用公式法解一元二次方程二ppt

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1一元二次方程的解法2.公式法PPT课件(沪科版)

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用公式法解一元二次方程
1．(4 分)用公式法解方程 3x2－ 2＝12x 时，a，b，c 的值分别是( B )
A．a＝3，b＝ 2，c＝12 B．a＝3，b＝－12，c＝－ 2
C．a＝3，b＝12，c＝－ 2 D．a＝3，b＝－ 2，c＝12
2．(4 分)用公式法解方程 3x2＋4＝12x，下列代入公式正确的是( D )
1．一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b_2_－__4_a_c_≥_时0 ，它
－b± b2－4ac
的根为x＝______2_a_____． 2．用公式法解一元二次方程的思路应是：(1)将方程化成一__般__情__势__；(2)
确定_____a_，__b_，__c_______的值；(3)求出_b_2_－__4_a_c_的值；(4)当b_2_－__4_a_c≥__0时，可直接用求根公式求出它的根．
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15 (3)(x－1)(x＋3)＋5＝0.
将原方程化为标准形式，得 x2＋2x＋2＝0，a＝1，b＝2，c＝2，b2－4ac＝22－4×1×2＝－ 4<0，∴原方程无实数根 14.错误，b＝－7 而不是 b＝7，正确的解是 x1＝7＋611＝3，x2＝ 7－611＝－23
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14．(8 分)判断下列方程的解法有无错误，若有错误，请改正．解方程：3(x＋1)(x－2)＝4x 解：方程变形，得 3(x2－x－2)＝4x，即 3x2－7x－6＝0.这里 a＝3，b＝7，c＝－6. ∴x＝－7± 72＋6 4×3×6＝－76±11. ∴x1＝－3，x2＝23.
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11．当 a≠0 且 b2－4ac≥0 时，下列方程：①ax2＋bx＋c＝0；②ax2－bx＋c＝0；③ax2＋

解一元二次方程(公式法)(ppt课件)

这时
b
2
4ac 4a 2
＞0，
即
b
b2 4ac
x
.
2a
2a
b b2 4ac
x
.
2a
b b2 4ac
b
x1
2a
, x2
b2 4ac .
2a
方程有两个不相等实数根
探究新知
⑵b2-4ac=0
这时
b2 4ac 0， 4a 2
x1=x2=- b 2a
方程有两个相等实数根
探究新知
解：方程化为 2x2－5x－9＝0.
a＝2，b＝－5，c＝－9.
Δ＝(－5)2－4×2×(－9)＝97＞0.
方程有两个不等的实数根
x＝－b±
b2－4ac＝5±
2a
4
97，
即
x1＝5＋4
97，x2＝5－4
97 .
随堂练习
3．用公式法解方程：x2－3x＋4＝0. 解：a＝1，b＝－3，c＝4. Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×4＝－7<0. 方程无实数根．
课堂小结
公式法解方程的步骤 1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: △=b2-4ac的值; 4.判断：若△=b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若△=b2-4ac<0，则方程没有实数根.
当堂测试
1. 关于 x 的一元二次方程 x2 2x m 2 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围
,
x2
1．
（2） x2 4x 7 0 ，
a 1， b 4 ， c 7 ，
b2 4ac (4)2 417 44 0 ，

用公式法求解一元二次方程课件 (共25张PPT)

复习引入
（4） 4 x2 3x 2 0.
3 1 解：两边同时除以4，得 x x 0 . 4 2 3 1 2 移项，得 x x= . 4 2 2 2 3 1 3 3 2 配方，得 x x = ， 4 8 2 8 2 3 23 即 x = . 8 64 ∴此方程无实数根.
2
2 b b 4ac 0. 即： x 2 2a 4a 2
b b2 4ac 移项，得 x = . 2 2a 4a
2
下面该怎么运算？有条件限制吗？
探索新知
ax2 bx c 0 a 0
2 b b 4ac 2 当 b 4ac ≥0时，开平方得 x = . 2 2a 4a
（1）x 5x 4 0；
2
∵ b 4ac ＞0，∴方程有两个不相等的实数根.
2
（2） 4x2 7 6 x；
2 b 4ac ＜0，∴方程没有实数根. ∵
（3） 2 x 2 6 x 3 0.
2
2 ∵ b 4ac ＝0 ，∴方程有两个相等的实数根.
1 解：两边都除以2，得：x 2 x 0 . 2
2
1 移项，得 x 2 x= . 2
2
2
1 配方，得 x 2 x 1= 1 . 2 3 2 即 x 1 = . 2
6 6 ∴ x1 1 ，x2 =1+ . 2 2
复习引入
（2）x2 1.5= 3x；
2
分析：（1）确定a,b,cLeabharlann 值；（2）判断方程是否有根；
（3）写出方程的根.
新知应用
（1）x 7 x 18 0；例1 解方程：

用公式法解一元二次方程 PPT课件

这里的a、b、
程x2+4x=2
c的值是什么？
解：移项，得 x2+4x-2=0
a= 1 ，b= 4 ，c = -2 .
b2-4ac=
= . 42-4×1×(-2) 24
4 24 4 2 6
x=
= 2 1 = 2.
即 x1= 2 6, x2= 2 6 .
求根公式 : X=
又b2 4ac 72 4 2 c 0
8c 49,即c 49
8
x1

x2

b 2a

2
7 2
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
学习是件很愉快的事
公式法
例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0
解 :a 5,b 4, c 12
1.变形:化已知
b2 4ac 42 4 5 (12) 256 0.方2.程确为定一系般数形: 式;
相等的实数根.
例用公式法解方程： x2 – x - =0
解：方程两边同乘以 3
得 2 x2 -3x-2=0
a=2，b= -3，c= -2.
∴b2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25.
∴x=
=
= 即 x1=2,
x2= -
例用公式法解方程： x2 +3 = 2 x
解：移项，得 x2 -2 x+3 = 0 a=1，b=-2 ，c=3
例4 解方程：x2 3 2 3x
解：原方程化为：x2 2 3x 3 0
a 1,b 2 3,c 3
b2

公式法解一元二次方程PPT课件

用公式法解一元二次方程
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的观点。
演讲人姓名
用配方解一元二次方程的步骤是什么？一、用配方法解下列方程 2x²-12x+10=0
若二次项系数不是1，把二次项系数化为 1(方程两边都除以二次项系数)；
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 b xc.
2.移项:把常数项移到方程的右边;
aa
x2bxb2b2c. a 2a 2a a
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;
x b 2 2a
b24a42ac.
当b24ac0时,
b
b2 4ac
x
.
2a
2aΒιβλιοθήκη xbb24a.cb24a c0.
2a
6t2 -5 =13t
例4
解方程： x2323x
解：原方x2 程 23 x 化 3 0为：
a 1 ,b 23 ,c 3
b24ac 23 2 4 1 3 0
x 23 0 233 2 1 2
x1x20
结论：当 b24a c0时，一元二次方程有两个
相等的实数根.
例用公式法解方程： x2 – x - =0
求根公式 : X=
3、代入求根公式 :
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
祝你成功！
知识的升华
独立作业
思考题：
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。当a，b， c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解

用公式法解一元二次方程课件

例1：解方程 $x^2 - 6x + 9 = 0$。
根据公式，计算判别式 $Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 times 1 times 9 = 0$。
因为 $Delta = 0$，所以方程有两个相等的实数根，即 $x_1 = x_2 = frac{-b}{2a} = frac{6}{2} = 3$。
准确性：直接利用公式求解，避免了因式分解可能出现的错误。
05
06
简便性：对于某些复杂的一元二次方程，公式法比因式分解更简便。
02
一元二次方程的标准形式
标准形式的表达式
01
一元二次方程的一般形式为 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a, b, c$ 是常数，$a neq 0$。
当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根（即一个重根）；
判别式的计算可以通过公式 $Delta = p^2 - 4q$ 进行，其中 $p$ 和 $q$ 是标准形式中的系数。
当 $Delta < 0$ 时，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。
03
公式法求解一元二次方程
公式法的推导过程
求解方法
此时方程没有实数根，但有两个共轭的复数根，即 $x_1=frac{-
b+sqrt{Delta}i}{2a}$ 和 $x_2=frac{-b-
sqrt{Delta}i}{2a}$。
示例
$x^2+2x+5=0$，判别式 $Delta=-16<0$，解得 $x_1=-
1+2i$ 和 $x_2=-1-2i$。
$left(x + frac{b}{2a}right)^2 = frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$。

用公式法求解一元二次方程-ppt课件

2
且四边形的周长是12，则△ 的面积为___．
第二章一元二次方程
2.3 用公式法求解一元二次方程
第2课时公式法的应用
1.在长、宽的矩形场地中修如图所示的
两条宽度相同的小路，小路的面积为，则
小路的宽为( A )
A.
B.
C.
D.
等．若停车位的总占地面积为 ,求车道的宽度（单位：）．
解：设车道的宽度为 .
根据题意，得 − − = .
整理，得 − + = ，解得 = ，
= （不合题意，舍去）．
答：车道的宽度为．
4.某主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三
解得 = + ， = − .
∵ = ± 都符合题意，
∴ 能围成面积为的矩形场地.
答：道路的宽度应设计为．
9.张大爷要建一个矩形养鸡场，为了节约材料，养鸡场的一边靠着原有
的一道墙，墙长为 ,另外三边用竹篱笆围成，如图1所示，已知篱笆
总长为 .
（1）①若足够长，是否能围成面积为的矩形场地?如果可以，
求养鸡场的长、宽各是多少米；如果不可以，请说明理由.
答：养鸡场的长和宽分别是，，或养鸡场的长和宽分别是
，. .
②是否能围成面积为的矩形场地?
解：结合题意及①，得 − = ．
整理，得 − + = ．
∵ = −

− × × = − < ，
∴ 此时方程的根为 = = ．

= .
9.已知关于的一元二次方程 + + + − = ，其中，

用公式法求解一元二次方程ppt课件

题 k=0 总有实数根，∴Δ=（2 ）2+4k≥0，解得 k≥-7，
型
突 ∴k 的取值范围是 k≥-7；
破
（2）∵ 方程有两个相等的实数根，
∴Δ=（2 ）2+4k=0，∴k=-7，代入方程，
得x2+2 x+7=0，即（x+ ）2=0，解得 x1=x2=- ．
2.3 用公式法求解一元二次方程
突
破地的面积为144 m2，则 x=______．
2.3 用公式法求解一元二次方程
重
难
题
型
突
破
［解析］根据题意，得（18-2x）（15-x）=144
解得 x=21（不合题意，舍去）或 x=3，
∴ 道路的宽为 3 m．
［答案］ 3
2.3 用公式法求解一元二次方程
变式衍生
重
难
如图，在宽为 20 m，长为 30 m 的矩形地面上修建两
错
易 2×100-4x）cm，宽为（40-2x）cm，根据题意得（1 000混 2×100-4x）（40-2x）=15200，整理得 x2-220x+2100=0
分
析，解得 x1=210，x2=10.因为当 x=210 时，1000-2×1004x＜0，40-2x＜0，即画心的长与宽为负值，不符合实际意
清
单
解用的最大长度为 15 m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围
读成，篱笆总长为 24 m．若计划在花圃中间再用一道篱笆隔
成两个小矩形，且围成的花圃面积为50 m2，问能否成功围
成花圃？
2.3 用公式法求解一元二次方程
重 ■题型甬道问题
难
例
如图，世纪广场有一块矩形绿地，AB=18 m，

公式法解一元二次方程PPT课件

例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0
解 : a 5 , b 4 , c 12
b 4 ac ( 4 ) 4 5 ( 12 ) 256 0
2 2
方程有两个不等的实数
根
x
b
b
2
4 ac 4 16 10
2 2
x
- 2 3）（ 21
x1 x 2 3
0

2 3 2

3
即：
x 2 1 3 x
解：去括号，化简为一般式：
6
3x 7x 8 0
2
这里

2
a 3、 b = - 7 、 c= 8
2
b 4 a c （ 7） 4 3 8 49 96 - 47 0
公式法是这样生产的
你能用配方法解方程
解:x
2
ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
b a b
a
x
c a
0.
c a
2 2
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边;
x
2
x
.
c b b x x . 3.配方:方程两边都加上一次项 a a 系数绝对值一半的平方; 2a 2a
2、求出b2-4ac的值。
当 0时，方程有两个不相等当 0时，方程有两个相等的当 0时，方程无实数根的实数根实数根
3、代入求根公式 : X= (a≠0, b2-4ac≥0) 4、写出方程的解： x1=?, x2=?
课堂小测:
用公式法解下列方程：

《用公式法求解一元二次方程》ppt课件

比你优秀的人不可怕！
可怕的是比你优秀的人却比你
更努力！！
当堂练习
1.用公式法解下列方程
(1) x2 -3x–4 = 0;
(2) 2x2 + x–1 = 0;
(3) x2 -2x = 3;
(4) x（x - 6）= 6;
(5) 4x2 + 4x–1 = -10 - 8x;
(6) 2x2 - 7x + 7 = 0.
解：(1) x1=4 , x2 = -1；
解：移项得： a2xbxc
系数化1得：
x2
b a
x
c a
配方得：整理得：
x2bx(b)2c(b)2 a 2 a a 2 a
(x b)2 b2 4ac
2a
4a2
问题1：接下来我们能用直接开平方法求解吗？
问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能呢？
a0 4a2 ＞0 b24a42ac的符b号 24由 a决 c 定
1 (2) x1= 2
, x2 = -1；
(3)x1 = 3 , x2 = -1； (4) x1=3 2 , x2 = 3 2 ;
(5) x1 = x2 =
3 2
；
(6)没有实数根.
课堂小结
1求根公式：xb b2 4ac (a ≠ 0 , b2 - 4ac ≥ 0) 2a
2用公式法解一元二次方程的一般步骤
（1）.将方程化为一般形式；（2）.确定 a, b, c 的值；（3）.求出 b2 - 4ac ；（4）.利用求根公式求解.
课后作业 1、教材习题22.2第4题任选四个用公式法求解 2、思考与探究（选做）对于求根公式的推导，若一元二次方程 a2xb xc0(a0)两边都乘以4a,你能推导出一元二次方程的求根公式吗

2 解一元二次方程公式法PPT课件(人教版)

12．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b－1＝0有两个相等的实数根，则b 的值是__2__．
13．关于x 的方程(a＋1)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是 _a_≥_－__5_____．
14．用公式法解下列方程： (1)x(2x－4)＝5－8x；
解：原方程整理为 2x2＋4x－5＝0，∴b2－4ac＝16＋4×2×5＝ 56，∴x＝－24×±256，即 x1＝－2＋2 14，x2＝－2－2 14
练习1：对一元二次方程x2－2x＝1，b2－4ac＝__8__． 2．式子____b_2_－__4_a_c___叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 __有__两__个__不__等__的__实__数__根_______；Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 __两__个__相__等__的__实__数__根___；Δ＜0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)____无__实__数__根__．练习2：(202X·长沙)若关于x的一元二次方程x2－4x－m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____m_＞__－__4____．
8．一元二次方程x2－x－6＝0中，b2－4ac＝__2_5___，可得x1＝ __3__，x2＝__－__2__．
(91．)x用2－公3x式－法2＝解0下；列方解程：：x1＝3＋2 17，x2＝3－2 17 (2)8x2－8x＋1＝0；
解：x1＝2＋4 2，x2＝2－4 2
(3)2x2－2x＝5. 解：x1＝1＋2 11，x2＝1－2 11
知识点1：根的判别式 1．(202X·邵阳)一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是( B ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．(202X·丽水)下列一元二次方程没有实数根的是( B ) A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋x＋2＝0 C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝0

解一元二次方程-公式法 ppt课件

利用公式法解一元二次方程
例题
解析
解方程：x²−4x=7
一般步骤
化为一般式得：x²−4x-7=0

∵ = 1，b=−4，c=−7.

∴△= 2 − 4 =16−(−28)=44＞0.
∴方程有两个不相等的实数根
∴ =
−± 2 −4
2
=
4± 44
2
= 2 ± 11
即
= 2 + 11， = 2 − 11.
x

，
2a
25
5
1
即 x1 1, x2 5 .
典型例题
用公式法解下列方程：
(1) x2 4 x 7 0
(3) 5x 2 3x x+1
(2) 2x2 2 2 x+1 0
(4) x2 17 8x
解: (4) 方程化为一般式 x2 8x 17 0
解析
意.
练习
练习
若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0 有不相
等实数根，求 k的取值范围．
不解方，判断关于 x 的方程 x²-kx+k-2=0的根的
情况.
练习
若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0 有不相
等实数根，求 k的取值范围．
k
练习
1
的取值范围为：k＞2且 k

=
=
2
2
2 −4
判别式的应用
例题
关于x的一元二次方程：(m-3)x²-4x-1=0，有
实数根，求m的取值范围？
依题可得

解一元二次方程公式法ppt课件

解题思路：
1.方程有两个相等的实数解，等价于 b2 4ac 0，把方程系数
代入解出m的值.
2.方程的两根为互为相反数，等价于 b2 4ac＞0，且x1 x2，用
求根公式求解.
即：x1 x2 b
b2 4ac b
2a
b2 4ac 0(b2 4ac＞0). 2a
答案：1.m＝ 17 .
方程有两个相等的实数根：
x1
x2
b 2a
2 3 21
3.
例3.用公式法解方程 (x－2)(1－3x)＝6. 解：去括号，化简为一般式 3x2－7x＋8＝0. a＝3，b＝－7，c＝8.
b2 4ac (7)2 4 38 47＜0.
方程没有实数根.
归纳总结
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1.把方程化成一般形式，并写出 a，b，c 的值.
2.求出＝b2－4ac 的值. 注意：当＝b2－4ac ＜0 时，方程无解.
3.代入求根公式: x = b
b2 4ac .
2a
4.写出方程的解：x1，x2 .
随堂练习
用公式法解下列方程：
（1）2x2－9x＋8＝0；（2）9x2＋6x＋1＝0；（3）16x2＋8x＝3.
（1）2x2－9x＋8＝0. 解：a＝2，b＝－9，c＝8. b2 4ac (9)2 4 28 17＞0. 方程有两个不等的实数根：
x2
2a
.
(2)当b2
4ac
0时，这时
b2 4ac 4a2
0，
方程有两个相等的实数根：
x1
x2
b. 2a
(3)当b2
4ac＜0时，这时
b2
4ac 4a2
＜0，

一元二次方程的解法—公式法ppt课件

k≠0
k≠0
归纳当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注意二次项系数不为 0，再根据“Δ”求字母的取值范围.
【变式题】删除限制条件“二次”
若关于 x 的方程 kx2 − 2x −1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是
( A)
A. k≥ −1
B. k≥ −1且 k≠0
C. k < 1
D. k < 1 且 k≠0
第二十一章一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
学习目标
1. 了解求根公式的推导过程；（难点） 2. 掌握用公式法解一元二次方程；(重点） 3. 会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
知识回顾
用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
一“化”：将方程化为一般形式，且把二次项系数化为1；二“移”：将常数项移到方程的右边；三“配”：方程方左程边两配边成同完时全加平上方一的次形项式系；数一半的平方，将
练一练
不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）3x2+x－1=0；
（2）2x2+6=3x;
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法：
将方程整理为一般形式 ax2+bx+c=0
Δ= b2 − 4ac > 0 Δ= b2 − 4ac = 0 Δ= b2 − 4ac < 0
有两个不等的实数根有两个相等的实数根没有实数根
Δ= b2－4ac = (− )2－4×2×1 = 0. 方程有两个相等的实数根
x1 = x2
(3) 5x2－3x = x + 1；解：方程化为 5x2－4x－1 = 0.
±-
a = 5，b = －4，c = －1. Δ= b2－4ac = (－4)2－4×5×(－1) = 36＞0.

2.3.1用公式法解一元二次方程课件(共20张PPT)

典例精讲
【题型三】公式法的应用
例 4：已知等腰三角形的一腰长为x，周长为 20，则方程x²12x+31=0的根为 6+ 5
.

例 5：若x²+3xy-2y²=0，则

点拨：方程两边同时乘
=

,得

− ±

.

+ × − = ,

设 = ,则 ² + − = ,
(2)确定 a、b、c的值;
(3)计算b²-4ac的值;
(4)当b²-4ac≥0时，把a、b、c的值代入一元二次方程的求根公式，求得方
程的根;当b²-4ac <0时,方程没有实数根.
注意：虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非
是最简单的，一定要注意方法的选择.
典例精讲
例 1：
【题型一】公式法解一元二次方程的逆用及根的判别式
典例精讲
【题型二】已知方程根的情况求参数的值或取值范围
例 2：若关于x的一元二次方程 − ² + + = 有两个相
等的实数根，则点P(m-3,-m+4)在第二
象限.
例3：已知关于x的方程 − ²² + + + =
有实数根，则 k的取值

范围是 k≥ .
3 用公式法求解一元二次方程
第1课时用公式法解一元二次方程
1.通过阅读课本学生可以利用公式法解数字系数的一元二次方程，
并会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，全面提高
学生解方程的能力.
2.通过阅读课本学生可以用配方法推导求根公式，培养学生推理

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