(完整版)高二数学椭圆知识点整理.doc

第 1 讲课题：椭圆

课型：复习巩固上课时间：2013年10月3日

教学目标：

（1）了解圆锥曲线的来历；

（2）理解椭圆的定义；

（3）理解椭圆的两种标准方程；

（4）掌握椭圆离心率的计算方法；

（5）掌握有关椭圆的参数取值范围的问题；

教学重点：椭圆方程、离心率；

教学难点：与椭圆有关的参数取值问题；

知识清单

一、椭圆的定义：

(1)椭圆的第一定义 : 平面内与两定点F1、F2的距离和等于常数

2a (大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆.

说明：两个定点叫做椭圆的焦点；

两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2c.

(2)椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之

比为常数 e ，当 0 e 1时，点的轨迹是椭圆 . 椭圆上一点到焦点

的距离可以转化为到准线的距离 .

二、椭圆的数学表达式：

PF1 PF2 2a 2a F1 F2 0 ;

M P PF1 PF2 2a, 2a F1F2 0 .

三、椭圆的标准方程：

焦点在 x 轴: x2 y2

1 a b 0 ；a

2 b2

焦点在 y 轴: y2 x 2

1 a b 0 . a

2 b2

说明： a 是长半轴长， b 是短半轴长，焦点始终在长轴所在的数轴上，且满足a2b2c2 .

四、二元二次方程表示椭圆的充要条件

方程 Ax 2By 2 C A、 B、 C均不为零，且 A B 表示椭圆的条件：

上式化为

Ax 2 By 2 x 2 y 2 . 所以，只有 、 、 同号，且

1 ，

1

A B C

A B

C

C

C

C

A

B

时，方程表示椭圆；当

C C

时，椭圆的焦点在 x 轴上；当

C C

时，

A B

A

B

椭圆的焦点在 y 轴上 .

五、椭圆的几何性质 （以

x 2

y 2 1 a b 0 为例）

a 2

b 2

1. 范围 : 由标准方程可知，椭圆上点的坐标 x, y

都适合不等式

x 2

y 2

，即 x a, y

b 说明椭圆位于直线 x

a 和 y

b 所围成的

a 2

1,

b 2

1

矩形里（封闭曲线） . 该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题 .

2. 对称性 : 关于原点、 x 轴、 y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是

椭圆的对称中心。

3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：

A 1 a,0 、 A 2 a,0 、

B 1 0, b 、 B 2 0,b .

4. 长轴、短轴： A 1 A 2 叫椭圆的长轴， A 1 A 2

2a,a 是长半轴长； B 1B 2 叫

椭圆的短轴， B 1B 2 2b, b 是短半轴长 .

5. 离心率

（ 1）椭圆焦距与长轴的比 e

c ， a c 0,

0 e 1 （ 2）

a

2

OB 2

2

2

，即 a 2 b 2 c 2 . 这是椭圆的特

Rt OB 2 F 2 , B 2 F 2

OF 2

征三角形，并且 cos OF 2B 2 的值是椭圆的离心率 . （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关 . 当 e

接近于 1 时， c 越接近于 a ，从而 b

a 2 c 2 越小，椭圆越扁；

当 e 接近于 0 时， c 越接近于 0，从而 b

a 2 c 2 越大，椭圆越

接近圆；当 e 0 时， c 0, a b ，两焦点重合，图形是圆 .

2

6. 通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦） ，通径长为

2b

.

a

7. 设 F 1、 F 2 为椭圆的两个焦点， P 为椭圆上一点，当 P 、 F 1、 F 2 三点不在 同一直线上时， P 、 F 1、 F 2 构成了一个三角形—— 焦点三角形 . 依椭圆 的定义知： PF 1 PF 2 2a, F 1F 2 2c .

例题选讲 一、选择题

1．椭圆 x 2

4y 2

1 的离心率为（

）

A ．

3

B ．

3

C ． 2

D ．

2

2

4

2

3

2．设 p 是椭圆

x 2

y 2 1上的点．若 F 1，F 2

是椭圆的两个焦点，则

25 16

PF 1 PF 2 等于（

）

A ． 4

B ．5

C ． 8

D ． 10

3．若焦点在 x 轴上的椭圆

x 2

y 2

1 的离心率为 1

，

则 m=（

2

m

2

）

A ． 3

B ．

3

C ．

8

D ．

2

2 3

3

x

2

4．已知△ ABC 的顶点 B 、C 在椭圆 3 ＋ y 2 ＝1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦

点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ ABC 的周长是（ ）

A ．2 3

B ．6

C ．4 3

D ． 12

5．如图，直线 l : x 2 y 2 0 过椭圆的左焦点

F 和 一个顶点 B ，该椭圆的离心率为（

）

1

A ．

1

B ．

2

C ．

5

D ．

2 5

5

5

5

5

6．已知 F 1 、F 2 是椭圆的两个焦点，过 F 1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆

于 A 、B 两点，若△ ABF 是正三角形，则这个椭圆的离心率是（

）

2

A ．

2

B ．

3

C ．

2

D ．

3

3

3

2

2

7．已知以 F 1（-2,0 ），F 2（2,0 ）为焦点的椭圆与直线 x3y 4

0 有

且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（

） A ． 3 2

B ． 2 6

C ． 2 7

D ． 4 2

二、填空题：

8． 在 △ ABC 中， A

90o ， tan B 3

， B 为焦点的椭圆经过点

C ，则该椭圆的离心率 e

4

．