应的第n行的数字，很神奇吧！
4
杨辉三角的应用 Ⅱ
大家请看一下下面的表格能发现什么吗？
对，这就是杨辉三角的又一个应用： 2的n次方也就是第 n行数字之和，很有意思对吧？
5
概括
杨辉三角除了以上两个应用，我
们还可以在日常生活中来用它来计算最近的 路径问题以及弹子游戏中弹子掉落的概率等 许多问题。
相关主题
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（a+b)4= 1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4
（a+b)5= 1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5 （a+b)6=1a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b
6
（a+b)n 展开式的系数就是杨辉三角的第n行
斐波那契数列
换一角度“斜”向看： 斜线的和依次为： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．． a1=1,a2=1, a3 ＝2，…… 1 1 1 有：an=an-1+an-2 (n≥3) 2 3 1 1 5 8 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
2 2
12Leabharlann 01杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂。
斜行和水平行之间的关系
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
斐波那契数与植物花瓣 3……百合和蝴蝶花
5…蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花
8………………………翠雀花 13………………………金盏和玫瑰
21……………紫宛 34、55、89……………雏菊
兔子繁殖问题
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力， 一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有 兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对； 两个月后，生下一对小兔民数共有两对； 三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖 能力，所以一共是三对；
第2k行的数字特征
所有数的和是偶数
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
浅谈杨辉三角的奥秘及应用
这个表就称为杨辉三角
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
第
2
n
行的数字特征
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
n( n 1) an 2
与数字11的幂的关系
y 11
n
11 1 11 2 11 3 11
0
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
n行中的第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和
1 1 与二项式展开系数的关系 1 2 1 1 3 3 1 （a+b)1= 1a+1b 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 2 2 2 （a+b) = 1a +2ab+1b 1 6 15 20 15 6 1
（a+b)3= 1a3+3a2b+3ab2+1b3
杨辉三角
这样的二项式 系数表，早在我国 南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详 解九章算法》一书 里就已经出现了， 在这本书里，记载 着类似下面的表：
杨辉
中国南宋末年数学家、数 学教育家。大约在13世纪 中叶至后半叶活动于苏、 杭一带。字谦光，钱塘 （今杭州）人。其生卒年 及生平无从详考。杨辉的 数学著作甚多有《日用算 法》 《杨辉算法》等
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
与数字2的幂的关系
y2
n
2
3
1+1 2 1 + 2 +1 1 + 3 + 3 +1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………
“杨辉三角”出现在杨辉 编著的《详解九章算法》一 书中，且我国北宋数学家贾 宪（约公元11世纪）已经用 过它，这表明我国发现这个 表不晚于11世纪．在欧洲， 这个表被认为是法国数学家 物理学家帕斯卡首先发现的, 他们把这个表叫做帕斯卡三 角．杨辉三角的发现要比欧 洲早500年左右.
杨辉三角基本性质
1
1.三角形的两条斜边上都是 数字1，而其余的数都等于 它肩上的两个数字相加 2.杨辉三角具有对称性（对 称美），与首末两端“等距 离 ”的两个数相等
1 1 3.每一行的第二个数就是这 1 2 1 行的行数 1 3 3 1 1 4 6 4 1 4.所有行的第二个数构成等 1 5 10 10 5 1 差数列 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 5.第n行包含n+1个数 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………………………………