算法设计与分析_07图论基础讲义

2020/7/31
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作(C)
一个图称为有限图，如果它的顶点集和边集都 有限。一般情况下，图论只研究有限图，术语 “图”一词总是指“有限图”。只有一个顶点 的图称为平凡图，其他所有的图都称为非平凡 图。
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作(C)
简单图：既没有环也没有两条连边连接同一 对顶点的图称为简单图。
要在一个赋权图中找出某类具有最小（或最大
算法设计与分析
——图论基础
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作(C)
图论基础
• 图：一个图G是指一个有序三元组（V（G），E （G），ΨG），其中V（G）是非空的顶点集，E （G）是边集，ΨG是关连函数，它使G的每条边 对应于G的无序顶点对（不必相异）。用图这 一名称，是因为它们可以用图形来表示，而这 种图形表示有助于我们理解图的许多性质。每 个顶点用点来表示，每条边用线来表示，此线 连接着代表该边端点的点。图1是一个图例。
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作(C)
图三
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作(C)
图论中的大多数定义和概念是根据图形表示提 出来的。一条边的端点称为与这条边关联，反 之亦然。与同一条边关联的两个顶点称为相邻 的，与同一个顶点关联的两条边也称为相邻的 。端点重合为一点的边称为环，端点不相同的 边称为连杆。例如，图2边e3是一个环，其余 边都是连杆。
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作(C)
图2
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作(C)
注意，在图的一个图形中，两条边可能相交于 不是顶点的点上，例如图1中图G的e1和e6。若 一个图具有这样的一个图形，它的边仅在端点 处相交，则该图称为平面图，因为这种图可以 在平面上用简单的方式表示出来。图3(a)是一 个平面图，虽然由所给出的这个特殊表示形式 来看，迭并不是一自了然的。另一方面，图 3(b)是一个非平面图。
称图为。G的真子图。若H是G的子图，则G称为H的母
设G1和G2是G的子图，若G1和G2没有公共顶点， 则称它们是不相交的；若G1和G2没有公共边， 则称它们是边不重的。
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作(C)
顶点的度：G的顶点v的度d(v)是指G中与v关联 的边的数目，每个环算作两条边。
正则图：称图G是正则的，如果对所有v∈V,有 d(v)=k；正则图是指对某个k而言的k正则图。 完全图和完全偶图是正则的。
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作(C)
途径：G的一条途径是指一个有限非空序 列W=v0e1v1e2v2…ekvk,它的项交替地为顶点和 边，使得对1≤i≤k,ei的端点是vi-1和vi。称W 是从v0到vk的一条途径。整数k称为W的长。
图的同构：两个图G和H称为同构的，如果存 在两个一一映射θ：V(G)→V(H)和 φ:E(G)→E(H)，使得ΨG(e)=uv当且仅当 ΨH(φ(e))=θ(u)θ(v);这样一个映射对(θ,φ) 称为G和H之间的一个同构。
图4中（a）、(b)两图是同构的。
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若途径W的边e1,e2,…,ek互不相同，则W称 为迹。又若途径W的顶点v0,v1,…,vk也互不相同， 则W称为路。
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作(C)
图8 示例
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作(C)
连通：G的两个顶点u和v称为连通的，如果在G 中存在(u,v)路。
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作(C)
图5
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作(C)
偶图（或二部图）：一个图的顶点集可以分解 为两个（非空）子集X和Y，使得每条边都有一 个端点在X中，另一个端点在Y中；这样一种分 类（X，Y）称为图的一个二分类。完全偶图是 具有二分类（X，Y）的简单偶图，其中X的每 个顶点都与Y的每个顶点相连。
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图6 一个偶图例子
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图7 一个完全偶图例子
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子图：称图H是G的子图（记为HG），如果 V(H)V(G),E(H)E(G),并且ΨH是ΨG在E（H）上 的约束。当HG，但H≠G时，则记为H G，并且H
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作(C)
（a)
(b)
图4
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作(C)
空图：没有任何边的图称为空图。
完全图：每一对不同的顶点都有一条边相 连的简单图称为完全图。在同构的意义下， n个顶点的完全图只有一个。
图5是一个5个顶点的完全图
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圈：称一条途径是闭的，如果它有正的长且起 点和终点相同。若一条闭迹的起点和内部顶点 互不相同，则它称为圈。长为k的圈称为k圈。 按k是奇数还是偶数，称k圈是奇圈或偶圈。3圈 常称为三角形。
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最短路问题 对G的每一条边e可赋以一个实数w(e)，称
为e 的权。G连同它边上的权称为赋权图。赋 权图经常出现在图论的应用中。例如在友谊图 中，权可以表示友谊的深度；在通讯图中，权 可以表示各种通讯线路的建造或维修费用。
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作(C)
若H是赋权图的一个子图，则H的权w(H)是指它
的各边的权和
。许多最优化问题相当于
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作(C)
图1
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作(C)
一个图的画法并不是唯一的；表示顶点的点和 表示边的绕的相对位置是无关紧要的。例如， 图2给出了G的另一个图形。一个图的图形仅描 绘出它的顶点和边之间所具有的关联关系。然 而，我们将常常画出一个图的图形，把它看作 是这个图本身；并且它的点称为“顶点”，它 的线称为“边”。