大学物理学(课后答案)第7章

第七章课后习题解答
一、选择题
7-1 处于平衡状态的一瓶氦气和一瓶氮气的分子数密度相同，分子的平均平动动能也相同，则它们[ ]
(A) 温度，压强均不相同 (B) 温度相同，但氦气压强大于氮气的压强 (C) 温度，压强都相同 (D) 温度相同，但氦气压强小于氮气的压强
分析：理想气体分子的平均平动动能3
2k kT ε=，仅与温度有关，因此当氦气和氮
气的平均平动动能相同时，温度也相同。

又由理想气体的压强公式p nkT =，当两者分子数密度相同时，它们压强也相同。

故选（C ）。

7-2 理想气体处于平衡状态，设温度为T ，气体分子的自由度为i ，则每个气体分子所具有的[ ]
(A) 动能为2i kT (B) 动能为2
i
RT
(C) 平均动能为2i kT (D) 平均平动动能为2
i
RT
分析：由理想气体分子的的平均平动动能3
2
k kT ε=和理想气体分子的的平均动能
2i
kT ε=，故选择（C ）。

7-3 三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体，其分子数密度n 相同，而方均根速率之比为()()()
1/2
1/2
1/2
22::2A B C
v v v =1:2:4，则其压强之比为A B C p :p :p
[ ]
(A) 1:2:4 (B) 1:4:8 (C) 1:4:16 (D) 4:2:1
=
，又由物态方程p nkT =，所以当三容器中得分子数密度相同时，得123123::::1:4:16p p p T T T ==。

故选择（C ）。

7-4 图7-4中两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子的速率分布曲线。

如果()2
p O v 和()2
p H v 分别表示氧气和氢气的最概然速率，则[ ]
(A) 图中a 表示氧气分子的速率分布曲线且()()2
2
p p O H /4v v =
(B) 图中a 表示氧气分子的速率分布曲线且()()2
2
p p O H /1/4v v =
(C) 图中b 表示氧气分子的速率分布曲线且()()2
2
p p O H /1/4v v =
(D) 图中b 表示氧气分子的速率分布曲线且()()2
2
p p O H /4v v =
分析：在温度相同的情况下，
由最概然速率公式p ν=
质量22H O M M <，可知氢气的最概然速率大于氧气的最概然速率，故曲线a 对应于氧分子的速率分布曲线。

又因22
1
16H O M M =
，所以22()1()4
p H p O νν=。

故选择（B ）。

7-5 在一个体积不变的容器中，储有一定量的某种理想气体，温度为0T 时，气体分子的平均速率为0v ，分子平均碰撞次数为0Z ，平均自由程为0λ，当气体温度升高为04T 时，气体分子的平均速率v ，平均碰撞次数Z 和平均自由程λ分别为[ ]
(A) 04v v =, 0Z 4Z =,04λλ= (B) 02v v =, 0Z 2Z =,0λλ= (C) 02v v =, 0Z 2Z =,04λλ= (D) 04v v =, 0Z 2Z =,0λλ=
分析：由理想气体分子的平均速率公式ν=
，所以温度由0T 升至04T ，则平均速率变为原来的2
倍；又平均碰撞频率2Z d n ν=，由于容器容积不变，
习题7-4图
即分子数密度n 不变，则平均碰撞频率变为
02Z ；而平均自由程λ=，n 不变，则λ也不变。

故选择（B ）。

二、填空题
7-6 在一密闭容器中，装有A 、B 、C 三种理想气体，且处于平衡态。

已知A 种气体的分子数密度为1n ，它产生的压强为1p ，B 种气体的分子数密度为12n ，C 种气体的分子数密度为13n ，则混合气体的压强p 为1p 的________倍。

答案： 6 分析：由理想气体的压强公式p nkT =，因在容器容积不发生变化的情况下，混合后的气体的总分子数密度1111236n n n n n =++=，故混合气体的压强16p p =。

7-7 已知氧气的压强 2.026 Pa p =，体积233.0010 m V -=⨯，则其内能
E =________。

答案： 0.152 分析：由理想气体的内能公式2
i
E v RT =及理想气体的物态方
程pV vRT =，可知2i
E vRT =，由因氧气分子是刚性双原子分子，所以5i =，代
入可得0.152E J =。

7-8 温度为27C ︒时，1 mol 氧气具有的平动动能为________；转动动能为________。

答案： 3739.5J 2493J 分析：由氧气分子的平均平动动能3
2
kt kT ε=
和转动动能22kr kT ε=，可知1mol 氧气所具有的平动动能33
22
t A kt A E N kN T RT ε===，
转动动能22
22r A kr A E N kN T RT ε===，代入数据可得3739.5t E J =，2493r E J =。

7-9 假定将氧气的热力学温度提高一倍，使氧分子全部离解为氧原子，则氧原子平均速率是氧分子平均速率的________倍。

答案： 2 分析：由理想气体的平均速率ν=
，又因分解后22O O T T =、
21
2
O O M M =
，所以22O O νν=。

7-10 在某平衡状态下，已知理想气体分子的麦克斯韦速率分布函数为()f v ，最概然速率为P v ，试说明式子()P d v f v v ∞
⎰的物理意义：________________________。

答案：速率在p ν∞区间内的分子数占总分子数的百分比。

三、计算题
7-11 在湖面下50.0m 深处（温度为4.0C ︒），有一个体积为531.010m -⨯的空气泡升到湖面上来，若湖面的温度为17.0 C ︒，求气泡到达湖面的体积（取大气压强为50 1.01310Pa p =⨯）。

解 设气泡在湖底和湖面的状态参量分别为111(,,)p V T 和222(,,)p V T ，由分析知气泡位于湖底处时的压强120p p gh p gh ρρ=+=+，利用理想气体的物态方程
1122
12
p V p V T T = 可得气泡到达湖面时的体积为：5312221
6.1110p T V
V m p T -=
=⨯。

7-12 试求压强为51.0110 Pa ⨯、质量为2 g 、体积为1.54 L 的氧气分子的平均平动动能。

解 由理想气体的压强公式p nkT =，可知A
p pVM
kT n mN ==，又由理想气体分子的平均平动动能公式
32
kt kT ε=
可知213 6.201102kt A
pVM
J mN ε-=
=⨯。

7-13 22.010 kg -⨯氢气装在334.010 m -⨯的容器内，当容器内的压强为
53.9010 Pa ⨯时，氢气分子的平均平动动能为多大？
解 由理想气体的物态方程可知氢气的温度MpV
T m R
='，故氢气分子的平均平动动能为
2233 3.891022k kMpV
kT J m R
ε-==
=⨯' 7-14 在容积为332.010 m -⨯的容器中，有内能为26.7510 J ⨯的刚性双原子分子某理想气体，求：（1）求气体的压强；（2）若容器中分子总数为225.410⨯个，求分子的平均平动动能及气体的温度。

解 （1）由理想气体的内能公式2i
E v RT =和理想气体的物态方程pV vRT =，同
时对于双原子分子而言5i =，故可得气体的压强
52 1.3510E
p Pa iV
=
=⨯ （2）由分子数密度N
n V
=
，可得该气体的温度 23.6210p pV T K nk Nk
===⨯
气体分子的平均平动动能为
2137.49102
k kT J ε-==⨯
7-15 当温度为0C ︒时，可将气体分子视为刚性分子，求在此温度下：（1）氧分
子的平均平动动能和平均转动动能；（2）34.010 kg -⨯氧气的内能；（2）
34.010 kg -⨯氦气的内能。

解 根据题意知气体的温度273T K =，故 （1）氧分子的平均平动动能为
213
5.7102
kt kT J ε-==⨯
氧分子的平均转动动能为
212 3.8102
kr kT J ε-==⨯
（2）氧气的内能为
27.1102
m i
E RT J M '=
=⨯ （3）氦气的内能为
33.4102
m i
E RT J M '=
=⨯
7-16 假定N 个粒子的速率分布函数为
00
()0 C v v f v v v >>⎧=⎨
>⎩ 由0v 求：（1）常数C ；（2）粒子的平均速率。

解 （1） 因()f ν表述的物理意义为气体分子在速率处于ν附近单位速率区间的概率，故根据概率密度的归一性0()1f d νν∞
=⎰知
00
()()()1f d f d f d C ννννννννν∞
∞
=+==⎰
⎰⎰
所以可得
1
C ν=
（2）又因
()dN
f d N
νν=，所以平均速率为 0
()2
dN
f d C d N
νννν
ννννν∞
∞
=
===
⎰⎰⎰
7-17 在容积为333010 m -⨯的容器中，贮有32010 kg -⨯的气体，其压强为
350.710 Pa ⨯。

求：该气体分子的最概然速率、平均速率及方均根速率。

解
由气体分子的最概然速率p ν=
、理想气体的物态方程pV vRT =和A
N
v N =
可得，
390p m s ν=
====
同理可得平均速率和方均根速率分别为
440m s ν=
=
478rms m s ν=
= 7-18 氖分子的有效直径为102.0410 m -⨯，求温度为600 K 、压强为21.33310 Pa
⨯
时氖分子的平均碰撞次数。

解
由气体分子的平均碰撞次数公式2Z d n ν=和p nkT =可得，
612.410Z d s -==⨯
7-19 在标准状况下，31 cm 中有多少个氮分子？氮分子的平均速率为多大？平均碰撞次数为多少？平均自由程为多大？（氮分子的有效直径103.7610 m -=⨯d 。

） 解 由题意可知氮分子的分子数密度
2532.6910p
n m kT
-=
=⨯ 故其平均速率为
454m s ν=
= 则平均碰撞次数为
2917.710Z d n s ν-==⨯
平均自由程为
8
610m λ-=
=⨯ 7-20 在一定的压强下，温度为20C ︒时，氩气和氮气分子的平均自由程分别为
89.910 m -⨯和827.510 m -⨯。

求：（1）氩气和氮气分子的有效直径之比；（2）当
温度不变且压强为原值的一半时，氮气分子的平均自由程和平均碰撞次数。

解
由气体的平均自由程λ=
=下平均自由程2
1
d
λα
，在温度不变的情况下1p λα，故 （1）由分析可知
2 1.67Ar
N d d == （2）当氮气的压强将为原来的一半时，氮气分子的平均自由程
2
2
72 5.510N
N m λλ-'==⨯ 而此时的分子平均碰撞频率
2
2
2
2
818.5610N
N N N
Z s νλ-===⨯'。