高考中的三角函数与解三角形问题 课件(19张)
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第4章第四章三角函数、解三角形第4节二倍角公式及应用课件(共35张PPT) 高考数学一轮复习
内容索引
＝12－co2s2α＋12＋14cos2α－ 43sin2α＋ 43sin2α－12sin2α＝1－14cos2α－12 sin2α
＝1－14(1－2sin2α)－12sin2α＝34.
内容索引
思考1►►► 如何利用二倍角公式进行三角函数式的化简及恒等式的证明？要注 意什么？
内容索引
要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系？能否用二倍 角公式化简？有切有弦要弦切互化．
sin15°cos15°＝12sin30°＝14，故 D 不正确．
【答案】 C
内容索引
2. 已知角α的顶点为坐标原点 ，始边与x轴的非负半轴重合 ，且
P(8,3cosα)为α终边上一点，则cos2α等于( )
A. －79
B. －89
7
8
C. 9
D. 9
【分析】 根据三角函数定义和同角三角函数关系求出sinα，再由二
＝cos2αcsoinsαα2cosα2＝cosαsinα2cosα2＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边， 所以原式成立．
内容索引
某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同 一个常数：
①sin212°＋cos242°＋sin12°cos42°； ②sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°； ③sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°； ④sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°. (1) 试从上述式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明 你的结论．
倍角公式可求cos2α.
内容索引
【解析】 由三角函数定义可知 tanα＝3c8osα＝csoinsαα，则 3cos2α＝8sinα ＝3－3sin2α，解得 sinα＝13或 sinα＝－3(舍去)，则 cos2α＝1－2sin2α＝79.
＝12－co2s2α＋12＋14cos2α－ 43sin2α＋ 43sin2α－12sin2α＝1－14cos2α－12 sin2α
＝1－14(1－2sin2α)－12sin2α＝34.
内容索引
思考1►►► 如何利用二倍角公式进行三角函数式的化简及恒等式的证明？要注 意什么？
内容索引
要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系？能否用二倍 角公式化简？有切有弦要弦切互化．
sin15°cos15°＝12sin30°＝14，故 D 不正确．
【答案】 C
内容索引
2. 已知角α的顶点为坐标原点 ，始边与x轴的非负半轴重合 ，且
P(8,3cosα)为α终边上一点，则cos2α等于( )
A. －79
B. －89
7
8
C. 9
D. 9
【分析】 根据三角函数定义和同角三角函数关系求出sinα，再由二
＝cos2αcsoinsαα2cosα2＝cosαsinα2cosα2＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边， 所以原式成立．
内容索引
某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同 一个常数：
①sin212°＋cos242°＋sin12°cos42°； ②sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°； ③sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°； ④sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°. (1) 试从上述式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明 你的结论．
倍角公式可求cos2α.
内容索引
【解析】 由三角函数定义可知 tanα＝3c8osα＝csoinsαα，则 3cos2α＝8sinα ＝3－3sin2α，解得 sinα＝13或 sinα＝－3(舍去)，则 cos2α＝1－2sin2α＝79.
解直角三角形的应用(19张ppt)课件
选择合适的解法
根据实际情况选择合适的解法，如近似计算、 精确计算等。
注意单位统一
在实际应用中，要注意单位统一，避免计算 错误。
考虑多解情况
在某些情况下，解直角三角形可能存在多个 解，需要全面考虑。
06
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基本概念和公式
直角三角形中的角度和边长关系
理解直角三角形中锐角、直角和钝角之间 的关系，以及边长与角度之间的勾股定理 。
利用三角函数定义求解
总结词
通过已知角度和邻边长度，求对边或 斜边长度。
详细描述
根据三角函数定义，已知一个锐角和它 所对的边，可以通过三角函数求出其他 两边。例如，已知∠A=30°和a=1，可 以通过三角函数sin(30°)求出对边b。
利用勾股定理求解
总结词
通过已知两边的长度，求第三边长度。
详细描述
向。
确定建筑物的角度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的角度和方向。
确定建筑物的长度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的长度和方向。
物理问题中的运用
确定物体的运动轨迹
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的运动轨 迹和方向。
确定物体的受力情况
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的受力情 况和方向。
04
实际应用案例
测高问题
01
02
03
测量山的高度
通过测量山脚和山顶的仰 角，利用解直角三角形的 知识，可以计算出山的高 度。
测量楼的高度
利用解直角三角形的知识， 通过测量楼底和楼顶的仰 角，可以计算出楼的高度。
测量树的高度
通过测量树底部和树顶部 的仰角，利用解直角三角 形的知识，可以计算出树 的高度。
高考数学(福建专用)一轮复习课件：高考大题增分专项二 高考中的三角函数与解三角形(共35张PPT)
(1)求角 C;
(2)若 c= 21,且 sin C+sin(B-A)=5sin 2A,求△ABC 的面积.
解 (1)根据正弦定理
=
,
sin
sin
可得 csin A=asin C.
∵csin A= 3acos C.
sin
∴asin C= 3acos C.∴tan C=cos = 3.
π
∵C∈(0,π),∴C= .
间;
(2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 A 为锐
角,a=3 3,c=6,且 f(A)是函数 f(x)在 0,
积.
π
2
上的最大值,求△ABC 的面
15-
题型一
题型二
题型三
策略一
题型四
策略二
3 1-cos2
3
3
+ sin 2x+
2
2
2
2
π
2π
2- +2.∴T= =π.
3
5
=
1
,
4
18-
题型一
题型二
题型三
策略一
题型四
π
解 (1)f(x)=sin2ωx-sin2 - 6
π
1-cos 2-3
1-cos2
=
−
2
2
1 1
3
=
cos2 + sin2
2 2
2
1 3
1
=2 2 sin2- 2 cos2
1
π
=2sin 2- 6 .
1
2
− cos 2ωx
B=bcos C,求f(A)的取值范围.
(2)若 c= 21,且 sin C+sin(B-A)=5sin 2A,求△ABC 的面积.
解 (1)根据正弦定理
=
,
sin
sin
可得 csin A=asin C.
∵csin A= 3acos C.
sin
∴asin C= 3acos C.∴tan C=cos = 3.
π
∵C∈(0,π),∴C= .
间;
(2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 A 为锐
角,a=3 3,c=6,且 f(A)是函数 f(x)在 0,
积.
π
2
上的最大值,求△ABC 的面
15-
题型一
题型二
题型三
策略一
题型四
策略二
3 1-cos2
3
3
+ sin 2x+
2
2
2
2
π
2π
2- +2.∴T= =π.
3
5
=
1
,
4
18-
题型一
题型二
题型三
策略一
题型四
π
解 (1)f(x)=sin2ωx-sin2 - 6
π
1-cos 2-3
1-cos2
=
−
2
2
1 1
3
=
cos2 + sin2
2 2
2
1 3
1
=2 2 sin2- 2 cos2
1
π
=2sin 2- 6 .
1
2
− cos 2ωx
B=bcos C,求f(A)的取值范围.
26.1 锐角三角函数 - 第1课时课件(共19张PPT)
提示:过点A作AD垂直于BC于点D.求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
3.如图,正方形ABCD的边长为4,点M在BC上,M,N两点关于对角线AC对称, 若DM=1，求tan∠ADN的值.
解：由正方形的性质可知，∠ADN=∠DNC，BC=DC=4，∵ M、N两点关于对角线AC对称, ∴ DM=1BN=DM=1.tan∠AND=tan∠DNC= .
知识点 正切的概念
新知探究
思考
在两个直角三角形中，当一对锐角相等时，这两个直角三角形相似，从而两条对应直角边的比相等，即当∠A（小于90°）确定时，以∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比 是确定的.
发现
正切
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作：tanA ，即
在Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）如图（1），∠A=30°，求tanA，tanB的值．（2）如图（2），∠A=45°，求tanA的值．
例1
例题示范
随堂演练
1.在△ABC中，已知AC=5，BC=4，AB=3.那么下列各式正确的是（ ）A.tanA= B.tanA=CtanC= DtanC=
课堂小结
正切
定义
对边与邻边的比
表示方法
有关计算
与锐角的大小有关，与三角形边的长短无关
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
A
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，tanA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小 C.不变 D.不能确定
C
3. 如图， P是平面直角坐标系上的一点，且点P的坐标为（3，4），则tan α = .
第 二十六章 解直角三角形
3.如图,正方形ABCD的边长为4,点M在BC上,M,N两点关于对角线AC对称, 若DM=1，求tan∠ADN的值.
解：由正方形的性质可知，∠ADN=∠DNC，BC=DC=4，∵ M、N两点关于对角线AC对称, ∴ DM=1BN=DM=1.tan∠AND=tan∠DNC= .
知识点 正切的概念
新知探究
思考
在两个直角三角形中，当一对锐角相等时，这两个直角三角形相似，从而两条对应直角边的比相等，即当∠A（小于90°）确定时，以∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比 是确定的.
发现
正切
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作：tanA ，即
在Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）如图（1），∠A=30°，求tanA，tanB的值．（2）如图（2），∠A=45°，求tanA的值．
例1
例题示范
随堂演练
1.在△ABC中，已知AC=5，BC=4，AB=3.那么下列各式正确的是（ ）A.tanA= B.tanA=CtanC= DtanC=
课堂小结
正切
定义
对边与邻边的比
表示方法
有关计算
与锐角的大小有关，与三角形边的长短无关
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
A
2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，tanA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小 C.不变 D.不能确定
C
3. 如图， P是平面直角坐标系上的一点，且点P的坐标为（3，4），则tan α = .
第 二十六章 解直角三角形
第五章 第七节 解三角形的实际应用 课件(共43张PPT)
易知∠CAB＝10°，∠ACB＝10°，所以 AB＝BC＝10 米， 在 Rt△AOB 中，BO＝10sin 70°≈9.4(米).故选 C.]
本题以“珠穆朗玛峰”为背景设计试题，考查解三角形等 知识，体现了智育的素养导向．破解此类题的关键是准确获取有效信息，合 理运用获取到的信息画出草图，把所求的问题转化到几何图形中，通过合理 运用平面几何相关知识进行求解．
2 2
，
所以 θ＝π4 ，∠ABC＝3θ＝34π ，
所以 AC2＝16＋8－2×4×2
2
×(－
2 2
)＝40，
所以 AC＝2 10 .]
平面几何中解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用 正弦、余弦定理求解． (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
C [函数 f(x)的定义域为 R.
A．50 2 m C．25 2 m
B．50 3 m D．252 2 m
A
[由正弦定理得sin
AB ∠ACB
＝ sin
AC ∠CBA
，又由题意得∠CBA＝30°，
所以 AB＝ACsinsin∠∠CBAACB
50× ＝1
2 2
＝50
2
(m).]
2
4.如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°，则灯塔 A 在灯塔 B 的 ________方向．
解析： 如图，设辑私艇在 C 处截住走私船，D 为岛 A 正南方向上一点， 缉私艇的速度为 x 海里/小时，结合题意知 BC＝0.5x，AC ＝5，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，
本题以“珠穆朗玛峰”为背景设计试题，考查解三角形等 知识，体现了智育的素养导向．破解此类题的关键是准确获取有效信息，合 理运用获取到的信息画出草图，把所求的问题转化到几何图形中，通过合理 运用平面几何相关知识进行求解．
2 2
，
所以 θ＝π4 ，∠ABC＝3θ＝34π ，
所以 AC2＝16＋8－2×4×2
2
×(－
2 2
)＝40，
所以 AC＝2 10 .]
平面几何中解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用 正弦、余弦定理求解． (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
C [函数 f(x)的定义域为 R.
A．50 2 m C．25 2 m
B．50 3 m D．252 2 m
A
[由正弦定理得sin
AB ∠ACB
＝ sin
AC ∠CBA
，又由题意得∠CBA＝30°，
所以 AB＝ACsinsin∠∠CBAACB
50× ＝1
2 2
＝50
2
(m).]
2
4.如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°，则灯塔 A 在灯塔 B 的 ________方向．
解析： 如图，设辑私艇在 C 处截住走私船，D 为岛 A 正南方向上一点， 缉私艇的速度为 x 海里/小时，结合题意知 BC＝0.5x，AC ＝5，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，
2025年高考数学一轮复习课件第四章三角函数与解三角形-4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式
sin2 +cos2
)
D.2
√
C.−2
=
8+4tan
tan2 +1
=
8+12
9+1
= 2.故选D.
返回至目录
考点二 诱导公式的应用
例3（1） 若sin +
解：因为 ∈
cos +
π
6
sin +
2π
3
π
6
=−
π
( ,π)，所以
2
5
，且
13
π
+
6
∈
= − 1 − sin 2 +
【点拨】①三角式的化简通常先用诱导公式，将角统一后再用同角三角函数关系
式求解.②正确理解“奇变偶不变，符号看象限”可以提高解题效率，即诱导公式可推广
归结为要求角
π
⋅
2
± 的三角函数值，只需直接求 的三角函数值，其转化过程及
所得结果满足：奇变偶不变，符号看象限.③对于 ∈ ，sin π + = −1 sin ,
又sin + cos =
1
,所以cos
5
=
3
− ,D错误.
5
故选ABC.
返回至目录
【点拨】知一求二问题，注意判断角的范围，熟记一些常见勾股数，可以提高解
题速度.有些题型可利用整体代入的方法来解，涉及的三角恒等式有
sin ± cos
2
= 1 ± 2sin cos , sin + cos
正切).
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【教材梳理】
1.同角三角函数的基本关系
sin2 + cos2
)
D.2
√
C.−2
=
8+4tan
tan2 +1
=
8+12
9+1
= 2.故选D.
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考点二 诱导公式的应用
例3（1） 若sin +
解：因为 ∈
cos +
π
6
sin +
2π
3
π
6
=−
π
( ,π)，所以
2
5
，且
13
π
+
6
∈
= − 1 − sin 2 +
【点拨】①三角式的化简通常先用诱导公式，将角统一后再用同角三角函数关系
式求解.②正确理解“奇变偶不变，符号看象限”可以提高解题效率，即诱导公式可推广
归结为要求角
π
⋅
2
± 的三角函数值，只需直接求 的三角函数值，其转化过程及
所得结果满足：奇变偶不变，符号看象限.③对于 ∈ ，sin π + = −1 sin ,
又sin + cos =
1
,所以cos
5
=
3
− ,D错误.
5
故选ABC.
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【点拨】知一求二问题，注意判断角的范围，熟记一些常见勾股数，可以提高解
题速度.有些题型可利用整体代入的方法来解，涉及的三角恒等式有
sin ± cos
2
= 1 ± 2sin cos , sin + cos
正切).
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【教材梳理】
1.同角三角函数的基本关系
sin2 + cos2
2025届高三一轮复习数学课件：高考中的三角函数与解三角形问题
充在下面的问题中,并加以解答.
已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
(1)求角C;
(2)若D为AB的中点,且c=2, CD= 3 ,求a,b的值.
解:选择①:
(1)根据正弦定理,得(a-c)(a+c)=b(a-b),
整理得a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,
形结合思想和转化与化归思想应用较多.
典 例 突 破
题型一
三角函数的化简与求值
解决三角函数化简与求值问题的总体思路就是化异为同,目的是消元,减
少未知量的个数.如把三角函数式中的异名、异角、异次化为同名、同角、
同次;在三角函数求值中,把未知角用已知角表示,或把未知角通过三角变
换化成已知角也是化异为同;对于三角函数式中既有正弦函数、余弦函数
3 13
13,sin A= 13 .
sin
sin
A=
=
3 13
.
13
2 13
(2)由(1)及 a<c,得 cos A= 13 ,
12
5
2
则 sin 2A=2sin Acos A=13,cos 2A=1-2sin A=-13.
π
π
π
7 2
故 sin 2 + =sin 2Acos +cos 2Asin =
3
2sin Acos B+2sin Bcos A=2sin(A+B)=2sin C= 3,则 sin C= .
2
π
又 C 为锐角三角形的内角,则 C=3.
3
由正弦定理,得sin = sin = =2 3,
3
2
即 a=2 3sin A,b=2 3sin B,
已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
(1)求角C;
(2)若D为AB的中点,且c=2, CD= 3 ,求a,b的值.
解:选择①:
(1)根据正弦定理,得(a-c)(a+c)=b(a-b),
整理得a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,
形结合思想和转化与化归思想应用较多.
典 例 突 破
题型一
三角函数的化简与求值
解决三角函数化简与求值问题的总体思路就是化异为同,目的是消元,减
少未知量的个数.如把三角函数式中的异名、异角、异次化为同名、同角、
同次;在三角函数求值中,把未知角用已知角表示,或把未知角通过三角变
换化成已知角也是化异为同;对于三角函数式中既有正弦函数、余弦函数
3 13
13,sin A= 13 .
sin
sin
A=
=
3 13
.
13
2 13
(2)由(1)及 a<c,得 cos A= 13 ,
12
5
2
则 sin 2A=2sin Acos A=13,cos 2A=1-2sin A=-13.
π
π
π
7 2
故 sin 2 + =sin 2Acos +cos 2Asin =
3
2sin Acos B+2sin Bcos A=2sin(A+B)=2sin C= 3,则 sin C= .
2
π
又 C 为锐角三角形的内角,则 C=3.
3
由正弦定理,得sin = sin = =2 3,
3
2
即 a=2 3sin A,b=2 3sin B,
2023新教材高考数学二轮专题复习：三角函数与解三角形课件
技法领悟
1．若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题， 一般利用S＝12ab sinC型面积公式及基本不等式求解．
2．若求与三角形边长有关的表达式的最值或取值范围时，一般把边
用三角形的一个角表示，利用角的范围求解．
巩固训练1 1.[2022·河北沧州二模]在△ABC中；内角A，B，C的对边分别为a， b，c，已知b(2sin A－ 3cos A)＝a sin B. (1)求A；
2，则sin B＝ 22且π>B>0，可得B＝π4或B＝34π，
(2)若a＝2，求△ABC的面积．
解析：由题设，a＝2，则b＝ 3，又B＝π4，
所以cos B＝a2+c2−b2＝1+c2＝ 2，整理得c2－2 2c＋1＝0，解得c＝ 2±1，满足
2ac
4c 2
题设．
由S△ABC＝12ac sin B＝ 22c， 所以，当c＝ 2＋1时S△ABC＝1＋ 22；当c＝ 2－1时S△ABC＝1－ 22.
(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再把各点的横坐标缩小 为原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，当x∈[－1π2，π6]时， 求函数g(x)的值域．
解析：将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，可得y＝2sin (2x－π3)的图象． 再把横坐标缩小为原来的12，得到函数y＝g(x)＝2sin (4x－π3)的图象． 当当当x44∈xx－－[－ππ33＝＝1π2－π3，时π2时，π6]时，函，函数4数gx(－xg)(取π3x∈)取得[－得最2最大3π 小值，值，π3]，最，最 大小值值为为3－，2， 故函数g(x)的值域为[－2， 3].
1.已知函数f(x)＝ 称轴间的距离为π2.
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文科数学 微专题2 高考中的三角函数与解三角形问题
文科数学 微专题2 高考中的三角函数与解三角形问题
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2019版《高考帮》配套PPT课件
【高考帮·文科数学】微专题2：高考中的三角函数与解三角形问题
微专题2 高考中的三角函数与解三角形问题
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考向1 三角函数的图象与性质 考向2 三角函数的求值 考向3 利用正、余弦定理解三角形
文科数学 微专题2 高考中的三角函数与解三角形问题
考向1 三角函数的图象与性质 考向2 三角函数的求值 考向3 利用正、余弦定理解三角形
考情揭秘
三角函数与解三角形是历年高考必考的重点,由于其涉及的概念多、公 式多,应用较为灵活,考题看似简单,但不易得分.高考命题点主要有:三角函数 的化简或求值、三角函数的图象与性质、三角函数图象的平移或伸缩变换、 利用正、余弦定理解三角形以及解三角形的实际应用等.涉及的数学思想主 要有:函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想以及转化与化归思想 等.常出现在选择题与填空题中比较靠前的位置,在解答题中一般出现在第 17题,属于中低档题.
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考向2 三角函数的求值
三角函数的求值是三角函数的基本题型,也是高考命题的重点,主要有以 下命题角度: (1)求值,即利用诱导公式与同角三角函数关系,以及两角和与差的三角函数 公式、倍角公式等求值; (2)求角,即根据已知先求角的三角函数值,然后求角.
题型以选择题和填空题为主,也可能隐含在解答题中进行考查,题目比 较简单,属于低档题,分值为5分.
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考向3 利用正、余弦定理解三角形
解三角形是高考的一个必考热点,多为解答题,有时也以选择题或填空题 的形式呈现,试题难度不大,多为中低档题.主要命题角度有: (1)以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形面积或判断三角形形状, 主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式的应用; (2)以实际生活为背景(如测量、航海、几何、天体运行和物理学上的应用 等)考查解三角形问题,此类考题在近两年高考中虽未涉及,但此类题深受高 考命题者的青睐,应给予关注; (3)解三角形与其他知识相交汇问题,常与三角恒等变换、不等式、平面向量 等知识相交汇,这一直是高考考查的重点和热点.此类问题一般出现在解答 题的第二问中,属于中档题,分值约为6分.
考向1 三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质是高考命题的重点与热点,主要有以下命题角度: (1)根据所给函数图象求函数解析式; (2)三角函数图象的平移或伸缩变换; (3)已知函数解析式,研究函数的单调性、奇偶性及最值、周期.
题型以选择题和填空题为主,属于中低档题,分值为5分.
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