一元二次方程重点题型(全)
九年级数学解一元二次方程专项练习题(带答案)【40道】
解一元二次方程专项练习题（带答案）1、用配方法解下列方程：（1） 025122＝＋＋x x （2） 1042＝＋x x（3） 1162＝－x x （4）0422＝－－x x2、用配方法解下列方程：（1） 01762＝＋－x x （2） x x 91852＝－（3） 52342＝－x x （4）x x 2452－＝3、用公式法解下列方程：（1） 08922＝＋－x x （2） 01692＝＋＋x x（3） 38162＝＋x x （4）01422＝－－x x4、运用公式法解下列方程:(1) 01252＝－＋x x (2) 7962＝＋＋x x（3） 2325x x ＝＋ （4） 1)53)(2(＝－－x x5、用分解因式法解下列方程：（1）01692＝＋＋x x （2） x x x 22)1(3－＝－（3）)32(4)32(2＋＝＋x x （4）9)3(222－＝－x x6、用适当方法解下列方程：（1） 22(3)5x x -+= （2） 230x ++=（3） 2)2)(113(=--x x ； （4） 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x7、 解下列关于x 的方程:(1) x 2+2x －2=0 (2) 3x 2+4x －7=(3) (x +3)(x －1)=5 （4) (x －2)2+42x =08、解下列方程（12分）（1）用开平方法解方程：4)1(2=-x （2）用配方法解方程：x 2 —4x +1=0（3）用公式法解方程：3x 2+5(2x+1)=0 （4）用因式分解法解方程：3(x -5)2=2(5-x )9、用适当方法解下列方程：（1）0)14(＝－x x （2）027122＝＋＋x x（3）562＋＝x x （4）45)45(＋＝＋x x x（5）x x 314542＝－ （6）0242232＝－＋－x x（7）12)1)(8(＝－＋＋x x （8）14)3)(23(＋＝＋＋x x x解一元二次方程专项练习题 答案1、【答案】（1）116±－； （2） 142±－； （3） 523±； （4） 51± 2、【答案】（1）11＝x ，612＝x （2）31＝x ，562＝－x（3）41＝x ，4132＝－x （4）5211±－＝x3、【答案】 （1） 4179±＝x （2） 3121＝－＝x x （3） 411＝x ，432＝－x （4）262±＝x4、【答案】 (1) x 1=561,5612--=+-x (2). x 1=－3+7,x 2=－3－7（3）21＝x ，312＝－x （4）61311±＝x 5、【答案】（1）3121＝－＝x x （2）11＝x ，322＝－x（3）231＝－x ，212＝x （4）31＝x ，92＝x6、【答案】（1）11＝x ，22＝x （2）321＝－＝x x （3）4,3521==x x ； （4）3,221-==x x7、【答案】(1)x =－1±3; (2)x 1=1，x 2=－37(3)x 1=2，x 2=－4; (4)25.x 1=x 2=－2 8、【答案】解：（1） 1,321-==x x （2）32,3221-=+=x x（3）3105,310521--=+-=x x （4）313,521==x x 。
一元二次方程重点题型
一元二次方程是中学数学中一个非常重要的部分。
以下是一些一元二次方程的重点题型：
1. 求解一元二次方程，尤其是需要使用求根公式的方程
2. 确定一元二次方程的形式，例如找到顶点、轴等
3. 通过图形方法解决一元二次方程，例如在坐标系中绘制一元二次函数并找到解
4. 解决一元二次方程的应用问题，例如在物理或几何问题中，通过建立方程来求解未知量
5. 将现实生活中的问题转化为一元二次方程，例如关于时间、距离和速度的问题等。
6. 判别一元二次方程解的个数和形式，通过计算判定一元二次方程的解的性质
7. 使用因式分解等代数方法简化一元二次方程并求解
8. 不等式应用，例如解决带有一元二次方程的不等式问题
9. 将一元二次方程转化为其他形式的方程或不等式，例如将一元二次方程转化为三角形面积方程等
以上这些题型在中学数学中非常常见，是需要我们重点掌握和练习的，通过不断地练习和巩固，我们可以更好地理解和掌握一元二次方程的各种性质和解题技巧，从而提高我们的数学水平。
同时，我们也需要注意在实际问题中，如何合理地使用一元二次方程解决更为复杂的问题，这也是需要我们不断思考和探索的方向。
一元二次方程30题经典题型全覆盖
增长率问题1.原价a 元的某商品经过两次降价后，现售价b 元，如果每次降价的百分比都为x ，那么下列各式中正确的是（ ）()()b x a A =-21； ()()b x a B =-21； ()()a x b C =+21； ()()a x b D =+21。
2.某专卖店在统计2003年第一季度的销售额时发现，二月份比一月份增加10%，三月份比二月份减少10%，那么三月份比一月份 ( )(A) 增加10% （B ）减少10% （C ）不增不减 （D ）减少1%3.某药店经营的抗病毒药品，在市场紧缺的情况下提价100%，物价部门查处后，限定其提价的幅度只能是原价的10%，则该药品现在降价的幅度是（A ）45% （B ）50% （C ）90% （D ）95%．4.某厂计划在两年内把产量提高44%，如果每年与上一年的增长率相同，那么这增长率是______5.某林场现有木材800立方米，预计在今后若干年内年平均增长5%，那么一年后该林场有木材 ，两年后有木材 ，N 年后有木材 。
6.某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10％，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份的营业额的平均月增长率．7.今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内降低农业税．某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同．（1）求每年降低的百分率；（2）若小红家有四人，明年小红家减少多少农业税？（3）小红所在的乡有16000个农民，问该乡农民减少多少农业税？利率问题8.某人将2000元按一年期存入银行，到期后支取1000元，剩下1000元连同利息又全部按一年定期存入。
若存款利率不变，到期后可得本息共1320元，求这种存款方式的利率。
销售问题9.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售2件，如果商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？10.某商店如果将进货价格为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现采取提高售价，减少进货量的方法，增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少元时可赚利润720元？11.某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克。
一元二次方程的解法(公式法3种题型)(解析版)
一元二次方程的解法（公式法3种题型）1.了解求根公式的推导过程.（难点）2.掌握用公式法解一元二次方程.(重点）3.理解并会用判别式求一元二次方程的根.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况一、公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b acx a a −+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac −≥时，22404b aca−≥利用开平方法，得：x += 即：x = ②当240b ac −<时，22404b ac a −< 这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b acx a a−+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．二、求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac −≥时，有两个实数根：1x =2x =这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式． 三、用公式法解一元二次方程一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）； ②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac −的值（或代数式）；④若240b ac −≥，则把a 、b 、c 及24b ac −的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac −<，则方程无解．四、 根的判别式1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac −叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆−．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠， 当2=40b ac ∆−>时，方程有两个不相等的实数根； 当2=40b ac ∆−=时，方程有两个相等的实数根；当2=40b ac ∆−<时，方程没有实数根．五、根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题．题型1根的判别式例1.选择：（1） 下列关于x 的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（ ）（A ）012=+x（B ）0122=++x x （C ）0322=++x x（D ）0322=−+x x（2） 不解方程，判别方程25750x x −+=的根的情况是（）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根（3）方程2510x x −−=的根的情况是()（A ）有两个相等实根 （B ）有两个不等实根 （C ）没有实根（D ）无法确定（4） 一元二次方程2310x x +−=的根的情况为（）（A ）有两个不相等的实数根 （B ）有两个相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根【答案】（1）D ；（2）D ；（3）B ；（4）A ．【答案】【答案】【解析】（1）A ：1a =，0b =，1c =，2440b ac ∆=−=−<，方程无实根；B ：1a =，2b =，1c =，240b ac ∆=−=，方程有两个相等实根； C ：1a =，2b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实根；D ：1a =，2b =，3c =−，24160b ac ∆=−=>，方程有两不等实根实根，故选D ；（2）5a =，7b =−，5c =，24510b ac ∆=−=−<，方程无实根，故选D ； （3）1a =，5b =−，1c =−，24290b ac ∆=−=>，方程有两不等实根，故选B ； （4）1a =，3b =，1c =−，24130b ac ∆=−=>，方程有两个相等实根，故选A ．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根． 例2.不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）24530x x −−=； （2）22430x x ++=；（3）223x +=；（4）22340x x +−=．【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根； （4）方程有两不等实根．【答案】【答案】【解析】（1）4a =，5b =−，3c =−，24730b ac ∆=−=>，方程有两不等实根；2a =，4b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实数根；2a =，b =−3c =，240b ac ∆=−=，方程有两相等实根；（4）2a =，3b =，4c =−，24410b ac ∆=−=>，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根．题型2用公式法解一元二次方程例3．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）用公式法解方程：22720x x −+=．【答案】12x x ==【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解．【详解】解：22720x x −+=，∴2,7,2a b c ==−=，244942233b ac ∆=−=−⨯⨯=，∴x ==，解得：12x x ==．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 例4．用公式法解下列方程：（1）2320x x +−=；（2）25610x x −++=．【答案】（1）12x x ==；（2）12x x =．【解析】（1）132a b c ===−，，1742=−ac b ，则2173±−=x ，∴12x x ==；（2）561a b c =−==，，，则5642=−ac b ，则101426−±−=x ，∴123355x x −==，．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式x =的运用．例5.用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+−=．【答案】（1）12x x ==；（2）12x x ==【解析】（1）1,66,9=−==c b a ，则18042=−ac b ，则185666±=x ，∴原方程的解为：12x x ==；22,34,2−===c b a ，则6442=−ac b ，则22834±−=x ，∴原方程的解为：12x x ==【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．题型3根的判别式的应用例6．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）关于x 的一元二次方程()21360x k x k +++−=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根不小于7，求k 的取值范围． 【答案】(1)见解析． (2)5k ≤−．【分析】（1）计算根的判别式的值，利用配方法得到()25k ∆=−，根据非负数的性质得到0∆≥，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用求根公式得到13x =−，22kx =−．根据题意得到27k −≥，即可求得k 的取值范围．【详解】（1）解：()()21436k k ∆=+−−2211224k k k =++−+ 21025k k =−+()250k =−≥，∴方程总有实数根； （2）解：∵()250k ∆=−≥，∴()()152k k x −+±−=，解方程得：13x =−，22kx =−，由于方程有一个根不小于7， ∴27k −≥， 解得：5k ≤−．【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．例7．（2023·江苏苏州·统考一模）已知关于x 的一元二次方程22210x mx m −+−=． (1)若该方程有一个根是2x =，求m 的值；(2)求证：无论m 取什么值，该方程总有两个实数根． 【答案】(1)32m =(2)证明见解析【分析】（1）直接把2x =代入到原方程中得到关于m 的方程，解方程即可得到答案； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程22210x mx m −+−=的一个根为2x =，∴224210m m −+−=，∴32m =；（2）证明：由题意得，()()()222242421484410b ac m m m m m ∆=−=−−−=−+=−≥，∴无论m 取什么值，该方程总有两个实数根．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根；一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．例8．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）关于x 的一元二次方程()23220x k x k −+++=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于2，求k 的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)1k <【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证；（2）根据公式法求得方程的解，得出122,1==+x x k ，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）证明：关于x 的一元二次方程()23220x k x k −+++=，∴1,(3),22a b k c k ==−+=+ ∵[]224(3)41(22)−=−+−⨯⨯+b ac k k221k k =−+2(1)0k =−≥，∴此方程总有两个实数根； （2）∵()23220x k x k −+++=∵2(1)k ∆=−∴3(1)2+±−==k k x解得:122,1==+x x k ，∵方程有一个根小于2， ∴12k +<， 解得1k <．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．一、单选题1．（2023·江苏徐州·统考一模）关于一元二次方程2430x x ++=根的情况，下列说法中正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定【答案】A【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．【详解】解：2430x x ++=其中1a =，4b =，3c =，∴2Δ441340=−⨯⨯=>，∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 2．（2023·江苏徐州·校考一模）关于x 的一元二次方程240x x k −+=有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k −+=有实数根，∴()2440k ∆=−−≥，∴4k ≤，∴四个选项中只有A 选项符合题意， 故选A ．【点睛】本题主要考查次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．3．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程240x x k −−=没有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．5− B ．4− C ．3− D ．2【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k −−=无实数根，∴()2440k ∆=−+<，∴4k <−，∴四个选项中，只有A 选项符合题意， 故A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．4．（2023春·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程220x x k −+=没有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．1−【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程220x x k −+=没有实数根，∴()2240k ∆=−−<，∴1k >，∴四个选项中，只有选项A 符合题意， 故选A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．5．（2023秋·江苏·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程2440x x k −−+=没有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．0k > B ．4k > C ．0k < D ．4k <【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2440x x k −−+=没有实数根，∴()2416440b ac k ∆=−=−−<，解得：0k <故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根． 二、填空题6．（2023·江苏常州·校考一模）若关于x 的一元二次方程()22210k x x −−−=有实数根，则实数k 的取值范围是______． 【答案】1k ≥且2k ≠【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算，即可得到答案．【详解】∵关于x 的一元二次方程()22210k x x −−−=有实数根， ∴()()()22024210k k −≠⎧⎪⎨−−−⨯−≥⎪⎩ ∴21k k ≠⎧⎨≥⎩，即1k ≥且2k ≠． 故答案为：1k ≥且2k ≠．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和跟的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和判别式的性质，从而完成求解．7．（2023·江苏常州·统考一模）若关于x 的方程20x x m −+=（m 为常数）有两个相等的实数根，则m =______．【答案】14【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△0=，求出m 的值即可．【详解】解：关于x 的方程20(x x m m −+=为常数）有两个相等的实数根，∴△2(1)40m =−−=，解得14m =．故答案为：14．【点睛】本题考查的是根的判别式，孰知当△0=时，一元二次方程2(0)y ax bx c a =++≠有两个相等的实数根是解答此题的关键．8．（2023·江苏盐城·校考二模）已知关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，则a 的值为________．【答案】5a =−【分析】将1x =代入方程240x ax ++=，解方程即可得到a 的值．【详解】∵关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，∴将1x =代入方程240x ax ++=，得140a ++=，解得：5a =−， 故答案为：5−【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是使得方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．9．（2023·江苏宿迁·模拟预测）关于x 的方程()21210m x x −−+=有实数根，则m 的取值范围是______． 【答案】2m ≤/2m ≥【分析】分当10m −=时，当10m −≠，即1m ≠时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当10m −=时，即1m =时，原方程即为210x −+=，解得12x =，符合题意；当10m −≠，即1m ≠时，∵关于x 的方程()21210m x x −−+= ∴()()22410m ∆=−−−≥，解得2m ≤且1m ≠； 综上所述，2m ≤， 故答案为：2m ≤．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．10．（2023·江苏·模拟预测）请填写一个常数，使得一元二次方程25x x −+____________0=没有实数根．【答案】7（答案不唯一）【分析】设这个常数为a ，根据根的判别式求出a 的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设这个常数为a ，∴方程250x x a −+=没有实数根，∴()2540a ∆=−−<，∴254a >，∴7a =满足题意，故答案为：7（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．11．（2023秋·江苏无锡·九年级校联考期末）请填写一个常数，使得关于x 的方程24x x −+________=0有两个不相等的实数根． 【答案】1（答案不唯一）【分析】根据方程的系数结合根的判别式2=40b ac ∆−>，即可得出关于c 的不等式，求解即可得出答案．【详解】解：1a =，4b =−，设常数为c ，()22=44410b ac c ∆−=−−⨯⨯>4c ∴<故答案为：1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当0∆>时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 三、解答题12．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末）求证：关于x 的方程2()0()x m n x mn m n +++=≠有两个不相等的实数根． 【答案】见解析【分析】根据224()41b ac m n mn ∆=−=+−⨯⨯，再判断出的符号，即可得出结论． 【详解】解∶2222()412()m n mn m n mn m n ∆=+−⨯⨯=+−=−，m n ≠()2m n ∴−>∴方程有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式2Δ4b ac =−：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=，方程有两个相等的实数根；当Δ0<，方程没有实数根． 13．（2023·江苏盐城·校考一模）已知关于x 的一元二次方程210x ax a −+−=． (1)求证：方程总有两个实数根；(2)若该方程有一实数根大于4，求a 的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)5a >【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）利用因式分解法解方程求出方程两个根为1211x x a ==−，，再根据该方程有一实数根大于4进行求解即可．【详解】（1）解：∵知关于x 的一元二次方程为210x ax a −+−=，∴()()()222414420a a a a a ∆=−−−=−+=−≥，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵210x ax a −+−=，∴()()110x x a −+−=，∴10x −=或10x a +−=， 解得1211x x a ==−，，∵该方程有一实数根大于4， ∴14a −>， ∴5a >．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，灵活运用所学知识是解题的关键． 14．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）关于x 的一元二次方程2(23)10mx m x m ++++=有两个不等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取最小整数时，求x 的值． 【答案】(1)98m >−且0m ≠(2)10x =，21x =【分析】（1）由0∆>得到关于m 的不等式，解之得到m 的范围，根据一元二次方程的定义求得答案； （2）由（1）知1m =−，还原方程，利用因式分解法求解可得．【详解】（1）解：由题意得：2(23)4(1)0m m m +−+>， 解得：98m >−且0m ≠；（2）由（1）知，m 最小整数为1−，此时方程为：20x x −+=，解得：10x =，21x =．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．【答案】(1)28n m =−(2)见解析【分析】（1）根据根的判别式符号进行求解；（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】（1）由题意得：()242n m ∆=−⋅−28n m ∆=+方程有两个相等的实数根， 0∴∆=280n m ∴+= 28n m ∴=−（2）当2n m =−()228m m ∆=−+2Δ44m m =++()224420m m m ++=+≥∴方程始终有两个实数根【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的判别式．一、单选题1．（2023春·江苏南京·九年级南京市竹山中学校考阶段练习）一元二次方程2440x x +−=的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定【答案】B【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意得，()24414320∆=−⨯⨯−=>，∴原方程有两个不相等的实数根， 故选B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．2．（2022秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程250x ax −−=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．可能有实数根，也可能没有 C ．有两个相等的实数根 D ．没有实数根【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程为250x ax −−=，∴()()22451200a a ∆=−−⨯−⨯=+>，∴关于x 的一元二次方程250x ax −−=有两个不相等的实数根，故答案为：A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．3．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）若关于x 的一元二次方程22(1)0x x k +−−=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．0k > B ．0k ≥ C ．0k < D ．0k ≤【答案】B【分析】根据一元二次方程有实数根，可知240b ac −≥，求出解即可．【详解】∵一元二次方程22(1)0x x k +−−=有实数根，∴240b ac −≥，即224[(1)]0k −−−≥， 解得0k ≥． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握24b ac −与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的关系是解题的关键．即当240b ac −＞时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；当240b ac −=时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根；当240b ac −＜时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．5．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2210kx x −−=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ) A ．1k >−B ．1k <C ．1k >−且0k ≠D ．1k <且0k ≠【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的判别式得出不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2210kx x −−=有两个不相等的实数根，∴0k ≠且0∆>，即2(2)4(1)0k −−⨯⨯−>， 解得1k >−且0k ≠． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根． 二、填空题5．（2023春·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）请填写一个常数，使得关于x 的方程22+−x x __________0=有两个相等的实数根． 【答案】1【分析】设这个常数为a ，利用一元二次方程根的判别式得出a 的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个常数为a ， ∵要使原方程有两个相等的实数根， ∴()2=240a ∆−−=，∴1a =，∴满足题意的常数可以为1， 故答案为：1．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．6．（2023春·江苏泰州·九年级靖江市靖城中学校考阶段练习）方程220x x m −+=没有实数根，则m 的取值范围是______． 【答案】1m >/1m <【分析】根据一元二次方程无实数根得到Δ0<，代入即可得出答案．【详解】方程220x x m −+=没有实数根，4410m ∴∆=−⨯⨯<， 1m ∴>，故答案为：1m >．【点睛】本题考查一元二次方程有无实数根，熟记判别式24b ac ∆=−是解题的关键．三、解答题7．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程210x ax a ++−=． (1)若该方程的一个根为2−，求a 的值及该方程的另一根； (2)求证：无论a 取何实数，该方程都有实数根． 【答案】(1)3a =，该方程的另一根为1− (2)证明见解析【分析】（1）先根据一元二次方程解的定义把2x =−代入到210x ax a ++−=中求出a 的值，再利用因式分解法解方程即可；（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程210x ax a ++−=的一个根为2−，∴4210a a −+−=， ∴3a =，∴原方程即为2320x x ++=，∴()()120x x ++=，解得=1x −或2x =−， ∴方程的另一个根为1−；（2）解：∵关于x 的一元二次方程为210x ax a ++−=，∴()()222414420a a a a a ∆=−−=−+=−≥，∴无论a 取何实数，该方程都有实数根．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解一元二次方程，一元二次方程判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．8．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2430mx x -+=有实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若m 为正整数，求出此时方程的根． 【答案】(1)43m ≤且0m ≠(2)11x =，23x =【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式0∆≥，可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围；（2）由（1）的结论，结合m 为正整数，可得出m 的值，再其代入原方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程2430mx x -+=有实数根，∴()20Δ4430m m ≠⎧⎪⎨=−−⨯⨯≥⎪⎩， 解得：43m ≤且0m ≠，∴m 的取值范围为43m ≤且0m ≠；（2）∵43m ≤且0m ≠，且m 为正整数， ∴1m =，∴原方程为2430x x −+=，即()()310x x −−=， 解得：11x =，23x =．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式0∆≥，找出关于m 的一元一次不等式组；（2）代入m 的值，求出方程的解．9．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程()242440mx m x m +−+−=（m 为常数，且0m ≠）(1)求证：方程总有实数根； (2)若该方程有两个实数根；①不论m 取何实数，该方程总有一个不变的实数根为______； ②若m 为整数，且方程的两个实数根都是整数，求m 的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①2−；②1m =±或2m =±【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；（2）①利用公式法求出方程的两个实数根即可得到答案；②根据①所求两实数根，结合m 为整数，且方程的两个实数根都是整数进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得()()22=442444b ac m m m ∆−=−−−2216164161640m m m m =−+−+=>，∴方程总有实数根； （2）解：①∵关于x 的方程()242440mx m x m +−+−=有两个实数根，∴2422m x m −±==， ∴1224222242222m m m x x m m m −+−−−====−，，∴不论m 取何实数，该方程总有一个不变的实数根为2−， 故答案为：2−；②由①得，方程的两个实数根为12222mx x m −==−，，∵m 为整数，且方程的两个实数根都是整数， ∴2222m m m −=−为整数，∴1m =±或2m =±．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．10．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程2(1)(3)20m x m x +−++=． (1)证明：不论m 为何值时，方程总有实数根； (2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【答案】(1)证明见解析(2)0m =【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m 的值．【详解】（1）（1）证明：①1m =−时，该方程为一元一次方程220x −+=，有实数根1x =；②1m ≠−时，该方程为一元二次方程，2(3)8(1)m m ∆=+−+221m m =−+2(1)m =−，不论m 为何值时，2(1)0m −…， ∴0∆…， ∴方程总有实数根；综上，不论m 为何值时，方程总有实数根．（2）解：解方程得，(3)(1)2(1)m m x m +±−=+， 11x =，221x m =+，方程有两个不相等的正整数根，m 为整数，0m ∴=．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：0∆>⇔方程有两个不相等的实数根；0∆=⇔方程有两个相等的实数根；0∆<⇔方程没有实数根是解题的关键．【答案】22212x x x −−或【分析】根据分式的混合运算法则化简后，再求出x 的值，代入求值即可．【详解】解：221222121x x x x x x x ⎛⎫÷ ⎪⎝⎭−−−−+++()()()()()22112221121x x x x x x x x x x x ⎡⎤=÷⎢⎥⎣⎦+−−−−++++()()()()21211112x x x x x x +=⨯++−−()2211x x x =−− 22221x x x =−−∵210x x −−=，∴21x x −=，∴原式()2221x x x −=−2211x =−⨯12x =−， 对于210x x −−=来说，1,1,1,a b c ==−=−∵()()22414115b ac −=−−⨯⨯−=，∴x =，∴12x x ==，∴当x =时，原式12x =−，当x =时，原式12x =−=．【点睛】此题考查了分式的化简求值，解一元二次方程等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）解下列方程：2231x x +=【答案】x x ==12，【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，然后用公式法求解即可；【详解】解：原方程可化为：22310x x +−=a b c ===−231 ， ，()b ac −=−⨯⨯−=>2243421170x ∴==x x ==12，【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的基本解法是解题的关键． 13．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）已知关于x 的方程220x mx m +−=−．(1)当该方程的一个根为1−时，求m 的值及该方程的另一根；(2)求证：不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【答案】(1)1=2m ，方程的另一根为32(2)见解析【分析】（1）把1x =−代入原方程求得m 的值，进一步求得方程的另一个根即可；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．【详解】（1）解：把1x =−代入方程 220x mx m +−=−得 120m m ++−=∴1=2m ，把1=2m 代入到原方程得 213022x x −−=∴1x =−或3=2x 故答案为：1=2m ，方程的另一根为32；（2）证明：∵方程220x mx m +−=−，∴根的判别式()()()224224m m m ∆=−−−=−+∵()220m −≥∴()2240m ∆=−+> ∴不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的性质，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=−：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当0∆=，方程有两个相等的实数根；当0∆<，方程没有实数根；熟练掌握一元二次方程根的判别式的性质是解本题的关键． 14．（2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程：(1)2820x x −−=（配方法）(2)2320x x ++=（公式法）【答案】(1)14x =+24x =−(2)11x =−，22x =−【分析】（1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后，再开方，即可得出结果；（2）利用公式法计算即可．【详解】（1）解：2820x x −−=移项，得：282x x −=，配方，得：2228424x x −+=+，即()2418x −=，由此可得：4x −=±14x =+24x =−（2）解：2320x x ++=1a =，3b =，2c =，224341210b ac ∆=−=−⨯⨯=>，方程有两个不等的实数根，3131212x −±−±===⨯，即11x =−，22x =−．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次．。
一元二次方程中考经典题型
一元二次方程是中考数学中的重要内容，以下是几个经典的中考题型：
1.已知一元二次方程x² - kx - 6 = 0 的两根分别是2 和3，则k 的值为多少？
解析：由求根公式可知，一元二次方程ax² + bx + c = 0 的两根分别为x1 = (-b + √(b² - 4ac)) / 2a 和x2 = (-b - √(b² - 4ac)) / 2a。
题目已知方程x² - kx - 6 = 0 的两根为2 和3，根据求根公式可得2 + 3 = k，即k = 5。
2. 若一元二次方程x² - x - a = 0 的两根之差为3，则a 的值为多少？
解析：根据题意，设该方程的两根为x1 和x2，则有x2 - x1 = 3。
根据求和公式可知，x1 + x2 = 1。
而根据一元二次方程的求根公式，x1 + x2 = 1/a。
将上述两个式子联立，可得1/a = 3，即a = 1/3。
3. 若一元二次方程x² - 5x + b = 0 的两根之比为2：3，则
b 的值为多少？
解析：根据题意，设该方程的两根为x1 和x2，则有x1/x2 = 2/3。
根据求根公式可知，x1 + x2 = 5，x1x2=b。
将x1/x2 = 2/3代入得x1=2x2/3，代入x1+x2得5=8x2/3，即x2=15/8。
代入x1/x2=2/3得x1=10/3。
于是b=x1x2=15/8*10/3=25/4。
中考数学中的一元二次方程考题形式多样，需要学生结合具体的知识点进行综合练习和思考，提高解题技能和水平。
一元二次方程经典题型汇总
一元二次方程经典题型汇总一、一元二次方程的概念一.一元二次方程：一个具有未知数且未知数的最高阶数为2的积分方程称为一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式：AX2？bx？C0（a？0），其特征是关于方程左侧未知x的11个二次多项式和方程右侧的0，其中AX2称为二次项，a称为二次项的系数；BX 称为主项，B称为主项系数；C被称为常数项。
一．填空题：1.方程mx2-3x=x2 mx+2是一个单变量的二次方程，然后是m______2．方程4x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式是_______________,二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是______.3.对于X（M+3）x2+4x+m2-9=0的一元二次方程，如果有解0，则M=_4、。
如果二次方程AX2+BX+C=0（a≠ 0）的根为-1，则a、B和C之间的关系为_____5、当m时，方程m2?1x2?mx?5?0不是一元二次方程，当m时，上述方程是一元二次方程。
二．选择题：① 下式中x=3；②2x2-3x=2x（x-1）c1；③3x2-4xc5；④x2=-1+2x??是一元二次方程的共有()a0个b1个c2个d3个7、下列方程中，一元二次方程是（）1（a）x2？2（b）ax2？bx（c）？十、1.十、2.1（d）3x2？2xy？5y2？0x8．一元二次方程的一般形式是()ax2+bx+c=0bax2+c=0（a≠0）cax2+bx+c=0dax2+bx+c=0（a≠0)9．方程6x2-5=0的一次项系数是()a6b5c-5d0A.1.x2？十、a2？1.0×10。
如果一元二次方程的一个根是0，那么a的值是（）1a、1b、?1c、1或?1d、2三、将下列方程转化为一般形式，分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项x（3x+2）=6（3x+2）（3CT）+T=922一般形式二次项系数一次项系数常数项2、一元二次方程1的解。
(完整版)一元二次方程应用题经典题型汇总含答案
z 一元二次方程应用题经典题型汇总一、增长率问题例 1 恒利商厦九月份的销售额为200 万元，十月份的销售额下降了20% ，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6 万元，求这两个月的平均增长率.解设这两个月的平均增长率是X.,则根据题意，得200(1 —20%)(1+ x)2= 193.6 ,即(1+x)2= 1.21，解这个方程，得x i = 0.1 , X2=— 2.1 (舍去).答这两个月的平均增长率是10%.说明这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+x)2= n求解，其中m v n.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1 —x)2= n即可求解，其中m >n.二、商品定价例2 益群精品店以每件21 元的价格购进一批商品, 该商品可以自行定价, 若每件商品售价a元，则可卖出(350 —10a)件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400 元,需要进货多少件？每件商品应定价多少？解根据题意，得(a—21)(350 —10a) = 400，整理，得a2—56a+775 = 0 ,解这个方程，得a1 = 25 , a2 = 31.因为21 p+20%) = 25.2，所以a2=31不合题意，舍去.所以350 —10 a= 350 —10 X25 = 100 (件).答需要进货100 件,每件商品应定价25元.说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点例3 王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率•(假设不计利息税)解设第一次存款时的年利率为X.则根据题意，得[1000(1+ x)- 500](1+0.9 x) = 530.整理，得90X2+145 x —3 = 0.解这个方程，得X i~0.0204 = 2.04% , X21.63.由于存款利率不能为负数，所以将X2~—1.63 舍去.答第一次存款的年利率约是 2.04%.说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税四、趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解设渠道的深度为x m，那么渠底宽为(x+0.1)m，上口宽为(x+0.1+1.4)m.则根据题意，得2(x+0.1+ x+1.4+0.1) x= 1.8，整理，得x2+0.8 x—1.8 = 0.解这个方程，得X1 = — 1.8 (舍去)，X2= 1.所以x+1.4+0.1 = 1 + 1.4+0.1 = 2.5.答渠道的上口宽2.5m，渠深1m.说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解例5 读诗词解题：(通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄)大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为X,则十位数字为x - 3.则根据题意，得x2= 10(x —3)+ x，即X2-11X+30 = 0，解这个方程，得x= 5或x= 6.当x = 5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x = 6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.答周瑜去世的年龄为36岁.六、象棋比赛例6 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979 , 1980 , 1984 , 1985.经核实，有一位同学统计无误•试计算这次比赛共有多少个选手参加•解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与(n —1)个选手比赛一局，共计n(n —1)1局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为2 n(n —1)局由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n(n —1)分•显然(n—1)与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0, 2 , 6，故总分不可能是1979 , 1984 , 1985，因此总分只能是1980，于是由n(n —1) = 1980，得n2—n —1980 = 0 ,解得n1 = 45 , n2=—44 (舍去).答参加比赛的选手共有45人.说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题, 法求解• 七、情景对话例7 春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元•请问该单位 这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解设该单位这次共有 x 名员工去天水湾风景区旅游 •因为1000 >25 = 25000 V 27000，所以员工人数一定超过 25人.则根据题意，得[1000 — 20(x — 25)] x = 27000.整理，得 x 2 — 75X +1350 = 0,解这个方程，得 x i = 45 , X 2= 30.当 x = 45 时，1000 — 20( x — 25) = 600 V 700，故舍去 x i ；当 X 2= 30 时，1000 — 20(x — 25) = 900 >700，符合题意.答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论都可以仿照些如果人数不超过25人 如果人数超过25人，每増加1 人人均放游费用降低20元 旦人均册费用不得低于700人均旅游费用海1000元.八、等积变形例8 将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为 原来荒地面积的三分之二•（精确到0.1m ）（1 ）设计方案1 （如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路（2）设计方案2 （如图3）花园中每个角的扇形都相同 .以上两种方案是否都能符合条件？若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由 解 都能.(1)设小路宽为 X ,则 18x +16x — x 2=^ X18 X15,即 x 2— 34X +180 = 0 ,解这个方程，得x = 2 ，即x ~ 6.6.(2)设扇形半径为 r ，则 3.14 r 2 =X18 X15 ,即卩 r 2疋 57.32，所以 r ~7.6.明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变; 积也变，但重量不变，等等九、动态几何问题例9 如图 4所示，在△ ABC 中，/ C = 90?/SPAN> , AC = 6cm , BC = 8cm ，点 P 从 点A 出发沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动，点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动（1）如果P 、Q 同时出发，几秒钟后，可使△ PCQ 的面积为8平方厘米?X ,或形变(2)点P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△ PCQ 的面积等于△ ABC 的面积的一半•若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由(1 )设 x s 后，可使△ PCQ 的面积为 8cm 2,所以 AP = x cm , PC = (6 — x )cm , CQ =2x cm.则根据题意，得(6 — x ) 2x = 8.整理，得X 2— 6x +8 = 0,解这个方程，得 x i = 2, X 2=4. 所以P 、Q 同时出发，2s 或4s 后可使△ PCQ 的面积为8cm 2.(2)设点P 出发x 秒后，△ PCQ 的面积等于△ ABC 面积的一半•1 1 1则根据题意，得 2(6 — x ) 2x =2 x2 x6 X8.整理，得 x 2— 6x +12 = 0.由于此方程没有实数根，所以不存在使厶 PCQ 的面积等于ABC 面积一半的时刻•说明 本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程=速度x 时间.十、梯子问题例10 一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.(1) 若梯子的顶端下滑1m ，求梯子的底端水平滑动多少米？ (2) 若梯子的底端水平向外滑动 1m ，梯子的顶端滑动多少米？(3 )如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解 依题意，梯子的顶端距墙角 =8 (m ).(1 )若梯子顶端下滑1m ，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动x m.因为/ C = 90?/SPAN>，所以AB ="汙\取匸=用卜『=10(cm )(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ ABC的则根据勾股定理，列方程72+(6+ x)2= 102，整理，得x2+12 x—15 = 0 ,解这个方程，得X i~ 1.14 , X213.14 (舍去)，所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.(2)当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动x m.则根据勾股定理，列方程(8 —X)2+(6+1)2= 100.整理，得X2—16X+13 = 0.解这个方程，得X1~ 0.86 , X2 ~ 15.14 (舍去).所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.(3)设梯子顶端向下滑动x m时，底端向外也滑动x m.则根据勾股定理，列方程(8 —X)2+(6+X)2= 102，整理，得2x2—4x = 0,解这个方程，得X1 = 0 (舍去)，X2= 2.所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.十一、航海问题例11如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200 海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C,小岛D恰好位于AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航•一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.(1)小岛D和小岛F相距多少海里?(2)已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(精确到0.1海里)解(1) F位于D的正南方向，贝U DF丄BC•因为AB丄BC, D为AC的中点，所以DF =2 AB = 100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.(2 )设相遇时补给船航行了x海里，那么DE = x海里，AB+BE= 2x海里，EF= AB+BC -(AB+ BE)—CF= (300 - 2x)海里.在Rt△ DEF中，根据勾股定理可得方程x2= 100 2+(300 - 2x)2，整理，得3x2-1200 x+100000 = 0.lOtK/6 10(K/6解这个方程，得X1 = 200 —孑 ~ 118.4 , X2 = 200+3 (不合题意，舍去)•所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.说明求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程十二、图表信息例12 如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12 X12个小正方形格，将边长为n (n 为整数，且2w n< 11 )的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n Xi的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n刈个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n - 1) X n —1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.请你认真观察思考后回答下列问题：(1)由于正方形纸片边长n的取值不同，冼成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：纸片的边长n23456使用的纸片张数（2 ）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S i，未被盖住的面积为S2.①当n = 2时，求S i : S2的值;解（1 ）依题意可依次填表为: 11、10、9、8、7.②是否存在使得S i = S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由(2) S1 = n2+(12 - n)[n2—(n - 1)2] = - n2+25 n - 12.①当n = 2 时，S1 = - 22+25 X2 - 12 = 34 , S2= 12 X12 - 34 = 110.所以S1 : S2 = 34 : 110 = 17 : 55.1②若S1 = S2，则有—n2+25 n —12 =? X122，即n2—25 n +84 = 0 ,解这个方程，得n1 = 4 , n2= 21 (舍去).所以当n = 4时，S1= S2.所以这样的n值是存在的.说明求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断.十三、探索在在问题例13 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于 12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度； 若不能, 请说明理由解(1)设剪成两段后其中一段为 x cm ，则另一段为(20 — x ) cm.当 x = 16 时，20 — x = 4，当 x = 4时，20 — x = 16 , 答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm 和16cm.(2)不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为 y cm ，则另一段为(20 — y ) cm.则由题意得I 4丿+1 4丿=12，整理，得 y 2— 20 y +104 = 0,移项并配方，得(y — 10) 2 =—4v 0,所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm 2.说明 本题的第(2 )小问也可以运用求根公式中的 b 2 — 4ac 来判定 若b 2 — 4ac >0,方程有两个实数根，若 b 2— 4ac v 0，方程没有实数根，本题中的b 2 — 4ac =— 16 v 0即无解.十四、平分几何图形的周长与面积问题例14 如图7,在等腰梯形 ABCD 中，AB = DC = 5 , AD = 4 , BC = 10.点E?^下底边BC 上，点F 在腰AB 上.(1 )若EF 平分等腰梯形 ABCD 的周长，设BE 长为X ,试用含x 的代数式表示 △ BEF 的面积； (2) 是否存在线段 EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由；(3) 是否存在线段 EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1 : 2的两部分？若存在，求此时BE 的长；若不存在，请说明理由则根据题意，得 =17,解得 X i = 16X 2 = 4 ,Be K解(1 )由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28.过点F作FG丄BC于G,过点A作AK丄BC于K.12 - K则可得，FG= 总,込24所以S A BEF=BEFG=—§ x2+ x (7 < x < 10).2 24(2)存在.由 (1 )得—5 x2+ 5 x = 14，解这个方程，得x i = 7, X2 = 5 (不合题意，舍去),所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE= 7.(3)不存在•假设存在，显然有S A BEF : S多边形AFECD = 1 : 2,2 16 28即(BE+BF)：(AF+AD + DC) = 1 : 2.则有一5 x2+ 5 x =3 ,整理，得3x2—24x+70 = 0,此时的求根公式中的b2—4ac = 576 —840 V 0,所以不存在这样的实数X.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1 : 2的两部分.说明求解本题时应注意：一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得X2 = 5时，并不属于7 < X W 10,应及时地舍去；三是处理第(3)个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性.十五、利用图形探索规律例15 在如图8中，每个正方形有边长为1的小正方形组成:（1 ）观察图形，请填写下列表格：正方形边长 13黑色小正方形个数 正方形边长 24黑色小正方形个数（2 ）在边长为n （n > 1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为个数为P 2,问是否存在偶数.n ,使P 2= 5P i ?若存在，请写出 n 的值；若不存在，请说明 理由.解（1）观察分析图案可知正方形的边长为 1、3、5、7、…、n 时，黑色正方形的个 数为1、5、9、13、2n — 1 （奇数）；正方形的边长为2、4、6、8、…、n 时，黑色正方形 的个数为4、& 12、16、2n （偶数）•（2 ）由（1 ）可知n 为偶数时P 1 = 2 n ,所以P 2= n 2— 2n .根据题意，得n 2 — 2 n = 5 x 2n ,即n 2 —12 n = 0,解得n 1= 12 , n 2 = 0 （不合题意，舍去）.所以存在偶数n = 12，使得P 2 =5P 1.n （奇数）n （偶数）P i ，白色小正方形的说明本题的第（2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.。
一元二次方程应用题七大题型
一元二次方程应用题七大题型
1. 求解物体运动距离
题型：一个物体从静止开始运动，加速度为 a，运动时间为 t。
求物体运动的距离。
公式：距离 = (1/2) 加速度时间²
2. 求解物体最终速度
题型：一个物体从静止开始运动，加速度为 a，运动时间为 t。
求物体最终速度。
公式：最终速度 = 加速度时间
3. 求解物体运动时间
题型：一个物体从静止开始运动，最终速度为 v，加速度为 a。
求物体运动的时间。
公式：时间 = 最终速度 / 加速度
4. 求解物体加速度
题型：一个物体从静止开始运动，运动时间为 t，最终速度为v。
求物体加速度。
公式：加速度 = 最终速度 / 时间
5. 求解运动物体速度
题型：一个物体从静止开始运动，在 t1 时刻速度为 v1，在
t2 时刻速度为 v2。
求物体在 t3 时刻的速度。
公式：速度 = (最终速度 - 初始速度) / (最终时间 - 初始
时间)
6. 求解运动物体加速度变化率
题型：一个物体的加速度从 a1 变化到 a2，时间间隔为Δt。
求加速度的变化率。
公式：加速度变化率 = (最终加速度 - 初始加速度) / 时间间隔
7. 求解运动物体速度变化率
题型：一个物体的速度从 v1 变化到 v2，时间间隔为Δt。
求速度的变化率。
公式：速度变化率 = (最终速度 - 初始速度) / 时间间隔。
一元二次方程常见题型总结
一元二次方程常见题型总结一元二次方程常见题型总结题型1：一元二次方程的概念1.若方程$(a-1)x^2-3x+2=0$是关于$x$的一元二次方程，则$a$的取值范围为【】（A）$a\neq1$（B）$a>1$（C）$a\neq1$（D）$a>1$答案：$a\neq1$2.若$1-3$是方程$x^2-2x+c=0$的一个根，则$c$的值为【】（A）$-2$（B）$4/3$（C）$3/2$（D）$4$答案：$4/3$3.已知关于$x$的一元二次方程$(k+4)x^2+3x+k^2+3k-4=0$的一个根为$0$，且$k$的值为【】答案：$k=-4$或$k=1$题型2：一元二次方程的解法4.一个等腰三角形的底边长是$6$，腰长是一元二次方程$x^2-7x+12=0$的一个根，则此三角形的周长是【】（A）$12$（B）$13$（C）$14$（D）$12$或$14$答案：$14$5.方程$(x+3)^2=5(x+3)$的解为__________。
答案：$x=-2$或$x=2$6.用适当的方法解下列方程：1）$4x^2-144=0$；（2）$2x^2+3x=3$；（3）$x^2-2x-24=0$；（4）$x(2x-5)=4x-10$。
题型3：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系定理7.已知$a,b,c$为常数，点$P(a,c)$在第二象限，则关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况是【】（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）无法判断答案：$B$8.若关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k-1)x+k^2-1=0$没有实数根，则$k$的取值范围为__________。
答案：$k1$9.已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k+1)x+k^2=0$有两个不相等的实数根。
1）求$k$的取值范围；2）设方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$，当$k=1$时，求$x_1^2+x_2^2$的值。
一元二次方程各类题型汇总
一元二次方程题型汇总一、填空题： 1、方程(x –1)(2x +1)=2化成一般形式是 ，它的二次项系数是 .2、关于x 的方程是(m 2–1)x 2+(m –1)x –2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程； 当m 时，方程为一元一次方程.3、方程0322=+x x 的根是 .4、当k = 时，方程0)1(2=+++k x k x 有一根是0.5、若方程kx 2–6x +1=0有两个实数根，则k 的取值范围是 .6、设x 1、x 2是方程3x 2+4x –5=0的两根，则=+2111x x .x 12+x 22= . 7、关于x 的方程2x 2+(m 2–9)x +m +1=0，当m = 时，两根互为倒数； 当m = 时，两根互为相反数.8、若x 1 =23-是二次方程x 2+ax +1=0的一个根，则a = ， 该方程的另一个根x 2 = .9、方程x 2+2x +a –1=0有两个负根，则a 的取值范围是 .10、若p 2–3p –5=0，q 2－3q –5=0，且p ≠q ，则=+2211pq . 11、分解因式：122--x x = ，2232y xy x --= .12、请写出一个一元二次方程使它有一个根为3 ， .13、如果把一元二次方程 x 2–3x –1=0的两根各加上1作为一个新一元二次方程的两根， 那么这个新一元二次方程是 .14、已知方程0)1(2=+++k x k x 的两根平方和是5，则k = .二、选择题：1、方程012=--kx x 的根的情况是（ ）（A ）方程有两个不相等的实数根 （B ）方程有两个相等的实数根（C ）方程没有实数根 （D ）方程的根的情况与k 的取值有关2、已知方程22=+x x ，则下列说中，正确的是（ ）（A ）方程两根和是1 （B ）方程两根积是2（C ）方程两根和是－1 （D ）方程两根积是两根和的2倍3、已知方程062=--kx x 的两个根都是整数，则k 的值可以是（ ）（A ）—1 （B ）1 （C ）5 （D ）以上三个中的任何一个4、若一元二次方程 2x （kx －4）－x 2＋6 ＝ 0 无实数根，则k 的最小整数值是（ ）（A ）－1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 5、若c 为实数，方程x 2－3x ＋c ＝0的一个根的相反数是方程x 2＋3x －3＝0的一个根，那么方程x 2 －3x ＋c ＝0的根是（ ）（A ）1，2 （B ）－1，－2 （C ）0，3 （D ）0，－3 6、若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝ 0 （a ≠0） 的两根之比为2：3，那么a 、b 、c 间的关系应当是( ） （A ）3b 2＝8ac （B ）a c a b 2325922= （C ）6b 2＝25ac （D ）不能确定 三、解下列方程：（1）9)12(2=-x （2）42)2)(1(+=++x x x(3) 3x 2–4x –1=0 (4)4x 2–8x +1=0（用配方法）四、求证：不论k 取什么实数，方程x 2-(k+6)x+4(k- 3)=0一定有两个不相等的实数根.五、若方程 x 2＋mx －15 ＝ 0 的两根之差的绝对值是8，求ｍ的值.六、某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，，求月平均增长率.七、 已知a 、b 、c 为三角形三边长，且方程b (x 2-1)-2ax+c (x 2+1)=0有两个相等的实数根.试判断此三角形形状，说明理由.八、综合应用题1. 分式1872---x x x 的值是0，则__________=x 2. 已知053)23(6522=+++-+-x x m m m m ,是关于x 的二次方程, 则m ＝图1图233. 设b a ,是一个直角三角形两条直角边的长，且12)1)((2222=+++b a b a ，则这个直角三角形的斜边长为4. 如果两个连续整数的积为210，那么这两个数是5. 已知实数x 满足+++x x x 22101=x ,那么x x 1+的值为 6.如图中的每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案,每条边(包括两个顶点)有n(n>1)盆花,每个图案花盆的总数是s 按此推断s 与n 的关系是 .n=2,s=3n=3,s=6n=4,s=9 7.观察下列一组图形，根据其变化规律，可得第10个图形中三角形的个数为8.等腰三角形的两边的长是方程091202=+-x x 的两个根，则此三角形的周长为 （ ）A. 27B. 33C. 27和33D.以上都不对9. 合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？10. 解答题：方程01)3()1(12=--+++x m x m m ；（1）m 取何值时是一元二次方程，并求出此方程的解；（2）m 取何值时是一元一次方程；11.已知a 、b 、c 均为实数且0)3(11222=+++++-c b a a ，求方程02=++c bx ax 的根；12.试证明关于x 的方程012)208(22=+++-ax x a a 无论a 取何值，该方程都是一元二次方程；13.两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4cm ，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32cm2，求大小两个正方形的边长。
一元二次方程常考题型
一元二次方程常考题型在数学中，一元二次方程是一种常见的方程形式，以"x"作为未知数，可用一般形式表示为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数且a≠0。
解一元二次方程的方法有多种，包括因式分解法、配方法、求根公式等。
下面将介绍常见的一元二次方程考题类型及解题方法。
一、因式分解法1. 完全平方当一元二次方程可经过因式分解后（如(ax + b)(cx + d)）形成完全平方时，可以直接利用完全平方公式进行求解。
例题1：求解方程x^2 + 6x + 9 = 0。
解析：将方程左侧进行因式分解得到(x+3)^2=0，利用完全平方公式可以解得x=-3。
2. 利用特殊因式公式在一元二次方程中，如果出现常见特殊因式公式，也可以通过因式分解法进行求解。
例题2：求解方程x^2 + 8x + 15 = 0。
解析：观察方程右侧的常数项15，找到两个数的乘积等于15且和等于8，可以得到因式分解为(x+5)(x+3)=0，解得x=-5或x=-3。
二、配方法1. 配方法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果其中a、b为整数，可以通过"配方"的方法将方程转化为一个完全平方的形式。
例题3：求解方程x^2 + 7x + 12 = 0。
解析：先找到方程中二次项系数为7的一半，即7/2=3.5，然后用3.5^2=12.25减去加法常数项12，得到所需的差值0.25。
将这个差值作为新的常数项加入到方程中，即得到(x + 3.5)^2 = 0.25。
再开根号得到x + 3.5 = ±0.5，解得x=-3或x=-4。
三、求根公式一元二次方程的求根公式是一种常用的解法，它可以用来求解任何一元二次方程。
求根公式可表示为：x = (-b ± √(b^2-4ac)) / 2a例题4：求解方程x^2 - 5x + 6 = 0。
解析：根据求根公式，将方程的系数代入公式得到x = (5 ± √(5^2-4*1*6)) / (2*1)，化简后得到x = 2 或 x = 3。
新人教版21章一元二次方程知识点及典型题目总结
一元二次方程知识题型总结一、知识与技能的总结（一）概念一元二次方程--“整式方程”;“只含一个未知数,且未知数的最高次数是2"．一元二次方程的一般形式-—，按未知数x降幂排列方程的根（解）—-是使方程成立的未知数的取值，了解一元二次方程的根的个数．（二）一元二次方程的解法-—把一元二次方程降次为一元一次方程求解1．直接开平方法-—适用于的方程．2．配方法——适用于所有的一元二次方程；（1）“移项”-—使得（2)“系数化1”——使得（3）“配方”——使得(4)“求解”—-利用解方程3．公式法—-适用于的方程．反映了一元二次方程的根与系数的关系，（1）一元二次方程首先必须要把方程化为一般形式，准确找出各项系数a、b、c；（2）先求出的值，若,则代入公式．若,则；4．因式分解法--适用于的方程．用因式分解法解一元二次方程的依据是：．通过将二次三项式化为两个一次式的乘积，从而达到降次的目的，将一元二次方程转化为求两个方程的解．（三）其它知识方法1．根的判别式: ，（1）若，则方程有解；（2）若，则方程有解;(3）若，则方程有解;2．换元法（1）；（2）(3)．3．可化为一元二次方程的分式方程解方程二、典型题型的总结（一）一元二次方程的概念1．(一元二次方程的项与各项系数）把下列方程化为一元二次方程的一般形式：(1）；(2);（3）；（4) ；（5）；2．（应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值)（1)= 时,关于的方程是一元二次方程。
(2)若分式，则3．（由方程的根的定义求字母或代数式值）(1）关于的一元二次方程有一个根为0，则(2）已知关于的一元二次方程有一个根为1,一个根为,则，(3）已知2是关于的方程的一个根,则的值是(4)已知c为实数,并且关于的一元二次方程的一个根的相反数是方程的一个根，则方程的根为,c=（二）一元二次方程的解法4．开平方法解下列方程：(1）（2)（3) （4)（5）；（6)；（7）．（8)5．用配方法解下列各方程：（1）; (2）;（3) (4）（5）；（6）．6．用公式法解下列各方程:（1）; （2）；(3）；（4）．（5）(6）（7）（8）（9）7．用因式分解法解下列各方程：(1）；（2）(3）（4）（5) （6）(7）；(8）．（9）(10）(11）8．用适当方法解下列方程（解法的灵活运用）：(1）（2）（3）（4）（5）9．解关于x的方程（含有字母系数的方程）：(1）（2）(3)（）(4）（三）一元二次方程的根的判别式10．不解方程，判别方程根的情况：(1）4 —-(2）-—（3）—-11．为何值时，关于x的二次方程（1）满足时，方程有两个不等的实数根(2）满足时，方程有两个相等的实数根(3）满足时，方程无实数根12．已知关于的方程,如果，那么此方程的根的情况是（）．A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．没有实根D．不能确定13．关于的方程的根的情况是（）．A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．没有实根D．不能确定14．已知关于的方程有实根，则的取值范围是（）．A．B．且C．D．15．已知,且方程有两个相等实根,那么的值等于（）．A．B．C．3或D．316．若关于的方程有实根,则的非负整数值是（）．A．0,1 B．0，1，2 C．1 D．1，2，317．已知关于ｘ的方程有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程的根．18．方程有实数根，求正整数a.19．对任意实数m，求证：关于x的方程无实数根。
一元二次方程常考题型
一元二次方程是数学中的一个重要概念，它在中考数学中也是一个常见的考点。
以下是中考数学中常考的一元二次方程的题型及解题方法：
1.直接开平方法：对于形如$x^2=p$或$(x-\alpha)^2=p$的一元二次方程，
可以通过直接开平方的方法求解。
首先移项，等式两边同加或同减一个常数，使常数项移到等式的另一边，然后两边同时开平方，最后得出解。
2.因式分解法：对于形如$x^2-px+q=0$的一元二次方程，可以通过因式分
解法求解。
首先移项并提公因式，然后根据完全平方公式或平方差公式进行因式分解，最后根据因式分解的结果得出解。
3.配方法：对于形如$x^2-px+q=0$的一元二次方程，也可以通过配方的方
法求解。
首先移项并提公因式，然后配方使左边成为一个完全平方三项式，右边为一个常数，最后得出解。
4.公式法：对于任何一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，都可以通过公式法求
解。
首先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，然后根据判别式的值判断方程的根的情况，最后根据根的性质求出方程的解。
5.综合法：综合法通常是根据题目的具体条件和图形的几何意义，将问题转
化为与一元二次方程有关的问题，通过解一元二次方程得出答案。
综上所述，中考数学中常考的一元二次方程的题型及解题方法有多种，需要根据具体题目选择合适的方法进行求解。
一元二次方程经典题型
一元二次方程经典题型一、一元一次方程1、应用一元一次方程的定义求值：x +2x-7=0为一元二次方程。
当m= 时，方程（m-1）|m|12、一元二次方程的解的应用题：已知x=-2是一元二次方程2x+ax+b=0的一个根，则代数式42a+2b-4ab的值是3、从实际问题中抽象出一元二次方程：某校九年级学生毕业时，每个同学将自己的相片向全班各赠送一张作纪念，全班共送2070张相片，若全班有x名学生，根据题意列方程为。
二、解一元二次方程1、直接降次解一元二次方程：2、用配方法解方程：（1）（2x-1)2-16=0 （1）x2-2x-35=0 (2) 3x2-6x-2=03、用公式法解一元二次方程： 4 用因式分解法解一元二次方程：（1）x2+3x-1=0 （1）x2+5x=0 (2)(x-3)2+2x-6=05、用适当的方法解下列方程：（1）x2-6x=-9 (2)x(2x-1)=3(1-2x) (3)x2-3x-10=0三、一元二次方程根的判别式1、利用根的判别式判断根的情况：一元二次方程x2+2x+2=0的根的情况是（）A、有两个相等的实数根B、有两个不相等的实数根C、只有一个实数根D、无实数2、根据根的情况求字母参数的值或取值范围：关于x的一元二次方程x2-5x+k=0有两个不相等的实数根，则k可能的最大整数值为。
四、一元二次方程根与系数的关系1、利用根与系数的关系求方程的根或字母参数的值：若关于x 的方程x2-5x-3k=0的一个根是-3，则k= ,另一个根是。
2、利用根与系数的关系求关于两根的代数式的值：若一元二次方程x2-x-1=0的两个根分别为x1、x2,则1112x x= 。
3、与根与系数的关系的综合问题：已知关于x的一元二次方程x2+2(m+1)x+m2-1=0,（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，，且满足（x1-x2）2=16-x1.x2，求实数m的值。
部编数学九年级上册专题01《一元二次方程》重难点题型分类(解析版)含答案
专题01 《一元二次方程》重难点题型分类专题简介：本份资料专攻《一元二次方程》中“判断一元二次方程的个数”、“利用一元二次方程的概念求字母的值”、“一元二次方程的一般形式”、“利用一元二次方程的解求字母的值”、“利用一元二次方程的解求代数式的值”、“赋值法求一元二次方程的定根”、“根据面积问题列一元二次方程”、“根据实际问题列一元二次方程”重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：判断一元二次方程的个数方法点拨：一元二次方程需满足三个条件：一是整式方程，二是只含一个未知数，三是含未知数项的最高指数是2。
1．（2021·全国·八年级课时练习）下列方程中一元二次方程的个数为（ ）①220x -=；②221x y +=；5=；④12x x +=．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义直接判断即可．【详解】解：220x -=是一元二次方程；221x y +=含有两个未知数，不是一元二次方程；5=未知数在根号内，不是一元二次方程；12x x +=未知数在分母中，不是一元二次方程；故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，明确只含有一个未知数，未知数的最高次为2次的整式方程是一元二次方程是解题关键．2．（2021·全国·九年级课时练习）下面关于x 的方程中：①220ax x ++=；②()()223911x x --+=；③1x x x +=；④20x a -=（a 为任意实数）；1x =-．一元二次方程的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】解：①220ax x ++=，0a =时不是一元二次方程；②223(9)(1)1x x --+=是一元二次方程；③13x x+=是分式方程；④20(x a a -=为任意实数）是一元二次方程；1x =-，是根式方程，是无理方程，不是一元二次方程；综上所述，一元二次方程的个数是2个，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．3.（2021春•仓山区校级月考）下列关于x 的方程：①ax 2+bx +c ＝0；②x 24＝0；③2x 2﹣3x +1＝0；④x 2﹣2+x 3＝0．其中是一元二次方程的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义进行解答即可．【解答】解：①ax 2+bx +c ＝0，当a ＝0时，该方程不是一元二次方程；②x 24＝0属于分式方程；③2x 2﹣3x +1＝0符合一元二次方程的定义；④x 2﹣2+x 3＝0的最高次数是3，属于一元三次方程；综上所述，其中一元二次方程的个数是1个．故选：A ．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx +c ＝0（且a ≠0）．特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．4．（2021·全国·九年级专题练习）判断下列各式是一元二次方程的是________．①21x x ++；②2960x x -=；③2102y =；④215402x x-+=；⑤2230x xy y +-=；⑥232y =；⑦2(1)(1)x x x +-=．【答案】②③⑥【分析】直接根据一元二次方程的定义进行判断即可．【详解】解：①21x x ++不是方程；②2960x x -=是一元二次方程；③2102y =是一元二次方程；④ 215402x x -+=不是整式方程，故不是一元二次方程；⑤ 2230x xy y +-=含有2个未知数，不是一元方程；⑥232y =；是一元二次方程；⑦ 2(1)(1)x x x +-=化简后没有二次项，不是2次方程.∴②③⑥符合一元二次方程的定义．故答案为：②③⑥．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的辨别，熟练掌握一元二次方程的定义是解答此题的关键．考点2：利用一元二次方程的概念求字母的值方法点拨：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.时刻记住一元二次方程中二次项系数不能等于0。
一元二次方程(知识点+考点+题型总结)
一元二次方程(知识点+考点+题型总结)类型三、配方法()002≠=++a c bx ax 222442a acb a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
典型例题：例1、 试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。
例2、 已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。
例3、 已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。
例4、 分解因式：31242++x x针对练习：★★1、试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。
★★2、已知041122=---+x x x x ，则=+x x 1.★★★3、若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。
★★★4、如果4122411-++-=--++b a c b a ,那么c b a 32-+的值为 。
类型四、公式法⑴条件：()04,02≥-≠ac b a 且⑵公式： a acb b x 242-±-=,()04,02≥-≠ac b a 且典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：⑴().6132=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142=+-x x⑷01432=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x例2、在实数范围内分解因式：（1）3222--x x ； （2）1842-+-x x . ⑶22542y xy x --说明：①对于二次三项式c bx ax ++2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令c bx ax ++2=0，求出两根，再写成c bx ax ++2=))((21x x x x a --.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想”的应用⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。
一元二次方程重点题型(全)
一元二次方程重点题型一．选择题（共7小题）定义1．（2016•凉山州模拟）下列方程中，一元二次方程共有（）个①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤（x﹣1）2+y2=2；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2．A．1 B．2 C．3 D．4一般形式2．（2016春•荣成市期中）关于x的方程（m﹣3）x﹣mx+6=0是一元二次方程，则它的一次项系数是（）A．﹣1 B．1 C．3 D．3或﹣13．（2016春•宁国市期中）方程2x2﹣6x﹣9=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．6；2；9 B．2；﹣6；﹣9 C．2；﹣6；9 D．﹣2；6；9一元二次方程的解4．（2016•山西校级模拟）已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，则该方程一定有一个根为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．25．（2016•诏安县校级模拟）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．6．（2016•济宁校级模拟）一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a﹣2b+c=0，则它的一个根是（）A．﹣2 B． C．﹣4 D．27．（2015•诏安县校级模拟）方程（x﹣1）2=2的根是（）A．﹣1，3 B．1，﹣3 C．，D．，二．填空题（共12小题）8．（2016春•长兴县月考）用配方法将方程x2+6x﹣7=0化为（x+m）2=n的形式为．9．（2016•罗平县校级模拟）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为．（9题）（10题）10．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为．11．（2016•丹东模拟）某药店响应国家政策，某品牌药连续两次降价，由开始每盒16元下降到每盒14元．设每次降价的平均百分率是x，则列出关于x的方程是．11．（2016•松江区二模）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，那么根据题意可列关于x的方程是．12．（2016•萧山区模拟）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？15．（2015•东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：每件商品降价元时，商场日盈利可达到2100元．13．在一次同学聚会上，若每两人握一次手，一共握了45次手，则参加这次聚会的同学一共有名．16．（2015•东西湖区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是91个，则每个支干长出的小分支数目为．17．（2015春•乳山市期末）如图，一块矩形铁皮的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，若盒子的容积是240cm3，则原铁皮的宽为cm．18．（2015秋•洪山区期中）卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，若按此传染速度，第三轮传染后，患流感人数共有人．19．（2015秋•临汾校级月考）如图，要建一个面积为130m2的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16m）并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，仓库的长和宽分别为m与m．三．解答题（共11小题）20．（2015春•沂源县期末）解下列方程：（1）x2﹣2x=2x+1（配方）（2）2x2﹣2x﹣5=0（公式）①x2﹣2x﹣8=0（因式分解）②（x﹣4）2=9（直接开）③2x2﹣4x﹣1=0（公式）④x2+8x﹣9=0（配方）22．（2015春•阜宁县期末）选用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣6x=7 （2）2x2﹣6x﹣1=0 （3）3x（x+2）=5（x+2）23．（2016•唐河县一模）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3=0 有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．24．（2016•洛阳模拟）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．25．（2016•信阳一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．26．（2016•西峡县二模）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3=0．（1）若原方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）若原方程的一个根是1，求此时m的值及方程的另外一个根．27．（2016•平武县一模）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．（2）是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．28．（2016•宛城区一模）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．29．（2015秋•余干县校级期末）已知x2+y2+6x﹣4y+13=0，求（xy）﹣2．30．（2016•洪泽县一模）如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位，参考数据：≈2.236）．2016年06月03日2456000759的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2016•凉山州模拟）下列方程中，一元二次方程共有（）个①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤（x﹣1）2+y2=2；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①x2﹣2x﹣1=0，符合一元二次方程的定义；②ax2+bx+c=0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义；③+3x﹣5=0不是整式方程，不符合一元二次方程的定义；④﹣x2=0，符合一元二次方程的定义；⑤（x﹣1）2+y2=2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义．一元二次方程共有2个．故选：B．2．（2016春•荣成市期中）关于x的方程（m﹣3）x﹣mx+6=0是一元二次方程，则它的一次项系数是（）A．﹣1 B．1 C．3 D．3或﹣1【解答】解：由题意得：m2﹣2m﹣1=2，m﹣3≠0，解得m=±1．故选：B．3．（2016春•宁国市期中）方程2x2﹣6x﹣9=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．6；2；9 B．2；﹣6；﹣9 C．2；﹣6；9 D．﹣2；6；9【解答】解：∵方程一般形式是2x2﹣6x﹣9=0，∴二次项系数为2，一次项系数为﹣6，常数项为﹣9．故选B．4．（2016•山西校级模拟）已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，则该方程一定有一个根为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【解答】解：依题意，得c=﹣a﹣b，原方程化为ax2+bx﹣a﹣b=0，即a（x+1）（x﹣1）+b（x﹣1）=0，∴（x﹣1）（ax+a+b）=0，∴x=1为原方程的一个根，故选B．5．（2016•诏安县校级模拟）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．【解答】解：根据题意得：a2﹣1=0且a﹣1≠0，解得：a=﹣1．故选B．6．（2016•济宁校级模拟）一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a﹣2b+c=0，则它的一个根是（）A．﹣2 B． C．﹣4 D．2【解答】解：将x=﹣2代入ax2+bx+c=0的左边得：a×（﹣2）2+b×（﹣2）+c=4a﹣2b+c，∵4a﹣2b+c=0，∴x=﹣2是方程ax2+bx+c=0的根．故选A．7．（2015•诏安县校级模拟）方程（x﹣1）2=2的根是（）A．﹣1，3 B．1，﹣3 C．，D．，【解答】解：x﹣1=±∴x=1±．故选C．二．填空题（共12小题）8．（2016春•长兴县月考）用配方法将方程x2+6x﹣7=0化为（x+m）2=n的形式为（x﹣3）2=2．【解答】解：移项，得x2﹣6x=﹣7，在方程两边加上一次项系数一半的平方得，x2﹣6x+9=﹣7+9，（x﹣3）2=2．故答案为：（x﹣3）2=2．9．（2016•罗平县校级模拟）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（100﹣x）（80﹣x）=7644．【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有（100﹣x）（80﹣x）=7644，故答案为：（100﹣x）（80﹣x）=7644．10．（2016•丹东模拟）某药店响应国家政策，某品牌药连续两次降价，由开始每盒16元下降到每盒14元．设每次降价的平均百分率是x，则列出关于x的方程是16（1﹣x）2=14．【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得16×（1﹣x）（1﹣x）=14，整理得：16（1﹣x）2=14．故答案为：16（1﹣x）2=14．11．（2016•松江区二模）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，那么根据题意可列关于x的方程是289（1﹣x）2=256．【解答】解：根据题意可得两次降价后售价为289（1﹣x）2，即方程为289（1﹣x）2=256．故答案为：289（1﹣x）2=256．12．（2016•萧山区模拟）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？【解答】解：设每件降价为x元，则（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，得x2﹣5x+4=0，解得x=4或x=1，要使顾客实惠，则x=4，定价为60﹣4=56元．答：应将销售单价定位56元．13．（2016•南岗区模拟）在一次同学聚会上，若每两人握一次手，一共握了45次手，则参加这次聚会的同学一共有10名．【解答】解：设这次参加聚会的同学有x人，则每人应握（x﹣1）次手，由题意得：x（x﹣1）=45，即：x2﹣x﹣90=0，解得：x1=10，x2=﹣9（不符合题意舍去）故参加这次聚会的同学共有10人．故答案是：10．14．（2015•平定县一模）学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为（35﹣2x）（20﹣x）=600（或2x2﹣75x+100=0）．【解答】解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为（35﹣2x）米，宽为（20﹣x）米，∴可列方程为（35﹣2x）（20﹣x）=600（或2x2﹣75x+100=0），故答案为（35﹣2x）（20﹣x）=600（或2x2﹣75x+100=0）．15．（2015•东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元．【解答】解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x，由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，化简得：x2﹣35x+300=0，解得：x1=15，x2=20，∵该商场为了尽快减少库存，∴降的越多，越吸引顾客，∴选x=20，故答案为：20．16．（2015•东西湖区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是91个，则每个支干长出的小分支数目为9．【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，根据题意列方程得：x2+x+1=91，解得：x=9或x=﹣10（不合题意，应舍去）；∴x=9；故答案为：917．（2015春•乳山市期末）如图，一块矩形铁皮的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，若盒子的容积是240cm3，则原铁皮的宽为11cm．【解答】解：设这块铁片的宽为xcm，则铁片的长为2xcm，由题意，得3（2x﹣6）（x﹣6）=240解得x1=11，x2=﹣2（不合题意，舍去）答：这块铁片的宽为11cm．18．（2015秋•洪山区期中）卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，若按此传染速度，第三轮传染后，患流感人数共有1000人．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，第一轮过后有（1+x）个人感染，第二轮过后有（1+x）+x（1+x）个人感染，那么由题意可知1+x+x（1+x）=100，整理得，x2+2x﹣99=0，解得x=9或﹣11，x=﹣11不符合题意，舍去．那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人．第三轮传染后，患流感人数共有：100+9×100=1000．故答案为1000．19．（2015秋•临汾校级月考）如图，要建一个面积为130m2的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16m）并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，仓库的长和宽分别为10m与13m．【解答】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x，依题意得（32﹣2x+1）x=130，2x2﹣33x+130=0，（x﹣10）（2x﹣13）=0，∴x1=10或x2=6.5，当x1=10时，32﹣2x+1=13＜16；当x2=6.5时，32﹣2x+1=20＞16，不合题意舍去．答：仓库的长和宽分别为13m，10m．故答案为：10，13．三．解答题（共11小题）20．（2015春•沂源县期末）解下列方程：（1）x2﹣2x=2x+1（配方法）（2）2x2﹣2x﹣5=0（公式法）【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣4x=1，配方得：x2﹣4x+4=5，即（x﹣2）2=5，开方得：x﹣2=±，解得：x1=2+，x2=2﹣；（2）这里a=2，b=﹣2，c=﹣5，∵△=8+40=48，∴x==．21．（2015•金堂县一模）用规定的方法解下列方程①x2﹣2x﹣8=0（因式分解法）②（x﹣4）2=9（直接开平方法）③2x2﹣4x﹣1=0（公式法）④x2+8x﹣9=0（配方法）【解答】解：①∵x2﹣2x﹣8=0，∴（x+2）（x﹣4）=0，∴x+2=0或x﹣4=0，∴x1=﹣2，x2=4；②∵（x﹣4）2=9，∴x﹣4=±3，∴x1=1，x2=7；③∵2x2﹣4x﹣1=0，∴a=2，b=﹣4，c=﹣1，b2﹣4ac=16+8=24，∴x===1±，∴x1=1﹣，x2=1+；④∵x2+8x﹣9=0，∴x2+8x+16﹣16﹣9=0，∴（x+4）2=25，∴x+4=±5，∴x1=1，x2=﹣9．22．（2015春•阜宁县期末）选用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣6x=7（2）2x2﹣6x﹣1=0（3）3x（x+2）=5（x+2）【解答】解：（1）方程变形得：x2﹣6x﹣7=0，分解因式得：（x﹣7）（x+1）=0，解得：x1=7，x2=﹣1；（2）这里a=2，b=﹣6，c=﹣1，∵△=36+8=44，∴x==；（3）方程变形得：（3x﹣5）（x+2）=0，解得：x1=，x2=﹣2．23．（2016•唐河县一模）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3=0 有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．【解答】解：（1）根据题意得m﹣2≠0且△=4m2﹣4（m﹣2）（m+3）＞0，解得m＜6且m≠2；（2）m满足条件的最大整数为5，则原方程化为3x2+10x+8=0，∴（3x+4）（x+2）=0，∴x1=﹣，x2=﹣2．24．（2016•洛阳模拟）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．【解答】解：（1）∵方程没有实数根，∴b2﹣4ac=[﹣2（m+1）]2﹣4m2=8m+4＜0，∴m＜﹣，∴当m＜﹣时，原方程没有实数根；（2）由（1）可知，当m≥﹣时，方程有实数根，当m=1时，原方程变为x2﹣4x+1=0，设此时方程的两根分别为x1，x2，解得x1=2+，x2=2﹣．25．（2016•信阳一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．【解答】（1）证明：△=（k+3）2﹣4×3k=（k﹣3）2≥0，故不论k取何实数，该方程总有实数根；（2）解：当△ABC的底边长为2时，方程有两个相等的实数根，则（k﹣3）2=0，解得k=3，方程为x2﹣6x+9=0，解得x1=x2=3，故△ABC的周长为：2+3+3=8；当△ABC的一腰长为2时，方程有一根为2，方程为x2﹣5x+6=0，解得，x1=2，x2=3，故△ABC的周长为：2+2+3=7．26．（2016•西峡县二模）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3=0．（1）若原方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）若原方程的一个根是1，求此时m的值及方程的另外一个根．【解答】解：（1）由题意知，m﹣1≠0，所以m≠1．∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=22﹣4（m﹣1）×（﹣3）=12m﹣8＞0，解得：m＞，综上所述，m的取值范围是m＞且m≠1；（2）把x=1代入原方程，得：m﹣1+2﹣3=0．解得：m=2．把m=2代入原方程，得：x2+2x﹣3=0，解得：x1=1，x2=﹣3．∴此时m的值为2，方程的另外一个根为是﹣3．27．（2016•平武县一模）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．（2）是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当k=0时，方程变形为x+2=0，解得x=﹣2；当k≠0时，△=（2k+1）2﹣4•k•2=（2k﹣1）2，∵（2k﹣1）2≥0，∴△≥0，∴当k≠0时，方程有实数根，∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）存在，设方程两根为x1、x2，则x1+x2=﹣，x1x2=，∵+=2，即=2，∴=2，即﹣=2，解得：k=﹣，故存在实数k使方程两根的倒数和为2．28．（2016•宛城区一模）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．【解答】（1）证明：当m=0时，方程变形为﹣2x+2=0，解得x=1；当m≠0时，△=（m+2）2﹣4m•2=（m﹣2）2≥0，方程有两个实数解，所以不论m为何值，方程总有实数根；（2）设方程的另一个根为t，根据题意得2+t=，2t=，则2+t=1+2t，解得t=1，所以m=1，即m的值位1，方程的另一个根为1．29．（2015秋•余干县校级期末）已知x2+y2+6x﹣4y+13=0，求（xy）﹣2．【解答】解：∵x2+y2+6x﹣4y+13=0，∴（x+3）2+（y﹣2）2=0，∴x+3=0，y﹣2=0，∴x=﹣3，y=2，∴（xy）﹣2=（﹣3×2）﹣2=．30．（2016•洪泽县一模）如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位，参考数据：≈2.236）．【解答】解一：设上、下边衬宽均为4xcm，左、右边衬宽均为3xcm，则（40﹣8x）（30﹣6x）=×40×30．整理，得x2﹣10x+5=0，解之得x=5±2，∴x1≈0.53，x2≈9.47（舍去），答：上、下边衬宽均为2.1cm，左、右边衬宽均为1.6cm．解二：设中央矩形的长为4xcm，宽为3xcm，则4x×3x=×40×30，解得x1=4，x2=﹣4（舍去），∴上、下边衬宽为20﹣8≈2.1，左、右边衬宽均为15﹣6≈1.6，答：上、下边衬宽均为2.1cm，左、右边衬宽均为1.6cm．。
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一元二次方程重点题型一．选择题（共7小题）定义1．（2016•凉山州模拟）下列方程中，一元二次方程共有（）个①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤（x﹣1）2+y2=2；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2．A．1 B．2 C．3 D．4一般形式2．（2016春•荣成市期中）关于x的方程（m﹣3）x﹣mx+6=0是一元二次方程，则它的一次项系数是（）A．﹣1 B．1 C．3 D．3或﹣13．（2016春•宁国市期中）方程2x2﹣6x﹣9=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．6；2；9 B．2；﹣6；﹣9 C．2；﹣6；9 D．﹣2；6；9一元二次方程的解4．（2016•山西校级模拟）已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，则该方程一定有一个根为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．25．（2016•诏安县校级模拟）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．6．（2016•济宁校级模拟）一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a﹣2b+c=0，则它的一个根是（）A．﹣2 B． C．﹣4 D．27．（2015•诏安县校级模拟）方程（x﹣1）2=2的根是（）A．﹣1，3 B．1，﹣3 C．，D．，二．填空题（共12小题）8．（2016春•长兴县月考）用配方法将方程x2+6x﹣7=0化为（x+m）2=n的形式为．9．（2016•罗平县校级模拟）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为．（9题）（10题）10．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为．11．（2016•丹东模拟）某药店响应国家政策，某品牌药连续两次降价，由开始每盒16元下降到每盒14元．设每次降价的平均百分率是x，则列出关于x的方程是．11．（2016•松江区二模）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，那么根据题意可列关于x的方程是．12．（2016•萧山区模拟）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期15．（2015•东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：每件商品降价元时，商场日盈利可达到2100元．13．在一次同学聚会上，若每两人握一次手，一共握了45次手，则参加这次聚会的同学一共有名．16．（2015•东西湖区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是91个，则每个支干长出的小分支数目为．17．（2015春•乳山市期末）如图，一块矩形铁皮的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，若盒子的容积是240cm3，则原铁皮的宽为cm．18．（2015秋•洪山区期中）卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，若按此传染速度，第三轮传染后，患流感人数共有人．19．（2015秋•临汾校级月考）如图，要建一个面积为130m2的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16m）并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，仓库的长和宽分别为m与m．三．解答题（共11小题）20．（2015春•沂源县期末）解下列方程：（1）x2﹣2x=2x+1（配方）（2）2x2﹣2x﹣5=0（公式）①x2﹣2x﹣8=0（因式分解）②（x﹣4）2=9（直接开）③2x2﹣4x﹣1=0（公式）④x2+8x﹣9=0（配方）22．（2015春•阜宁县期末）选用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣6x=7 （2）2x2﹣6x﹣1=0 （3）3x（x+2）=5（x+2）23．（2016•唐河县一模）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3=0 有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．24．（2016•洛阳模拟）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．25．（2016•信阳一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．26．（2016•西峡县二模）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3=0．（1）若原方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）若原方程的一个根是1，求此时m的值及方程的另外一个根．27．（2016•平武县一模）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．（2）是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．28．（2016•宛城区一模）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．29．（2015秋•余干县校级期末）已知x2+y2+6x﹣4y+13=0，求（xy）﹣2．30．（2016•洪泽县一模）如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位，参考数据：≈2.236）．2016年06月03日2456000759的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2016•凉山州模拟）下列方程中，一元二次方程共有（）个①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤（x﹣1）2+y2=2；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①x2﹣2x﹣1=0，符合一元二次方程的定义；②ax2+bx+c=0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义；③+3x﹣5=0不是整式方程，不符合一元二次方程的定义；④﹣x2=0，符合一元二次方程的定义；⑤（x﹣1）2+y2=2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义．一元二次方程共有2个．故选：B．2．（2016春•荣成市期中）关于x的方程（m﹣3）x﹣mx+6=0是一元二次方程，则它的一次项系数是（）A．﹣1 B．1 C．3 D．3或﹣1【解答】解：由题意得：m2﹣2m﹣1=2，m﹣3≠0，解得m=±1．故选：B．3．（2016春•宁国市期中）方程2x2﹣6x﹣9=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．6；2；9 B．2；﹣6；﹣9 C．2；﹣6；9 D．﹣2；6；9【解答】解：∵方程一般形式是2x2﹣6x﹣9=0，∴二次项系数为2，一次项系数为﹣6，常数项为﹣9．故选B．4．（2016•山西校级模拟）已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，则该方程一定有一个根为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【解答】解：依题意，得c=﹣a﹣b，原方程化为ax2+bx﹣a﹣b=0，即a（x+1）（x﹣1）+b（x﹣1）=0，∴（x﹣1）（ax+a+b）=0，∴x=1为原方程的一个根，故选B．5．（2016•诏安县校级模拟）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．【解答】解：根据题意得：a2﹣1=0且a﹣1≠0，解得：a=﹣1．6．（2016•济宁校级模拟）一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a﹣2b+c=0，则它的一个根是（）A．﹣2 B． C．﹣4 D．2【解答】解：将x=﹣2代入ax2+bx+c=0的左边得：a×（﹣2）2+b×（﹣2）+c=4a﹣2b+c，∵4a﹣2b+c=0，∴x=﹣2是方程ax2+bx+c=0的根．故选A．7．（2015•诏安县校级模拟）方程（x﹣1）2=2的根是（）A．﹣1，3 B．1，﹣3 C．，D．，【解答】解：x﹣1=±∴x=1±．故选C．二．填空题（共12小题）8．（2016春•长兴县月考）用配方法将方程x2+6x﹣7=0化为（x+m）2=n的形式为（x﹣3）2=2．【解答】解：移项，得x2﹣6x=﹣7，在方程两边加上一次项系数一半的平方得，x2﹣6x+9=﹣7+9，（x﹣3）2=2．故答案为：（x﹣3）2=2．9．（2016•罗平县校级模拟）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（100﹣x）（80﹣x）=7644．【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有（100﹣x）（80﹣x）=7644，故答案为：（100﹣x）（80﹣x）=7644．10．（2016•丹东模拟）某药店响应国家政策，某品牌药连续两次降价，由开始每盒16元下降到每盒14元．设每次降价的平均百分率是x，则列出关于x的方程是16（1﹣x）2=14．【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得16×（1﹣x）（1﹣x）=14，整理得：16（1﹣x）2=14．故答案为：16（1﹣x）2=14．11．（2016•松江区二模）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，那么根据题意可列关于x的方程是289（1﹣x）2=256．【解答】解：根据题意可得两次降价后售价为289（1﹣x）2，即方程为289（1﹣x）2=256．故答案为：289（1﹣x）2=256．【解答】解：设每件降价为x元，则（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，得x2﹣5x+4=0，解得x=4或x=1，要使顾客实惠，则x=4，定价为60﹣4=56元．答：应将销售单价定位56元．13．（2016•南岗区模拟）在一次同学聚会上，若每两人握一次手，一共握了45次手，则参加这次聚会的同学一共有10名．【解答】解：设这次参加聚会的同学有x人，则每人应握（x﹣1）次手，由题意得：x（x﹣1）=45，即：x2﹣x﹣90=0，解得：x1=10，x2=﹣9（不符合题意舍去）故参加这次聚会的同学共有10人．故答案是：10．14．（2015•平定县一模）学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为（35﹣2x）（20﹣x）=600（或2x2﹣75x+100=0）．【解答】解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为（35﹣2x）米，宽为（20﹣x）米，∴可列方程为（35﹣2x）（20﹣x）=600（或2x2﹣75x+100=0），故答案为（35﹣2x）（20﹣x）=600（或2x2﹣75x+100=0）．15．（2015•东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元．【解答】解：∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x，由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，化简得：x2﹣35x+300=0，解得：x1=15，x2=20，∵该商场为了尽快减少库存，∴降的越多，越吸引顾客，∴选x=20，故答案为：20．16．（2015•东西湖区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是91个，则每个支干长出的小分支数目为9．【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，根据题意列方程得：x2+x+1=91，解得：x=9或x=﹣10（不合题意，应舍去）；∴x=9；17．（2015春•乳山市期末）如图，一块矩形铁皮的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，若盒子的容积是240cm3，则原铁皮的宽为11cm．【解答】解：设这块铁片的宽为xcm，则铁片的长为2xcm，由题意，得3（2x﹣6）（x﹣6）=240解得x1=11，x2=﹣2（不合题意，舍去）答：这块铁片的宽为11cm．18．（2015秋•洪山区期中）卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，若按此传染速度，第三轮传染后，患流感人数共有1000人．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，第一轮过后有（1+x）个人感染，第二轮过后有（1+x）+x（1+x）个人感染，那么由题意可知1+x+x（1+x）=100，整理得，x2+2x﹣99=0，解得x=9或﹣11，x=﹣11不符合题意，舍去．那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人．第三轮传染后，患流感人数共有：100+9×100=1000．故答案为1000．19．（2015秋•临汾校级月考）如图，要建一个面积为130m2的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16m）并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，仓库的长和宽分别为10m与13m．【解答】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x，依题意得（32﹣2x+1）x=130，2x2﹣33x+130=0，（x﹣10）（2x﹣13）=0，∴x1=10或x2=6.5，当x1=10时，32﹣2x+1=13＜16；当x2=6.5时，32﹣2x+1=20＞16，不合题意舍去．答：仓库的长和宽分别为13m，10m．故答案为：10，13．三．解答题（共11小题）20．（2015春•沂源县期末）解下列方程：（1）x2﹣2x=2x+1（配方法）（2）2x2﹣2x﹣5=0（公式法）【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣4x=1，配方得：x2﹣4x+4=5，即（x﹣2）2=5，（2）这里a=2，b=﹣2，c=﹣5，∵△=8+40=48，∴x==．21．（2015•金堂县一模）用规定的方法解下列方程①x2﹣2x﹣8=0（因式分解法）②（x﹣4）2=9（直接开平方法）③2x2﹣4x﹣1=0（公式法）④x2+8x﹣9=0（配方法）【解答】解：①∵x2﹣2x﹣8=0，∴（x+2）（x﹣4）=0，∴x+2=0或x﹣4=0，∴x1=﹣2，x2=4；②∵（x﹣4）2=9，∴x﹣4=±3，∴x1=1，x2=7；③∵2x2﹣4x﹣1=0，∴a=2，b=﹣4，c=﹣1，b2﹣4ac=16+8=24，∴x===1±，∴x1=1﹣，x2=1+；④∵x2+8x﹣9=0，∴x2+8x+16﹣16﹣9=0，∴（x+4）2=25，∴x+4=±5，∴x1=1，x2=﹣9．22．（2015春•阜宁县期末）选用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣6x=7（2）2x2﹣6x﹣1=0（3）3x（x+2）=5（x+2）【解答】解：（1）方程变形得：x2﹣6x﹣7=0，分解因式得：（x﹣7）（x+1）=0，解得：x1=7，x2=﹣1；（2）这里a=2，b=﹣6，c=﹣1，∵△=36+8=44，∴x==；（3）方程变形得：（3x﹣5）（x+2）=0，解得：x1=，x2=﹣2．23．（2016•唐河县一模）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3=0 有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）m满足条件的最大整数为5，则原方程化为3x2+10x+8=0，∴（3x+4）（x+2）=0，∴x1=﹣，x2=﹣2．24．（2016•洛阳模拟）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．【解答】解：（1）∵方程没有实数根，∴b2﹣4ac=[﹣2（m+1）]2﹣4m2=8m+4＜0，∴m＜﹣，∴当m＜﹣时，原方程没有实数根；（2）由（1）可知，当m≥﹣时，方程有实数根，当m=1时，原方程变为x2﹣4x+1=0，设此时方程的两根分别为x1，x2，解得x1=2+，x2=2﹣．25．（2016•信阳一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．【解答】（1）证明：△=（k+3）2﹣4×3k=（k﹣3）2≥0，故不论k取何实数，该方程总有实数根；（2）解：当△ABC的底边长为2时，方程有两个相等的实数根，则（k﹣3）2=0，解得k=3，方程为x2﹣6x+9=0，解得x1=x2=3，故△ABC的周长为：2+3+3=8；当△ABC的一腰长为2时，方程有一根为2，方程为x2﹣5x+6=0，解得，x1=2，x2=3，故△ABC的周长为：2+2+3=7．26．（2016•西峡县二模）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3=0．（1）若原方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）若原方程的一个根是1，求此时m的值及方程的另外一个根．【解答】解：（1）由题意知，m﹣1≠0，所以m≠1．∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=22﹣4（m﹣1）×（﹣3）=12m﹣8＞0，解得：m＞，综上所述，m的取值范围是m＞且m≠1；解得：m=2．把m=2代入原方程，得：x2+2x﹣3=0，解得：x1=1，x2=﹣3．∴此时m的值为2，方程的另外一个根为是﹣3．27．（2016•平武县一模）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．（2）是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当k=0时，方程变形为x+2=0，解得x=﹣2；当k≠0时，△=（2k+1）2﹣4•k•2=（2k﹣1）2，∵（2k﹣1）2≥0，∴△≥0，∴当k≠0时，方程有实数根，∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）存在，设方程两根为x1、x2，则x1+x2=﹣，x1x2=，∵+=2，即=2，∴=2，即﹣=2，解得：k=﹣，故存在实数k使方程两根的倒数和为2．28．（2016•宛城区一模）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．【解答】（1）证明：当m=0时，方程变形为﹣2x+2=0，解得x=1；当m≠0时，△=（m+2）2﹣4m•2=（m﹣2）2≥0，方程有两个实数解，所以不论m为何值，方程总有实数根；（2）设方程的另一个根为t，根据题意得2+t=，2t=，则2+t=1+2t，解得t=1，所以m=1，即m的值位1，方程的另一个根为1．29．（2015秋•余干县校级期末）已知x2+y2+6x﹣4y+13=0，求（xy）﹣2．【解答】解：∵x2+y2+6x﹣4y+13=0，∴（x+3）2+（y﹣2）2=0，∴x+3=0，y﹣2=0，∴x=﹣3，y=2，∴（xy）﹣2=（﹣3×2）﹣2=．精选30．（2016•洪泽县一模）如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位，参考数据：≈2.236）．【解答】解一：设上、下边衬宽均为4xcm，左、右边衬宽均为3xcm，则（40﹣8x）（30﹣6x）=×40×30．整理，得x2﹣10x+5=0，解之得x=5±2，∴x1≈0.53，x2≈9.47（舍去），答：上、下边衬宽均为2.1cm，左、右边衬宽均为1.6cm．解二：设中央矩形的长为4xcm，宽为3xcm，则4x×3x=×40×30，解得x1=4，x2=﹣4（舍去），∴上、下边衬宽为20﹣8≈2.1，左、右边衬宽均为15﹣6≈1.6，答：上、下边衬宽均为2.1cm，左、右边衬宽均为1.6cm．精选。