两条相交直线的夹角

课题：两条相交直线的夹角(教案)

【教学目标】：

1、理解两条直线相交时,直线夹角与直线方向向量夹角的关系；掌握根据已知条件求出

两条相交直线的夹角；

2、理解两条直线垂直的充要条件.

3、体会数形结合的数学思想，培养思维能力.

【教学重点】：两条相交直线的夹角.

【教学难点】：夹角公式的应用.

【教学过程】：

一、课题引入：

平面上两条直线有几种位置关系？

相交、平行、重合．（垂直是相交的一种特殊情形）

下面我们对两条直线的位置关系作进一步研究．（引出课题：两条直线的夹角）

二、新课讲授：

1.两条直线的夹角：

平面上两条相交直线，它们构成四个角，是两对对顶角．如果一对是锐角，另一对是钝角，那么我们规定锐角作为它们的夹角．如果四个角都是直角，那么规定两直

线夹角是直角，此时也称两条直线相互垂直．

平面上两条直线相交时构成两组对顶角．我们规定两条相交直线所成的锐角或

直角为两条相交直线的夹角．

规定：如果两条直线平行或重合，它们的夹角为０． 所以，两条相交直线的夹角02πα≤≤

．

2.夹角公式：

如果已知两条直线的方程分别为：11112222:0

:0l a x b y c l a x b y c ++=++=（其中11,a b 不同时为零，22

,a b 不同时为零）．系数确定，方程确定，直线确定，它们的夹角也就确定，那么如何

根据方程来求1l 与2l 的夹角？

设12,l l 的方向向量分别为12,d d ，向量12,d d 的夹角为θ，直线12,l l 的夹角为α．将直

线12,l l 的方向向量12,d d 平移至同一起点，构成四种情形，如图． 当02πθ≤≤时，αθ=；当2π

θπ<≤时，απθ=-．于是，cos cos αθ=． 根据直线方程，可设它们的方向向量分别为：()()111222,,,d b a d b a =-=-．由夹角的计算公式得：1212cos d

d d d a θ==，

于是，两条直线的夹角公式为：cos α= 1212,,,a a b b 分别是直线一般式方程中,x y 前面的系数，已知这四个数就可以应用夹角

公式求两直线夹角的余弦．因为余弦函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上单调递减，所以此时角α是唯一确定的．

例1、已知两条直线的方程分别是：12:23

0,:320

l x y l x y ++=-+=，求两条直线的夹

角α．

解：由题意：cos 2α=

=， 4πα∴=，即两直线的夹角为4

π

． 练习：

求下列各组直线的夹角.

（1）12:31,:340

l y x l y x =-+-=2

π （2）12:20,30l x l y +=++=6

π （3）12:10,:4l y x l y -+==4π

例2、

已知直线10l y +=与直线10kx y -+=，若直线1l 和直线2l 的夹角为60，求k 的

值.

12=

得0k =. cos 0α=得两直线的夹角为2π

，称两条直线相互垂直，是两直线相交的一种特殊

情形，回顾夹角公式的推导过程你能否找到一个关于两直线垂直（板书）的命题？

当12120a a b b +=时，cos 02π

αα=⇒=，此时，两直线相互垂直；反之，当两直线垂

直时，它们的方向向量()()111222,,,d b a d b a =-=-也相互垂直，所以1212120d d bb a a =+=．

两条直线垂直的充要条件是：12120a a b b +=；

当12,k k 都存在时，两条直线垂直的充要条件是：121k k ⋅=-；

所以两条直线垂直的充要条件也可为：121k k ⋅=-或一条斜率不存在另一条的斜率

为零．

例3、已知直线l

经过点(P -

，且与直线0:20l x +=的夹角为3

π，求直线l 的

方程．

解１：设直线l 的一个法向量为(),n a b =，则直线l 的点法向式方程为：

整理得：20ax by a ++-=，

212a b b =⇒== 当0b =时，直线方程为：20x +=；

当0b ≠

时，b =

，直线方程为：10x +-=；

所以，直线l

的方程为：10x +-=或20x +=．

注意：此处设直线的点法向式方程，而不是点方向式方程或点斜式方程是因为只有

点法向式方程可以表示所有直线．

解2：若直线l 的斜率存在，设直线l

的方程为：(2)y k x =+.

1

2

=

，解得k=.

直线方程为：10

x-=.

若直线l的斜率不存在，即方程为2

x=-；则直线l与直线

l的夹角为

3

π，满足题意.

所以，直线l

的方程为：10

x+-=或20

x+=．

解3：设直线l的一般式方程为：0

ax by c

++=（,a b不同时为零）．

则由题意：

(

)20

1

2

a b c

⎧⋅-+=

=

，后解同解１．

三、小结：1.

两条直线的夹角

2

cos

π

α

α

⎧⎡⎤

∈

⎪⎢⎥

⎣⎦

⎪

⎨

⎪=

⎪

⎩

定义，，

夹角公式

2.设直线方程时要依题而设，好中选优；利用画图、数形结合的方法．

课题：两条相交直线的夹角(学案)

【教学目标】：

1、理解两条直线相交时,直线夹角与直线方向向量夹角的关系；掌握根据已知条件求出

两条相交直线的夹角；

2、理解两条直线垂直的充要条件.

3、体会数形结合的数学思想，培养思维能力.

【教学重点】：两条相交直线的夹角.

【教学难点】：夹角公式的应用.

【教学过程】：

1.两条直线的夹角：

平面上两条直线相交时构成两组对顶角．我们规定

_____________________________为两条相交直线的夹角．