高考数学柯西不等式与排序不等式新人教选修
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即4(16 e2 ) (8 e)2 ,即64 4e2 64 16e e2 5e2 16e 0, 故0 e 16
5
例2
已知x,
y, z
R , 且x
y
z
1,求证
1 x
4 y
9 z
36
证法一: 用柯西不等式
1 4 9 ( x y z)( 1 4 9)
x yz
x yz
(a2 b2 c2 d 2 )2 (ab bc cd da)2 即 a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
例3 已知x 2 y 3z 1,求x2 y2 z2的最小值
证 明: ( x2 y2 z2 )(12 22 32 ) ( x 2 y 3z)2 1
xyz x
y
z
14 ( y 4x) ( z 9x ) (4z 9y) xy xz y z
14 4 6 12 36
当且仅当y 2x, z 3x,即x 1 , y 1 , z 1 时,等号成立. 6 32
附：介绍平均数不等式
问题：已知a1,a2 , an ∈ R+，求证
n 1+1+
x2
xn )2
1
x12 x22 xn2 1
1 x1 1 x2
1 xn n 1
补例充 题例1 已知实数a,b,c,d ,e满足a b c d e 8,
a2 b2 c2 d 2 e2 16,求e的取值范围.
解 : 4(a2 b2 c2 d 2 ) (1 1 1 1)(a2 b2 c2 d 2 ) (a b c d)2
定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式)
设a1 , a2 , a3 ,, an , b1 , b2 , b3 ,, bn是 实 数,则
(a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbb )2
当 且 仅 当bi 0(i 1,2,, n)或 存 在 一 个 数 k, 使 得ai kbi (i 1,2,, n)时, 等 号 成 立。
4 1 1 1 1 1 1 2
7 234
2n 1 2n 2
4.设a,b,c R , 且满足abc 1,试证明:
1 a3(b
c)
1 b3(a
c)
1 c3(a
b)
3 2
例2 已知a, b, c, d是不全相等的正数, 证明 a 2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
证明: (a2 2 c2 d 2 )(b2 c2 d 2 a2 ) (ab bc cd da)2
a,b,c,d是不全相等的正数, a b c d 不成立 bcd a
+
1
≤ a1 + a2 + n
+an ≤
a12
+
a
2 2
+
n
+
a
2 n
a1 a2
an
当且仅当a1 = a2 = = an时取等号。
调和平均数≤算术平均数≤均方平均数
补充练习
1在ABC中,设其各边长为a, b, c, 外接圆半径为R,
求证 : (a2
b2
c
2
)(
sBaidu Nhomakorabea
1 in2
A
1 sin2
B
1 sin2
C
)
36R2
2.设a, b, c为正数,且a b c 1,
求证 : (a 1 )2 (b 1 )2 (c 1)2 100
a
b
c3
1.已知a,b,c都为正数，且a+b+c=1， 求证: 4a 1 4b 1 4c 1 ≤ 21
.
3.若n是 不 小 于2的 正 整 数, 试 证 :
( x 1 y 2 z 3 )2 36
x
y
z
当 且 仅 当x2 1 y2 1 z2 ,即x 1 , y 1 , z 1 时,
49
6 32
等 号 成 立.
例2
已知x,
y, z
R , 且x
y
z
1,求证
1 x
4 y
9 z
36
证法二: 代入法
1 4 9 1 (x y z) 4 (x y z) 9(x y z)
1 xn n 1
证明: (n 1) ( x12 x22 xn2 )
1 x1 1 x2
1 xn
(1
x1
1
x2
1
xn
)
( 1
x12 x1
x22 1 x2
xn2 ) ( 1 xn
1 x1
x1 1 x1
1 x2
x2 1 x2
1 xn
xn 1 xn
)2
( x1
x2 y2 z2 1 14
当 且 仅 当x y z 即x 1 , y 1 , z 3 时
1 23
14 7 14
x2 y2 z2取最小值 1 14
P41 6. 设x1, x2,xn R , 且x1 x2 xn 1,
求证 : x12 x22 xn2 1
1 x1 1 x2
5
例2
已知x,
y, z
R , 且x
y
z
1,求证
1 x
4 y
9 z
36
证法一: 用柯西不等式
1 4 9 ( x y z)( 1 4 9)
x yz
x yz
(a2 b2 c2 d 2 )2 (ab bc cd da)2 即 a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
例3 已知x 2 y 3z 1,求x2 y2 z2的最小值
证 明: ( x2 y2 z2 )(12 22 32 ) ( x 2 y 3z)2 1
xyz x
y
z
14 ( y 4x) ( z 9x ) (4z 9y) xy xz y z
14 4 6 12 36
当且仅当y 2x, z 3x,即x 1 , y 1 , z 1 时,等号成立. 6 32
附：介绍平均数不等式
问题：已知a1,a2 , an ∈ R+，求证
n 1+1+
x2
xn )2
1
x12 x22 xn2 1
1 x1 1 x2
1 xn n 1
补例充 题例1 已知实数a,b,c,d ,e满足a b c d e 8,
a2 b2 c2 d 2 e2 16,求e的取值范围.
解 : 4(a2 b2 c2 d 2 ) (1 1 1 1)(a2 b2 c2 d 2 ) (a b c d)2
定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式)
设a1 , a2 , a3 ,, an , b1 , b2 , b3 ,, bn是 实 数,则
(a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbb )2
当 且 仅 当bi 0(i 1,2,, n)或 存 在 一 个 数 k, 使 得ai kbi (i 1,2,, n)时, 等 号 成 立。
4 1 1 1 1 1 1 2
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2n 1 2n 2
4.设a,b,c R , 且满足abc 1,试证明:
1 a3(b
c)
1 b3(a
c)
1 c3(a
b)
3 2
例2 已知a, b, c, d是不全相等的正数, 证明 a 2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
证明: (a2 2 c2 d 2 )(b2 c2 d 2 a2 ) (ab bc cd da)2
a,b,c,d是不全相等的正数, a b c d 不成立 bcd a
+
1
≤ a1 + a2 + n
+an ≤
a12
+
a
2 2
+
n
+
a
2 n
a1 a2
an
当且仅当a1 = a2 = = an时取等号。
调和平均数≤算术平均数≤均方平均数
补充练习
1在ABC中,设其各边长为a, b, c, 外接圆半径为R,
求证 : (a2
b2
c
2
)(
sBaidu Nhomakorabea
1 in2
A
1 sin2
B
1 sin2
C
)
36R2
2.设a, b, c为正数,且a b c 1,
求证 : (a 1 )2 (b 1 )2 (c 1)2 100
a
b
c3
1.已知a,b,c都为正数，且a+b+c=1， 求证: 4a 1 4b 1 4c 1 ≤ 21
.
3.若n是 不 小 于2的 正 整 数, 试 证 :
( x 1 y 2 z 3 )2 36
x
y
z
当 且 仅 当x2 1 y2 1 z2 ,即x 1 , y 1 , z 1 时,
49
6 32
等 号 成 立.
例2
已知x,
y, z
R , 且x
y
z
1,求证
1 x
4 y
9 z
36
证法二: 代入法
1 4 9 1 (x y z) 4 (x y z) 9(x y z)
1 xn n 1
证明: (n 1) ( x12 x22 xn2 )
1 x1 1 x2
1 xn
(1
x1
1
x2
1
xn
)
( 1
x12 x1
x22 1 x2
xn2 ) ( 1 xn
1 x1
x1 1 x1
1 x2
x2 1 x2
1 xn
xn 1 xn
)2
( x1
x2 y2 z2 1 14
当 且 仅 当x y z 即x 1 , y 1 , z 3 时
1 23
14 7 14
x2 y2 z2取最小值 1 14
P41 6. 设x1, x2,xn R , 且x1 x2 xn 1,
求证 : x12 x22 xn2 1
1 x1 1 x2