2008年高考数学(文)解答题限时训练3

2008年高考数学（文）解答题限时训练3

解析几何中的存在性问题

1．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆

2

2

12

x

y +=有两个不同的交点P 和Q ．

（I ）求k 的取值范围；

（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量

O P O Q + 与AB

共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．

2.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中xOy中，过定点C(0,p)作直线与抛物线22(0)

=>相交于A、B两点.

x py p

（Ⅰ）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求A N B

面积的最小值；

（Ⅱ）是否存在垂直于y轴的直线l，使得

l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若

存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.

2008年高考数学（文）解答题限时训练3答案

1．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =+

代入椭圆方程得2

2

(12

x

kx ++=．

整理得22

1

102k x ⎛⎫+++=

⎪⎝⎭

① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于222

1

844202k k k ⎛⎫∆=-+=->

⎪⎝⎭

，

解得2

k <-或2

k >

．即k 的取值范围为22⎛⎫⎛⎫--

+ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭

，∞∞． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++

，，

由方程①，122

12x x k

+=-+． ② 1212()y y k x x +=++． ③

而

(01)(A B AB =

，，，．所以O P O +

与AB 共线等价于

121

2

()x x y y +=+，将②③代入上式，解得2

k =．

由（Ⅰ）知2

k <-或2

k >

，故没有符合题意的常数k ．

2．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.

解法1：（1）依题意，点N 的坐标为(0,)N p -，可设11(,)A x y ，

22(,)B x y ，直线A B 的方程为y k x p =+，与2

2x p y =联立得

22,.

x py y kx p ⎧=⎨

=+⎩消去y 得22

220x pkx p --=．由韦达定理得2

12122,2x x pk x x p +==-．于是ABN

S

=BCN

ACN

S

S

+

=121

22

p x x -

=12p x x -==2p

∴当0k =时，2

min ()ABN S = ．

（2）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，设A C 的中点为'O ,l 与以A C 为直径的圆相交于点P 、Q ，PQ 的中点为H ，则'O H PQ ⊥，'O

点

的坐

标

为

11(,)22

x y p +．

'O P =12A C 'O H =12y p a +-=

1122

a y p --，∴2

PH

=2

2

''O P O H -=

22

2

1111

()(2)4

4y p a y p +-

-- =1()2p a y a p a ⎛⎫-+- ⎪⎝

⎭， ∴2

PQ =()

2

2PH

=()142p a y a p a ⎡⎤⎛

⎫-

+- ⎪⎢⎥

⎝

⎭⎣⎦

．令2p a -=0，得2p

a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2

p y =，即抛物线的通径所在的直线．

解法2：（1）前同解法1，再由弦长公式得A B 12x -=

=

=2，又由点到直线的距离公式得

d =

2p ，从而，ABN

S

=1

2d A B =1222

p =2p

∴当0k =时，2

min ()ABN S = ．

（Ⅱ）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y a =，则以A C 为直径的圆的方程为

()()()()1100

x x x y p y y --+--=，将直线方程y a =代入得

()()2110x x x a p a y -+--=，则∆=()()2

114x a p a y ---=()142p a y a p a ⎡⎤⎛⎫-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

设直线l 与以A C 为直径的圆的交点为()33,P x y ，()44,Q x y ，则有

P Q =34x x -=

令2

p a -=0，得2

p a =

，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2

p y =，

即抛物线的通径所在的直线．