《不等关系与不等式省优质课比赛教学设计》

不等关系与不等式

教学目的： 1 了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用； 2 掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会用求差法比较两实数或代数式的大小． 3 培养学生数形结合的数学思想和灵活应变的解题能力.

教学重点：1 比较两实数或代数式的大小． 2 理解在两个实数a 、b 之间具有以下性质：

>-⇔>b a b a 0=-⇔=b a b a 0<-⇔

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体课件 教学方法：

教学过程：

一、新课引入：

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的 研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式 实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据 因此，本节课我们有必要来探讨、学习实数的运算性质与大小顺序之间的关系

生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢?

转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m (m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为

a b ，加入m 克糖后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>a

b 即可 怎么证呢? 二、讲解新课：

(一) 打出投影片，让同学们解决下列问题：

问题１：回顾不等式的定义，常用的不等号有哪些？

问题2：数轴的三要素是什么?. 问题3：把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序排列：

213-，5-，０，4-，2

3.

［师生共析］在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.

(二) 请同学们阅读课本第4页内容，解决下列问题：(教师打出投影片).

问题4：若a ＞b ，则a －b 0；若a ＝b ，则a －b 0；若a ＜b ，则a －b 0.

(若a ＞b ，则a －b ＞0；若a ＝b ，则a －b ＝0；若a ＜b ，则a －b ＜0，反之亦然).

问题5 ：“a ＞b ”与“a －b ＞0”等价吗? ( “a ＞b ”与“a －b ＞0”等价).

［师生共析］

(三) 讲解：我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．例如，在右图中，点A 表示

实数

a ，点B 表示实数b, 点A 在点B 右边，那么a ＞

b ．

我们再看右图，a ＞b 表示a 减去b 所得的差是一个大于0

的数即正数．一般地：

若a ＞b ，则a －b 是正数；逆命题也正确.

类似地，若a ＜b ，则a －b 是负数；若

，则a －b ＝０.它们的逆命题都正确. 这就是说： 0

>-⇔>b a b a

0=-⇔=b a b a 0<-⇔

(四) 引导学生得出：

比较两实数大小的方法----作差比较法: 比较两个实数ａ与ｂ的大小，归结为判断它们的差a －b 的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小.

例1 比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小.

［分析］：比较两个实数a 与b 的大小，可归纳为判断它们的差a －b 的符号。由此，把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题.

例2 已知x ≠0，比较（x 2＋1）2 与x 4＋x 2＋1的大小.

［分析］：同例1方法类似，让学生在理解基础上作答.

例2引伸：在例2中，如果没有x ≠0这个条件，那么两式的大小关系如何?

［分析］：此题意在培养学生分类讨论的数学思想，提醒学生在解决含字母代数式问题时，不要忘记代数式中字母的取值范围，一般情况下，取值范围是实数集的，可以省略不写.

（在例2中，如果没有x ≠0这个条件，那么意味着x 可以全取实数，在解决问题时，应分x ＝0和x ≠0两种情况进行讨论）.

例3 已知a>b>0，m>0，试比较m a m b ++与a

b 的大小 解：)()()(m a a b a m m a a bm ab am ab a b m a m b +-=+--+=-++

∵a>b>0，m>0，∴a-b>0，a+m>0 ∴

0)()(>+-m a a b a m ∴m a m b ++a ［师生共析］例1，例2，例3是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差------变形-----判断符号-----下结论. 这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题.

三. 课堂练习

1. 在以下各题的横线处填上适当的不等号：

(1) 223）（+ ６＋26； （2）216）（- 223）（-； （3

； (4) 当a ＞b ＞0时，log 21a log 2

1b 2 比较大小：

(1)（x ＋５）（x ＋７）与（x ＋６）2；

(2) 如果x ＞0，比较

2)1+x （与2)1-x （的大小. （3）已知a ≠0，比较（a 2＋a 2＋1）（a 2－a 2＋1）与（a 2＋a ＋1）·（a 2－a ＋1）的大小.

四. 课时小结

本节课学习了实数的运算性质与大小顺序之间的关系，并以此关系为依据，研究了如何比较两个实数的大小，其具体解题步骤可归纳为：

第一步：作差并化简，其化简目标应是n 个因式之积或完全平方式或常数的形式.

第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须分类讨论.

第三步：得出结论.