2020年高考数学专题复习古典概型

古典概型

1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件都是互斥的．

(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)． 2．古典概型 (1)特点

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． ②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性． (2)概率公式

P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数

．

集合A ＝{2，3}，B ＝{1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )

A ．23

B ．12

C ．13

D ．16

解析：选C.从A ，B 中各任取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)6个基本事件，满足两数之和等于4的有(2，2)，(3，1)2个基本事件，所以P ＝26＝1

3

.

(2019·丽水模拟)已知a ∈{－2，0，1，3，4}，b ∈{1，2}，则函数f (x )＝(a 2

－2)x ＋b 为增函数的概率是( )

A ．25

B ．35

C ．12

D ．310

解析：选B.因为f (x )＝(a 2

－2)x ＋b 为增函数，所以a 2

－2＞0，又a ∈{－2，0，1，3，4}，所以a ∈{－2，3，4}，又b ∈{1，2}，所以函数f (x )为增函数的概率是3

5

，故选B.

将一枚硬币连掷5次，则至少出现一次正面向上的概率为________．

解析：因为将一枚硬币连掷5次，没有出现正面向上的概率为1

25，所以至少出现一次正

面向上的概率为1－125＝31

32

.

答案：3132

在集合⎩⎨⎧

⎭

⎬⎫

x |x ＝

n π

6

，n ＝1，2，3，…，10中任取一个元素，则所取元素恰好满足方

程cos x ＝1

2

的概率是________．

解析：基本事件总数为10，满足方程cos x ＝12的基本事件数为2，故所求概率为P ＝

2

10＝1

5

. 答案：15

求古典概型的概率(高频考点)

求古典概型的概率问题是高考考查的热点．主要命题角度有： (1)直接列举法；(2)图表、树型法； (3)逆向思维法；(4)对称性法． 角度一 直接列举法

袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两个，求下列事件的

概率．

(1)取出的两球都是白球；

(2)取出的两球一个是白球，另一个是红球．

【解】 设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6从袋中的6个小球中任取两个的所有可能结果如下：

(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15个．

(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的方法数，即是从4个白球中任取两个的方法数，共有6个，即为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)．

所以取出的两个球全是白球的概率为P ＝615＝2

5

；

(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个为白球，其取法包括(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，共8个．

所以取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为P ＝8

15.

角度二 图表、树型法

一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2

个球，则摸出2个黑球的概率为____________．

【解析】 如图所示，所有结果组成的集合U 含有6个元素，故共有6种不同的结果．

U 的子集A 有3个元素，故摸出2个黑球有3种不同的结果．

因此，摸出2个黑球的概率是P ＝36＝12.

【答案】 1

2

角度三 逆向思维法

同时抛掷两枚骰子，则至少有一个5点或6点的概率为____________． 【解析】 至少有一个5点或6点的对立事件是：没有5点或6点．因为没有5点或6点的结果共有16个，而抛掷两枚骰子的结果共有36个，所以没有5点或6点的概率为P ＝1636＝49.至少有一个5点或6点的概率为1－49＝59

. 【答案】 5

9

角度四 对称性法

有A ，B ，C ，D ，E 共5人站成一排，则A 在B 的右边(A ，B 可以不相邻)的概率为

____________．

【解析】 由于A ，B 不相邻，A 在B 的右边和B 在A 的右边的总数是相等的，且A 在B 的右边的排法数与B 在A 的右边的排法数组成所有基本事件总数，所以A 在B 的右边的概率是12

. 【答案】 1

2

(1)

(2)求较复杂事件的概率问题的方法

①将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解． ②先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解．

1．(2017·高考山东卷)从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )

A ．518

B ．49

C ．59

D ．79

解析：选C.所求概率为P ＝C 12C 15C 1

4C 19C 18＝5

9

.

2．(2019·台州高三教学质量评估)袋子里装有编号分别为“1，2，2，3，4，5”的6个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取3个球，若每个球被取到的机会均等，则取出的3个球编号之和大于7的概率为( )

A ．1720

B ．710

C ．58

D ．45

解析：选B.由题设取三个球的所有可能有n ＝C 3

6＝

6×5×4

3×2×1

＝20，其中编号之和小于或

等于7的所有可能有(1，2，2)，(1，2，3)，(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，4)，(2，2，3)共6种，其概率P ＝620＝310，所以3个球编号之和大于7的概率为P ′＝1－310＝7

10

.

3．(2019·温州八校联考)依次从标号为1，2，3，4，5的五个黑球和标号为6，7，8，9的四个白球中随机地各取一个球，用数对(x ，y )表示事件“抽到两个球标号分别为x ，y ”．

(1)问共有多少个基本事件？并列举出来；

(2)求所抽取的标号之和小于11但不小于9或标号之和大于12的概率．

解：(1)共有20个基本事件，列举如下：(1，6)，(1，7)，(1，8)，(1，9)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(3，9)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，共20个．

(2)记事件“所抽取的标号之和小于11但不小于9”为事件A ，由(1)可知事件A 共含有7个基本事件，列举如下：(1，8)，(1，9)，(2，7)，(2，8)，(3，6)，(3，7)，(4，6)，共7个．“抽取的标号之和大于12”记作事件B ，则事件B 包含：(4，9)，(5，8)，(5，9)，共3个．故P (A )＋P (B )＝720＋320＝1

2

，故抽取的标号之和小于11但不小于9或大于12的概